备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业五十二　圆的方程

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。五十二圆的方程(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)(2024·南京模拟)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以(-2,3)为圆心,4为半径的圆,则D,E,F的值分别为()A.4,-6,3 B.-4,6,3C.-4,6,-3 D.4,-6,-3【解析】选D.以(-2,3)为圆心,4为半径的圆的标准方程为(x+2)2+(y-3)2=16,即x2+y2+4x-6y-3=0,所以D=4,E=-6,F=-3.2.(5分)(2024·青岛模拟)点P(a,10)与圆C(x-1)2+(y-1)2=2的位置关系是()A.在圆外 B.在圆上C.在圆内 D.与a的值有关【解析】选A.圆C(x-1)2+(y-1)2=2的圆心C(1,1),半径r=2,因为PC=(a-1)2+(10-13.(5分)圆心坐标为(-2,1),并经过点A(2,-2),则圆的标准方程为()A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x+2)2+(y-1)2=5C.(x+2)2+(y+1)2=25D.(x+2)2+(y-1)2=25【解析】选D.由题意可设圆的标准方程为:(x+2)2+(y-1)2=r2,因为点A(2,-2)在圆上,所以r2=(2+2)2+(-2-1)2=25,所以圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=25.4.(5分)若直线l:ax+by-1=0(a>0,b>0)平分圆C:x2+y2-2x-4y=0的周长,则ab的取值范围是()A.[18,+∞) B.(0,1C.(0,14]` D.[1【解析】选B.由题意得,直线ax+by-1=0过圆心(1,2),所以a+2b=1,所以ab=12×2ab≤12(a+2b2)2=18(当且仅当a=2b,即又a>0,b>0,所以ab∈(0,18]【加练备选】若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则1a+2b的最小值为【解析】由圆的性质可知,直线ax+2by-2=0是圆的直径所在的直线方程.因为圆x2+y2-4x-2y-8=0的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=13,所以圆心(2,1)在直线ax+2by-2=0上,所以2a+2b-2=0,即a+b=1,因为1a+2b=(1a+2b)(a+b)=3+ba+2ab≥3+22,当且仅当a所以1a+2b的最小值为3+2答案:3+225.(5分)(多选题)(2024·南昌模拟)已知△ABC的三个顶点为A(-1,2),B(2,1),C(3,4),则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是()A.圆M的圆心坐标为(1,3)B.圆M的半径为5C.圆M关于直线x+y=0对称D.点(2,3)在圆M内【解析】选ABD.设△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则1+4-D+2所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2-2x-6y+5=0,即(x-1)2+(y-3)2=5.故圆M的圆心坐标为(1,3),圆M的半径为5,故A,B正确;因为直线x+y=0不经过圆M的圆心(1,3),所以圆M不关于直线x+y=0对称,故C错误;因为(2-1)2+(3-3)2=1<5,故点(2,3)在圆M内,故D正确.6.(5分)(多选题)设圆的方程是(x-a)2+(y+b)2=a2+b2,其中a>0,b>0,下列说法正确的是()A.该圆的圆心为(a,b)B.该圆过原点C.该圆与x轴相交于两个不同点D.该圆的半径为a2+b2【解析】选BC.因为圆的方程是(x-a)2+(y+b)2=a2+b2(其中a>0,b>0),所以圆心坐标为(a,-b),半径r=a2把原点坐标(0,0)代入圆的方程得方程左边=(0-a)2+(0+b)2=a2+b2=方程右边,所以该圆过原点,故B正确;令y=0,得(x-a)2+b2=x2-2ax+a2+b2=a2+b2,即x2-2ax=0,解得x1=0,x2=2a,所以该圆与x轴有两个交点,故C正确.7.(5分)(2024·唐山模拟)若圆C:x2+y2+Dx+2y=0的圆心在直线x-2y+1=0上,则C的半径为.

【解析】由圆的一般方程,得圆心C的坐标为(-D2代入直线x-2y+1=0中,得(-D2)-2×(-1)+1=0,解得D则半径r=1262答案:108.(5分)(2024·揭阳模拟)在某数学活动课上,数学教师把一块三边长分别为6,8,10的三角板ABC放在直角坐标系中,则△ABC外接圆的方程可以为.(写出其中一个符合条件的即可)

【解析】边长分别为6,8,10的△ABC为直角三角形,且外接圆的半径为5,若将斜边的中点与坐标原点重合时,则圆心为(0,0),所以其外接圆方程可以为x2+y2=25;若将直角顶点与坐标原点重合,边长为6的直角边落在x轴的正半轴时,则圆心为(3,±4),所以其外接圆方程可以为(x-3)2+(y±4)2=25;若将直角顶点与坐标原点重合,边长为6的直角边落在x轴的负半轴时,则圆心为(-3,±4),所以其外接圆方程可以为(x+3)2+(y±4)2=25;若将直角顶点与坐标原点重合,边长为8的直角边落在x轴的正半轴时,则圆心为(4,±3),所以其外接圆方程可以为(x-4)2+(y±3)2=25;若将直角顶点与坐标原点重合,边长为8的直角边落在x轴的负半轴时,则圆心为(-4,±3),所以其外接圆方程可以为(x+4)2+(y±3)2=25.答案:x2+y2=25(答案不唯一)9.(10分)已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和点B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上.线段PQ的端点P的坐标是(5,0),端点Q在圆C上运动,求线段PQ的中点M的轨迹方程.【解析】设点D为线段AB的中点,直线m为线段AB的垂直平分线,则D(32,-12又kAB=-3,所以km=13所以直线m的方程为x-3y-3=0.由x-3y则半径r=|CA|=(-3所以圆C的方程为(x+3)2+(y+2)2=25.设点M(x,y),Q(x0,y0),因为点P的坐标为(5,0),所以x=x又点Q(x0,y0)在圆C:(x+3)2+(y+2)2=25上运动,所以(x0+3)2+(y0+2)2=25,即(2x-5+3)2+(2y+2)2=25.整理得(x-1)2+(y+1)2=254即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=254【能力提升练】10.(5分)(2024·海淀模拟)设三角形ABC是位于平面直角坐标系xOy的第一象限中的一个不等边三角形,该平面上的动点P满足:|PA|2+|PB|2+|PC|2=|OA|2+|OB|2+|OC|2,已知动点P的轨迹是一个圆,则该圆的圆心位于三角形ABC的()A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心【解析】选C.设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由|PA|2+|PB|2+|PC|2=|OA|2+|OB|2+|OC|2得:(x-x1)2+(y-y1)2+(x-x2)2+(y-y2)2+(x-x3)2+(y-y3)2=x12+y1展开整理,得3x2+3y2-2(x1+x2+x3)x-2(y1+y2+y3)y=0.所以[x-13(x1+x2+x3)]2+[y-13(y1+y2+y3)]2=19[(x1+x2+x3)2+(y1+y2+y3)所以圆的圆心坐标为(13(x1+x2+x3),13(y1+y2+y3)),为三角形ABC11.(5分)(多选题)已知圆M与直线x+y+2=0相切于点A(0,-2),圆M被x轴所截得的弦长为2,则下列结论正确的是()A.圆M的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M的面积的最大值为50πC.圆M的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M的半径之积为8【解析】选AB.因为圆M与直线x+y+2=0相切于A(0,-2),所以直线AM与直线x+y+2=0垂直,所以直线AM的斜率为1,则点M在直线y=x-2上,即x-y-2=0上,故A正确;设M(a,a-2),所以圆M的半径r=|AM|=a2+(a-因为圆M被x轴截得的弦长为2,所以2r2-(a解得a=-5或a=1.当a=-5时,圆M的面积最大,为πr2=50π,故B正确;当a=1时,圆M的半径最小,为2,故C错误;满足条件的所有圆M的半径之积为52×2=10,故D错误.12.(5分)(2024·郑州模拟)如果圆(x-m)2+(y-2m)2=r2关于直线x+y-3=0对称,则圆的圆心坐标为.

【解析】由题意知圆的圆心坐标为(m,2m),圆心在直线x+y-3=0上,将圆心坐标(m,2m)代入即得m+2m-3=0,解得m=1,所以圆心坐标为(1,2).答案:(1,2)13.(5分)(2024·昆明模拟)已知点A(-3,0),B(3,0),C(-1,0),点P满足PA=2PB,则点P到点C距离的最大值为.

【解析】设P(x,y),因为PA=2PB,所以(x+3)2+y2=4(x化简得(x-5)2+y2=16.则点P的轨迹是以D(5,0)为圆心,半径等于4的圆,因为CD=6,故PC的最大值为CD+4=10.答案:1014.(10分)(2024·哈尔滨模拟)已知圆E经过点A(0,0),B(1,1),且圆E与y轴相切.(1)求圆E的一般方程;【解析】(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为圆E过点A(0,0),B(1,1),又跟y轴相切,所以圆E必在y轴右侧,且跟y轴的切点为A(0,0),所以圆心的纵坐标为0,所以F=01+1+D所以圆E的方程为x2+y2-2x=0.(2)设P是圆E上的动点,点C的坐标为(4,0),求线段CP的中点M的轨迹方程.【解析】(2)设M(x,y),则P(2x-4,2y),将P(2x-4,2y)代入x2+y2-2x=0得(2x-4)2+(2y)2-2(2x-4)=0,整理得(x-52)2即线段CP的中点M的轨迹方程为(x-52)215.(10分)(2024·郴州模拟)已知圆C过点A(4,0),B(0,4),且圆心C在直线l:x+y-6=0上.(1)求圆C的方程;【解析】(1)由A(4,0),B(0,4),得直线AB的斜率为kAB=0-44-0所以kCD=1,直线CD的方程为y-2=x-2,即y=x,联立x+y-6=0y所以半径r=|AC|=(4-3所以圆C的方程为(x-3