备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业五十八　直线和双曲线

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。五十八直线和双曲线(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)(2024·大连模拟)过双曲线x2-y2=2的左焦点作直线l,与双曲线交于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l有()A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【解析】选D.由题意得双曲线左焦点(-2,0),当直线垂直于横轴时,|AB|=22不符合题意,双曲线渐近线方程为y=±x;故可设l:y=k(x+2)(k≠±1),A(x1,y1),B(x2,y2),与双曲线联立可得y=k(x+2)x2-y2=2⇒(1-kx1+x2=4k21-k2,x1由弦长公式知|AB|=k2+1|x1-x2|=k2+1·8(k2+1)|则k=±(2-1)或k=±(2+1).故存在四条直线满足条件.2.(5分)(2024·福州模拟)已知双曲线C的方程为x24-y2=1,点P,Q分别在双曲线的左支和右支上,则直线PQ的斜率的取值范围是(A.(-12,1B.(-2,2)C.(-∞,-12)∪(1D.(-∞,-2)∪(2,+∞)【解析】选A.双曲线x24-y2=1的渐近线方程为y=±12x依题意,点P,Q分别在双曲线的左支和右支上,所以直线PQ的斜率的取值范围是(-12,123.(5分)(2024·昆明模拟)已知F为双曲线C:x23-y2=1的左焦点,过F的一条直线l与双曲线C交于A,B两点,与双曲线C的渐近线交于D,E两点,若|AB||DE|A.±36 B.±34 C.±53 【解析】选A.据题意,设直线l:y=k(x+2),两条渐近线满足方程x23-y由y=k(x+2)x23-y2整理得(1-3k2)x2-12k2x-12k2-3=0,Δ1=144k4+4(1-3k2)(12k2+3)=12k2+12,由y=k(x+2)x23-y2整理得(1-3k2)x2-12k2x-12k2=0,Δ2=144k4+48k2(1-3k2)=48k2,|AB|=1+k2·Δ1|1-3所以|AB||DE|=Δ1Δ2=4.(5分)(2024·北海模拟)已知直线y=x+1与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线交于A,B两点,且A在第一象限.O为坐标原点,若|OA|=2|A.5 B.10 C.2 D.5【解析】选B.因为|OA|=2|OB|,所以xA=-2xB,设B(m,m+1),则A(-2m,-2m+1),因为kOA+kOB=0,所以m+1m+解得m=-14,所以A(12,所以ba=3,则e=ca=1+b5.(5分)(多选题)(2024·石家庄模拟)已知双曲线C:x2a2-y2=1(a>0),若圆M:(x-2)2+y2=1与双曲线CA.双曲线C的渐近线方程为x±3y=0B.双曲线C的实轴长为6C.双曲线C的离心率e=2D.过双曲线C的右焦点的直线与圆M交于A,B两点,则弦长|AB|=2【解析】选ACD.双曲线的渐近线方程为x±ay=0,圆M的圆心为(2,0),半径为1,所以圆心到渐近线的距离d=21+a2=1,得a=3(负值舍去),所以双曲线的渐近线方程为x±3y=0,故A正确;双曲线方程为x23-y2=1,双曲线C的实轴长为23,故B错误;c2=a2+b2=3+1=4,所以双曲线的离心率e=c因为双曲线的右焦点是圆M的圆心,所以弦长为直径,所以|AB|=2,故D正确.6.(5分)(多选题)已知曲线C:x24+m+y21+m=1A.若曲线C为椭圆或双曲线,则其焦点坐标为(±3,0)B.若曲线C是椭圆,则m>-1C.若m<-1且m≠-4,则曲线C是双曲线D.直线kx-y-k=0k∈R与曲线【解析】选AB.若曲线表示椭圆,因为4+m>1+m,所以a2=4+m>0,b2=1+m>0,则m>-1,即椭圆焦点在x轴,则c2=a2-b2=3,得c=3,此时焦点坐标为±3若曲线表示双曲线,由4+m1+m此时双曲线的标准方程为x24+m则a2=4+m,b2=-1-m,即焦点在x轴,则c2=a2+b2=3,得c=3,此时焦点坐标为±3由kx-y-k=0得kx-1-即直线过定点M1,当曲线为双曲线时,-4<m<-1,此时a2=4+m∈0,当m=-2时,a2=2,此时,双曲线右顶点为2,0,在点M此时直线与曲线C不一定有两个交点,故D错误.7.(5分)(2024·南京模拟)已知双曲线C过点(3,2),且渐近线为y=±33x,则双曲线C的方程为__________;若动直线y=k(x-2)与双曲线C的同一支有两个不同的交点,则实数k的取值范围为__________【解析】①根据题意可得,双曲线的渐近线方程为y=±33x,设双曲线的方程为x23-y2=λ因为双曲线过点(3,2),所以323-(2)2=λ,解得λ=1,所以双曲线的方程为x②设直线y=k(x-2)与双曲线C交于A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x-2)x23-y2=1⇒则1-3k所以k∈(-∞,-33)∪(33答案:x23-y2=1(-∞,-33)∪8.(5分)(2022·浙江高考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点Ax1,y1,交双曲线的渐近线于点Bx2,【解析】过F且斜率为b4AB:y=b4a(x+c),渐近线l:y=b联立y=b4a由|FB|=3|FA|,得A-5而点A在双曲线上,于是25c281解得c2a2=8124,所以离心率答案:39.(10分)(2024·景德镇模拟)已知焦点在x轴上的双曲线实轴长为2,其一条渐近线斜率为2.(1)求双曲线的标准方程;【解析】(1)因为双曲线的焦点在x轴上,设该双曲线的标准方程为x2a2-y2b因为该双曲线的实轴长为2,一条渐近线斜率为2,则2a=2b因此,该双曲线的标准方程为x2-y22(2)过点A(1,1)能否作直线l,使直线l与所给双曲线交于P,Q两点,且点A是弦PQ的中点?如果直线l存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.【解析】(2)假定直线l存在,设以A(1,1)为中点的弦的两端点为P(x1,y1),Q(x2,y2),则有x1+x2=2,y1+y2=2.根据双曲线的对称性知x1≠x2.由点P,Q在双曲线上,得2x12-y12=2,2两式相减得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0,所以2×2(x1-x2)-2(y1-y2)=0,所以y1-y2x1-x2=2,即以A(1,1)为中点的弦所在直线的斜率k=2,故直线PQ的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.联立2x2-因此直线l与双曲线无交点,故满足条件的直线l不存在.【加练备选】已知双曲线C:x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试确定实数k的取值范围,使:(1)直线l与双曲线有两个公共点;【解析】(1)联立y=消y整理得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0,(*)因为直线l与双曲线C有两个公共点,所以1-整理得1-解得:-233<k<-1或-1<k<1或1<k<所以k的取值范围为{k|-233<k<-1或-1<k<1或1<k<2(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;【解析】(2)当1-k2=0即k=±1时,直线l与双曲线的渐近线平行,方程(*)化为2x-5=0,故方程(*)有唯一实数解,即直线与双曲线相交,有且只有一个公共点,满足题意.当1-k2≠0时,因为直线l与双曲线C仅有一个公共点,则Δ=4(4-3k2)=0,解得k=±23综上,k=±1或k=±23(3)直线l与双曲线没有公共点.【解析】(3)因为直线l与双曲线C没有公共点,所以1-解得k>233或k<-所以k的取值范围为{k|k<-233或k>2【能力提升练】10.(5分)(2023·漳州模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,直线y=kx(k>0)与双曲线C交于P,Q两点,且∠PF1Q=2π3,PF1·F1QA.3 B.3 C.2 D.2【解析】选D.不妨设P位于第一象限,双曲线C的右焦点为F2,连接PF2,F2Q,因为O为PQ,F1F2的中点,所以四边形PF1QF2为平行四边形,所以PF2=F1Q,∠F1PF设|PF1|=m,|PF2|=n(m,n>0),则m-n=2a,由PF1·F1Q=4得:PF1·PF2=mn在△PF1F2中,|F1F2|2=m2+n2-2mncosπ3=(m-n)2+mn所以b2=c2-a2=2,所以12a2+b2a2=a22+2所以当12a2+b2a2取得最小值时,双曲线C的离心率e=11.(5分)(多选题)(2024·江门模拟)已知曲线C:x2sinα+y2cosα=1(0≤α<π),则下列说法正确的是()A.若曲线C表示两条平行线,则α=0B.若曲线C表示双曲线,则π2<αC.若0<α<π2,则曲线CD.若0<α<π4,则曲线C表示焦点在x【解析】选BD.对于A选项,若曲线C表示两条平行线,则有sinα=0或cosα=0,且0≤α<π.若sinα=0,则α=0,此时曲线C的方程为y2=1,可得y=-1或y=1,合乎题意,若cosα=0,则α=π2,此时曲线C的方程为x2=1,可得x=-1或x对于B选项,若曲线C表示双曲线,则sinαcosα<0,由于0≤α<π且sinα≠0,则sinα>0,可得cosα<0,则π2<α对于C选项,若曲线C表示椭圆,则sinα>0cosα>00≤α<πsin对于D选项,若0<α<π4,则0<sinα<cosα,则1sinα>1cosα>0,曲线C的方程可化为x21sin12.(5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作圆x2+y2=a2的切线,交双曲线右支于点M,若∠FA.y=±(3+3)x B.y=±2xC.y=±3+33x D.y=±(1+3【解析】选C.如图,作OA⊥F1M于点A,F2B⊥F1M于点B,因为F1M与圆x2+y2=a2相切,所以|OA|=a,|F2B|=2|OA|=2a,|F1B|=2b,在Rt△BMF2中,∠F1MF2=60°,所以|BM|=|F2B|tan60°=2a3=又点M在双曲线上,由双曲线的定义可得:|F1M|-|F2M|=|F1B|+|BM|-|F2M|=2b+23a3-4整理得:b=3+33a,所以ba所以双曲线的渐近线方程为y=±3+313.(5分)(2024·宜宾模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为233,过F2作渐近线y=bax的垂线交C于A,B两点,点A在第一象限,若|AF2【解析】因为e=ca=233,所以c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=43,所以b2a2=13,则渐近线y=设A(x1,y1),B(x2,y2),所以AB:x=2m-y3联立x23m2-y2m2=1所以y1=3m-3m4,所以|AF2||BF2|=所以|AB|=|AF2|+|BF2|=3=1+13|y1-y2|=1+13·3m2,所以m=3,所以a=3,所以AF1+BF1+AB=2(AF2+答案:1814.(10分)(2024·武威模拟)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,C的离心率为2,直线l过F2与C交于M,N两点,当|OM|=|OF2|时,△(1)求双曲线C的方程;【解析】(1)因为|OM|=|OF1|=|OF2|,所以∠F1MF2=90°.则|MF1|2+|MF2|2=(2c)2,(|MF1|-|MF2|)2所以|MF1|·|MF2|=2b2,△MF1F2的面积S=12|MF1|·|MF2|=b2=3又C的离心率为ca=1+b2a2所以双曲线C的方程为x2-y23(2)已知M,N都在C的右支上,设l的斜率为m.①求实数m的取值范围;②是否存在实数m,使得∠MON为锐角?若存在,请求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(2)①根据题意F2(2,0),则直线l:m(x-2)-y=0,由x2-y23=1y=mx-2m,得(3-m2)得m2≠3,Δ>0恒成立.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=4m2m2-3,x因为直线l与双曲线C的右支相交于M,N不同的两点,所以x1+x所以m2>3,解得m∈(-∞,-3)∪(3,+∞).②假设存在实数m,使∠MON为锐角,所以OM·ON>0,即x1x2+y1y2>0,因为y1y2=(mx1-2m)(mx2-2m)=m2x1x2-2m2(x1+x2)+4m2,所以(1+m2)x1x2-2m2(x1+x2)+4m2>0,由①得(1+m2)(4m2+3)-8m4+4m2(m2-3)>0,即7m2+3-12m2>0解得m2<35,m2<35与m215.(10分)(2022·