2024届陕西省汉中市普通高中联盟高三上学期期中联考理数及答案

汉中市2023年普通高中联盟学校高三联考理科数学试题注意事项：1、试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，共4页.2、答第Ⅰ卷时考生务必在每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案3、第Ⅱ卷答在答题卡的相应位置上，否则视为无效答题前考生务必将自己的班级、姓名、学号、考号座位号填写清楚.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AxyBxx3AB1.已知集合，，则（）0,30,3D.2,3AB.C.2.已知非零向量a,b,c，则“acbc”是“ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件43.已知sin=，则2（）π577121225D.A.B.C.2525中，首项为3，若依次成等比数列，则的公差为（）a1，a3，76an4.在递增的等差数列n323233A.B.C.D.5.下列函数中，最小值为2的是（）2x23yxyexexyA.B.C.D.xx221sinxπ2ysinx0x第1页/共5页xfxx6.函数的图像大致为（）x2A.B.C.D.7.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底1面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3为3.那么近似公式VL2hπ相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）11357289A.B.C.D.185MFp8.若M是抛物线y22pxp0位于第一象限的点，是抛物线的焦点，F，则直线的斜2率为（）5545A.B.C.D.43329.“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为（）11116A.B.C.D.2013123a，bec10.设，，则（）πA.B.C.cbaD.abcπfxsinxcosx2x,π11.已知0，函数在2）单调递减，则的取值范围为（1528132411548,,,A.B.C.D.412.已知函数fxxR满足f2x1为奇函数，若函数ysinxyfx与的图象的交点为m,ym，…，，则m等于（）(x,y)(x,y)xy，1122iii1m2m4mA.0B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.第2页/共5页11i13.复数的虚部为_____.，，ABBC1，14.三棱锥S中，平面S的外接球的体积为为直角三角形，2，则三棱锥________.的前项和，且，则下列结论正确的是________.（填序号）SanSn2an1nN15.若为数列nna165S635是等比数列；④数列是等比数列aS1nn①；②；③数列.122x12x,ax0恒成立，则实数a的取值范围是16.已知a0，若对任意的，不等式ea______.三、解答题：本题共6小题，共70分.（一）必考题：共5小题，每小题12分，共60分的内角，B，C的对边分别为，，，sinCsinAsinBsinBsinC.abc22217.（1）求A；Acb，bc2a，求sinC.（2）若18.如图所示多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，平面ABCD，ADE是正三角形，VπAB2，CF3BAD，ABCD.四边形是菱形，3（1）求证：CF//平面（2）求点E到平面的距离.19.为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.ADE；a（1）求130（2）若按照分层的方法从质量指标值在110,130的产品中随机抽取7件，再从这7件中随机抽取2件，第3页/共5页求至少有一件的指标值在130的概率；（3）以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出4件，记这4件中优质产品的件数为X，求X的分布列与数学期望.x22y2222且离心率e1ab0，椭圆过点20.已知椭圆C的标准方程为.ab2（1）求椭圆C的标准方程；l:ykx1k0与Cx（2）直线相交于A，B两点，过C上的点P作轴的平行线交线段AB于点kk，判断是否为定值？并说明Q，直线k（OAPBQBPAQ的斜率为理由.ex21已知函数fxgxxx.，x（1）求函数的极值；gx的最小值；hxfxgxhx（2）若（3）若，求函数xxxx1，证明：.12hxa有两个零点，12（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线1的直角坐标方程为x2y24，以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4.2（1）求1的极坐标方程和的直角坐标方程；C2π0P0（2）若曲线与曲线C1、曲线C分别交于两点A、B，点2，求PAB的面积.6[选修4-5：不等式选讲]fxxaxb均为正数，设；ab623.已知、（1）当a1，b2时，求不等式fx0的解集；11（2）若的最大值为，求3的最小值.fxab第4页/共5页汉中市2023年普通高中联盟学校高三联考理科数学试题注意事项：1、试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，共4页.2、答第Ⅰ卷时考生务必在每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案3、第Ⅱ卷答在答题卡的相应位置上，否则视为无效答题前考生务必将自己的班级、姓名、学号、考号座位号填写清楚.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AxyBxx3AB1.已知集合，，则（）0,30,32,3A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求对数函数定义域，并结合集合的交运算即可.【详解】因为A{x|x，所以AB{x|0x.故选C.2.已知非零向量a,b,c，则“acbc”是“ab”的（）A.充分不必要条件C.充分必要条件【答案】BB.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【解析】【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，a,b,c,ab,当ABOC时，ab与c垂直，，所以成立，此时ab，∴不是ab的充分条件，第1页/共23页abc0c0当ab时，ab0，∴,∴成立，∴是ab的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.453.已知sin=，则π2（）7712251225D.A.B.C.25【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式及倍角公式求解.167π2cos22sin2121【详解】，2525故选：B中，首项为3，若依次成等比数列，则的公差为（）a1，a3，76an4.在递增的等差数列n323233D.A.B.C.【答案】C【解析】【分析】运用等比中项性质及等差数列通项公式计算即可.a}d0【详解】设等差数列的公差为d（na23a(a6)a，13，由题意知，17(12d)2a(a6d6)2d)36d)2所以，即，113d解得d3或，2因为d0，第2页/共23页所以d3.故选：C.5.下列函数中，最小值为2的是（）2x23yxyexexyC.A.B.D.xx221sinxπ2ysinx0x【答案】B【解析】【分析】运用基本不等式及对勾函数依次求各项的最小值即可.222【详解】对于A项，当x0时，x2x22，当且仅当x即x2时取等号，当xxx222x0时，x2x22，当且仅当x即2时取等号，故A项不成立；xxxx0，ex0，所以exeexex即x0时取等号，对于B项，因为exx2exx2，当且仅当e故B项成立；对于C项，令tx22（t2x2t22，t223t211所以yt，t2，ttt1yt在[2,)由对勾函数可知，上单调递增，t11322yt2所以当t2时，取得最小值为，故C项不成立；t21对于D项，令tsinx（0t1yt，，0t1t1yt(由对勾函数可知，上单调递减，t11πyt(2,)ysinx)在上无最小值，故D项不成立.所以的值域为，此时函数tsinx2故选：B.xfxx6.函数的图像大致为（）x2第3页/共23页A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再由特殊值判断.xxfx为偶函数，排除CD；fxxx【详解】因为x2x2cosxfx当x0时，fxx，且x时，，所以正确，B错误；Ax2故选：A7.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底1面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3为3.那么近似公式VL2hπ相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）11357289A.B.C.D.18【答案】A【解析】【分析】由圆锥的体积公式计算即可.1L31311336Vπ()2hL2hπ，所以【详解】由题意知，，即.32π11312π113故选：A.52pxp0MFp8.若M是抛物线y2位于第一象限的点，是抛物线的焦点，F，则直线的斜2率为（）5545A.B.C.D.4332【答案】C【解析】x2pMy2p，运用两点斜率公式计算即M【分析】由抛物线的定义可求得，结合抛物线方程即可求得可.第4页/共23页ppF(,0)xM(x,y)，设，MM【详解】由题知，，抛物线的准线方程为22p5pp由抛物线的定义知，|MFxM，即xM，所以xM2p，222y2M2pxM4p2所以，y2pM又因为M位于第一象限，所以，M(2p,2p)所以所以，2p04kp3.2p2故选：C.9.“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为（）11116A.B.C.D.20【答案】D【解析】“”“智“信依次插空放入共有20A55有种方法，根据古典概型求解概率.【详解】选将“仁、义、礼”放好保持顺序不变，将“智”插空放入有4种方法，将“信”插空放入有5种方法，共有20种方法，A55将“仁义礼智信”排成一排共有种方法，2016因此将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为故选：D.A5513123a，bec，10.设，则（）πA.【答案】B【解析】B.C.cbaD.abc【分析】运用不等式的性质和幂函数单调性比较大小即可.第5页/共23页131【详解】因为3π，所以，即ac，π231113e222又因为，，所以，所以，即ba，(e3)3<330<e3<32e3e3综述：bac.故选：B.πfxsinxcosx132x,π11.已知0，函数在2）单调递减，则的取值范围为（15115,,,A.B.C.D.2824448【答案】D【解析】2π12Tπxπ【分析】运用降次公式及辅助角公式化简函数fx)，结合、换元法及2224复合函数单调性求解即可.11cos2x2π1【详解】因为fxsinxcosx2xsinxx)在22242π(,π)上单调递减，2Tππππ所以，即，222又002，，所以π令tx，4πππxπ+t+2，所以0因为，，244ππ21sint(+,2+)（02）上单调递减，所以问题转化为y在2244ππysint+,2+)02）上单调递减，所以问题转化为在（44第6页/共23页ππ9πππ17ππ3π++ysint(2π,2π)kZ，又，，单调递减区间为，44444422πππ3π+,2+)[,]，所以442202ππ15+.所以，解得423π48π+42故选：D.12.已知函数fxxR满足f2x1为奇函数，若函数与图象的交点为ysinxyfx的m,ym，…，，则m等于（）(x,y)(x,y)xy，1122iii1m2m4mA.0B.C.D.【答案】B【解析】ysinx与yf(x)两个图象都关于0)对称，进而可得两个图象的交点也关于【分析】由题意知，0)对称，进而可求得结果.f(2xf(2xf(2x，【详解】因为为奇函数，所以0)所以f(x)关于对称，xπ,kZxk,kZ因为，ysinxysinx(k,0)，kZ，所以的对称中心为0)对称，所以也关于ysinx与yf(x)0)两个图象的交点也关于对称，所以(x,y)i所以对于每组对称点和(x,y)均满足xi2，ii0，iiiimmmmxyii20m.i1所以i1iii12故选：B.第7页/共23页第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.11i13.复数的虚部为_____.1##0.5【答案】【解析】2【分析】根据复数的除法法则运算出结果即可.11i1i1i12,故所求虚部为【详解】.1ii)2221故答案为：.2，，ABBC1，14.三棱锥S中，平面S的外接球的体积为为直角三角形，2，则三棱锥________.【答案】6π【解析】【分析】根据题意，将三棱锥补全为一个长方体，即可得到长方体的体对角线即为三棱锥外接球的直径，再由球的体积公式，即可得到结果.【详解】S由题意可将三棱锥补全为一个长方体，如图所示，则长方体的体对角线SCSA2AB2BC6，26即三棱锥外接球的直径为2RSC6，所以R，236443所以三棱锥外接球的体积为VR3π6π.32故答案为：6π的前项和，且，则下列结论正确的是________.（填序号）SanSn2an1nN15.若为数列nn第8页/共23页a165S635是等比数列；④数列是等比数列.aS1①；②；③数列nn【答案】①③【解析】n1与n2时数列a}a2n1S21，nnnn别代入n5可判断①②，运用等比数列定义法可判断④.Sa1【详解】因为，nn所以当n1时，aS2a1，解得a1，1111aSS2an1(2an12an2an1a2a，即nn1当n2时，，nnn1a1，公比为2，故③正确1qa}所以所以为等比数列，首项为n1qn12n1an，n1an2综述：.S2a12n1，所以所以nnS122，nn当n5时，当n5时，a251216，故①正确；45S2131，故②错误；55Sn1Sn112n1222因为不是一个与n无关的数，故④错误.2n222n所以正确的有①③.故答案为：①③.1x,2x1216.已知a0，若对任意的，不等式eax0恒成立，则实数a的取值范围是2a______.2,+【答案】e【解析】【分析】对已知不等式进行变形可得axeaxeln(2x)x)，通过构造新函数gx)ex，结合导数的性质与第9页/共23页tax)2xht)t，求导分析单调性与最值即可.单调性可得恒成立，再构造2t12ln(2x)1212ln(2x)a0ax0x,axe【详解】因为，不等式e对任意的恒成立，即恒成立，aa即e2ln(2x)，进而转化为aaxeax2x)ex)x)恒成立.令gx)xx，则gx)x+1)ex，当ex0时，gx0，所以gx)在(0,)上单调递增，1ln(2x)则不等式eax0恒成立等价于gax)gx恒成立.2a12a0x,，ax0ln(2x)>0，所以，，因为12ax)所以axx对任意的x,恒成立，所以恒成立.22xt1thtt1)ht设，可得，tt2eht)0，ht)时，当1te时，ht)0ht)单调递增；当t，单调递减.12ea1e所以当te时，函数ht)取得最大值，最大值为h，此时2xe，所以a，解得，即实e22ea,数的取值范围是.2,+.故答案为：e【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．三、解答题：本题共6小题，共70分.（一）必考题：共5小题，每小题12分，共60分的内角A，B，Cac的对边分别为，b，，sinCsinAsinBsinBsinC.22217.（1）求A；cb，bc2a，求sinC.（2）若π【答案】（1）A362（2）4【解析】第10页/共23页1）由正弦定理角化边，结合余弦定理即可求得结果.（2）由正弦定理边化角可得sinBsinC2sinA，结合sinBsin(AC)及辅助角公式即可求得结果.【小问1详解】因为sin2Csin2Asin2BsinBsinC，由正弦定理得：c2a2b2bc，即bcb2c2a2，b2c2a2bc12又由余弦定理A，bcbcπA(0,π)A又因为【小问2详解】由bc2a及正弦定理得：sinBsinC2sinA（*，所以.3sinBsin(AC)中，ABCπ，所以，又因为在所以“*”式为sin(AC)sinC2sinA，即sinACAsinCsinC2sinA，π又由（1）A，33123π2sinCsinC2sin(C)62所以有C2π，整理得，22ππ5π0CC因为，，3666πππ3ππ7π所以C或C，解得C或C，646412πcb，所以C又因为，πππππππ232162所以sinCsinsin()sinsin.124646462222418.如图所示多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，平面ABCD，ADE是正三角形，VπAB2，CF3BAD，ABCD.四边形是菱形，3第11页/共23页（1）求证：CF//平面ADE；（2）求点E到平面.【答案】（1）证明见解析6（2）2【解析】ABCDEO//CF1平面理即可证得CF//平面ADE.（2）法一：运用等体积法VFCE求解即可.E法二：建立空间直角坐标系，运用空间点到面的距离公式计算即可.【小问1详解】取AD中点O，连接EO，如图所示，EOAD因为VADE是正三角形，所以，ABCD，平面，平面ABCDAD平面，又因为平面平面ADEADEABCD，所以平面又因为平面ABCDEO//CF，所以，又因为平面ADE，CF平面【小问2详解】ADE，所以CF//平面ADE.法一：设点E到平面的距离为为d.由（1）CF//平面ADE，所以点F与点C到平面ADE的距离相等，ADE和三棱锥C的体积相等，所以三棱锥F第12页/共23页所以VFCE，E连接BD、AC相交于点O，如图所示，ABCDAB2，BAD60，因为四边形为菱形，12S△ADsin1203所以，ADC，由题VADEEO3是等边三角形，边长为，易知，由（1）所以V平面211ESEO331.E△33由题，在Rt中，DC2，CF3，所以7，易知AC23，所以在在△RtACF中，AF15，中：AD2，7，AF15，7427由余弦定理可得，所以sin，71427所以△276，216又因为VSd1，所以d.E326即点E到平面的距离为.2法二：取AD中点O，连接、，AB2BAD60，所以△ABD，为等边三角形，ABCD因为四边形为菱形，所以OBAD，ABCD，所以，，EOOB由（1）知，平面所以以O为坐标原点，以x为轴，为y为轴建立空间直角坐标系，如图所示，轴，z第13页/共23页)则0)，B(0,3)，C(3,0)，F(3,3所以OA0)，(3,3)，OE(0,3)，n(x,y,z)设平面的法向量为，x0n0y1n则，得，取，则，n02x3y3z0|n|326则E到平面的距离d所以E到平面的距离为，|n|26219.为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.a（1）求130（2）若按照分层的方法从质量指标值在110,130的产品中随机抽取7件，再从这7件中随机抽取2件，求至少有一件的指标值在130的概率；（3）以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出4件，记这4件中优质产品的件数为X，求X的分布列与数学期望.a【答案】（1），优质率为25%5（2）7E(X)1（3）分布列见解析，【解析】第14页/共23页1）由频率分布直方图中，所有频率之和为1及优质率的定义即可求得结果.（2）由分层抽样可得质量指标在即可.有件，质量指标在43有件，结合古典概型求其概率1X~B（3）由题意知，4件产品中优质产品的件数服从二项分布，即【小问1详解】，进而运用公式求解即可.4因为0.0050.040.03a0.005101a，所以，产品质量指标超过130的频率为0.020.005100.25，所以这批产品的优质率为25%.【小问2详解】和因为质量指标在的频率分别为0.4和0.3.0.40.40.3所以质量指标在产品中抽取7件，则质量指标在有74件，质量指标在0.30.40.3有73件.C14C13CC3272152157所以从这7件中任取2件，至少有一件质量指标在【小问3详解】的概率为P.1因为抽到产品为优质产品的频率为0.25，以频率作为概率，所以每件产品为优质产品的概率为.414X~B所以4件产品中优质产品的件数.k4k.13则P(Xk)C4k，k2,3,4，4404113811310827P(X0)C04，P(XC14所以44，，256442566422131354273123P(X2)C42，P(XC43444256128425664141P(X4)C444，256第15页/共23页所以X的分布列为X012348127642731P256128642561E(X)41.4x22y2222且离心率e1ab0，椭圆过点20.已知椭圆C的标准方程为.ab2（1）求椭圆C的标准方程；l:ykx1k0与Cx（2）直线相交于A，B两点，过C上的点P作轴的平行线交线段AB于点是否为定值？并说明Q，直线k（OAPBQBPAQkk，判断的斜率为理由.x2y21【答案】（1）84（2）是定值，理由见解析【解析】1）由椭圆离心率公式及所过点适合椭圆方程即可求得结果.APBQBPAQkk02208可得2（2）由可知平分，进而可得x，再结合0(2ykx)[(xky]0P(x,y)不在直线l:yk(x2ykx00000000012kk理可得.【小问1详解】，所以b2..因为椭圆过点ba2212e21，所以a28.又因为x2y21.所以椭圆的标准方程为84【小问2详解】APBQBPAQ平分kk，互为相反数，即由可知，则直线AP，BP的斜率APkk0，第16页/共23页(x,y)B(x,y)P(x,y)设，，，01122022xy1由84得，(2k2x24k2x2k280，yk(x4k22k2k2281由韦达定理可得：x+x=，12，122+2k11y0y2y0kk0(yy)(xx)(yy)(xx)0，则，10202010而即1020[k(xy](xx)[k(xy](xx)102020102x(yk)(xx)2x(yk)0，120012002k22814k2于是2k(00k)20(0k)02k2k(yk)2x(yk)(2k0，212k(2k24k22整理得00002y(xk2(x8)kxy0化简得：，00000x208y204P(x,y)1，即x20208，2又因为在椭圆上，所以0020202xx8，00所以2y(xk2(20202x)kxy0，即00000(2ykx)[(xky]0整理得，0000P(x,y)不在直线l:yk(xy0kx1，所以2ykx0，00又因为上，则有000y12k0kk即，012为定值，且kk所以kk.第17页/共23页ex21.已知函数fxgxxx.，x（1）求函数的极值；gx的最小值；hxfxgxhx（2）若（3）若，求函数xxxx1，证明：12hxa.有两个零点，12【答案】（1）极大值为1，无极小值（2）e1（3）证明见解析【解析】即可求得极值.g(x)0g(x)0、1）求导后解不等式h(x)（2）运用导数研究的单调性，进而可求得其最小值.yexx（3）由已知可得e1111e2222，构造函数，根据其单调性可得1xxxxx，构造函数2M(x)xx并研究其单调性，构造函数T(x)M(x)M112并研究其单调性，当x1时，依次结合函数yT(x)、yM(x)的单调性即可证得结果.【小问1详解】11x(0,)，g(x)1g(x)由题意知函数的定义域为，xxg(x)00x1g(x)0x1，，g(x)(上单调递增，在)上单调递减，所以所以g(x)x1处取得极大值，极大值为1，无极小值.在【小问2详解】ex由题意知函数hx(0,).xx的定义域为xexx(xex(x1ex(xxx21，h(x)x2xx2x2，h(x)0x1h(x)00x1，则h(x)()上单调递减，在上单调递增.所以第18页/共23页h(x)he1.所以【小问3详解】1xx011x，201.不妨设，则由（2）知122e1e2S(x)h(x)aSxSx，得0xx22，设即，由121112e1111e2222，yexxx上单调递增，所以112x因为函数构造函数在R成立2.1x1M(x)xxM(x)1，则，xxM(x)0x1M(x)00x1，，M(x)xx()上单调递减，在上单调递增，所以1