第六章　第三节　平面向量的数量积

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第三节平面向量的数量积【课标解读】【课程标准】1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.【核心素养】数学抽象、直观想象、数学运算.【命题说明】考向考法平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题,如证明垂直、求夹角、模等是每年必考的内容,单独命题时,一般以选择题、填空题形式出现.交汇命题时,向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查.预测平面向量数量积的概念及运算,与长度、夹角、平行、垂直有关的问题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点,会以选择题或填空题的形式出现.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.向量的夹角定义已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB叫做a与b的夹角范围设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是0≤θ≤π共线与垂直θ=0或θ=π⇔a∥b,θ=π2⇔a⊥微点拨确定两个非零向量a和b的夹角,必须将两个向量平移至同一起点.2.平面向量的数量积条件两个非零向量a与b的夹角为θ结论数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)记法记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ规定零向量与任一向量的数量积为03.投影向量条件设a,b是两个非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,AB=a,CD=b作图过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到A结论我们称上述变换为向量a向向量b投影,A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos4.向量数量积的运算律交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)微点拨(1)数量积不满足消去律,即a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c;(2)数量积不满足乘法结合律,即一般情况下,(a·b)·c≠a·(b·c).5.平面向量数量积的坐标运算已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.结论符号表示坐标表示模|a|=a|a|=x夹角cosθ=acosθ=xa⊥b的充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤x常用结论1.两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.3.向量a在b上的投影向量为a·bb·bb,向量a在基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号12431.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个向量的夹角的范围是0,π2.(提示:(1)两个向量夹角的范围是[0,π].(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.(√)(3)若a·b=a·c(a≠0),则b=c.(×)提示:(3)由a·b=a·c(a≠0)得|a||b|·cos<a,b>=|a||c|·cos<a,c>,所以向量b和c不一定相等.(4)向量a与b夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cosθ)b|b|.(2.(必修第二册P36练习T1·变条件)已知a=(-1,t-1),b=(3,2),且2a+b=3,则tA.2 B.3 C.±2 D.±2【解析】选C.由向量a=(-1,t-1),b=(3,2),可得2a+b=(1,2t),因为2a可得12+(2t)2=3,解得3.(2023·上海高考)已知向量a=(-2,3),b=(1,2),则a·b=.

【解析】因为向量a=(-2,3),b=(1,2),所以a·b=-2×1+3×2=4.答案:44.(向量夹角的概念不清致误)在△ABC中,∠B=60°,AB=6,BC=5,则AB·BC=.

【解析】在△ABC中,∠B=60°,AB=6,BC=5,则AB·BC=|AB||BC|cos(180°-60°)=6×5×(-12)=-15答案:-15【核心考点·分类突破】考点一平面向量的数量积的运算[例1](1)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则EC·ED=()A.5 B.3 C.25 D.5【解析】选B.正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,所以EB·EA=-1,EB⊥AD,EA⊥BC,BC·AD=2×2=4,则EC·ED=(EB+BC)·(EA+AD)=EB·EA+EB·AD+EA·BC+BC·AD=-1+0+0+4=3.(2)(2023·福州模拟)四边形ABCD为平行四边形,AB=6,AD=3.若点M,N满足BM=2MC,DN=NC,则AM·NM=()A.20 B.16 C.9 D.6【解析】选B.因为BM=2MC,DN=NC,所以AM=AB+BM=AB+23AD,NM=CM-CN=-13所以AM·NM=(AB+23AD)·(-13AD+12AB)=12AB(3)(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为13,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=【解析】由题意可得a·b=1×3×13=1,b2则(2a+b)·b=2a·b+b2=2+9=11.答案:11解题技法解决向量数量积的运算问题的三种方法(1)当已知向量的长度和夹角时,直接利用定义法求解;若不知长度和夹角,选择知道夹角和模的不共线向量为基底来表示要求的向量,再结合运算律展开求解;(2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用坐标法求解;(3)利用向量数量积的几何意义求解.对点训练1.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,则a·b=()A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】选C.因为|a-2b|2=|a|2-4a·b+4|b|2,|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,所以9=1-4a·b+4×3=13-4a·b,所以a·b=1.2.(2022·上海高考)若平面向量|a|=|b|=|c|=λ,且满足a·b=0,a·c=2,b·c=1,则λ=.

【解析】由题意,有a·b=0,则a⊥b,设<a,c>=θ,a·c则②①得,tanθ=1由同角三角函数的基本关系得cosθ=25则a·c=|a||c|cosθ=λ·λ·255=2,λ2=则λ=45答案:4【加练备选】已知点O是△ABC内部的一点,且满足OA+OB+OC=0,AC=3,AC·AB=-1,则AC·BO的值为()A.53 B.32 C.2【解析】选A.记角A,B,C所对的边分别是a,b,c,由题意OA+OB+OC=0,OA+OC=-OB=BO,设D是线段AC的中点,则2OD=BO,所以B,O,D三点共线,且O为△ABC的重心,所以BO=23BD=23×12(BA+BC)=13(BA+BC),所以AC·BO=(BC-BA)·13(BA+BC)=13又由AC·AB=bccosA=-1,可得bc·b2+c2-a22所以AC·BO=53考点二投影向量[例2](1)已知|a|=3,|b|=1,向量a与向量b的夹角为120°,则①向量a在向量b上的投影向量为;②向量b在向量a上的投影向量为.

【解析】①因为|b|=1,所以b为单位向量.所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos120°·b|b|=3×(-12)·b②因为|a|=3,所以a|a|=所以向量b在向量a上的投影向量为|b|cos120°·a|a|=1×(-12)·13答案:①-32b②-1(2)(2023·常州模拟)已知平面向量a,b,满足a=2,b=(1,1),a+b=10,则a在b方向上的投影向量的坐标为【解析】由a=2,b=2,且a+b=平方得a2+2a·b+b2=4+2a·b+2=10,解得a·所以a在b方向上的投影向量为a·bb·bb=a·bb2·b答案:(1,1)解题技法投影向量的求法方法一:用几何法作出恰当的垂线,直接得到投影向量.方法二:利用公式.向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos<a,b>·b|对点训练1.已知|a|=12,|b|=8,a·b=24,则向量a在向量b上的投影向量为.

【解析】设a,b的夹角为θ,因为a·b=|a||b|cosθ,所以cosθ=a·b|a||所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθ·b|b|=12×14×18答案:382.(2023·衡阳模拟)平面向量a⊥b,已知a=(6,-8),b=5,且b与向量(1,0)的夹角是钝角.则b在向量(1,0)上的投影向量为()A.(-3,0) B.(-4,0) C.(0,3) D.(0,-4)【解析】选B.设b=(x,y),因为a=(6,-8),a⊥b,所以6x-8y=0,即3x=4y①.又b=5,所以x2+y2=25②,由①②解得x=4y=3设c=(1,0),因为b与向量c的夹角是钝角,所以b·c=x<0,所以b=(-4,-3).则b在向量c上的投影向量为b·cc·考点三平面向量数量积的应用【考情提示】高考对数量积的考查主要从模、夹角、垂直等角度出发,常以选择题、填空题的形式出现.角度1求平面向量的模[例3](1)(2022·全国乙卷)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=()A.2 B.3 C.4 D.5【命题意图】考查向量的模、向量坐标形式的运算.【解析】选D.因为a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a-b|=42+(2)已知向量a,b,c满足a+b与c互为相反向量,a=2,c=1,a·c=1,则b=()A.2 B.7 C.2 D.7【解析】选D.由a+b与c互为相反向量,得c=-(a+b),两边平方得,c2=a2+b2+2a即b2+2a·b=-3,又由a·c=1,在c=-(a+b)两边同时点乘向量a,得a·c=-a2-a·b=1,即a·b=-5,联立①②,解得b2=7,所以b=7(3)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,则|b|=.

【解析】因为|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,所以a2+b2-2a·b=3,a2+b2+2a·b=4a2+b2-4a·b,所以a2=2a·b,所以b2=3,所以|b|=3.答案:3解题技法求平面向量模的两种方法(1)公式法:利用|a|=a·a及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2(2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.角度2求平面向量的夹角[例4](1)(2023·全国甲卷)向量|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=()A.-15 B.-25 C.25【解析】选D.因为向量|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,所以-c=a+b,所以c2=a2+b2+2a·b,即2=1+1+2×1×1×cos<a,b>,解得cos<a,b>=0,所以a⊥b.又a-c=2a+b,b-c=a+2b,所以(a-c)·(b-c)=(2a+b)·(a+2b)=2a2+2b2+5a·b=2+2+0=4,|a-c|=|b-c|=4a2+4a·所以cos<a-c,b-c>=(a-c)·(b(2)已知向量a与a+b的夹角为60°,且a=8,b=7,则a与b夹角的余弦值为.

【解析】设向量a与b的夹角为θ,由a=8,b=7,可得a·(a+b)=a2+a·b=64+8×7cosθ=64+56cosθ,且a+b=a2+b又因为向量a与a+b的夹角为60°,可得cos60°=a·(a+即64+56cosθ8×113+112cos可得16+14cosθ=113+112cosθ解得cosθ=-1314或cosθ=-11即a与b夹角的余弦值为-1314或-11答案:-1314或-(3)金榜原创·易错对对碰①设a=(-3,m),b=(4,3),若a与b的夹角是钝角,则实数m的取值范围是.

【解析】①由a与b的夹角是钝角,则a·b=(-3,m)·(4,3)=-12+3m<0,解得m<4,又a与b的夹角不等于180°,则a与b不平行,即-9≠4m,解得m≠-94所以实数m的取值范围是m<4且m≠-94答案:(-∞,-94)∪(-9②已知向量a=(2,0),b=(1,4).若向量ka+b与a+2b的夹角为锐角,则k的取值范围为.

【解析】②ka+b=(2k+1,4),a+2b=(4,8),因为向量ka+b与a+2b的夹角为锐角,所以4×(2k+1)+4×8>0且8×(2k+1)≠4×4,解得k>-92且k≠1所以k的取值范围是(-92,12)∪(1答案:(-92,12)∪(解题技法求平面向量夹角的两种方法定义法由cosθ=a·b|a坐标法若a=(x1,y1)与b=(x2,y2),则cos<a,b>=x1<a,b>∈[0,π]角度3平面向量的垂直问题[例5](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则()A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1【解析】选D.由题意得a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.(2)(2022·全国甲卷)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=.

【解析】因为向量a=(m,3),b=(1,m+1),a⊥b,所以a·b=m+3(m+1)=0,则m=-34答案:-3解题技法平面向量垂直问题的解法(1)坐标法:a=(x1,y1),b=(x2,y2)时,若要证明a⊥b,则只需证明a·b=0,即证明x1x2+y1y2=0.(2)向量法:把a,b用已知(模与夹角)的基底向量表示,进行运算证明a·b=0.对点训练1.(2023·济南模拟)若向量a,b满足a=1,(a+b)⊥a,(2a+b