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线性代数 主要内容有：n阶行列式的定义和性质；行列式按行（列）展开的方法；行列式的计算；用克拉默（Cramer）法则求解一类非齐次线性方程组 及由此得到的方程个数与未知量个数相等的齐次 线性方程组有非零解的必要条件。第1章 行列式2阶行列式用于解二元一次联立方程组1.1 n

阶行列式的定义和性质利用消元法可得：1.1.1

二、三阶行列式记作例1.1

求解二元线性方程组三元一次联立方程组若其解为其中Dj(j=1,2,3)是三阶行列式D1=D2=D3=3阶行列式可以用下列方法记住（称为沙路法）其中M11=,M12=

,M13=

D==(1.4)D=a11M11−a12M12+a13M13=a11A11+a12A12+a13A13.例1.2

计算三阶行列式

解对n(n>3)阶行列式,不能用上图所示的沙路法来定义定义1.1

由n2个数aij(i,j=1,2,

,n)组成的n

阶行列式是一个算式. 其中：aij称为行列式的第i行，第j列的元素;当n=1时，D＝a11,当n

2时1.1.2n

阶行列式的定义（递归法）D=

M1j称为a1j的余子式，Mij是划去D的第i行第j列后的n

1阶行列式A1j=(-1)1+j

M1j称为a1j的代数余子式,

M1j称为a1j的余子式，A1j=(-1)1+j

M1j称为a1j的代数余子式.n阶行列式是由n2个元素aij

(i,j=1,2,…,n)构成的n次齐次多项式（称为展开式），二阶行列式的展开式含2！项，三阶行列式的展开式含3！项，n阶行列式的展开式含n！项，其中每项都是不同行，不同列的n个元素的乘积，全部的n！项中带正号的项和带负号的项各占一半。

例1.3n阶对角行列式，上、下三角行式例1.4

计算Dn=Dn=(

1)n

1

a1

Dn-1=按定义再递推之=(

1)n

1a1

(

1)n

2

a2

Dn-2=(

1)n(n

1)/2a1a2

an

1an1.2

n阶行列式的性质行列式对行和列有相同的性质(下面主要用行讲)。性质1行列式D的行与列依次互换，则行列式的值不变.性质2行列式对任一行(或列)按下式展开，其值相等，即 性质3 （线性性质）推论：若行列式有一行元素全为零，则行列式的值=0.（k=0）性质4若行列式有两行元素相同，则行列式的值=0用归纳法证明：n=2成立。设命题对n-1阶行列式成立，对第i,j

行相同的n

阶行列式D，对第k（ki,j）行展开,得推论：若行列式有两行元素成比例，则行列式的值=0。性质5将行列式的某一行乘以常数加到另一行(对行列式作倍加行变换),则行列式的值不变。性质6 若行列式两

行对换，行列式的值反号，即证：将左边第j行加到第i行；再将第i行乘(

1)加到第j行.于是，将上式第j行加到第i行,再提出第j行的公因子(

1)，即得左边=右边.性质7

行列式某一行元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即证明：把行列式D的第i行换成第j行=0是克罗内克(Kronecker)符号。两式可合写为：同理，对列展开，有计算方法：利用定义或性质。上、下三角行列式均等于其主对角元素的乘积。

例1.51.3n

阶行列式的计算解法1解法2

因为第1行只有2个非0元素，所以对第1行展开，再计算两个3阶行列式（3阶行列式可以化为上三角行列式或用沙路法计算），得例1.6

计算4阶行列式.第4列化为只有一个非0元素，再对第4列展开得第1列乘2、(−1)分别加到第2、3列，对第1行展开，得例1.7 计算n阶行列式解 对第n列（或第n行）展开定义：(i,j=1,2,…,n)，则称其为反对称行列式，其中

例1.8证明:奇数阶（n为奇数）反对称行列式的值为0.证 设利用D=DT,再每行提出一个公因子（−1），n是奇数，由D=−D,得D=0. 例1.9 证明把左端行列式的第2,3列加到第一列，提出公因子2。证法一:将第2,3列加到第一列，提出第2,3列的公因数(

1),

再作两次列对换把第一列乘(

1)加到第2,3列。法二:用性质3，将左式表示成23个行列式之和(n阶可以表示成2n个)，=右式对换2次拆成8个，其中有6个行列式各有两列相等而等于零例1.10计算n阶行列式Dn的每行元素之和均为a+(n

1)b，把各列加到第一列，提出公因子a+(n

1)b，将第一行乘(

1)加到其余各行，化为上三角行列式,解例1.11计算n阶行列式把第2，3，…，n列的元素都加到第1列，再对第1列展开，最后利用下三角行列式的结果，得到例1.12证明n阶范德蒙(Vandermonde)行列式。(i

j

时，

xi

xj)证明用数学归纳法。n=2成立.假设对n-1阶命题成立.从第n行起,依次将前一行乘(

x1)加到后一行对第1列展开提出公因子是x2,

,xn的n

1阶范德蒙行列式，由归纳假设得例1.13AB

CABkkmm证明：证明：对k归纳.k=1,对第一行展开假设

A

为k1阶时命题成立。对k阶A

的第一行展开。归纳假设将A和C所在的每一列依次与其前面的m列逐列对换(共对换k

m次)。使之化为主对角线的形式.例1.13

可以简记为例1.14计算n阶行列式解第2行与第n行互换，第2列与第n列互换。例1.15

计算n阶三对角行列式解 按Dn的第1行展开，M12再对第1列展开得反复利用递推公式

Dn=

Dn

1+

n

Dn

1

=

Dn

2+

n

1

Dn

2

=

Dn

3+

n

2

D2

=

D1+

2

2

n-2

+)

D1=

+

n-1

D1

=

n

1

+

n

11.4克拉默(Cramer)法则

若所有的常数项均为零，称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组。当m=n时，称为n元线性方程组。满足方程的有序数组是方程组的一个解。方程组的解的全体称为它的解集合。两个方程组有相同的解集合，就称它们为同解方程组。其中 称为方程组的系数， 称为常数项。下标i，j表示它是第i个方程，第j个未知量xj的系数定理1.1：设线性齐次方程组其系数行列式方程组有唯一解,

0时，j=1,2,

,n

其中证：其中Akj是D中akj的代数余子式(1)验证满足方程组i=1,2,

,n

交换两个和号的顺序=bi(i=1,2,

,n)(2)证解唯一(2)证解唯一.设（c1,c2,,cn）是满足方程组的解。

A1j+)

A2j

Anj

若齐次线性方程组其逆否命题是：若方程组有非零，则D=0。的系数行列式D0,则

x1=x2

==xn=0.即解唯一。定理1.2

例1.16求一个二次多项式f(x)，使得

f(1)=0,f(2)=3,f(−3)=28.解设所求多项式为f(x)=ax2+bx+c.则以a,b,c为未知量的非齐次线性方程组，其系数行列式有唯一解，计算故f(x)=2x2−3x+1.

*例1.17证明：平面上三条不同的直线交于一点的充分必要条件是a+b+c=0.证必要性。设所给三条直线交于点（x0,y0）,则（x0,y0，1）是方程组的一个非零解所以，a+b+c=0.

充分性，设a+b+c=0，得到方程组存在非零解，即三条直线交于一点。*例1.18求四个平面aix+biy

+ciz+di=0(i=1,2,3,4)相交于一点(x0,y0,z0)的充分必要条件。解将平面方程写成aix+biy

+ciz+dit=0其中

t=1四平面交于一点，即4元(x,y,z，t)的线性方程组有非零解(x0,y0,z0,1)其充分必要条件是：系数行列式第一列乘(1)分别加到第2,3,4列,*例1.19解：再将第2列加到第4列.

本章主要内容有：n阶行列式的定义和性质；行列式按行（列）展开的方法；行列式的计算；用克拉默（Cramer）法则求解一类非齐次线性方程组 及由此得到的方程个数与未知量个数相等的齐次 线性方程组有非零解的必要条件。第2章 矩阵2.1高斯消元法求解n

个未知元,m个方程的线性方程组（m

n）一般用代入消元法或加减消元法，化为容易求解的同解方程组.由高斯消元法引出矩阵概念,特殊矩阵及其基本性质.重点是矩阵的运算：加法，数量乘法，乘法，转置及其运算性质，还有可逆矩阵的逆矩阵和矩阵的初等变换，最后是分块矩阵及其运算。④+⑤（消去x2）得

x3=2 ⑥例1用加减消元法解三元一次方程组

−x1

2x2

5x3

2 ①

−

2x1

3x2

4x3

11 ②

4x1

7x2

17x3

7 ③

解:(

2)

①+②;4

①+③（消去x1）得

7x2

14x3

7 ④

x2

3x3

1 ⑤ 将x3=

2代入④得x2=

5,将它们代入①得x1=

2。所以原方程组的解为x1=

2，x2=

5，x3=

2。(阶梯形)方程组①，④,⑥与原方程组是同解方程组。

x1

2x2

5x3

2①

7x2

14x3

7 ④

x3=2⑥方程组的系数排成的数表：定义2.1数域F中的m

n个数aij(i=1,

,m;j=1,

,n）排成m行n列的数表，称为数域F上的一个m

n

矩阵。简记为(aij)m

n，其中aij叫做矩阵第i行，第j列的元素。aij都是零的矩阵称为零矩阵。记作0。当m=n时，称为方阵（或n阶矩阵）。a11,a22,

,ann叫做方阵的主对角元，n

个未知元m个方程的线性方程组(A,b)=A称为方程组的系数矩阵，（A,b）称为增广矩阵。例2.2

求解线性方程组①

c

:第①行乘常数c，③+②

k第②行乘k加到第③行,③

⑤第③行与第⑤行对换。对增广矩阵（A,b）作：(A,b)=---②+①

(

2)

③+①

(

3)

④+①

(

1)

③+②

(

2)

--------④+②

(

2)

④

(

1/3)---③

④①+②--------②+(

2)

③--------代入（*）可解出全部解：x1=1+k1

7k2,x2=k1,x3=2

4k2,x4=

1+3k2,x5=k2

(k1,k2为任意常数)(行简化阶梯形矩阵)对应的同解方程组（*）三个方程，五个未知数，任取x2=k1,x5

=k2x=(x1,x2,x3,x4,x5

)T=(1+k1

7k2,k1,2

4k2,

1+3k2,k2

)T。当方程组中常数项b1=b2=

=bm=0时，称为齐次线性方程组，否则叫非齐次线性方程组。=(k1

7

k2,k1,

4

k2,3k2,k2)（k1,k2为任意常数）。把例2的右边改为零得到的齐次线性方程组的行简化阶梯形矩阵和同解方程组为：x=(x1,x2,x3,x4,x5)T

其中(k1,k2为任意常数)。和其全部解为：方程组的解也可以写成向量形式(称为解向量)组无解(称为不相容方程组)；有解的方程组称为相容方程组。x1

x2

x3

1 ①x1

2x2

5x3

3 ②2x1

3x2

4x3

7 ③例2.3

判断下列线性方程组是否有解？解：③+②(1)①+②(1)③+①(2)

②+①(1)最后一行表示的方程是0x1

0x2

+0x3

3,显然无解，故原方程高斯消元法在消元过程中，会揭示出多余方程和矛盾方程。三种初等行变换: 倍乘变换:以非零常数c乘某一行（或某一个方程） 倍加变换:将某一行乘以常数k加到另一行 对换变换将某两行对换位置.

矩阵A经过初等行变换化为矩阵B，记作A

B.阶梯形矩阵是： 矩阵A的前r行为非零，其余行全为零，且第i行（i=1,2，…,r）的第一个非零元所在的列为ji,满足 j1<j2<…<jr

,行简化阶梯阵是： 阶梯形矩阵A中，每一个非零行的第一个非零元 均为1，其所在列的其余元素都等于零.一般线性方程组的增广矩阵经消元变换可化为阶梯形矩阵。为便于讨论，不妨设化为行简化阶梯形矩阵：

其中cii=1,(i=1,

,r)。在有解的情况下,：

(1)当r=n时，有唯一解：x1=d1,

x2

=d2

,

,

xn=dn;

(2)

当r<n时，有无穷多个解.

方程组(*)有解的充要条件是dr+1=0。其余的xr+1,

xr+2,

,xn

取作自由未知量。,代入(*)式所对应的方程组即可求得全部解 x=(x1,

x2,

,xn.)。齐次线性方程组总是有解的.r=n时，只有零解，即x1=

=xn=0;当r

n时，有无穷多解，求解的方法同上。(*)式中每行第一个非零元cii(i=1,

,r)所在列对应的未知量x1,

x2,

,xr

设为基本未知量;令

xr+1=k1,xr+2=k2,,

,xn=kn-r

为任意常数例2.4求齐次线性方程组的一般解。解： A=自由未知量分别取x2=k1，x5=k2,代入同解方程组得到x1=k1

7k2,x3=-4k2,x4=3k2,一般解为线性方程组的解的基本问题是：有解的条件（对于齐次方程组则是有非零解的条件）以及解的结构。如果齐次线性方程组中m<n

(即方程个数小于未知量个数)

，则必有无穷多个非零解。解的表达式不是唯一的，但无穷多个解的集合是相同的。

用不同的消元消元步骤将增广矩阵化为阶梯形矩阵时，其形式不是唯一的，但阶梯形矩阵非零行的行数是唯一的.若方程组有解，解中任意常数的个数是相同的；这些结论要用到矩阵的秩和 向量组的线性相关性的理论。2.2矩阵的加法数量乘法乘法定义2.4设

F,

与A的数量乘积为：

A=(

aij)

m

n，

B=(

bij)

m

n.，A

B=A+(

B)2.2.1 矩阵的加法与数量乘法定义2.3(1)设A=(aij)m

n,B=(bij)m

n,

则A与B之和为：

A+B=(aij+bij)

m

n，A,B必须同型，都是m行，n列加法满足：A+B=B+A(交换律); (A+B)+C=A+(B+C)(结合律);

A+0=A(0为零矩阵);

A+(

A)=0数乘满足:1A=A;

(

A)=(

)A; (

+

)A=

A+

A;

(A+B)=

A+

B（

,

为数）.矩阵的加法与数乘满足以下规则：例2.5求矩阵X,使解

定义2.5

设A=(aij)p

m,B=(bij)m

n,乘积A

B=C=(cij)是一个p

n型矩阵，它的第i行，第j列元素为：

当且仅当A

的列数等于B

的行数时，乘积A

B

才有意义，否则A不能左乘B。2.2.2矩阵的乘法这是A的第i

行和B

的第j

列中对应的m个元素的乘积之和。例2.6例2.7

线性方程组

用矩阵等式表示为其第i个方程：线性方程组可以Ax=b如果又已知y与x的关系为记作Bn

sys

1=xn

1

其中B=(bij)

ns,得到把y与b的关系式:其中Ax=A(By)=b,

得(AB)y=b,记C=(Am

n

Bns),.即矩阵表示式：Cmsys

1=b

m

1,这里C=

(cij)ms,其中计算AB，AC和BA，其中例2.8

解：注意（1）矩阵的乘法不满足交换律，一般AB

BA。AB有意义，BA不一定有意义， （例如，A1

2，B23

，BA没有意义）。即使AB，BA都有意义，也可能不等.也有相等的，如当AB≠BA时，称AB不可交换；当AB=BA时，称AB可交换。显然，AB=BA时，A，B必须是同阶方阵。由AB=AC

和A

0，不能推出B=C。因为AB=AC

AB

AC=0分配律

===A(B

C)=0由此，不能由A

0，推出B=C。注意（2）矩阵的乘法不满足消去律A

0，B

0，也有可能AB

=

0。矩阵乘法满足以下运算律：(1)

(AB)=(

A)B=A(

B);(

是数量)(3)A(B+C)=AB+AC(左分配律);(4)(B+C)P=BP+CP(右分配律);(2)(AB)C=A(BC); (结合律)(5)若A，B均为n阶方阵,则

AB

=

A

B（证明见后面的定理2.1）证明(2)：(AB)C=A(BC) 设A=(aij)m

n，B=(bij)n

p，C=(cij)p

r，则(AB)C与A(BC)都是m

r矩阵。所以(AB)C=A(BC)。交换和号顺序只须证明：

i=1,

,m,

j=1,

,r,有2.2.3几个特殊的n阶矩阵及其乘法运算。n阶单位阵I(或E)

数量阵

I(

是数量)n阶单位阵I,及数量矩阵

I与任意n阶矩阵A相乘可交换，即(

E)A=A(

E)=

A.

1=diag(a1,a2,

,an),

2=diag(b1,b2,

,bn),

1

2=

2

1=diag(a1b1,a2b2,

,anbn).常见的特殊矩阵（方阵）对角阵

两个对角阵

1,

2乘积仍为对角阵，即简记为diag(

1,2,…,n)对角阵diag(a1,a2,…，an)左乘矩阵A=(aij)，等于A的第i行每个元素都乘以ai右乘A=(aij)等于A的第i列乘以ai（i=1,2,…，n），即==上(下)三角矩阵A（B）的定义:在主对角线之下(上)的所有元素都是零，即当i>j

时,

aij=0(i<j时,aij=0)的矩阵,称为上(下)三角矩阵.例2.9

两个上(下)三角阵A与B的乘积AB仍是上(下) 三角阵，且其主对角元(AB)ii=aiibii

.C=AB=(cij)n×nC为上三角阵=0+aiibii=aiibii当k,m,n为正整数时，

AkAm=Ak+m；(Ak

)m=Akm;2.2.4

方阵的幂和方阵的多项式Ak=AA…Ak个p(A)=amAm+am

1Am

1+

+a1A+a0E称为矩阵A的多项式，其中：ak

R(实数集),(k=0,1,2,

,m),A0=E.若p(x)是x的m次多项式:

p(x)=amxm+am

1xm

1+

+a1x+a0,

R时，有二项式定理：当A,B为同阶方阵时，若AB

BA,则若AB

BA,则(AB)k

AkBk;若AB

=BA,则(AB)k

=

AkBk.若f(x),g(x)都是多项式，则f(A)g(A)=g(A)f(A)为组合数.(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2(A+B)(A

B)=A2

AB+BA

B2A2+2AB+B2

A2

B2但其逆不真。但也有可能(AB)k

=

AkBk.定理2.1设A=(aij)n

n,B=(bij)n

n,则|AB|=|A||B||A||B|=证

a11

a12

a1nj=1,2,…,n照此，将A的各行都化为0。2.2.5方阵乘积的行列式|A||B|定义2.11 把矩阵A=(aij)m

n的行列依次互换得到n

m矩阵,称为A的转置矩阵,记作AT=(aTji)n

m

,其中 aTji=aij

,(i=1,2,

,m;j=1,2,

,n),即例2.10求AT和BT，其中2.3矩阵的转置对称矩阵

解

2．矩阵的转置运算满足以下运算律:(1)(A

T)T=A;(2)(A+B)T=A

T+B

T;(3)(k

A)T=k

A

T(k是数量);(4)

(A

B)T=B

TA

T;(5)AT

=

A

.(A1A2

An)T=AnT

A2TA1证明：(4)(AB)T=BTATj=1,

,s;i=1,

,m.设A=(aij)m

n

,AT=(aTji)n

m

,B=(bij)n

s

,BT=(bTji)s

n则(A

B)T与BTA

T都是s

m矩阵，且故(A

B)T=BTAT。定义2.12

设A=(aij)n

n

,如果

i,j=1,

,n,

aji=

aij

,则A称为反对称矩阵。aji=aij

,则A称为对称矩阵;n阶为反对称矩阵A的主对角元都为零，因为由aii=

aii即得

aii=0(i=1,2,

,n).必须注意，两个对称矩阵A和B的乘积不一定是对称矩阵。因为，(A

B)T=BTAT=B

A而B

A不一定等于AB

.例2.11设A,B为n阶方阵，且A

是对称矩阵。证明BTAB

也是对称矩阵因为ATA是n阶矩阵,且(ATA)T=AT(AT)T=ATA;

同理AAT是m阶对称矩阵。例2.12若A为m

n矩阵,则ATA和AAT都是对称矩阵。A为对称矩阵的充要条件是AT=A;

A为反对称矩阵的充要条件是AT=

A

证

因为A

是对称矩阵，即AT=A

，于是，(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTATB=BTAB 所以，BTAB

为对称矩阵。

定义2.13 设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B使得

BA=AB=I,则称矩阵A是可逆的（非奇异的，或非退化的）,

称B

为A的逆矩阵。如单位矩阵I是可逆的，且I

1=I,因为I·I=I。2.4可逆矩阵2.4.1逆矩阵的定义定理2.2

若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。证即BA=AB=CA=AC=I，则B=BI=B(AC)设B,C都是A的逆矩阵，=(BA)C=IC=C.B

为A的逆矩阵，记作B=A

1。定义2.14设A=(aij)n

n,

Aij是detA

中aij的代数余子式,称cof

A=(Aij)n

n

为A的代数余子式矩阵，其转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。即A*=(cofA)TAA*=A*A=|A|I注意：2.4.2矩阵可逆的充要条件和求逆公式充分性:用构造性证法。若

A

0,由定理2.3矩阵A可逆的充要条件是

A

0.证:必要性若A可逆，则存在B使得AB=I,于是，

AB

=

A

B

=

I

=1,故

A

0。AA*=A*A=|A|I，得所以，推论1设A，B都是n阶矩阵,且AB=I,

则BA=I,即A，B

都可逆，并互为逆矩阵。证：由AB=I,得

AB

=

A

B

=

I

=1,即A，B

都可逆。AB=IA1(AB)A=A1IA=I,即BA=I。故

A

0，

B

0,上（下）三角阵可逆的充要条件是主对角元全部不为零。推论2A是主对角元都是非零数的对角阵，即注意：又如A=diag(a1,a2,…,an),其中a1a2…an≠0.由得例2.13

其中Aij是|A|中aij的代数余子式证明：|A|0时,|A*|=|A|n-1.证:设A

A*=C=(cij),其中

|A|

|A*|=

|A

A*|=

|A|n由|A|0，得,|A*|=|A|n-1设A=(aij)n

n,A*是的伴随矩阵二阶矩阵A=可逆的充要条件，

是

A

=adbc

0。例2.14由A11

=(

1)1+1d,

A12

=(

1)1+2c,

A21

=(

1)2+1b,

A22

=(

1)2+2a,及A*=得例2.15

矩阵

是否可逆？若可逆,求其逆矩阵。解：A11=

3,A12=

4,A13=5,A21=3,A22=0, A23=

1,A31=1,A32=4, A33=

3,

A

=4

0,A可逆(非奇异)。

C

=0,故C不可逆;例2.16

线性方程组AX=b。其中b=(1,2,0)T.问方程组是否有解？若有解，求其解。解由例2.15知，A可逆，又逆矩阵唯一。在方程组AX=b两边都左乘A

1,即A

1

(AX)=A

1

b2.4.3可逆矩阵的运算性质（A,B

为n阶可逆矩阵，数k

0)

A*

=

A

n-1

(A

1)

1=A

(k

A)

1=k

1A

1

(A

B)

1=B

1A

1

(AT)

1=(A

1)T

A

1

=

A

1(A1A2

Ak)

1=Ak

1

A2

1

A1

1.

´(Ak)

1=(A

1)k＝A

k

´´(A1,A2

,

,Ak均可逆);证：(kA)(k

1A

1)=(kk

1)(AA

1)=1I=I证：(AB)(B

1A

1)=A(BB

1)A

1=AIA

1=AA

1=I证：因为

AA*

=

A

I

,

A

A*

=

A

n,

A*

=

A

n-1

证：由AA

1=I,得(AA

1)T=(A

1)TAT=I.(AT)

1=(A

1)T证

：由AA

1=I,得|A||A

1|

=1,|A|0,

A

1

=

A

1

证：设AT=A;，则 ((

A)

1)T同理，证明反对称的情况。因为AT=

A,所以

A

=

AT

=

A

例2.17

．设A为n阶可逆对称(反对称)矩阵，

R(

0),则(

A)

1也是对称(反对称)的。=(

AT)

1=(

A

)–1，=((

A)T)

1即 (

A)

1也是对称矩阵。注意：若A是n阶反对称矩阵,n为奇数.则

A不可逆。=(

1)n

A

=

A

.当n为奇数时,有

A

=0，A不可逆。2.4.4若干例子(其中*号题为研究生入学考试题)所以 A2

3A=A

(A

3I)=

2I,即

A[(3I

A)/2]=I证：由B=A

I,B2=(A

I)2=A2

2A+I及B2=B=A

I

得A2

2A+I=A

I即使A+B可逆,(A+B)

1

A

1+B

1.注意:

A,B都可逆，而A+B不一定可逆，据定理2.3推论：A可逆，且A

1=例2.18

.设方阵B为幂等矩阵(即B2=B),A=I+B,证明:A是可逆阵，且A

1=。解因为

BX－2IX=AT,所以(B－2I)X=AT，。例2.19*例2.20设

且B,C,A满足：(I－C–1B)TCTA=I.求A,A–1.解：左=(I－C–1B)T

C

TA＝(C(I－C–1B))TA =(C

B)TA=(C

T－BT)A=I=右边,

由(C

T－BT)A=I,

得A–1=(C

T－BT)=(C－B)

T，=4(I+A)–1=4[diag(2,

1,2)]–1

*例2.21已知A=diag(1,

2,1),且A*BA=2BA

8I, 求B.解：先化简，由 A*BA

2BA=

8I,得 (A*

2I)BA=

8I,B=

8(A*

2I)–1A–1

=

8(A(A*

2I))–1=

8(AA*

2A)–1=

8(

2I

2A)–1

=

8(

2-1)(I+A)–1(因

A+I

=

4)=4diag(2–1,

1,2–1).所以，B=diag(2,

4,2).

证:证A可逆，即证

A

0。当A*=A

T时，由

ATA=A*A=

A

I，知：*例2.22

已知A为非零n阶实矩阵，当A*=AT时，证明:

A为可逆矩阵.

A

0

ATA

0.即A可逆。例2.23

(2)(A

1)*=

A

1

(A

1)

1已知n阶矩阵A，B均可逆(A*是A的伴随阵),证明：(1)(AB)*=B*A*;(2)(A−1)*

=(A*)

−1

(3)(AT)*

=(A*)T.证：由当公式用(1) (AB)*=

AB

(AB)

1=

B

B

1·

A

A

1=B*A*。=(

A

A

1)

1(3)(AT)*=

AT

(AT)

1=

A

(A

1)T=(

A

A

1)T=(A*)T.=

A

B

B

1

A

1

=

A

1

A=(A*)

1例2.24

设A可逆，且A*B=A

1+B，证明B可逆，当时，求B.解：由A*B=A

1+B=A

1+IB

得

(A*

I)B=A

1因为|A*

I

||

B|=|A1|0所以，|B|0，B可逆B=(A*

I)

1A1=(A(A*

I))1

=(|A

|

I

A)

1例2.25．设A为n阶可逆矩阵，A的每行各元素之和都等于k，证明：k

0,且A

1的每行各元素之和都等于k

1。=kI,因为A为可逆矩阵，

A

1证法1

将A的行和用矩阵乘积来表示，令，则AI=I=故k

0。于是k

1

I=A

1I，即

所以，I=k

A

1I，其中A

1I

是元素均为A

1的行和的n元列向量，所以A

1的每行各元素之和都等于k

1。证法2令J是元素均为1的n阶方阵。因为A的每行各元 素之和都等于k，所以,因为A可逆，所以J=kA

1J,故k

0。于是k

1

J=A

1

J其中A

1

J

是元素均为A

1的行和的n阶方阵，所以A

1的每行各元素之和都等于k

1。=k

JAJ=倍乘行(列)变换:以非零常数c乘矩阵的某一行（列）；(2)倍加行(列)变换:将矩阵的某一行(列)乘以非零常 数k加到另一行（列）；(3）对换行(列)变换:将矩阵的某两行(列)位置对换。统称为矩阵的初等变换.(3)初等对换矩阵Eij：将单位矩阵的第i,j行(或列)对换;将单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵，三类初等矩阵为:(1)初等倍乘矩阵Ei(c)；将单位矩阵第i行(或列)乘c;

Ei(C)=diag(1,…,1,c,1,…1)(2)初等倍加矩阵Eij(k)：将单位矩阵第i行乘k加到第j行，或将第j列乘k加i列;2.5矩阵的初等变换和初等矩阵三种初等矩阵左乘矩阵A是对A作相应的初等行变换,三种初等矩阵右乘矩阵B是对B作相应的初等列变换.例2.26

Eij

1=Eij.初等矩阵都是可逆矩阵,且逆矩阵都是同类初等矩阵因为对初等矩阵再作一次同类型的初等变换 都可化为单位矩阵Ei(1/c)Ei(c)=EEijEij=E.Ei

1(c)=Ei(1/c)；Eij(

k)Eij(k)=E

Eij

1(k)=Eij(k)；*例2.27.设(A)

A−1P1P2；(B)

P1A−1

P2；(C)

P1P2A−1；

(D)

P2A−1P1.其中A可逆，则B−1等于（）。将A的第2，3列互换，再将第1，4列互换就得到矩阵B，即B=AP1P2或B=AP2P1，又P1−1=

P1，P2−1=P2，所以， B−1=P1P2A−1或B−1=P2P1A−1。解：选（C）。定理2.4可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵。2.5.2用初等变换求逆矩阵第1行乘以(1/a11),将a11化为1，对此矩阵再做倍加行变换:第1行乘以(−aj1)加到第j行（j=2,3,…,n），A就变为证因为

A

0，A的第一列不全为零，不妨设a11

0其中A1是n−1阶可逆阵.对A1重复以上步骤，继续变换下去，就得到主对角元全部都是1的上三角矩阵，即对B再做变换：第n行乘以(−bjn)加到第j行（j=

1,2,…,n−1），将第n列除数1以外的元素化为零，对第n−1，n−2，…，2各行继续以上步骤。就将B变换单位阵I，命题得证.由PsP2

P1

A=I

得A=(Ps

P2P1)−1=P1−1P2−1

Ps−1.推论2对A作若干初等变换，将A化为单位矩阵I时，同样的这些初等变换将单位矩阵I化为A

1。初等列变换求A的逆矩阵

用初等行变换推论1可逆矩阵A可以表示为若干初等矩阵的乘积。初等阵的逆还是初等阵。设PsP2

P1

A=I

则A−1

=Ps

P2

P1=Ps

P2

P1I

求A的逆矩阵例2.28用初等行变换求矩阵A

的逆矩阵。解=例2.29已知A,B

满足矩阵方程AX=B，且A可逆,求得X=A

1B。若对矩阵A和B

作同样的初等行变换，.当A

化为I时，B就化为X=A

1

B,即若存在初等矩阵P1,P2,

,Pk，使Pk

P2P1A=I，则

Pk

P2P1=A

1，所

Pk

P2P1B=A

1

B=X.

思考题：若A,B

满足矩阵方程YA=B，且A可逆, 问如何利用初等变换求Y？[解]因为BX－2IX=AT 即(B－2I)X=AT，或例2.31

.一个5阶矩阵可用纵横垂直的两条线将其分成4块，构成一个分块矩阵,即其中:I3为三阶单位矩阵， 0为2

3零矩阵。一般，对于m

n矩阵A,

如果在行的方向分成s块，在列的方向分成t块，就得到A的一个st分块矩阵，记作

A=(Akl)st其中Akl

(k=1,

,s;l=1,,t)称为A的子块。将A=(aij)m

n按行分块 或按列分块为:2.6分块矩阵2.6.1常用的分块矩阵

对角块矩阵（准对角矩阵)其中Aii是ri(i=1,2,

,m)阶方阵;Aij=0(i

j).2.6.2分块矩阵的运算。分块矩阵的加法

设分块矩阵A=(Akl)s

t，(Bkl)s

t

,

.分块矩阵的数量乘法设分块矩阵A

=(Akl)s

t,

是一个数，则

A=(

A

kl)st如果A与B的对应子块Akl和Bkl都是同型矩阵，则A+B=(Akl+Bkl)s

t3.分块矩阵的乘法设A

Fm

n,B

Fn

p,如果A分成r

s分块矩阵;B分成s

t分块矩阵，即A=(Akl)r

s；B=(Bkl)s

t，且A的列的分块法和B的行的分块法完全相同， C是r

t分块矩阵,且例2.32对例2.31所给的矩阵A，用分块乘法求A2.解计算代入得例如若Ak

和Bk是同阶方阵（k=1,2,

,s），则设A是m

n矩阵，B是ns矩阵。将B按列分块为1s分块矩阵，将A视为11分块矩阵，则若n阶矩阵C和D分块成同型对角块矩阵，即C=diag(C1,C2,,Cs), D=diag(D1,D2

,,Ds)其中Ci和Di是同阶方阵(i=1,2,,s)。则CD=diag(C1D1,C2D2

,,CsDs).AB=A(B1,B2,,Bs)=(AB1,AB2,

,ABs).若B的每一列都是齐次线性方程组AX=0的解，即

AB=0ms.同型对角块矩阵的乘积：可逆的充要条件是每一子块Ai都可逆(i=1,2,

,m),且A

1也是对角块矩阵。4.可逆对角块矩阵的逆矩阵s=2注意：证 对n作数学归纳法：n=1时，(a)

1=1/a,结论成立。假设命题对n

1阶可逆的上三角矩阵成立。对n阶矩阵A,设B为A的逆矩阵,并把A,B分块为同样的22分块矩阵,即其中A1是n

1阶可逆的上三角矩阵，B1是n

1阶矩阵。例2.33证明n阶可逆上三角矩阵A的逆矩阵也是 上三角矩阵(利用分块矩阵的运算).由A1

=0

得

=A1

10=0，由A1B1=In

1,得

B1=A1

1，A

1=B是上三角矩阵。根据归纳假设，B1=A1

1是上三角矩阵，所以所以，

分块矩阵A=(Akl)st的转置AT为ts分块矩阵，记AT=(Blk)ts，则 Blk=AklT，l=1,2,

,t;k=1,2,,s。4.分块矩阵的转置#6.分块矩阵的初等变换和分块初等矩阵(1)分块倍乘矩阵(3) 分块对换矩阵(2)分块倍加矩阵分块初等矩阵左乘（或右乘）分块矩阵其中Ik表示k阶单位矩阵，C1,C2是可逆矩阵。是对A作块初等行（列）变换例2.34

设A,B,C,D

都是n

阶矩阵，证明:证：作初等行变换化矩阵为上三角块阵，两边再取行列式证 利用左乘和右乘块初等矩阵造出A+B,A

B

和上三角块阵。如第一行加到第二行；再第二列乘(

1)加到第一列.例2.35已知A,B

为n

阶矩阵.证明:上式两边取行列式本章主要内容：特殊矩阵及其基本性质；矩阵的运算：加法，数量乘法， 乘法，转置及其运算性质， 可逆矩阵的逆矩阵和 矩阵的初等变换， 分块矩阵及其运算。第3章 n维向量秩

线性方程组3.1n

维向量及其线性相关性本章内容：n维向量，向量组的线性相关性的概念和理论， 向量组的秩和矩阵的秩，向量组的等价和矩阵的等价， 向量组的极大线性无关组的概念和求法， 齐次线性方程组有非零解的充要条件和基础解系， 齐次和非齐次线性方程组解的性质，通解和解的结构。3.1n

维向量及其线性相关性如果ai

(i=1,2,,n)是实(复)数叫做实(复)向量。

行向量是1n

矩阵,记作(a1,a2,,an);列向量是n

1矩阵,记作(a1,a2,,an)T.如果n

个分量全为零，叫做零向量。用0n

或0表示.全体n

元实向量组成的集合记作ℝn。常用

,

,

等表示n

元向量。3.1.1n维向量及其线性运算定义3.1由n

个数a1,a2,

,an组成的有序数组称为n元向量,记作(a1,a2,,an)，其中ai称为第i

个分量。因为n元行向量是一个1

n矩阵（列向量是n

1矩阵），所以关于两个（行）向量相等、两向量之和、向量与数量的数乘、两向量的差以及零向量等定义可以参见第二章定义2.2,定义2.3和定义2.4.第二章2.2.1节所列的矩阵线性运算满足的8条规则也适用于向量的线性运算。定义3.2数域F上的全体n维向量，定义了加法和数乘运算并满足8条线性运算规则，就称为数域F上的n维向量空间，记作Fn。当F=ℝ时，称ℝn为n维实向量空间；当F=ℂ时，称ℂn为n维复向量空间。ℝ3就是几何空间中的全体向量形成的空间。称为向量

1,2,…,m的线性组合，或

可用{

1,2,…,m}线性表示（或线性表出）

。矩阵A=[

1,2,…,m]，x=[

1,

2,…,

n]T。定义3.3设

i

Fn,i

F(i=1,2,…,m),则向量

=

1

1+2

2+…+m

m

(1)

(1)式可表示为其中

1,2,…,n,

为列向量。例如，在ℝ3中，任一向量=(a1,a2,a3)可由基本向量e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)线性表示为

=a1

e1

+a2

e2+a3

e3在ℝ3中，如果三个向量a1,a2,a3共面，则至少有一个向量可以由另两个向量线性表示，如图，即存在不全为0的k1

，

k2，k3

使k1

1+k2

2+

k3

3=0如果三个向量a1,a2,a3不共面，则任意一个向量都不能由其余两个向量线性表示，如

1=a1

e1

，

2=a2e2

，

3=

a3

e3

3

=k1

1+k2

a2

2

3

1

k2

2k1

1定义3.4设

1,

2,…,m

ℝn,如果存在不全为零的

1,

2,…,m

ℝ,使

成立，则称

1,2,…,m线性相关，否则，称线性无关。“否则”是指：不线性相关就是线性无关， “仅当

1,

2,…,m全为零时，才使(*)式成立”.这等价于“如果(*)式成立，则

1,2,…,m必须全为零”.

1

1+2

2+…+m

m=0 （*）3.1.2向量的线性相关性例3.1含零向量的任何向量组{0,1,2,…,m}都线性相。因为 1·0+0

1+0

2+…+0

n

=0.注意:(1)单个向量

线性相关的充分必要条件是：

为零向量。 因为

0使

=0成立的充要条件是

=0；(2)两个非零向量

，

线性相关的充分必要条件是：

，

成比例， 即存在

＝k

或

＝l;(3)ℝ3中三个向量

，

，

线性相关的充分必要条件是

，

，

共面。证充分性：若

1,2,…,m中的一个向量可由其余向量线性 表示，如

1

1+2

2+…+m

m

=0,定理3.1向量组

1,2,…,m(m

2)线性相关的充要条件是

1,2,…,m中至少有一个向量可由其余向量线性表示。证必要性：设

1,2,…,m线性相关，则存在不全为零 的数

1,2,…,m,使得不妨设

1

0,于是其中

1,…,j

1,

1,,

j+1,

…,

m不全为零，充分性得证。

j=

1

1

+…+

j

1

j

1

+j+1

j+1

+…+

m

m则

1

1

+…+

j

1

1

j+

j+1

j+1

+…+

m

m

=0例3.2ℝn中的e1,e2,…,en

是线性无关的。其中ei=(0,…,0,1,0,…,0)是第i个分量为1(i=1,2,,…,n其余分量全为零的向量）（称e1,e2,…,en为n维基本向量），

解：因为，由

1e1+2e2+…+mem

=0即 (

1,2,…,n)=(0,0,…,0)必有

1

=2=…=n

=0.定理3.1的等价命题：

1,2,…,m(m

2) 线性无关的充要条件是 其中任一个向量都不能由其余向量线性表示。从而有不全为零的

1,2,……k

,0,…0使例如，

1=(1,2,1)T,

2=(2,4,

2)T,

3=(1,1,3)T.因为

1,

2线性相关（成比例），所以，

1,

2,

3线性相关。此命题等价命题是：线性无关向量组的任一子集 （任一部分向量）都线性无关。总之：向量组部分线性相关，则整体线性相关； 整体线性无关，则任一部分都线性无关。定理3.2

若向量组{

1,2,…,m}中有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。证：不妨设{

1,2,…,k}线性相关,于是有不全为零的

1,2,……k,使

1

1

+2

2+…+k

k

=0成立，

1

1

+2

2+…+k

k

+0

k+1+0

k+2+…+0

m

=0成立，所以{

1,2,…,m}线性相关。则

1,

2,

…，

s线性相关的充要条件是s

元线性齐次方程组

Ax=0有非零解,其中定理3.3设

1,

2,

…，

s

Fn,其中

1=(a11

,a21，…，

an1)T,

2=(a12

,

a22

,

…,an2)T,

…,

s=(a1s,a2s,

…ans)T,此定理的等价命题是：

1,

2,

…，

s线性无关的充要条件是 Ax=0 只有零解。因为s

个未知量,n个方程的齐次线性方程组必有非零 解，即s>n

时An

sx=0必有非零解。推论1.任意s

个n

维向量，当s>n

时都线性相关。推论2ℝn中任意n+1个向量必线性相关，或在ℝn中线 性无关的向量组最多只能含n个向量。推论3若n维向量

1,2,…,s线性无关，给

i

(i=1,2,…,s) 添加m

个分量后所得n+m维向量(记作

1*,2*,…,s*) 也线性无关。证记(在方程组AX=0的n个方程下面再添加m个方程就得到方程组 BX=0。假设BX=0有非零解，那么这组非零解必满足前n个方程，即是AX=0的非零解，得出矛盾。)

1,2,…,s

线性无关⇔

AX=0只有零解

BX=0只有零解⇔

1*,2*,…,s*

线性无关.这个命题的逆否命题是：若

1*,

2*,…,

s*是线性相关的，将

i*(i=1,2,…,s)的最后m

个分量删去后所得的向量组

1,

2,…,

s也线性相关。例3.3问a取何值时，

1=(1,3,6,2)T,

2=(2,1,2,

1)T,

3=(1,

1,a,

2)T

线性无关？解 设

x1

1+x2

2+x3

3＝0 （1） 定理3.4若向量组{

1,

2,

…，

r

}线性无关,而 向量组{

,

1,

2,

…，

r

}线性相关,则

可由

1,

2,

…，

r线性表示，且表示法唯一。.证由于向量组{

,

1,

2,

…，

r

}线性相关，所以存在不全为零的数

,

1

,2