第七章　第二节　等差数列

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第二节等差数列【课标解读】【课程标准】1.理解等差数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式.2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.3.体会等差数列与一次函数的关系.【核心素养】数学建模、数学运算、逻辑推理【命题说明】考向考法高考命题常以等差数列为载体,考查基本量的运算、求和及性质的应用.等差数列前n项和的性质是高考的热点,常以选择题的形式出现.预测2025年高考将会从以下两个角度来考查:(1)等差数列及其前n项和的基本运算与性质;(2)等差数列的综合应用,可能与等比数列、函数、方程、不等式相结合考查.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.等差数列的有关概念定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即an+1-an=d(n∈N*,通项公式设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,则通项公式为an=a1+(n-1)d等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A=a+b2.等差数列的前n项和公式已知条件前n项和公式a1,an,nSn=na1,d,nSn=na1+n(微点拨(1)等差数列前n项和公式可变形为Sn=d2n2+(a1-d2)n.当d≠0时,它是关于n的二次函数,表示为Sn=An2+Bn(A,(2)a1>0,d<0,则Sn存在最大值.a1<0,d>0,则Sn存在最小值.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3(5)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列;(6)若{an}是等差数列,则{Snn}也成等差数列,其首项与{an}首项相同,公差是{an}公差的常用结论1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.2.在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).5.关于等差数列奇数项和与偶数项和的结论①若项数为2n,则S偶-S奇=nd,S奇S偶②若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,S奇S偶6.两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为S2n-基础诊断·自测类型辨析易错高考题号132,41.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.()提示:(1)第2项起每一项与它的前一项的差应是同一个常数;(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()提示:(3)如果数列为0,0,0,0,则其通项公式不是一次函数.(4)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.()答案:(1)×(2)√(3)×(4)√2.(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=()A.25 B.22 C.20 D.15【解析】选C.等差数列{an}中,a2+a6=2a4=10,所以a4=5,a4a8=5a8=45,故a8=9,则d=a8-a48-4=1,a则S5=5a1+5×42d=10+10=203.(转化条件不等价致误)一个等差数列的首项为125,从第10项起每项都比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是(A.(875,+∞) B.(-∞,3C.(875,325) D.(8【解析】选D.由题意可得a即125+9d>1,1254.(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=.

【解析】因为2S3=3S2+6,所以2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6,化简得3d=6,解得d=2.答案:2【核心考点·分类突破】考点一等差数列的基本量运算1.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3+a5=4,S15=60,则a20=()A.4 B.6 C.10 D.12【解析】选C.由题意得a4=a3+a52=2,S15=15a8=60,则a8=4,所以a20=a4+4(a82.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12 B.-10 C.10 D.12【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,则3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=-32a1.又a1=2,所以d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-103.设Sn是等差数列{an}的前n项和,a4=11,且S3,S5,a22成等差数列,则S10=()A.145 B.150 C.155 D.160【解析】选C.设等差数列{an}的公差为d,因为a4=11,所以S3=3(3a2=3(11-2d),S5=5a3=5(11-d),a22=11+18d,因为S3,S5,a22成等差数列,所以3(11-2d)+11+18d=10(11-d),所以d=3,a1=a4-3d=11-9=2,所以S10=10a1+45d=20+135=155.4.已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8=()A.72 B.88 C.92 D.98【解析】选C.因为Sn+1=Sn+an+3,所以Sn+1-Sn=an+3=an+1,所以an+1-an=3,所以{an}是公差d=3的等差数列,又a4+a5=23,即2a1+7d=23,解得a1=1,所以S8=8a1+8×72d=925.在等差数列{an}中,已知a2=5,am=7,am+3=10,则数列{an}的前m项和为()A.12 B.22 C.23 D.25【解析】选B.数列{an}是等差数列,设公差为d,am+3=am+3d=7+3d=10,解得d=1,又a2=5,所以a1=4,所以am=4+(m-1)×1=7,解得m=4,所以数列{an}的前m项和为S4=4(a1+解题技法等差数列基本量运算的常见类型及解题策略(1)求公差d或项数n:在求解时,一般要运用方程思想;(2)求通项:a1和d是等差数列的两个基本元素;(3)求特定项:利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解;(4)求前n项和:利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.考点二等差数列的判定与证明教考衔接教材情境·研习·典题类[例1](选择性必修第二册P25习题4.2T7(1))已知Sn是等差数列{an}的前n项和.证明Snn【证明】设等差数列{an}首项为a1,公差为d,因为Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+(a1-d2)n,所以Snn=d2n+(a1-d2),所以Snn-Sn-1n-1=d2真题体验(2023·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:{Snn}A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】选C.(解法一)甲:an为等差数列,设其首项为a1,公差为d,则Sn=na1+n(所以Snn=d2n+(a1-d2),所以Snn-Sn-1n-1=d2n+(a1-d2)-因此Sn反之,乙:Sn即Sn+1n+1-Snn=即nan+1-Snn(n+1)=t,则Sn则Sn-1=(n-1)an-t·n(n-1)(n≥2),两式相减得:an=nan+1-(n-1)an-2tn,即an+1-an=2t,对n=1也成立,因此an为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件,C正确(解法二)甲:an为等差数列,设数列an的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+n则Snn=a1+(n-1)2d=d因此Sn反之,乙:Sn即Sn+1n+1-Snn=D,Snn即Sn=nS1+n(n-1)D,Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D,当n≥2时,两式相减得:Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D,当n=1时,上式成立,于是an=a1+2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数,因此an为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件[溯源点评]本题是教材习题的变式,融入了简易逻辑知识,考查学生的基本功,即逻辑推理、数学运算等核心素养.解题技法等差数列的判定与证明的常用方法主要方法定义法对任意n∈N*,an+1-an是同一常数⇔{an}为等差数列.等差中项法2an+1=an+an+2⇔{an}为等差数列.常用结论通项公式法an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.前n项和公式法Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义提醒:若要判定一个数列不是等差数列,则只需找出三项an,an+1,an+2,使得这三项不满足2an+1=an+an+2即可.对点训练已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求a2,a3;【解析】(1)由已知,得a2-2a1=4,则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.(2)证明:数列{ann}是等差数列,并求{an【解析】(2)由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1),得na即an+1n所以数列{ann}是首项为a11则ann=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2【加练备选】已知数列{an}满足a1=13,an+1+1an+1=1.设bn=1an,证明{b【解析】因为bn+1-bn=1an+1-1an=11-1an+1所以数列{bn}是以1为公差的等差数列.又b1=3,所以bn=3+n-1=n+2,所以an=1n考点三等差数列的性质考情提示等差数列的性质作为计算、推理的工具,在高考考查等差数列知识过程中无处不在,涉及条件的转化,式子的变形,数值的运算等.角度1等差中项的应用与推广[例2](1)已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4=()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】选B.因为2an=an-1+an+1(n≥2),所以an是等差数列由等差数列的性质可得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,所以a4=4,a3=3,所以a3+a4=3+4=7.(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S9=18,an-4=30(n>9),若Sn=336,则nA.18 B.19 C.20 D.21【解析】选D.因为{an}是等差数列,所以S9=9a5=18,a5=2,Sn=n(a1+an)2=n角度2等差数列求和[例3](1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27【解析】选B.由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45.(2)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且AnBn=3n+1【解析】因为数列an,bn为等差数列,且前n项和分别为An和B则a2+a5+a8b3又AnBn所以a5b5=A9B所以a2+a5+a8b3答案:21角度3等差数列求最值[例4](一题多法)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选C.方法一(邻项变号法):由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+a8=0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列,从而得到a7>0,a8<0,故n=7时Sn最大.方法二(函数法):由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.根据二次函数的性质,知当n=7时Sn最大.方法三(图象法):根据a1=13,S3=S11,知这个数列的公差不等于零,且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数,以及二次函数图象的对称性,可得只有当n=3+112=7时,Sn取得最大值解题技法等差数列前n项和最值的求法(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数解析式Sn=an2+bn,通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解;(2)邻项变号法①当a1>0,d<0时,满足am≥0,am+1≤0的项数m②当a1<0,d>0时,满足am≤0,am+1≥0的项数m对点训练1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5=7,S10=21,则S15=()A.35 B.42 C.49 D.63【解析】选B.在等差数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即7,14,S15-21成等差数列,所以7+(S15-21)=2×14,解得S15=42.2.(2023·重庆模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2020,S20202020-SA.2023 B.-2023C.4046 D.-4046【解析】选C.因为{Snn}为等差数列,设公差为则S20202020-首项为S1所以S2所以S2023=2023×2=4046.3.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为.

【解析】由题意,当且仅当n=8时Sn有最大值,可得d即d解得-1<d<-78答案:(-1,-78考点四等差数列在实际生活中的应用[例5]“今有竹9节,下部分3节总容量4升,