2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第01练 集合（精练：基础+重难点）（含解析）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第01练集合（精练）1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题.2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得的值，然后计算即可.【详解】由题意可得，则.故选：A.2．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．3．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.4．（2023·全国·高考真题）设全集,集合，（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集，，所以，．故选：A．5．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列中，，显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故选：B6．（2022·全国·高考真题）设全集，集合M满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先写出集合,然后逐项验证即可【详解】由题知,对比选项知，正确,错误故选:7．（2022·全国·高考真题）若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：D8．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：求出集合后可求.【详解】[方法一]：直接法因为，故，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法代入集合，可得，不满足，排除A、D；代入集合，可得，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．【A级

基础巩固练】一、单选题1．（2024·北京丰台·一模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式化简结合，结合并集的概念即可求解.【详解】因为，，所以.故选：A.2．（2024·北京顺义·二模）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出全集，然后根据补集运算可得.【详解】因为，，所以.故选：D3．（2024·山东·二模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简集合，再利用交集运算求解.【详解】由可得，所以.故选：B4．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】计算出集合的元素后可得其子集的个数.【详解】，故其子集的个数为8，故选：D.5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解.【详解】，所以.故选：D.6．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合，，则中元素的最大值为（

）A．4 B．5 C．7 D．10【答案】C【分析】根据B中元素的特征，只需满足即可得解.【详解】由题意，.故选：C7．（2024·四川成都·三模）设全集，若集合满足，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得.【详解】全集，由，知，则，A错误，B正确；不能判断，也不能判断，CD错误.故选：B8．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合，，，则集合的子集共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．8个【答案】C【分析】首先用列举法表示出集合、，即可求出集合，再求出其子集个数.【详解】因为，又，所以，所以，则集合的子集共有个．故选：C9．（2024·全国·模拟预测）若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简集合,根据集合的运算的定义求.【详解】由题意，得因为，即，解得或则，所以.故选:D.10．（2024·四川泸州·三模）已知集合，，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据不等式的解法求得，结合中有且仅有一个元素，即可求解.【详解】由不等式，即，解得，即，因为，要使得中有且仅有一个元素，则或，即实数的取值范围为.故选：B.11．（2024·北京东城·一模）如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是.故选：D.二、多选题12．（2024·甘肃定西·一模）设集合，则（

）A．B．的元素个数为16C．D．的子集个数为64【答案】BCD【分析】解二次不等式化简集合，进而求得集合，利用集合的交并运算与常用数集的定义，结合集合子集个数的求法逐一分析各选项即可得解.【详解】对于ABC，因为，所以，即，所以有个元素，故A错误，BC正确；对于D，而有个元素，所以的子集个数为，故D正确.故选：BCD.13．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）设集合，，若，则的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】解方程，分情况讨论集合与元素的关系.【详解】因为，所以或或，所以或或，故选：ABD．14．（2024·广西·二模）若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（

）

A．B．C．D．【答案】ACD【分析】根据Venn图可知，依次判定选项即可.【详解】根据Venn图可知，对于A，显然，故A正确；对于B，，则，故B错误；对于C，，则，故C正确；对于D，，或，则，故D正确.故选：ACD三、填空题15．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，且，则.【答案】【分析】根据题意，列出方程，求得的值，结合集合元素的互异性，即可求解.【详解】因为，所以或，解得或，当时，，，集合不满足元素的互异性，所以舍去；当时，经检验，符合题意，所以．故答案为：．16．（2024高三下·全国·专题练习）集合的真子集的个数是.【答案】31【分析】利用列举法解出该集合，结合真子集的定义即可求解.【详解】共5个元素，则真子集的个数是.故答案为：3117．（23-24高一上·辽宁大连·期中）设，，若，则实数的值为.【答案】或【分析】依题意可得，分和两种情况讨论.【详解】因为，又，所以，当时，符合题意；当，则，解得，综上可得或.故答案为：或18．（2024·安徽合肥·一模）已知集合，若，则的取值范围是.【答案】【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.【详解】由，得,解得，所以.因为，所以或，解得或，所以的取值范围是.故答案为：.19．（2024高三·全国·专题练习）设集合，且，，则实数的取值范围为．【答案】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据且得到不等式组，解得即可.【详解】由，即，解得，即，因为且，所以，解得，即实数的取值范围为.故答案为：四、解答题20．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知集合，，定义两个集合P，Q的差运算：．(1)当时，求与；(2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)，．(2)【分析】（1）用集合的新定义求解即可；（2）由“”是“”的必要条件得到，再利用范围求出即可.【详解】（1），当时，，所以，．（2）因为“”是“”的必要条件，所以，故，解得，即实数a的取值范围是．21．（2024高三·全国·专题练习）设是由直线上所有点构成的集合,即,在点集上定义运算“”：对任意则．(1)若是直线上所有点的集合,计算的值．(2)对（1）中的点集,能否确定（其中）的值？(3)对（1）中的点集,若,请你写出实数,,可能的值．【答案】(1)(2)可以,48(3)(答案不唯一)【分析】(1)根据运算“”的定义代入运算即可.(2)由题知点在直线上,代入直线方程,解得,的值,再根据运算“”的定义代入运算即可.(3)根据点在直线是上,求得,,的值与关系,再根据运算“”的定义代入运算,即可求得的范围,在相关范围内取值均可.【详解】（1）由运算“”的定义知,.（2）∵,即点在直线上,∴,得．同理由,得．由运算“”的定义知,．所以可以确定，值为48.（3）由,知,即,且,即.由运算“”的定义知,,解得．取,知,此时,即符合题意．取,知,即也符合题意．【B级

能力提升练】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出集合，根据集合交集运算可得结果.【详解】因为，所以．故选：A．2．（2024·宁夏银川·一模）设全集，则集合（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由交集，补集和解不等式运算可得.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，故ABD错误，故C正确；故选：C3．（23-24高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，然后根据，即可求解.【详解】由，得，所以，因为，，所以，故D正确.故选：D.4．（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，所以，解得或当时，不满足集合元素的互异性，故，，.故选：B.5．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集，，则集合B的元素个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．不确定【答案】B【分析】由已知求出全集，再由可知中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，从而可求出中的元素.【详解】因为全集，，所以中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，和中都有可能有0，2，4，6，8，9，10，且除了1，3，5，7，中有的其他数字，中也一定会有，中没有的数字，中也一定会有，所以，故选：B6．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集，且满足，那么称子集组构成集合U的一个k划分．若集合I中含有4个元素，则集合I的所有划分的个数为（

）A．7个 B．9个 C．10个 D．14个【答案】D【分析】分别计算2划分，3划分和4划分的个数，再相加即可.【详解】不妨设，则：的2划分有，，，，，，；的3划分有，，，，，；的4划分只有.综上，的划分共有个，D正确.故选：D.二、多选题7．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（

）A．若且，则B．若且，则C．若且，则D．存在，使得【答案】AB【分析】集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可.【详解】对于A,因为⊕，所以，，所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确；对于B，因为⊕，所以，，即与是相同的，所以，B正确；对于C,因为⊕，所以，，所以，即C错误；对于D由于，而，故，即D错误．故选：AB．三、填空题8．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合，，且有4个子集，则实数的最小值是.【答案】/0.5【分析】根据的子集个数，得到元素个数，分和讨论，进而得到实数m的取值范围.【详解】由有4个子集，所以中有2个元素，所以，所以，所以满足，或，综上，实数的取值范围为，或，故答案为：9．（2024·湖南·二模）对于非空集合，定义函数已知集合，若存在，使得，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据题意，由函数的定义可得可取，即可得到的取值范围.【详解】由题知：可取，若.则，即集合，得，即的取值范围为.故答案为：【C级

拓广探索练】一、单选题1．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意.①假设集合中含有个元素，可设，则，，这与矛盾；②假设集合中含有个元素，可设，，，，，满足题意.综上所述，集合中元素个数最少为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.二、多选题2．（2024·浙江宁波·二模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知为全集且元素个数有限，对于的任意一个子集，定义集合的指示函数若，则（

）注：表示中所有元素所对应的函数值之和（其中是定义域的子集）.A．B．C．D．【答案】BCD【分析】根据的定义，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，由于,所以故，故A错误，对于B，若,则，此时满足，若且时，，若且时，，若且时，，综上可得，故B正确，对于C，而，由于，所以故,C正确，,当时，此时中至少一个为1，所以，当时，此时均为0，所以，故,故D正确，故选：BCD【点睛】关键点点睛：充分利用的定义以及的定义，由此可得时，此时均为0，时，此时中至少一个为1，结合的定义化简求解.三、填空题3．（23-24高三上·江西·期末）定义：有限集合，则称为集合的“元素和”，记为.若集合，集合的所有非空子集分别为，，…，，则.【答案】【分析】根据错位相减可得中的元素和，根据每一个元素在子集中出现的次数为，因此，即可求解．【详解】由题意知集合中的元素分别为，，，，，设①，则②，①②，得，所以．由于集合中每一个元素在子集中出现的次数为，所以．故答案为：．四、解答题4．（2024·浙江台州·二模）设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称：为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作.若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作.例如：对于集合，，存在一一对应关系，因此.(1)已知集合，，试判断是否成立?请说明理由；(2)证明：①；②.【答案】(1)成立，理由见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据新定义判断即可；（2）①取特殊函数满足定义域为，值域为即可利