2025年高考数学一轮复习 讲练测第03讲 导数与函数的极值、最值（七大题型）（讲义）（含解析）

第03讲导数与函数的极值、最值目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：函数的极值 4知识点2：函数的最大（小）值 5解题方法总结 6题型一：求函数的极值与极值点 7题型二：根据极值、极值点求参数 11题型三：求函数的最值（不含参） 17题型四：求函数的最值（含参） 20题型五：根据最值求参数 26题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用 30题型七：不等式恒成立与存在性问题 3704真题练习·命题洞见 4105课本典例·高考素材 4406易错分析·答题模板 46易错点：对f(x0)为极值的充要条件理解不清 46答题模板：求可导函数f(x)的极值 46

考点要求考题统计考情分析（1）函数的极值（2）函数的最值2024年I卷第10题，6分2024年II卷第16题，15分2024年II卷第11题，6分2024年甲卷第21题，12分2023年乙卷第21题，12分2023年II卷第22题，12分2022年乙卷第16题，5分2022年I卷第10题，5分2022年甲卷第6题，5分高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题．复习目标：（1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．（2）会用导数求函数的极大值、极小值．（3）会求闭区间上函数的最大值、最小值．

知识点1：函数的极值（1）函数的极小值如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作．（2）函数的极大值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作．（3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．（4）求极值的步骤①先确定函数的定义域；②求导数；③求方程的解；④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．【诊断自测】（2024·辽宁·三模）下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对A，，，故为偶函数，不符题意；对B，，为奇函数，，得，当时，时，故的极小值，故B正确；对C，为偶函数，不符题意；对D，无极值，不符题意，故选：B知识点2：函数的最大（小）值（1）函数在区间上有最值的条件：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.（2）求函数在区间上的最大（小）值的步骤：①求在内的极值（极大值或极小值）；②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．【诊断自测】函数的最小值为．【答案】【解析】函数，当时，，单调递增，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，，所以的最小值为.故答案为：.解题方法总结（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．题型一：求函数的极值与极值点【典例1-1】“是函数的一个极值点”是“在处导数为0”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当时，，则在处导数为0，但0不是它的极值点；当时，则在处导数不存在，但0是它的极值点；因此题干两条件是既不充分也不必要条件.故选：D.【典例1-2】如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是（

）A． B．C．是的极大值点 D．是的极小值点【答案】C【解析】因函数在点处的切线为，即，则，于是，，由图知，当时，，此时，当时，，此时.对于B项，由上分析，B项显然错误；对于C,D项，由上分析，当时，单调递增；当时，单调递减,即当时，取得极大值，且，故C项正确，D项错误；对于A项，由上分析时，取得极大值，也是最大值，则有，故A项错误.故选：C.【方法技巧】1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．【变式1-1】（2024·辽宁鞍山·二模）的极大值为．【答案】【解析】，当时，，当时，，故在、上单调递减，在上单调递增，故有极大值.故答案为：.【变式1-2】（2024·河南·三模）已知函数，且在处的切线方程是．(1)求实数，的值；(2)求函数的单调区间和极值．【解析】（1）因为，所以，又在处的切线方程为，所以，，解得，．（2）由（1）可得定义域为，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则在处取得极小值，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，因此极小值为，无极大值．【变式1-3】（2024·北京东城·二模）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)求函数在区间上的极值点个数.【解析】（1）因为则，可得，可知切点坐标为，切线斜率，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）令，则，令，因为的定义域为，且，可知为偶函数，因为，若，则，取，构建，则，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，则，故在内存在唯一零点，当时，，即；当时，，即；可知在内单调递减，在内单调递增，对于，结合偶函数对称性可知：在内单调递减，在内单调递增，又因为在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：在内单调递减，在内单调递增，所以在区间上的有2个极值点，极值点个数为2.【变式1-4】已知函数，其中．讨论的极值点的个数．【解析】由题意知，函数的定义域为，，设，，显然函数在上单调递增，与同号，①当时，，，所以函数在内有一个零点，且，，，，故在单调递减，在单调递增；所以函数在上有且仅有一个极值点；②当时，同①可知，函数在上有且仅有一个极值点1；③当时，，，因为，所以，，又，所以函数在内有一个零点，且，，，，故在单调递减，在单调递增；所以函数在上有且仅有一个极值点；综上所述，函数在上有且仅有一个极值点．题型二：根据极值、极值点求参数【典例2-1】（2024·广西·模拟预测）设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由三次函数的性质可知，要使为函数的极大值点，则：当时，函数大致图象如图（1）所示，则，此时；当时，函数大致图象如图（2）所示，则，此时.综上：.故选：C.【典例2-2】（2024·高三·陕西咸阳·期中）若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，定义域为，所以，因为函数既有极大值也有极小值，所以方程有两个不相等的正根，设两根为，则有，解得，所以的取值范围为，故选：A.【方法技巧】根据函数的极值（点）求参数的两个要领（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）验证：求解后验证根的合理性．【变式2-1】已知函数在处取得极小值，则的值为．【答案】【解析】由求导，，依题意，，即，解得或.当，时，，，，当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增，即时，函数取得极小值，符合题意，此时；当，时，，，因，即函数在上为增函数，无极值，与题意不符，舍去.故答案为：.【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解法一：

由题意可得，因为函数在上恰有两个极值点，所以在上有两个变号零点．令，可得，令，则直线与函数，的图象有两个不同的交点，，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，又，当x趋近于0时，趋近于+∞，当x趋近于π时，趋近于+∞，所以可作出的图象如图所示，数形结合可知，即实数a的取值范围是，故选：D．解法二

由题意可得．因为函数在上恰有两个极值点，所以在上有两个变号零点．当时，在上恒成立，不符合题意．当时，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，，所以，则，即实数a的取值范围是，故选：D．【变式2-3】（2024·四川·模拟预测）已知函数的导函数，若不是的极值点，则实数.【答案】3【解析】由，设，若不是函数的极值点，则必有，即，所以．当时，，故当时，，当时，，因此是的极值点，不是极值点，满足题意，故．故答案为：3【变式2-4】若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】，则，若函数存在唯一极值点，则在上有唯一的根，所以由可得，则有唯一的根，直线与函数的图象有一个交点（非切点），又，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，函数的极大值为，且当时，，当时，，则函数得图象如下图所示：所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点），因此，实数的取值范围是．故答案为：．【变式2-5】（2024·四川绵阳·模拟预测）若是函数的两个极值点且，则实数的取值范围为.【答案】【解析】因为，所以.因为函数有两个极值点，所以是方程的两个根，则有，所以，同理可得.设，则，由，则，即，由，则，即，所以，令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立，所以函数在上单调递减，所以，又，所以，又，所以.由，则，令，则在上恒成立，所以函数在上单调递减，所以，即，所以，即实数的取值范围为.故答案为：.【变式2-6】已知函数，若是的极大值点，则a的取值范围是．【答案】【解析】由函数，得，令，由是的极大值点，易得，且在上单调递减，即，所以，即，当时，，符合题意；当时，，，则，，则，，则，，在上单调递减，在上，在上，，符合题意；所以a的取值范围是.故答案为：【变式2-7】已知和分别是函数（且）的极大值点和极小值点．若，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由已知，至少要有两个变号零点和，构造函数，对其求导，,若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，此时若和分别是函数的极大值点和极小值点，则，不合题意；若，则在上单调递增，此时若，则在上单调递减，在上单调递增，令，则，此时若和分别是函数的极大值点和极小值点，且，则需满足，即，，，故，所以．故答案为：题型三：求函数的最值（不含参）【典例3-1】函数的最小值为．【答案】【解析】∵函数，∴，令，得，当时，，为减函数，当时，，为增函数，∴在处取极小值，也是最小值，∴函数最小值为.故答案为：.【典例3-2】函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为．【答案】【解析】因为，所以，当时，；当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，因为，，所以的最大值为，则，又，，所以的最大值为.故答案为：.【方法技巧】求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值．【变式3-1】（2024·浙江杭州·二模）函数的最大值为．【答案】【解析】令，则，故，令，则，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，故，即函数的最大值为.故答案为：.【变式3-2】当时，函数取得极值，则在区间上的最大值为．【答案】16【解析】由题意得，因为时，函数取得极值，故，即，当或时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故时，函数取得极小值，故符合题意，当时，在上单调递增，在上单调递减，而，，则在区间上的最大值为16，故答案为：16【变式3-3】（2024·高三·山东青岛·开学考试）已知，则的最小值为.【答案】38【解析】设，，设，由，得，则，，得，当时，，在区间单调递减，当时，，在区间单调递增，所以当时，取得最小值，即的最小值为.故答案为：题型四：求函数的最值（含参）【典例4-1】已知函数.(1)当时，求的单调区间与极值；(2)求在上的最小值.【解析】（1）当时，，，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有极小值，无极大值.综上：的减区间是，增区间是，极小值为0，无极大值.（2），当时，，所以在上单调递增，所以；当时，令，得，（ⅰ）当时，则，所以在上单调递增，所以；（ⅱ）当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增，则；综上：当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为.【典例4-2】（2024·四川南充·二模）设函数，．(1)求函数的单调性区间；(2)设，证明函数在区间上存在最小值A，且．【解题思路】（1）根据函数解析式明确定义域，求导，根据导数与单调性的关系，可得答案；（2）根据函数解析式求导，整理导数，利用（1）的结论，结合隐零点做题思路，可得答案.【解析】（1）由，则，所以的定义域为，求导可得，当且仅当时等号成立，的增区间为，无单调递减区间.（2），由（1）知，在上单调递增，由知，，，使且时，，由，则，时，，由，则，即在单调递减，在单调递增，在上存在最小值，且，又得：，即，，设，，在上单调递增，，，又，故.【方法技巧】若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．【变式4-1】（2024·四川自贡·一模）函数的最小值为.(1)判断与2的大小，并说明理由：(2)求函数的最大值.【解题思路】（1）先利用导数研究函数的单调性求出最小值，其中满足；再由得；，求出；最后利用对勾函数的单调性即可求解.（2）先利用导数研究函数的单调性求出最大值，其中满足；再由及（1）中，，得；最后由函数在上单调递增，得，代入，即可求出结果.【解析】（1）.理由如下：由可得：函数定义域为；.在上单调递增.，存在唯一的，使得，即.当时，；当时，.即函数在上单调递减，在上单调递增.故.；，即.因为函数在上单调递减，，即故.（2）由，得：函数定义域为，，.在上单调递减.当时，；当时，.存在唯一的，使得，即.当时，；当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减.故.，即.由（1）知：，则.令函数在上单调递增，在上单调递增.函数在上单调递增，..故函数的最大值为.【变式4-2】已知函数.(1)当时，求在处的切线方程；(2)讨论在区间上的最小值.【解析】（1）当时，，则，所以，则在处的切线方程为，即，所以当时，函数在处的切线方程为．（2）函数，则，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；当时，函数在上单调递减，故函数的最小值；当时，函数在上单调递增，故函数的最小值；当时，函数的最小值．综上可得.【变式4-3】已知函数，当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.【解题思路】讨论的范围，利用导数求出函数单调性进行最大值和最小值的判断，求出，再构造函数求出的取值范围.【解析】由求导得，若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为，而，故所以区间上最大值为，所以，设函数，，当时，从而单调递减，而，所以，即的取值范围是，若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为，而，故所以区间上最大值为，所以，而，所以，即的取值范围是.综上得的取值范围是.【变式4-4】已知函数.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间和极值；(3)当时，求函数在上的最大值.【解题思路】（1）利用导数的几何意义即可得解；（2）利用导数与函数单调性、极值的关系，分类讨论的取值范围即可得解；（3）根据的取值范围，结合（2）中结论得到的单调性，从而得到其最值.【解析】（1）因为，当时，，则，所以，，所以函数在点处的切线方程为，即.（2）因为，则，令得或，当时，，令，得或；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减，则，；当时，，在上单调递增，没有极值；当时，，令，得或；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减，则，；综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，，；当时，的单调递增区间为，没有极值；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，，；（3）因为，所以，，由（2）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，，所以.题型五：根据最值求参数【典例5-1】（2024·河南南阳·一模）已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是．【答案】（答案不唯一，中的任意整数均可）【解析】由可知，，又在上有最小值，所以在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，令，则在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，所以，解得，又因为，所以.故答案为：（答案不唯一，中的任意整数均可）.【典例5-2】已知，若函数有最小值，则实数的最大值为.【答案】/【解析】当时，，，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且，当时，，若，在上单调递增，此时没有最小值，若，在上单调递减，要想函数有最小值，则，解得，故实数的最大值为.故答案为：【方法技巧】已知函数最值，求参数的范围，列出有关参数的方程或不等式，然后求其参数值或范围．【变式5-1】（2024·广西南宁·一模）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为.【答案】【解析】因为，所以，若，则时，，故在上单调递减，时，，故在上单调递增，所以当时，有最小值，满足题意；若，则当无限趋近于负无穷大时，无限趋向于负无穷大，没有最小值，不符合题意；综上，，所以实数的取值范围为.故答案为：【变式5-2】（2024·广东·二模）已知函数的最小值为0，则a的值为.【答案】/0.5【解析】由，且，令，则，即在上递增，所以在上递增，又，，，，所以，使，且时，，时，，所以在上递减，在上递增，所以由，得，令函数，，所以在上是增函数，注意到，所以，所以.故答案为：【变式5-3】已知函数的最小值为1，则的取值范围为.【答案】【解析】，，设，，，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故，故有解，即，，，即，，设，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递增；，画出函数图像，如图所示：根据图像知，解得或，即.故答案为：.【变式5-4】若函数的最小值为0，则实数a的最大值为.【答案】/【解析】由题意知，令，原函数变为.令，则，易知当，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，即对于，，即，当且仅当时取最小值，所以当，取得最小值0，即只需方程有解即可；也即函数与函数图象有交点即可；令，则，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以，在同一坐标系下画出两函数图象如下图所示：即即满足题意；所以.故答案为：题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用【典例6-1】已知，g（x）＝f（x）＋ax-3，其中a∈（0，＋∞）．（1）判断f（x）的单调性并求其最值；（2）若g（x）存在极大值，求a的取值范围，并证明此时g（x）的极大值小于0．【解题思路】（1）求出，根据导数与函数单调性之间的关系即可求解.（2），令，则，可得，求出导函数，且，讨论或，确定函数的单调性，可得函数的极大值，并求出极大值，即可求解.【解析】（1）∵，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴，且无最小值．（2），令，则，∴．令，∵函数是上的单调递增函数，∴由复合函数的单调性可知，存在极大值存在极大值，且取到极大值取到极大值，其中，且．∵，∴，∴时，，单调递减；时，，单调递增，∴．①当时，，则在上恒成立，∴在上单调递增，则无极值点；②当时，，取，，有，，∴在上有唯一零点，设为，且时，，时，，∴当时，在上有唯一的极大值点．∵，∴，∴，令，则，∴在上单调递增．又，∴，即的极大值小于0，综上，有时，存在极大值，且此时的极大值小于0．【典例6-2】（2024·高三·湖南·期末）已知函数有两个不同的极值点.（1）求的取值范围.（2）求的极大值与极小值之和的取值范围.（3）若，则是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由.【解题思路】（1）先求得函数的定义域和导函数，结合一元二次方程根的分布求得的取值范围.（2）根据（1）求得，求得的表达式，并利用导数求得这个表达式的取值范围.（3）由（2）假设，，则，求得的表达式，并利用导数研究这个表达式的单调性，由此判断出这个表达式没有最小值，也即没有最小值.【解析】（1）定义域为，.因为有两个不同的极值点，且，所以有两个不同的正根，，解得.（2）因为，不妨设，所以，，所以.令，则，所以在上单调递增，所以，即的极大值与极小值之和的取值范围是.（3）由（2）知.因为，所以，所以.因为，所以.令，则，所以在上单调递减，无最小值，故没有最小值.【方法技巧】函数单调性、极值、最值的综合应用通常会用到分类讨论、数形结合的数学思想方法.【变式6-1】设(1)若，讨论的单调性;(2)若，求的最大值(用表示);(3)若恰有三个极值点，直接写出的取值范围.【解题思路】（1）求出的导数，讨论其符号可得其单调性；（2）求出函数的导数，利用隐零点及同构方法得到且，化简后可得最大值；（3）由题设可得的导数有三个不同的变号零点，从而得到，有三个不同的变号零点，设，就、分类讨论可得参数的取值范围.【解析】（1）时，，故，令，则，故在上为减函数，而，故在上，即，在上，即.故的单调增区间为，单调减区间为.（2），设，，则，故在为减函数，而时，，而，故在上存在唯一的使得，且当时，即，当时，即故在上为增函数，在为减函数，故，其中，即即，设，则，故为上的增函数，而，故，，故，故.（3）结合（2）可知，且，有三个不同的变号零点，而即，令，，则，故当或时，，当或时，，故在，上递增；在，上递减，而，故，若，则，而当时，，故在上恒成立即在上恒成立，所以在上为减函数，故至多有一个零点，不合题意.若即即，此时，因，故，而当时，，故在上有且只有两个零点，设它们分别为，且，故当时，即，当时，即，故在为减函数，在上为增函数，因为，故，故，，令，则，故在上为增函数，故，故，故，故.，设，，则，故在为增函数，故，所以，又时，，时，，故此时有三个不同的零点，综上，.【变式6-2】（2024·海南·模拟预测）已知函数．(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．(2)设函数有一个极大值为，一个极小值为，试问：是否存在最小值？若存在最小值，求出最小值；若不存在最小值，请说明理由．【解析】（1）函数的定义域为，由题意知，即在区间上恒成立．令，则不等式在上恒成立．设，则解得，则的取值范围为．（2）因为，所以由题意知方程，即至少有两个不同的实数根．令，则方程有且仅有两个不同的正实数根．设为方程的两个实数根，则解得．假设存在最小值，设与相对应的方程的两个根为，所以当时，；当时，，所以，则．因为，所以，且，则．设，则，所以函数在上单调递减，所以不存在最小值．题型七：不等式恒成立与存在性问题【典例7-1】已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围．【答案】【解析】因为，由，即，即，设，根据题意知存在，使得成立，即成立，由，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.【典例7-2】已知函数，．若，，使成立，则实数的取值范围为．【答案】【解析】的定义域为，则，当时，∵，∴，∴当时，；当时，．故在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，因为所以，∵，∴，∴在上为增函数．∴，依题意有，∴，∴，故答案为：．【方法技巧】在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．【变式7-1】函数对任意成立，则的最小值为（

）A．4 B．3 C． D．2【答案】D【解析】由函数，可得，且，若时，恒成立，函数单调递增，当时，，因为函数在上单调递增，所以，所以存在，使得时，，不符合题意，则有，当时，；当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，则，令，可得，当时，；当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，所以的最小值为.故选：D.【变式7-2】（2024·山东泰安·二模）已知函数.(1)若的极大值为，求的值；(2)当时，若使得，求的取值范围.【解析】（1）因为函数，可得，因为，令，解得或，当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增所以的极大值为，不符合题意；当时，即时，，在上单调递增，无极大值；当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以极大值为，解得.（2）当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，当时，即时，当时，单调递增，，又因为当时，，因为，所以，当时，使得，当时，即时，当时，单调递增，，当时，若满足题意，只需，即，当时，即时，当时，在上单调递减，上单调递增所以函数的最小值为，所以，又因为时，，若满足题意，只需，即，因为，所以，所以，当时，不存在使得，综上，实数的取值范围为.【变式7-3】（2024·高三·陕西商洛·期中）已知函数，，若成立，则的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】不妨设，则，，则．令，则，记，则所以在上单调递增，由，可得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以．故选：A1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（多选题）设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心【答案】AD【解析】A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，，于是即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD2．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数，则（

）A．是的极小值点 B．当时，C．当时， D．当时，【答案】ACD【解析】对A，因为函数的定义域为R，而，易知当时，，当或时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；对B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，正确；对D，当时，，所以，正确；故选：ACD.3．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D4．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.5．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数既有极大值也有极小值，则（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【解析】函数的定义域为，求导得，因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，因