第十章　第四节　列联表与独立性检验

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第四节列联表与独立性检验【课标解读】【课程标准】1.通过实例,理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例,了解2×2列联表独立性检验及其应用.【核心素养】数学抽象、数据分析、数学运算.【命题说明】考向考法高考命题常以现实生活为载体,考查分类变量与列联表、独立性检验;独立性检验是高考热点,常以解答题的形式出现.预测估计2025年高考仍会在独立检验上出题.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.分类变量为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.2.列联表与独立性检验(1)2×2列联表①2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.

②定义一对分类变量X和Y,我们整理数据如表所示:XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d像这种形式的数据统计表称为2×2列联表.(2)独立性检验①定义:利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验,读作“卡方独立性检验”.简称独立性检验.

②χ2=n(ad-bc)2(a+b(3)独立性检验解决实际问题的主要环节①提出零假设H0:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释.②根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值xα比较.③根据检验规则得出推断结论.④在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律.微思考χ2值越大,说明分类变量x与y独立的可能性是大还是小?提示:χ2值越大,说明分类变量x与y独立的可能性越大.基础诊断·自测类型辨析改编易错题号12,341.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数.(√)提示:(1)由2×2列联表可知,表中的数据是两个分类变量的频数,所以(1)正确.(2)事件A和B的独立性检验无关,即两个事件互不影响.(×)提示:(2)由独立性检验可知:事件A和B的独立性检验无关,说明事件A和B关联性不大,不一定互不影响,所以(2)错误.(3)χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量.(√)(4)在2×2列联表中,若|ad-bc|越小,则说明两个分类变量之间关系越强.(×)提示:(4)在2×2列联表中,若|ad-bc|越小,说明卡方值越小,即两个分类变量之间关系不强,所以(4)错误.2.(选修第三册P134练习4改编)某课外兴趣小组通过随机调查,利用2×2列联表和χ2统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关.计算得χ2=6.748,经查阅临界值表知P(χ2≥6.635)=0.010,则下列判断正确的是()A.每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生B.若某人数学成绩优秀,那么他为男生的概率是0.010C.有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别无关”D.在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”【解析】选D.因为χ2=6.748≥6.635,所以有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”,即在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”.所以ABC错误.3.(选修第三册P133例4改编)在研究吸烟是否对患肺癌有影响的案例中,通过对列联表的数据进行处理,计算得到随机变量χ2≈56.632.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,下面说法正确的是()A.因为随机变量χ2>10.828=x0.001,所以“吸烟与患肺癌有关系”,并且这个结论犯错误的概率不超过0.001B.因为随机变量χ2>10.828,所以“吸烟与患肺癌有关系”,并且这个结论犯错误的概率不低于0.001C.因为随机变量χ2>10.828,所以“吸烟与患肺癌没有关系”,并且这个结论犯错误的概率不超过0.001D.因为随机变量χ2>10.828,所以“吸烟与患肺癌没有关系”,并且这个结论犯错误的概率不低于0.001【解析】选A.由题意知,通过对列联表的数据进行处理,计算得到随机变量χ2≈56.632>10.828=x0.001,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“吸烟与患肺癌有关系”.4.(不理解独立性检验方法)已知P(χ2≥6.635)=0.01,P(χ2≥10.828)=0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中,某研究员搜集数据并计算得到χ2=7.235,则根据小概率值α=的χ2独立性检验,分析喜欢该项体育运动与性别有关.

【解析】因为6.635<7.235<10.828,所以根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,分析喜欢该项体育运动与性别有关.答案:0.01【核心考点·分类突破】考点一分类变量与列联表[例1](1)为考察某种药物对预防禽流感的效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验,根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高堆积条形图,最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是()【解析】选D.在等高堆积条形图中,aa+b与(2)如表是2×2列联表,则表中a,b的值分别为()项目y1y2合计x1a835x2113445合计b4280A.27,38 B.28,38 C.27,37 D.28,37【解析】选A.a=35-8=27,b=a+11=27+11=38.解题技法比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法(1)通过计算χ2的大小判断:χ2越大,两变量有关联的可能性越大.(2)通过计算|ad-bc|的大小判断:|ad-bc|越大,两变量有关联的可能性越大.(3)通过计算aa+b与对点训练1.(2023·莆田模拟)为考察A,B两种药物对预防某疾病的效果,进行动物试验,分别得到如下等高堆积条形图,根据图中信息,在下列各项中,说法最佳的一项是()A.药物B的预防效果优于药物A的预防效果B.药物A的预防效果优于药物B的预防效果C.药物A,B对该疾病均有显著的预防效果D.药物A,B对该疾病均没有预防效果【解析】选B.根据题干中两个等高堆积条形图知,药物A试验显示不服药与服药时患病差异较药物B试验显示明显大,所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果.2.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班48人进行了问卷调查,得到了如下的2×2列联表:性别打篮球合计喜爱不喜爱男生6女生10合计48已知在全班48人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为23.请将上面的2×2列联表补充完整【解析】在全班48人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为23,故喜爱打篮球的学生共有48×23=32(人),因为喜爱打篮球的女生有10人,故喜爱打篮球的男生有22人,结合题意可知不喜爱打篮球的女生有48-32-6=10(人)性别打篮球合计喜爱不喜爱男生22628女生101020合计321648考点二列联表与独立性检验[例2](2022·全国甲卷改编)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表:公司准点情况准点班次数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;【解析】(1)根据题中表格数据,A共有班次260次,准点班次有240次,设A公司长途客车准点事件为M,则P(M)=240260=12B共有班次240次,准点班次有210次,设B公司长途客车准点事件为N,则P(N)=210240=7所以A公司长途客车准点的概率为1213B公司长途客车准点的概率为78(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?附:χ2=n(α0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635【解析】(2)列联表公司准点情况合计准点班次数未准点班次数A24020260B21030240合计45050500χ2=n(ad-bc)2(根据临界值表可知,有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.解题技法独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成2×2列联表.(2)根据公式χ2=n(ad-bc)(3)比较χ2与临界值xα的大小关系,作统计推断.对点训练为了减少自身消费的碳排放,“绿色消费”等绿色生活方式渐成风尚.为获得不同年龄段的人对“绿色消费”意义的认知情况,某地研究机构将“90后与00后”作为A组,将“70后与80后”作为B组,并从A,B两组中各随机选取了100人进行问卷调查,整理数据后获得如下列联表:(单位:人)年龄段认知情况合计知晓不知晓A组(90后与00后)7525100B组(70后与80后)4555100合计12080200(1)若从样本内知晓“绿色消费”意义的120人中用比例分配的分层随机抽样方法随机抽取16人,问:应在A组、B组中各抽取多少人?【解析】(1)由题意知,在A组中抽取的人数为16×75120=10.在B组中抽取的人数为16×45120(2)能否依据小概率值α=0.001的独立性检验,分析对“绿色消费”意义的认知情况与年龄有关?【解析】(2)零假设为H0:对“绿色消费”意义的认知情况与年龄无关.由题意,得χ2=200×(75×55-25×45)2120×80×100×100=18.75>10.828=x0.001,故依据小概率值α考点三独立性检验的综合应用[例3](2023·福州模拟)甲、乙两所学校高三年级分别有1000人,1100人,为了了解两所学校全体高三年级学生数学测试情况,采用分层随机抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩,并作出了如下的频数分布统计表,规定考试成绩在[120,150]内为优秀.分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)甲校频数1298乙校频数231015分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]甲校频数1010x3乙校频数15y31(1)计算x,y的值;【解析】(1)由题可知,采用分层随机抽样共抽取105人,1000∶1100=10∶11,所以甲校抽取105×1021=50(人),乙校抽取105×11故1+2+9+8+10+10+x+3=50,解得x=7,2+3+10+15+15+y+3+1=55,解得y=6;(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表,依据小概率值α=0.025的独立性检验,能否认为两个学校的数学成绩有差异?(注:x0.025=5.024)数学成绩学校合计甲校乙校优秀非优秀合计【解析】(2)由频数分布表可得2×2列联表为数学成绩学校合计甲校乙校优秀201030非优秀304575合计5055105零假设H0:两个学校的数学成绩无差异,所以χ2=105×(20×45-30×10)250×55×30×75≈6.109>5依据小概率值α=0.025的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为两个学校的数学成绩有差异.解题技法独立性检验解题策略(1)分清分类变量是什么;(2)计算χ2时注意运算顺序、运算技巧的应用;(3)注意与其他统计知识的交汇运用.对点训练第五代移动通信技术简称5G或5G技术,是最新一代蜂窝移动通信技术,也是继4G系统之后的延伸.为了了解市民对A,B运营商的5G通信服务的评价,分别从A,B运营商的用户中随机抽取100名用户对其进行测评,已知测评得分在70分以上的为优秀,测评结果如下:A运营商的100名用户的测评得分得分[40,50](50,60](60,70]频率0.180.230.3得分(70,80](80,90](90,100]频率0.240.030.02B运营商的100名用户的测评得分(1)根据频率分布直方图,分别求出B运营商的100名用户的测评得分的中位数和均值(同一组中的数据以该组区间的中点值为代表);【解析】(1)由题中频率分布直方图可知B运营商测评得分在区间[40,70]的频率为(0.008+0.016+0.026)×10=0.5,故B运营商测评得分的中位数为70;由题中频率分布直方图可知B运营商测评得分的均值为45×0.08+55×0.16+65×0.26+75×0.3+85×0.16+95×0.04=69.2.(2)填写下面列联表,依据小概率值α=0.01的独立性检验,推断测评得分优秀是否与运营商有关.(x0.01=6.635)运营商测评得分合计优秀非优秀AB合计【解析】(2)零假设H0:测评得分优秀与运营商无关.由题中频率分布表可知A运营商测评得分优秀的有100×(0.