第六章　第四节　平面向量的应用

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第四节平面向量的应用【核心考点·分类突破】考点一平面向量在几何中的应用[例1](1)(2023·漳州模拟)已知P为△ABC所在平面内一点,AB+2PB+2PC=0,AB=4,PB=PC=3,则△ABC的面积等于()A.43 B.83 C.42 D.82【解析】选D.因为PB=PC=3,所以P位于线段BC的垂直平分线上,设线段BC的中点为D,由AB+2PB+2PC=0得,AB=-2(PB+PC)=-4PD=4DP,所以AB⊥BC,DP=1,如图所示,所以BC=2BD=232-12=42,所以S△ABC=12BC·AB=1(2)在△ABC中,AC=9,∠A=60°,D点满足CD=2DB,AD=37,则BC的长为()A.37 B.36 C.33 D.6【解析】选A.因为CD=2DB,所以AD=AB+BD=AB+1=AB+13(AC-AB=23AB+设AB=x,则AD2=(23AB+1得37=49x2+49×x×9cos60°+19即2x2+9x-126=0,因为x>0,故解得x=6,即AB=6,所以|BC|=|AC-AB|=|=62+9(3)在△ABC中,已知(AB|AB|+AC|AC|)·BC=0,且AB|AB|·A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.三边均不相等的三角形【解析】选A.AB|AB|,AC|ACAB|AB|+AC|因为(AB|AB|+AC|AC|)·又AB|AB|·AC|AC|=12,所以cos<AB,AC则AB与AC的夹角为60°,即∠BAC=60°,可得△ABC是等边三角形.解题技法用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.对点训练1.P为△ABC内一点,满足PA+PB+2PC=0,则△PAB和△ABC的面积比为.

【解析】如图,取AB的中点D,连接PA,PB,PC,PD,则PA+PB=2PD,又由题意PA+PB+2PC=0,所以2PD+2PC=0,故C,D,P三点共线,且满足CP=12CD,所以P为从而S△PAB∶S△ABC=1∶2.答案:1∶22.如图,在△ABC中,cos∠BAC=14,点D在线段BC上,且BD=3DC,AD=152,则△ABC的面积的最大值为【解析】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,因为BD=3DC,所以AD=14AB+又AD=152,cos∠BAC=1所以AD2=(14AB+34AC)2=116c2+916b2+38bccos∠BAC=116c又154=116c2+916b2+332bc=(14c)2+(34b)2+332bc≥2×14c×3当且仅当c=3b时,等号成立.所以bc≤8,又sin∠BAC=154所以S△ABC=12bcsin∠BAC≤12×8×154答案:15考点二平面向量的实际应用[例2](1)渭河某处南北两岸平行,如图所示,某艘游船从南岸码头A出发航行到北岸,假设游船在静水中航行速度的大小为|v1|=10km/h,水流速度的大小为|v2|=6km/h.设v1与v2的夹角为120°,北岸的点A'在码头A的正北方向,那么该游船航行到北岸的位置应()A.在A'东侧 B.在A'西侧C.恰好与A'重合 D.无法确定【解析】选A.建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可得v1=(-5,53),v2=(6,0),所以v1+v2=(1,53),说明游船有x轴正方向的速度,即向东的速度,所以该游船航行到北岸的位置应在A'东侧.(2)若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态.已知F1=1N,F2N,F1与F3的夹角为60°,则F2的大小为()A.1N B.3N C.7N D.3N【解析】选C.根据三力平衡得F1+F3+F2=0,即F1+F3=-F2,两边同时平方得F12+2F1·F3+F3即F12+2F1F3即12+2×1×2×12+22=7=F解得F2=7N(3)(2023·温州模拟)物理学中,如果一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移,我们就说这个力对物体做了功,功的计算公式:W=F·s(其中W是功,F是力,s是位移).一物体在力F1=(2,4)和F2=(-5,3)的作用下,由点A(1,0)移动到点B(2,4),在这个过程中这两个力的合力对物体所做的功等于()A.25 B.5 C.-5 D.-25【解析】选A.因为F1=(2,4),F2=(-5,3),所以F1+F2=(-3,7),又A(1,0),B(2,4),所以AB=(1,4),故W=(F1+F2)·AB=-3+7×4=25.解题技法平面向量对物理背景问题主要研究下面三类1.求几个力的合力,可以用几何法通过解三角形求解,也可以用向量法求解.2.如果一个物体在力F的作用下产生位移为s,那么力F所做的功W=|F||s|cosθ,其中θ是F与s的夹角.由于力和位移都是向量,所以力所做的功就是力与位移的数量积.3.速度向量速度向量是具有大小和方向的向量,因而可用求向量和的平行四边形法则,求两个速度的合速度.对点训练1.(多选题)在日常生活中,我们会看到如图所示的情境,两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2,且F1=F2,F1与F2的夹角为θ.给出以下结论正确的是(A.θ越大越费力,θ越小越省力B.θ的范围为[0,π]C.当θ=π2时,F1D.当θ=2π3时,F1【解析】选AD.对于B,当θ=π时,F1+F2=0,故无法提动行李包,故B错误;对于A,根据题意,得G=F1所以G2=F12+F22+2F1F解得F12=G22(1+cosθ),因为θ∈(0,π)时,对于C,因为F12=G22(1+cosθ),所以当θ=π2对于D,因为F12=G22(1+cosθ),所以当θ=2π3时,2.某河流南北两岸平行,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸,假设游船在静水中的航行速度的大小为v1=8km/h,水流速度的大小为v2=4km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸的点B在A的正北方向,游船正好到达B处时,cosθ=(A.32 B.-32 C.12【解析】选D.设游船的实际速度为v,则v=v1+v2,北岸的点B在A的正北方向,游船正好到达B处,则v⊥v2,所以v·v2=0,即(v1+v2)·v2=v1v2cosθ+v22=32cosθ考点三平面向量与三角函数的综合[例3](1)△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a+b,sinC),n=(3a+c,sinB-sinA),若m∥n,则角B的大小为.

【解析】因为m∥n,所以(a+b)(sinB-sinA)-sinC(3a+c)=0,由正弦定理有(a+b)(b-a)=c(3a+c),即a2+c2-b2=-3ac,再由余弦定理,得cosB=-32,所以B=150°答案:150°(2)(2023·天水模拟)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,-sinβ),a-b=①求cos(α+β)的值;②若0<α<π2,-π2<β<0,且sinβ=-513,求sin【解析】①根据题意可知a=cos2α+sin2且a·b=cosαcosβ-sinαsinβ;由a-b=255可得a2-2a·b即2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)=45可得cos(α+β)=35②由-π2<β<0,且sinβ=-513,可得cosβ=又cosβ=1213>32=cos(-π6),所以-π因此-π6<α+β<π由①得cos(α+β)=35,所以0<α+β<π因此sin(α+β)=45所以sinα=sin(α+β)-β=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=45×1213解题技法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目,通过向量的坐标运算构建出三角函数,然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题,有时还加入参数,考查分类讨论的思想方法.(2)向量与三角函数结合时,通常以向量为表现形式,实现三角函数问题,所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解.(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系,避免出现将内角等同于向量夹角的错误.对点训练已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),m·n=sin2C.(1)求角C的大小;【解析】(1)m·n=sinA·cosB+sinB·cosA=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0<C<π,所以sin(A+B)=sinC,所以m·n=sinC=sin2C,所以cosC=12又因为C∈(0,π),故C=π3(2)若sinA,sinC,sinB成等差数列,且CA·(AB-AC)=18,求c.【解析】(2)由sinA,sinC,sinB成等差数列,可得2sinC=sinA+sinB,由正弦定理得2c=a+b.因为CA·(AB-AC)=18,所以CA·CB=18,即abcosC=18,所以ab=36.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=4c2-3×36,所以c=6.考点四和向量有关的最值(范围)问题考情提示平面向量主要解决与平面向量基本定理有关的最值、范围问题,数量积的最值、范围问题,模的最值、范围问题.高考题中选择题、填空题、解答题都有考查.角度1与平面向量基本定理有关的最值、范围问题[例4](1)已知△ABC内一点O是其外心,sinA=223(0<A<π2),且AO=mAB+nAC,则m+n的最大值为【解析】如图所示,延长AO交BC于D,令AO=λAD⇒AD=AOλ=mλAB因为B,C,D三点共线,所以mλ+nλ=1⇒m+n=所以λ取最大值时,m+n取最大值,则λ=AOAD因为AO为外接圆的半径(定值),所以当AD取得最小值时,λ取得最大值,此时AD⊥BC,所以△ABC为等腰三角形,且sin∠BAC=223(0<∠BAC<所以cos∠BAC=13,则sin∠BAC2=33,costan∠BAC2=设∠BAC对的边为a,则AO=a2sin∠BAC=3a42,AD所以(m+n)max=λmax=3a42答案:3(2)如图,在△ABC中,BO=2OC,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.设AB=mAM,AC=nAN,则1m+1n的最小值为【解析】因为BO=2OC,所以BO=23所以AO=AB+BO=AB+2=AB+23(AC-AB)=13AB又AB=mAM,AC=nAN,所以AO=m3AM+因为M,O,N三点共线,所以m3+2由图可知m>0,n>0,所以1m+1n=(1m+1n)(m3+2n3)=13(3+mn当且仅当mn=2nm,即n=6-322,m=32答案:3+2角度2与数量积有关的最值、范围问题[例5](1)已知△ABC的三边长AC=3,BC=4,AB=5,P为AB边上任意一点,则CP·(BA-BC)的最大值为.

【解析】因为CP=CA+AP,BA-BC=CA,所以CP·(BA-BC)=(CA+AP)·CA=CA2+AP·CA=9-AP·=9-|AP||AC|cos∠BAC=9-3|AP|cos∠BAC.因为cos∠BAC为正且为定值,所以当|AP|最小,即|AP|=0时,CP·(BA-BC)取得最大值9.答案:9(2)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且AD=λBC,AD·AB=-32,则实数λ的值为,若M,N是线段BC上的动点,且|MN|=1,则DM·DN的最小值为【解析】因为AD=λBC,所以AD∥BC,所以∠BAD=180°-∠B=120°,所以AD·AB=λBC·AB=λ|BC|·|AB|cos120°=λ×6×3×(-12)=-9λ=-3解得λ=16以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xBy,因为BC=6,所以C(6,0),因为AB=3,∠ABC=60°,所以点A的坐标为(32,3因为AD=16则D(52,3设M(x,0),则N(x+1,0)(其中0≤x≤5),所以DM=(x-52,-332),DN=(x-3DM·DN=(x-52)(x-32)+(332)2=x2-4x+212=(x所以当x=2时,DM·DN取得最小值,最小值为132答案:16角度3与模有关的最值、范围问题[例6](1)(2023·开封模拟)已知e1,e2为单位向量,e1-e2=3,非零向量a满足a-A.7 B.7-1 C.3 D.3-1【解析】选B.由e1-e2=即e12+e22-2e1则1+1-2×1×1×cos<e1,e2>=3,所以cos<e1,e2>=-12因为<e1,e2>∈0,π,所以<e1,e2>=设e1=OA,e2=OB,2e2=OD,a=OC,如图,则a-2e2=故点C在以点D为圆心,半径为1的圆上运动,所以e1-a=CA≥AD-CD=AD-1,当A,D在△AOD中,∠AOD=2π3,OA=1,OD=2,则AD=12+所以e1-a的最小值为(2)已知a,b是单位向量,a·b=0,且向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是()A.[2-1,2+1] B.[2-1,2]C.[2,2+1] D.[2-2,2+2]【解析】选A.a,b是单位向量,a·b=0,设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),|c-a-b|=|(x-1,y-1)|=(x-1)2+(y-1)2=1,所以(x-1)2+(y-1)2=1,|c|表示以(1,1)为圆心,1为半径的圆上的点到原点的距离,故1解题技法和向量有关的最值、范围问题的解题策略1.平面向量中的范围、最值问题是热点问题,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.2.解题思路通常有两种:一是“形化”,即利用平面向量的几何意义,先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;二是“数化”,即利用平面向量的坐标运算,先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题,然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决.对点训练1.(2023·漳州模拟)已知平面向量a,b,其中a=2,a,b的夹角是π3,若t为任意实