2021年北师大版数学六年级下册全册章节知识点、达标训练附解析

北师大版数学六年级下册章节复习知识点、达标训练附解析

第一单元《圆柱和圆锥》

知识点一：面的旋转、圆柱和圆锥的特征

1.点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体，这就是“点、线、面、体”之

间的关系，这个关系可以简记为“点动成线，线动成面，面动成体”。

2.圆柱是由2个大小相同的圆面和1个曲面围成的，圆柱上下粗细均匀。圆锥是由1个

圆面和1个曲面围成的。

3.①圆柱的特征：（1）圆柱有两个底面和一个侧面；（2）两个底面是完全相同的圆，

侧面是一个曲面；（3）圆柱有无数条高，所有的高都相等。

②圆锥的特征：(1)圆锥有一个底面和一个侧面；(1)圆锥的底面是一个圆，侧

面是一个曲面；(3)圆锥只有一条高。

4.圆柱和圆锥的切面：

(1)把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同

的长方形。(2)把圆锥横切，每个切面是圆，但大小不同；沿底面直径纵切，切面是大

小相同的等腰三角形。

知识点二：圆柱的表面积

1.如果用S表表示圆柱的表面积，SM表示圆柱的侧面积，S欣表示圆柱的底面积，d表示

底面的直径，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，那么圆柱的表面积的计算，公式可以表

示为

S尸SM2s成或S表二TTdZ2n(d!2)?或S衣=2nrh+2TT产

2.在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有

的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。

3.用同一张长方形纸片可以围成底面积不同的两个圆柱。用宽作为圆柱的底面周长，所

围成的圆柱的底面积小；用长作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积大。

4.横截圆柱后求表面积时，侧面积不变，底面积会发生变化，变化的规律是每截一次增

加两个底面，截的次数比截成的段数少1。

知识点三：圆柱的体积

1.圆柱的体积二底面积X高，用字母表示是V二Sh。

2.计算一个圆柱的体积时，如果已知这个圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，

要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。

(1)已知圆柱的底面积S和高h,求圆柱体积的计算方法：V二Sh。

(2)已知圆柱的底面半径r•和高h,求圆柱体积的计算方法：V=nr2h

(3)已知圆柱的底面直径d和高h,求圆柱体积的计算方法：V=n(d+2)2h

(4)已知圆柱的底面周长C和高h,求圆柱体积的计算方法：V=n(C+n+2)2h

3.①物体完全浸没在水中，物体的体积等于升高的那部分水的体积。

©应用等量代换法可以将不规则物体的体积计算转化为圆柱的体积计算。

@利用体积不变的特性，应用转化的思想方法，把不规则的图形转化为规则的图形来

计算，能帮助我们解决许多生活中的复杂问题。

知识点四：圆锥的体积

1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。。

2.圆锥体积的计算方法：

（1）已知底面半径r和高h,求圆锥体积的方法：V』nrh；

3

（2）已知底面直径d和高h,求圆锥体积的方法：（d4-2）2h：

3

（3）已知底面周长C和高h,求圆锥体积的方法：V,n（C-Fx4-2）2h

3

3.圆柱和圆锥的体积与高分别相等，则它们的底面积之间的关系是Sm推二3sm壮；圆柱

和圆锥的体积与底面积分别相等，则它们的高之间的关系是h锥二3h柱。

金售能力达标百分训练

一、精挑细选（共5题；每题2分，共10分）

1.下面的圆柱与圆锥体积相等的是（）。（单位：厘米）

A.KQD.

A.AB.BC.CD.D

2.如图所示，把一张三条边长分别是5cm、12cm和13cm的直角三角形硬纸贴在木棒上，快速转动

木棒，转出的圆锥高是（）cm,底面半径是（）cm。

A.5,12B,12,5C.13,5D.12,13

3.用一块K12.56厘米、宽8厘米的K方形铁皮，配上下面（）圆形铁皮正好可以做成个无益

的捌柱形容器。

A.r=l厘米B.r=2厘米C.r=4厘米D.r=5厘米

4.把一个长10分米、宽6分米、高8分米的长方体木块，削成一个体积最大的圆柱。求这个圆柱体

积的算式是（）.

2

A.3.14x（£）2x8B.3.14X（2）xl0C.3.14x（5）2x6

222

5.一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥高的2倍，则圆锥的体积是圆柱体积的（兀

A.-B.-C.-D.2倍

236

二、判断正误（共5题；每题2分，共10分）

6.圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，它的侧面积和底面积都扩大到原来的3倍。（）

7.圆锥体积是圆柱的2.（）

3

8.一个圆柱底面周长是10米，高是1米，它的侧面积是31.4平方米,（）

9.甲、乙两个圆柱的体积相等，如果甲圆柱的高是乙圆柱的士，那么甲圆柱的半径则是乙圆柱的1.5

9

倍。

10.判断对错：

圆柱的侧面展开后一定是长方形。

三、仔细想，认真填（共9题；每空1分，共14分）

11.把下图所示的长方形铁皮卷成一个高2分米的圆柱形铁桶，铁桶的底面直径大约是分米,

加上底面后，铁桶的表面积约是平方分米，容积大约是升。（铁皮的厚度忽略不计）

6.28分米

2分米

12.一个圆锥和一个圆柱等底等高，体积相差60立方分米，圆柱的体积是o

13.如图，瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形杯子中，能倒满

杯。

14.下图中，圆锥的体积是cm3,圆柱的侧面积是cm2,体积是<

15.把一个底面半径是3厘米高18厘米的圆锥形橡皮泥捏成一个底面与圆锥底面相等的圆柱。圆柱

的高是厘米。

16.把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等，形状相同的两部分，表面积比原来增加了96平方厘

米，圆锥的高是6厘米，圆锥的体积是_______立方厘米。

17.一个长方形长5厘米，宽4厘米，如果以宽为轴旋转一周得到一个立体图形，得到的是,

这个图形的体积是________立方厘米。

18.一个圆柱形水池，内直径是8米，深2米，池上装有4个同样的进水管，每个管每小时注水6.28

立方米，四管齐开，小时可以注满水池？

19.如图，将侧面积是157平方厘米的圆柱体，切拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加

平方厘米.（兀取3.14）

四、计算能手（共2题；共17分）

20.（9分）计算下面图形的体积。（单位：厘米）

21.（8分）

（1）求圆柱的表面积和体积。

（2）求下面图形的体积。

3分米

2分aK

「6分米

五、解答问题（共9题；共49分）

22.（5分）一根长是2m、横截面直径是40cm的圆柱体木头浮在水面上，小明发现它正好有一半露

出水面。这根木头与水接触的面积是多少平方厘米?这根木头露出水面部分的体积是多少立方厘米？

/八

23.（8分）用绸带捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如下图），打结处正好是底面圆心，打结用去绸带长

30cmo

（1）捆扎这个蛋糕盒至少要用绸带多少厘米?

40cm

（2）如果要在这个盒子的整个侧面贴一张产品说明（如下图），那么圆柱形蛋糕盒的底面周长是

,圆柱形蛋糕盒的高是,圆柱形蛋糕盒的侧面积是

20cm2512cm2

125.6cm

24.（5分）某品牌牙膏出口处直径为6mm，小红每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，这样的一支牙膏可

用50次。该品牌牙膏推出新包装，总容量不变，只是将出口处直径改为5mm,如果小红还是按原来

的习惯，每次挤出1cm长的牙膏，那么一支新包装的牙膏小红能用多少次？

25.（5分）在日常生活中，我们要节约用水。常用的自来水龙头内直径是0.2dm,打开一个水龙头，

水的流速是5分米/秒，现有一个底面半径是1dm、高是3dm的圆柱形水桶，水龙头1分钟能将这个

水桶放满水吗？

26.（5分）一瓶老酸奶（如图①），奶瓶深20cm,内直径是8cm,瓶中的酸奶深10cm。把瓶盖拧紧

倒置放平，这时酸奶深15cm（如图②）。这个奶瓶最多能装多少亳升酸奶？

27.（5分）一个棱长是4分米的正方形容器装满后，倒入一个底面积是12平方分米的圆锥体容器里

正好装满。这个圆锥的高是多少分米？

28.（5分）把一个底面半径为1dm的圆锥形金属完全浸没在底面周长为12.56dm的装有水的圆柱玻

璃杯中，杯子的水面比原来上升了2cm（水没有溢出），求圆锥的高。

29.（5分）一个圆锥形沙堆，底面半径是2米，高是1.8米,每立方米沙重1.5吨。这堆沙重多少吨？

30.（6分）一个底面直径是40cm圆柱形水槽中装有水，水的高度是15cm。现放入一个底面直径为

20cm的圆锥形铁块（铁块完全浸入水中，且没有水溢出），水面上升了1cm,这个圆锥形铁块的高

是多少厘米？

J冷能力达标百分训练（答案解析）

一、精挑细选

1.C

解：圆锥的体积是：3.14x（12+2）2x15x^565.2立方厘米。

图形A与圆锥等底等高，所以，它与圆锥的体积不相等;

图形B的体积是：3.14x（44-2）2x15=188.4立方厘米；

图形C的底面与圆锥的底面相等，高是圆锥的2,所以，图形C的体积与圆锥的体积相等;

图形D的底面与圆锥的底面不相等，高是圆锥的;,所以，图形C的体积与圆锥的体积不相等；

故答案为：Co

思路引导：圆锥的体积"xTc/h；圆柱的体积=而抽据此作答即可。

2.B

解：转出的圆锥高是12cm,底面半径是5cm。

故答案为：Bo

思路引导：从图中可以看出，转动的这条轴是圆锥的高，另一条直角边是底面半径。

3.B

用铁皮的长做圆柱的底面周长

12.56:3.14+2

=44-2

=2（厘米）

用铁皮的宽做圆柱的底面周长

8-3.14-2^1.27（厘米）

所以用铁皮的长做圆柱的底面周长，配上半径是2cm的圆形铁皮，正好可以做成一个无盖的圆柱形

容器。

故答案为：Bo

思路引导：长方形相当于圆柱的侧面展开图，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆

柱的高，根据圆的周长公式：C=2兀r,那么r=C+2m据此进行判断即可,

4.C

解：求这个圆柱体积的算式是：3.14X（5）2x6。

故答案为：Co

思路引导：要使削成的圆柱最大，就要使圆柱的底面最大，底面最大直径是8分米，高是6分米，

根据圆锥的体积公式计算即可。

5.C

UA-=—・

兴面枳X**：：3326

故答案为：Co

思路引导：圆柱体积二底面积X2X高，圆锥体积二底面积X高.3,圆锥的体积+圆柱体积二圆锥的体积是

圆柱体积的几分之几。

二、判断正误

6.错误

解：圆柱的侧面积扩大3倍；圆柱的底面积扩大：3x3=9倍。

故答案为：错误。

思路引导：圆柱侧面积=底面周长x高；圆柱底面积=皿2。

7.错误

解：圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的:，所以本题在没有“等底等高”的条件是不成立的。

原题说法错误。

故答案为：错误。

思路引导：圆锥体积二底面积x高x；,圆柱体积二底面积x高，所以等底等高的圆锥体积是圆柱体

积的上

3

8.错误

解：10x1=10（平方米）

故答案为：错误。

思路引导：根据题意可知圆柱的侧面积=底面周长x高。

9.正确

解：因为体积相等，那么甲圆柱的底面积是乙圆柱的;倍，因为:x：=：,所以甲圆柱的半径是乙

圆柱的1.5倍。原题说法正确。

故答案为：正确。

思路引导：圆柱的体积二底面积x高，所以甲圆柱的底面积是乙圆柱的:倍,根据圆面积公式判断半径

的名数关系即可。

10.错误

圆柱的侧面展开后是长方形或是正方形，如果不是沿着圆柱的高展开的，，那么圆柱的侧面展开图可

能是平行四边形或不规则图形原题错误。

故答案为：错误。

思路引导：如果沿着圆柱的高展开的，圆柱的底面周长为圆柱侧面展开图的长，圆柱的高为圆柱侧面

展开图的宽，如果圆柱的底面周长等于圆柱的高，那么圆柱的侧面展开图就是正方形，如果圆柱的底

面周长与圆柱的高不相等，那么圆柱的侧面展开图就是长方形；如果不是沿着圆柱的高展开那么圆柱

的侧面展开图可能是平行四边形或不规则图形。

三、仔细想，认真填

11.2；15.7；6.28

解：6.28+3.14=2分米，所以底面直径是2分米；（2:2）2x3.14+6.28=9.42平方分米，所以铁桶的表

面积约是15.7平方分米；（2+2）2x3.14x2=6.28立方分米=6.28升。

故答案为：2；15.7；6.28o

思路引导：圆柱的底面直径:底面周长F；铁桶的表面积二圆柱的侧面积+圆柱的底面积，其中圆柱

的剜面积二圆柱的底面周长x圆柱的高，圆柱的底面积二（直径-2）2xn；圆柱的体积;（直径+2）2><7cxho

12.90

604-2=30（立方分米），30x3=90（立方分米）

故答案为:90。

思路引导：等底等高的圆柱体积等于圆锥体积的3倍，把圆锥体积看作1份，圆柱体积就有这样的

3份，体积相差2份，先求出1份的体积，再求3份，也就是圆柱的体积。

13.6

解：2!6,所以能倒满6杯。

故答案为：6o

思路引导：VxSx2h,V瓶=?Sxh,V—V瓶=2号=6,所以能倒满6杯。

14.10.8；75.36；75.36

解：圆锥的体积：9x3.6^3=10.8（立方厘米）

圆柱的侧面积：3.14x4x6=75.36（平方厘米）

圆柱的体积：3.14x（4:2）x（4:2）x6=75.36（立方厘米）

故答案为：10.8；75.36；75.36.

思路引导：圆锥体积=底面积X高.3；圆柱的侧面积=底面周长X高；圆柱的体积;圆柱的底面积X而。

15.6

解：18+3=6（厘米）

故答案为：6。

思路引导：圆柱的体积=底面积x高，圆锥的体积=底面积x高甘，等底等高的圆柱体积是圆锥体积

的3倍。体积和底面积相等的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍。

16.401.92

圆推沿底面半径：96:2x2:6:2=48x2;6;2=8（厘米）

圆锥的体积：^Sh=^x3.14X82X6=1X3.14x64x6=401.92（立方厘米）。

故答案为：401.92。

思路引导：表面积比原来增加的部分正好是两个等腰三角形的面积,三角形的底相当于圆锥底面直径,

三角形的高相当于圆锥的高。圆锥底面半径二增加的表面积-2x2：高+2,圆锥的体积三Sh。

17.圆柱；314

解：如果以宽为轴旋转一周得到一个立体图形，得到的是圆柱，它的体积是：

3.14x52x4

=3.14x25x4

=78.5x4

=314（立方厘米）

故答案为：圆柱；314。

思路引导：以宽为轴旋转一周得到一个底面半径是5厘米，高为4厘米的圆柱，圆柱的体积=底面积

x高，据此列式计算即可。

18.4

[3.I4X（84-2）2x2卜6.28X

=[3.14X16X2]4-6.28-J-4

=100.48^6.28^4

=16:4

=4（小时）

答：四管齐开，4小时可以注满水池。

故答案为：4.

思路引导：水池的容积（圆柱的体积）=圆柱底面积（/半径的平方，半径二直径的一半）x高，再用

水池的容积除以每小时注水的立方米数，求出开1个管道需要多少个小时注满水，再除以4即可得出

4个管道齐开需要多少小时注满水。

19.50

解：设底面半径是r厘米，高是h厘米，

3.14xrx2xh=l57

rh=157^6.28

rh=25

表面积比原来增加：2rh=2x25=50（平方厘米）。

故答案为：50o

思路引导：设底面半径是r厘米，高是h厘米，根据圆柱的侧面积公式列出一个方程，解方程求出“rh”

的情。拼成近似长方形后，表面积增加了两个相同长方形的面积，长方形的长是圆柱的底面半径r厘

米，宽是圆柱的高h厘米，两个长方形的面积就是“2rh”，由此即可确定表面积增加了多少平方厘米。

四、计算能手

20.（1）解:12x（44-2）2x3.14

=12x4x3.14

=48x3.14

=150.72（立方厘来）

（2）解：|xl2x（8:2）2X3.14

=4x50.24

=200.96（立方厘米）

（3）解：12X2X5+^X22X3.14X9

=120+4x3.14x3

=157.68（立方厘米）

思路引导：圆柱的体积;（底面直径X）2x7rxh；圆锥的体积（底面直径+2）2xnxh；长方体的体

积二长x宽。据此作答即可。

21.(1)解：表面积：3.14x4x6+3.14'(^)2x2

=75.36+25.12

=100.48(5?)

体积：3.14xG)2x6

=3.14x4x6

=75.36(cm3)

(2)解：3.14xX6--x3.14x(fx3

M3M

=3.14x6--x3.14x3

3

=3.14x(6-l)

=15.7(立方分米)

2

(1)表面积：3.14x4x6+3.14x(-2)x2

=12.56x6+3.14x4x2

=75.36+25.12

=100.48(cm2)

体积：3.14x(：)2x6

=3.14x4x6

=12.56x6

=75.36(cm3)

(2)3.14x(三)2X6--X3.14X(三)2x3

232

=3.14x6--x3.14x3

3

=3.14x(6-1)

=3.14x5

=15.7（立方分米）

思路引导：（1）已知圆柱的底面直径和高，求圆柱的表面积，用公式：S=7Tdh+兀（02x2,据此列式

计算；

要求圆柱的体积，用公式：V』（?）2h,据此列式计算。

（2）观察图意可知，要求这个图形的体积，用圆柱的体积-圆锥的体积:这个图形的体积，圆柱的体

积公式：VnyMh,圆锥的体积公式：V=jir,据此列式解答.

五、解答问题

22.解：底面半径：40+2=20（厘米），

2米=200厘米，

3.14x20x20x2+3.14x40x200

=2512+25120

=27632（平方厘米）

27632+2=13816（平方厘米）

3.14x20x20x200^2

=1256x10（）

=125600（立方厘米）

答：这根木头与水接触的面积是27632平方厘米，这根木头露出水面部分的体积,125600立方厘米。

思跖引导；直径-2=半径，圆柱的底面积-兀乂半径的平方，圆柱的侧面积=底面周长x高，圆柱的底面

积K2+圆柱的侧面积二圆柱的表面积，圆柱的表面积:这根木头与水接触的面积：

圆柱的体积二底面积x高，圆柱的体积:2=这根木头露出水面部分的体积。

23.（1）解：40x4+20x4+30

=160+80+30

=240+30

=270（厘米）

答：捆扎这个蛋糕盒至少要用绸带270厘米。

（2）125.6cm：20cm；2512cm2

（2）如果要在这个盒子的整个侧面贴一张产品说明（如下图），那么圆柱形蛋糕盒的底面周长是

125.6cm,圆柱形蛋糕盒的高是20cm,圆柱形蛋糕盒的侧面积是2512cm?。

20cm2512cm2

125.6cm

思路引导：(1)观察图可知，捆扎这个蛋糕盒需要的绸带长度=底面直径x4+高x4+打结用去的绸带

长度，据此列式解答；

(2)观察图可知，圆柱的侧面沿高展开，得到一共长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形

的宽是圆柱的高，长方形的面积是圆柱的侧面积，据此解答。

24.解：3.14x(6+2)2xlxl0x50-r[3.14x(5+2)2xlxlO]

=3.14x9x500引3.14x6.25x10]

=141304-196.25

=72(次)

答：那么一支新包装的牙膏小红能用72次。

思路引导：牙膏一次挤出的体积=◎(牙膏出口的直径+2)2x牙膏挤出的长度，本题根据一支新包装

的牙膏能用的次数=原来牙膏一次挤出的体积x原来一支牙膏可用的次数:现在牙膏一次挤出的体积，

代入数值计算即可。

25.解：1分钟流水的量=3.14x(0.2+2)2x(5x60)

=3.14x0.01x300

=9.42(立方分米)；

水桶的体积=3.14x12x3

=3.14x1x3

=9.42(立方分米)；

因为9.42=9.42,所以能装满。

答：水龙头1分钟能将这个水桶放满水。

思路引导：圆柱的体积=圆柱的底面积*圆柱的高，圆柱的底面积(圆柱的直径+2)2；1分钟流水

的量二水龙头的底面积x(水的流速xl分钟化成的秒数)：再根据圆柱的体积计算出水桶的体积，比

较即可得出答案。

26.解：酸奶的亳升数=3.14x(8+2)2xl0+3.14x(8+2)2x(20-15)

=3.14X42X(10+5)

=3.14x16x15

=50.24x15

=753.6（立方厘米）

=753.6亳升

答：这个奶瓶最多能装753.6亳升。

思路引导：根据题意可知，后面瓶子中的空余部分就是前面瓶子的空余部分，所以酸奶的亳升数就是

前面瓶子酸奶的体积加上后面圆柱形空余部分的体积，根据圆柱的体积二底面积x高，列式解答即可。

27.正方体容器的容积为：4x4x4=64（立方分米）

圆推体的高为：64X2+:=16（分米）

答：这个圆锥的高是16分米

思路引导：根据圆锥体容器的体积与正方体的体积相等，用正方体的体积除以底面积、和三分之一，

即可求出圆锥的高。

28.解：12.564-2^3.14=2（dm）2cm=0.2dm3.14x22x0.2x3^（3.14xl2）=2.4（dm）

思路引导：从题意可知，本题上升水的体积就是圆锥的体积，上升水的形状是一个底面周长12.56分

米、高2厘米的圆柱体，运用圆柱的体积;底面积X高，可以求出上升水的体积，然后运用圆锥体积

=底面积x高x；,即可求出圆锥的高。

29解：;x3.14x22xl.8=7.536（立方米）

7.536x1.5=11.304（吨）

解：:x3.14x22xl.8

=3.14x4x0.6

=7.536（立方米）

7.536x1.5=11.304（吨）

答：这堆沙重11.304吨。

思路引导：圆锥的体积=底面积x高xA,根据体积公式计算出体积，用体积乘每立方米沙的重

量即可求出总重量。

30.解：圆锥形铁块的高=3.14x（40^2）2XH[|X3.14X（20^2）2]

=3.14X400X1^x3.14x100]

=3.14x400：(-x3.I4xl00)

=1256+（ix314）

3

=1256x33314

=12（厘米）

答：这个圆锥形铁块的高是12厘米。

思路引导：圆柱的体积;圆柱的底面积（兀x底面半径的平方）x圆柱的高，圆锥的体积=：x圆锥底面的

面积（兀x底面的半径的平方）x圆锥的高，圆柱（圆锥）底面半径二圆柱〔圆锥）底面直径:2,本题

中圆柱形水槽水上升的体积=圆柱的底面积x水上升的高度，圆锥形铁块的高=圆柱形水槽水上升的体

积:（与圆锥底面的面积），代入数值计算即可得出答案。

北师大版数学六年级下册章节复习知识点、达标训练附解析

第二单元《比例》

O比例尺的意义和应用

_____________)—/❶比例的意义

f-------------

0应用比例尺画图

❷比例的基本性质

O图形的放大和缩小比例

、❸解比例

___________

O比例的应用/

知识点一：比例的认识

1.只有比值相等的两个比才能组成比例。

2.每个比例都有两个内项和两个外项组成，并且两个外项之积等于两个内项之积。用字

母表示：如果a:b=c:d或一=—,那么ad二be。

bd

3.比例与比的联系与区别：比例是一个等式，等号的两端都是比，且比值相等；比

表示两个数的相除关系

知识点二：比例的应用

1.根据外项之积等于内项之积的规律可以求比例中的未知项，就是解比例O

2.解比例实际上就是解方程，要做好检验

知识点三：比例尺

1.比例尺不是一把尺子，比例尺是一个比，是图上距离与实际，距离的比。

2.按呈现形式，比例尺可以分为：数值比例尺与线段比例尺。

按放缩关系，比例尺可以分为：放大比例尺与缩小比例尺。

3.比例尺的应用

图上距离：实际距离二比例尺或矩警=比例尺

头际距离

图上距离二实际距离X比例尺实际距离二图上距离;比例尺

4.应用比例尺解决问题时，图上距离与实际距离的单位要统一。

5.应用比例尺画图，要先标出比例尺，并根据比例尺计算出图上距离后再画图

知识点四：图形的放大和缩小

1.无论是将图形放大还是缩小，虽然图形的大小发生了变化，但是都要保持形状不变。

2.将图形按一定的比放大或缩小，长度变化，角度不变。

3.按一定的比放大或缩小图形，注意将水平方向与垂直方向的线段按同样的比放大或缩

小

售能力达标百分训练

一、精挑细选（共5题；每题2分，共10分）

1.一个底是5厘米，高是3厘米的三角形，按4：1放大，得到的图形面枳是（）平方厘米。

A.15B.60C.120

050100150200千米

2.把线段比例尺1-1一"1一""1一1改写成数值比例尺是（）。

A.1：50B.1：5000000C.1：20000000

3.某单位《普法知识问答》的总平均分为87分，男同志的平均分为85分，女同志的平均分为90分,

问此单位的男、女比例是多少？（）

A.三B.-C.-D.-

3423

4.一幅地图的比例尺是1：1000000,下列说法不正确的是（）

A.这是一个数值比例尺B.说明要把实际距离缩小1000000倍后，再画在图纸上

C,图上距离相当于实际距离的金D.图上I厘米相当于实际I000C00米

5.同时同地，一根长1米的标杆的影长0.6米，一名修理工要爬至48米高的电视塔上修理设备，他

竖直方向爬行的速度为0.4米/秒，则比人的影子移动的速度为（）米，秒.

A.0.56B.0.24C.0.48D.0.36

二、判断正误（共5题；每题2分，共10分）

6.把面积是36平方厘米的正方形按1：2缩小后面积是18平方厘米.（）

7.0.6、0.7、1.4、1.2四个数能组成比例.（）

8.在比例里，两个外项的积减去两个内项的积，差为0。（）

9.苹果个数的1等于梨的；,那么革果个数比梨多。（）

42

10.5：:和:分钟：:小时能组成比例。

三、仔细想，认真填（共8题；每空1分，共12分）

11.在一幅比例尺是1：200的图纸上，量得一个圆形花坛的直径是2cm。这个花坛实际的直径是

m,占地面积是o如果沿着这个花坛的四周修一条宽1m的环形小路，那么小

路的面积是°

12.在一幅比例尺是—^―的地图上，量得扬州至南京大约2.5厘米，那么扬州与南京大约相距

400000C

千米；扬州到上海的实际距离约是248千米，那么在这幅地图上扬州至上海的距离约是

________厘米。

13.已知a：b=c：d,现将a扩大到原来的3倍，b缩小到原来的;，c不变，d应______。比例式

仍然成立。

Q120240千京

14.1-----1-------1是比例尺，把它改写成数值比例尺是。

15.青年路高史某出口到长乐水世界的熨际距离是14千米，在一幅地图上量得这两地间的距离为7

厘米，这幅地图上量得长乐水世界到大洋湾生态旅游景区的距离为2.5厘米，长乐水世界到洋湾生态

旅游景区的实际距离是千米。

16.某校在原有基础（学生700人，教师300人）上扩大规模，现新增加教师75人。为使学生和教

师比例低于2：1,问学生人数最多能增加百分之o

17.X要加工一批零件，师傅和徒弟合干7.5小时后，已加工的零件和未加工零件数量的比为3：7,

如果师傅单独加工全部零件需要30小时完成，徒弟每小时只能加工6个，这批零件一共有

个.（用比例解）

18.图中，平行四边形被分成甲、乙、丙三个三角形，甲的面积比丙多24平方厘米，乙的面积与丙

的比是3：5,这个平行四边形的面积是平方厘米.

四、计算能手（共1题；共9分）

19.（9分）解比例。

(I)-：x=-：15⑵：途

五、综合提升（共1题；共8分）

20.（8分）根据图中提供的信息，完成下面问题。

（1）陈晨家与汽车站的图上距离是厘米（结果用整厘米表示），实际距离是米。

（2）小明所在学校在汽车站的正西方向1000米处，学校与汽车站的图跑离是厘米。

（3）请在上图中画出学校的位置，并标出名称。

六、解答问题（共10题；共51分）

21.（4分）在比例尺是1：40（X）000的中国地图上，笑笑量得A、B两地的图上距离是16cm。一辆汽

车平均每时行驶80km,上午8：30从A地出发，下午4：30能否到达B地？通过计算说明。

22.（4分）把1.5m长的竹竿直立在地面上，量得它的影长是1.2m,同时冒得同一地的一根旗杆的影

长是6.4m。这根旗杆高多少米？（用比例解答）

23.（5分）在一幅比例尺是1：2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm。

（1）甲、乙两地的实际距离是多少？

（2）如果在一幅地图上甲、乙两地的电离是15cm,那么这幅地图的比例尺是多少？

24.（4分）地球表面积约是51000万平方千米，地球陆地面积和海洋面积的比约是29：71.陆地

面积和海洋面积分别约是多少万平方千米？（按陆地面积、海洋面积的顺序填写）

25.（4分）秦奋从图书馆借来一本故事书.

①池原打算每天读10页，18天正好读完.可是借期只有12天，他每天巾均读多少页才能按借期读

完°

②实际读这本书时，他3天读了60页.照这样计算，读完这本故事书，实际读了多少天？

26.（7分）建筑工地用的混凝土是用水泥、黄沙、石子三种材料按照1：2：4搅拌而成的.

（I）搅拌这种混凝土140吨，需要水泥、黄沙和石子各多少吨？

（2）现在工地上有水泥7吨，黄沙10吨，石子20吨.如果要把石子全部用完，水泥够不够？够,

剩余多少吨？不够，还缺多少吨？

27.（4分）甲、乙两个仓库存有同样质量的货物，如果从甲仓库运15吨货物到乙仓库，那么甲、乙

两个仓库现在存货质量的比是2：3。甲、乙两个仓库原来各存有货物多少吨？（用比例解答）

28.（5分）在比例尺是1：250（X）000的中国地图上，量得北京到杭州的距离是5cm。

（1）北京到杭州的实际距离是多少？

（2）杭州到北京的高铁，平均速度为280千米/时，爸爸7：48从杭州乘高铁出发，大约什么时候能

到之北京？

29.（4分）下面是小华坐出租车从家去展览馆的路线图.出租车在3千米以内按起步价10元计算,

以后每增加1千米车费就增加1.4元.按图中提供的信息算一算，小华一共要花多少元车费.

30.（10分）学校要修建一个圆柱形的水池，在比例尺是1：200的设计图纸上，水池的半径为3厘

米，深为2厘米。

（1）按图施工，这个水池的实际应该挖多少米深？

（2）按图施工，这个水池的能装下多少立方米的水？

（3）为了加固和美观，施工时给水池底部和水池壁都铺了水泥，且平均厚度是10厘米，然后再用油

漆将新铺水泥的表面粉刷一遍，请问粉刷部分的面积是多少平方米？（结果保留一位小数）

J丈能力达标百分训练（答案解析）

一、精挑细选

1.C

解：(5x4)x(3x4)

=20x124-2

=20x6

=120（平方厘米）

故答案为：C.

思路引导：按4：1放大，意思就是三角形的底和高都扩大了4倍，扩大后的三角形的底乘以扩大后

的三角形的高除以2就是扩大后三角形的面积。

2.B

1cm：50km=lcm：5000000cm=1：5000000

故答案为：Bo

050100ISO200千米

思路引导：线段比例尺1一■-1~1~1~1表示：图上1cm代表实际50km,再根据比例尺二

图上距离：实际距离，换算单位，即可求得正确答案。

3.C

解：假设此单位有男同志x人，女同志y人，所以87(x+y)=85x+90y,解得2x=3y,所以x：y=3：

2,所以此单位的男、女比例是二

■

故答案为：Co

思路引导：本题可以利用方程作答，即设此单位有男同志X人，女同志y人，题中存在的等量关系

是：总平均分x男、女同志的人数之和=男同志的平均分x男同志的人数+女同志的平均分x女同志的人

数，据此解得x和y的关系式，进而求得此单位的男、女比例。

4.D

解：1000000X00000=10(千米)

故答案为：Do

思路引导：比例尺是1：1000000,是一个数值比例尺，说明图上距离1厘米，代表实际距离1000000

厘米；1000000厘=10千米；所以这个比例尺是缩小100(X)00倍后，再画在图纸上的；也就是说图上

距离相当于实际距离的二一。

1000000

5.B

解：设此人的影子移动的速度为x米/秒.

0.6：l=x：0.4,

x=0.6x0.4,

x=0.24,

答：此人的影子移动的速度为0.24米/秒.

故逃：B.

思路引导：因为在时间相同时，速度比等于路程的比，所以再根据在同时同地，影子的长度与物体的

实际长度的比值一定，所以影子的长度与物体的实际长度成正比例，由此列出比例解答即可.

二、判断正误

6.错误

解：36“=9,把面积是36平方厘米的正方形按1：2缩小后面积是9平方厘米。原题说法错误。

故答案为：错误。

思路引导：正方形按1：2缩小，面积就会按1：4缩小，因此用原来的面积除以4即可求出缩小后

的面积。

7.正确

0.6x1,4=0.84

0.7x1.2=0.84

0.84=0.84

所以0.6、0.7、1.4、1.2四个数能组成比例，原题说法正确。

故答案为：正确。

思路引导：判断4个数能否组成比例的方法是：最大的数和最小的数相交的积等于中间两个数字相

乘的积，那么这四个数能组成比例，据此解答。

8.正确

在比例里，两个外项的积减去两个内项的积，差为0,此题说法正确。

故答案为：正确。

思路引导：比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积，两个外项的积减去两个内项的

积，差为0,据此判断。

9.错误

解：设苹果有x千克，梨有y千克，可得：

所以：x：y=-：(-X4)：1x4)=2：3,即苹果比梨少。

J24.24

故答案为：错误。

思路引导：苹果个数的湃于梨的:,可得,依据比例的基本性质可得，苹果比梨少。

10.错误

解：5：2=—；

a分钟：三小时二a分钟：3x6o分钟M20=—；

53535100

因为善高'

所以5：三和扬钟：三小时不能组成比例，即错误。

553

故答案为：错误。

思路引导：分别计算出两个比值，即用比的前项除以后项得出的商，注意带单位的比值的求法(先将

单位统一，再求比值)，若两个比值相等则可以组成比例，若两个比值不相等则不能组成比例。

三、仔细想，认真填

11.4；12.56；15.7

解：2+1-400(cm)；400cm=4m；

20C

4+2=2(m)；

3.14x22

=3.14x4

=12.56(m2)；

2+1=3(m)；

3.14x(322)

=3.14x(9-4)

=3.14x5

=15.7(m2)o

故答案为：4：12.56；15.7o

思路引导：实际距离二图上距离;比例尺；圆的面积="半径2；环形小路的面积="(RJ2)。

12.100；6.2

2.5-r---=2.5x4000000=10000000(厘米)=100(千米),

400000C

248千米=24800000厘米，24800000x—-=6.2(厘米)

400000C

故答案为：100；6.2

思路引导：实际距离:图上距离;比例尺，图上距离:实际距离x比例尺。

13.缩小到原来的三

9

解：3^=9,所以d应缩小到原来的土，这样比例式依旧成立。

39

故答案为：缩小到原来的工

9

思路引导：将a扩大到原来的3倍，b缩小到原来的:,就是将等号左边的比值扩大3三=9倍，要

使比例式依旧成立，那么等号右边的比值也要扩大9倍，比的前项不变，那么只能是把后项缩小到原

来的士

9

14.线段；I：1200(X)00

解：题干是线段比例尺，把它改写成数值比例尺是：

1厘米：120千米

=1厘米：12000000厘米

=1：12000000

故答案为：线段；1：12000000。

思路引导：一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。

155

解：设长乐水世界到洋湾生态旅游景区的实际距离是x千米。

14：x=7：2.5

7x=14x2.5

x=5

故答案为：5o

思路引导：在同一副地图上，青年路高架某出口到长乐水世界的实际距离：长乐水世界到洋湾生

态旅游景区的实际距离=青年路高架某出口到长乐水世界的图上距离：长乐水世界到洋湾生态旅游景

区的图上距离。据此列出方程解答即可。

16.七

解：设增加学生的人数为x人，则有

(700+x)：(300+75)<2：1

7oo+*V2

375

700+x<750

x<750-700

x<50

学生增加的百分数=x+700<50-700=7.1%

所以学生人数最多能增加百分之七。

故答案为：七。

思路引导：设增加学生的人数为x人，根据“(原来学生的人数+增加的学生人数)：(原来老师的

人数+增加的老师人数)〈学生和老师的比2：1”即可列出不等式，利用比与除法的关系解出不等式x

的取值范围；再利用学生增加的百分数=增加学生的人数♦原来学生的人数即可得出答案。

17.900

解：设这批零件一共有x个，

(需%*75+7.5x6):k一(4%x7.5+7.5x6)]=3:7

Qx+45):(x--45)=3:7

3GL45)=7①+45)

-x-135=-x+315

44

4-x--4x=315+135

-x=450

・.

x=900

故答案为：900

思路引导：设这批零件一共有x个；已加工的个数：(/为X7.5+7.5x6),用总数减去已加工的

个数就可以表示出未加工的个数，根据已加工的与未加工的个数比是3:7列出比列解答即可.

18.128

解：(24+24xW)x2,

3

=64x2,

=128(平方厘米)；

答：平行四边形的面积是128平方厘米

故此题答案为：128.

思路引导：由图意可知：甲的面积二乙的面积+丙的面积，甲比丙多的部分就是乙的面积，乙的面积就

是24平方厘米，由此可以求出丙的面积，进而可求出平行四边形的面积.此题主要考查等底等高的

图形面积大小及比的意义，将数据代入公式即可求得结果.

四、计算能手

19.(1)-：X/：15

55

解：-x=-xl5

55

-x=12

5

x=12-^

5

x=20

(2)-=—

20.8

解：2x=3x0.8

2x=2.4

x=2"2

x=1.2

(3)-/三"-

652

解：-x=-x-

562

-x=—

X二在

x=-L

24

思路引导：比例的基本性质，在比例里，两个内项积等于两个外项积。

五、综合提升

20.(1)3；750(2)4

解:(1)陈晨家与汽车站的图上距离是3厘米，实际距离是：250x3=750(米)；

(2)图上距离是：100:250=4(厘米)。

思路引导：(1)用直尺测量出两地的图上距离；比例尺表示图上1厘米相当于实际250米，用图上

距离乘250即可求出实际距离：

(2)用实际距离除以250即可求出图上距离；

(3)图上的方向是上北下南、左西右东，根据图上的方向和图上距离确定学校的位置即可。

六、解答问题

21解：16^---=64000