2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第09讲 二次函数与幂函数（精讲）（含解析）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第09讲二次函数与幂函数（精讲）①幂函数的定义与图像②幂函数的性质及应用③二次函数单调性问题④二次函数最值与值域问题⑤二次函数根的分布与韦达定理一、必备知识整合一、必备知识整合一、幂函数的定义一般地，(为有理数)的函数，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底数为\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自变量，幂为\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因变量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指数为常数的函数称为幂函数.二、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质三、常见的幂函数图像及性质：函数图象定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点四、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，二次项系数a的正负决定图象的开口方向，对称轴方程为，顶点坐标为.1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：①当时，其图象可类似画出；②当时，其图象可类似画出；③当时，其图象可类似画出．2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根（2）方程有两个不等负根（3）方程有一正根和一负根，设两根为二、考点分类精讲二、考点分类精讲【题型一幂函数的定义与图像】若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．【典例1】（单选题）（2024高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则＝（）A． B．2 C．4 D．【答案】C【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.【详解】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得，所以，所以.故选：C【典例2】（单选题）（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误；对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误；对于C：函数的定义域为，又为奇函数，又在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；对于D：函数的定义域为，又为奇函数，且在上函数是上凸递增，故D正确.故选：D一、单选题1．（23-24高一上·广东广州·期中）下图给出个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（

）

A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，④，④【答案】A【分析】根据函数的解析式判断图像性质，即可判断图像.【详解】幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递增，对应图像①；幂函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递增，对应图像②；幂函数的定义域为，为非奇非偶函数，在上单调递增，对应图像③；幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递减，对应图像④；故选：A.2．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数在第一象限的大致图象是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质即可得出答案.【详解】设，则，所以，所以，所以，因为，因为函数在上递增，且增加的速度越来越缓慢，故该幂函数在第一象限的大致图象是B选项.故选：B.3．（22-23高一·全国·课堂例题）幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系（可在直线右侧）比较从而得出结论．【详解】在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”，所以幂函数在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为.故选：D二、填空题4．（23-24高三上·上海普陀·期中）若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为.【答案】【分析】设此幂函数的表达式为，从而可得，求解即可.【详解】设此幂函数的表达式为，依题意可得，，即，解得，所以此幂函数的表达式为.故答案为：.5．（23-24高三上·新疆克孜勒苏·期中）已知幂函数的图象经过点，则的值等于.【答案】/【分析】设幂函数，代入点计算，计算得到答案.【详解】设幂函数，则，故，即，.故答案为：6．（23-24高三上·江苏扬州·期中）已知函数的图象过点，则.【答案】3【分析】由题意易得，求导可得，代入计算可知.【详解】将点代入可得，即可知；所以，则，即可得.故答案为：7．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数，且的图像恒过定点P，且P在幂函数的图像上，则．【答案】【分析】通过与变量无关得到定点，设出解析式，求解变量即可.【详解】当时，的值与无关，且，故，设将代入，解得，故故答案为：8．（2023·全国·模拟预测）已知幂函数的图像与两条坐标轴都没有交点，且不经过第三象限，则（写出一个满足条件的函数即可）.【答案】（答案不唯一，也正确）【分析】根据幂函数图象特征得到，又图像不经过第三象限，可得到答案.【详解】设幂函数.因为其图像与两条坐标轴都没有交点，所以.又因为图像不经过第三象限，所以是偶函数或定义域为，如等.故答案为：（答案不唯一，也正确）【题型二幂函数的性质及应用】(1)紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．【典例1】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是幂函数，且函数的图象关于轴对称.(1)求实数的值；(2)若不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数的定义和性质运算求解；（2）根据的定义域以及单调性分析求解.【详解】（1）因为函数是幂函数，则，即，解得或1，又因为函数关于轴对称，当时，则为偶函数，满足题意；当时，则为奇函数，不满足题意；综上所述：实数的值为.（2）函数，则函数在定义域内单调递减，由可得:，解得，所以实数的取值范围为.一、单选题1．（2024·山东日照·二模）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为函数在定义域上单调递增，所以由推得出，故充分性成立；由推得出，故必要性成立，所以“”是“”的充要条件.故选：C2．（2024·广西·二模）下列函数中，在上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域及单调性，综合即可得答案.【详解】对于A，，其定义域为，不符合题意；对于B，，在上为减函数，不符合题意；对于C，，在上单调递减，不符合题意；对于D，，在上单调递增，符合题意；故选：D.二、多选题3．（23-24高三上·河北石家庄·期中）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据基本初等函数的单调性即可求解.【详解】对A，幂函数在单调递增，A正确；对B，在部分可化为，在为指数函数，在单调递增，B正确；对C，当时，，当时，不满足题意，C错误；对D，在单调递增，则在单调递增，D正确。故选：ABD三、填空题4．（23-24高三上·上海静安·期中）函数的定义域为.【答案】【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可.【详解】由，使得式子有意义，则，则定义域为.故答案为：5．（2024高三·全国·专题练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则.【答案】【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解.【详解】因为幂函数在上递减，所以，又幂函数为奇函数，所以.故答案为：6．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）当时，幂函数为单调递减函数，则．【答案】【分析】利用幂函数的定义与性质计算即可.【详解】由题意可知或，当时，，此时在第一象限是单调递减函数，符合题意；当时，，此时在第一象限是单调递增函数，不符合题意；综上：.故答案为：7．（23-24高三上·辽宁大连·期中）已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是．【答案】【导语】先求出幂函数的表达式，再用增减性即可【详解】因为的图象过点所以，解得所以在定义域上递减故解得故答案为：8．（22-23高一下·江苏南京·阶段练习）请写出一个满足条件①和②的幂函数，条件：①是偶函数；②为上的减函数．则．【答案】(答案不唯一)【分析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】设，根据幂函数为偶函数，则为偶数，又为上单调递减，故，故可取，故答案为：（答案不唯一）9．（22-23高三下·上海·阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为.【答案】【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【详解】由题意可知，的定义域为，所以，所以函数是奇函数，由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增，由，得，即，所以，即，解得，所以关于的表达式的解集为.故答案为：.【题型三二次函数单调性问题】(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．【典例1】（单选题）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次函数的单调性判断.【详解】因为函数开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减，，解得，所以的取值范围是.故选：A.一、单选题1．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得，再由，进而求得的取值范围.【详解】由函数的对称轴是，因为函数在区间上是增函数，所以，解得，又因为，因此，所以的取值范围是.故选：A．2．（23-24高三上·山东济宁·期中）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由根式性质求定义域，结合二次函数和幂函数的性质确定增区间.【详解】由题意，令，即或，根据二次函数性质知：在上递减，在上递增又在定义域上递增，故的单调递增区间为.故选：C3．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得，所以的取值范围为.故选：C4．（2024·全国·模拟预测）若函数在上单调，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.【详解】令，则或或或解得或，即实数m得取值范围为.故选：C．二、多选题5．（2023高三·全国·专题练习）下列是函数的单调减区间的是（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据的取值去绝对值符号，画出的图象即可求解.【详解】由解得，所以，函数图象如图所示，由图可知函数的单调减区间为和，故选：AC6．（23-24高一上·福建莆田·期中）函数在上是单调函数，则实数的取值范围可以是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】求出二次函数的对称轴，即可得到或，从而求出的取值范围，即可判断.【详解】函数开口向上，对称轴为，因为函数在上是单调函数，所以或，解得或.故选：ABD三、填空题7．（2024·辽宁·模拟预测）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是.【答案】【分析】先给出命题p的否定，由函数的单调性进行求解.【详解】命题p的否定为：任意，使得函数在区间内不单调，由函数在上单调递减，在上单调递增，则，而，得，故答案为：8．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围为．【答案】【分析】将可看作由复合而成，根据复合函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】设，则可看作由复合而成，由于在上单调递增，故要使得函数在区间上单调递减，需满足在区间上恒成立，且在区间上单调递减，故，解得，故a的取值范围为，故答案为：【题型四二次函数最值与值域问题】利用动轴定区间和定轴动区间思路分类讨论(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．【典例1】（单选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据开口向上，故需在区间上有最小值，且，从而得到不等式，求出答案.【详解】要使函数在区间上有最大值或最小值，由于开口向上，故需函数在区间上有最小值，且．该函数图像的对称轴为直线，所以，解得，所以，且，即实数的取值范围为．故选：B．一、单选题1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在区间上有最大值6，最小值5.则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分析出时的取值，然后结合单调性判断出的取值范围.【详解】因为，所以当时，令，解得或，又因为在上单调递增，在上单调递减，所以若在区间上有最大值6，最小值5，则有，即，故选：C.2．（23-24高一上·河南·期中）若函数的值域为，则实数的值可能为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】CD【分析】根据二次函数的定义域和值域，结合二次函数图象分析判断．【详解】因为，则在处取得最小值－1．令，解得或，

根据题意结合函数图像可得：．故选：CD.3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（

）A．9 B．8 C．6 D．4【答案】D【分析】先由的最小值为0，得到，再由的解集为，得到的根为，从而利用韦达定理即可求解.【详解】因为开口向上，最小值为，，则，的解集为，所以是的两个不等实根，即是的两个不等实根，所以，则，.故选：D.4．（23-24高一上·全国·期末）如果函数且在区间上的最大值是，则的值为（

）A．3 B． C． D．3或【答案】D【分析】利用换元法，令，转化为二次函数，根据单调性及在区间上的最大值是，求出的值即可.【详解】令，则．当时，因为，所以，又因为函数在上单调递增，所以，解得（舍去）．当时，因为，所以，又函数在上单调递增，则，解得（舍去）．综上知或．故选：D.二、填空题5．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知当时，函数的最大值为，则的值为【答案】或【分析】根据对称轴和区间中点的关系分类讨论，建立方程解出即可.【详解】函数的对称轴为，当，即时，，解得或（舍）；当，即时，，解得或（舍），综上知，的值为2或-1.故答案为：或.6．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为．【答案】2【分析】，则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，作出函数图象，由图象观察即可得出答案.【详解】，上述函数可理解为当横坐标相同时，函数，,与函数，,图象上点的纵向距离，则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，作出函数图象，如图，由图象可知，当函数的图象刚好为时此时，取得最小值为2.故答案为：2三、解答题7．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，.(1)若在区间上最大值为2，求实数的值；(2)当时，求不等式的解集.【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）求出二次函数图象的对称轴，再利用二次函数性质求解即得.（2）分类讨论求解含参数的一元二次不等式即得.【详解】（1）函数图象的对称轴为，当，即时，，解得，则；当，即时，，解得，矛盾，所以.（2）显然，而，因此不等式为，当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式解集为，所以当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.8．（23-24高一上·北京·期中）函数，其中．(1)当时，求不等式的解集；(2)当时，f（x）的最小值为0，求a的值．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）直接解一元二次不等式；（2）先求出对称轴，然后分，和三种情况求其最小值即可.【详解】（1）当时，不等式，即，解得或，所以不等式的解集为或；（2）易知的对称轴为，①当时，函数在上单调递增，则，得，符合题意；②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，解得或（舍）；③当时，函数在上单调递减，则，解得，不符合题意，综上所述，的值为或.【题型五二次函数根的分布与韦达定理】【典例1】（单选题）（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知方程有两个不等正实根，则实数m的取值范围为（

）A．或 B．C． D．或【答案】D【分析】应用二次方程根的分布等价于对应二次函数零点的分布问题，求解实数m的取值范围即可.【详解】因为方程有两个不等正实根，设两根为，则等价于函数有两个不相等且大于0的零点，所以或，故选：D一、填空题1．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是.【答案】【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围.【详解】设，开口向上，由题意知，即，解得，所以．故答案为：．2．（23-24高一上·湖北·阶段练习）命题“时，方程有两个不等实数根”是真命题，则实数的取值范