2024届辽宁省北镇市高中高三上学期第四次月考数学试题及答案

2023～2024学年度第一学期第四次月考高三数学试卷考试时间120分钟试卷满分150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）27,xAx3xBxZ2x2AB1.设集合，，则（）22x2x30,1A.B.C.）C.D.，则（z342.已知复数z满足z145255A.B.D.D.5553.若圆锥的母线长为6，其侧面展开图的面积为12π，则这个圆锥的体积为（）2πA.24πB.8πC.162π3aab4.已知a，b是单位向量，若1，则在b上的投影向量为（a）11a13abbD.A.B.C.3335.设aR,若直线l:ax2y801与直线l:x(ay402a平行,则的值为A.1B.11C.2或1D.1或2x16.已知函数f(x)sin2sinx(0)，xR.若f(x)在区间,2)内没有零点，则的取值范222围是1815,158115,A.B.C.D.488487.折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．图COD2中的扇形OCD为一把折扇展开后的平面图，其中，1，设向量3mOCOD，nOCkOD，若mn11，则实数的值为（k）A.1B.3C.7D.14xaexa恒成立，则实数a的取值范围为（8.若A.）x1e,D.,B.C.e4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列函数中，是奇函数且在区间上是减函数的是（）1fxexfxC.f(x)x32xD.fxsinxA.B.x10.已知、、l是三条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）mnA.若//，mm//，则mn，//，B.若，则m//nC.若m//n，m，则nmnm/n/，lm且ln，则l是异面直线，，D.若、中，，，则（）aa251811.在等比数列nA.n1的公比为4log2an的前20项和为170B.aan3的前项积为an1的前项和为n11aa2C.10235D.nnn212.已知定义在R上的函数满足fx2f(x)f(x)，在下列不等关系中，一定成立的是（）e2ff2e2ff2A.C.B.D.fee2e4f2fee2e4f2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.，则213.已知锐角满足tan_______________.的前项和为，若，，则aSn12an13SnNa414.数列15.在三棱锥n______．nnPABCPA中，是边长为2的等边三角形，平面，若P，A，B，C四点都在表面积为16π的球的球面上，则三棱锥PABC的体积为______．A的最大值是,B,Ca,b,c3sinA2sinBcosC，a116.所对边分别为_______________四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.是首项为的等比数列，且91，2，a3成等差数列.a17.已知1n（1）求数列的通项公式；anbacabc的前项和，求数列nnSn（2）设，.n3n1nnnπfxAsin（A0，0，）x018.已知函数的图象相邻两条对称轴间的距离为2π．函数的最大值为2，且______．fx2π6fxx0时fx3；③请从以下3个条件中任选一个，补充在上面横线上，①为奇函数；②当πx的一条对称轴．并解答下列问题：fx是函数12（1）求函数的解析式；fxbAfA3，c3，ac中，、，分别是角，B，C（2）在的对边，若的面积S33a，求的值．-ABCAB，BB1的中点，且AA1ACBC2，19.如下图，在直三棱柱AB22.中，D，E分别为111ECD（1）求三棱锥的（2）求直线体积；ACD所成角与平面的余弦值.1的前项和为SnSn2an2n6nN．，a*20.设数列nn（1）求证数列a2为等比数列，并求数列的通项公式an．nnn12127258项和T，求m的值，（2）若数列的前maamnn1中,B,Ca,b,c21.在锐角，内角的对边分别为，且sinCsinBaBbA.absinAsinB（1）求角A的大小；b2c2（2）若外接圆的半径为3，求的取值范围.a2hxxax22.已知（1）若有两个零点，求的取值范围；hxae1x2e2h0（2）若方程有两个实根x1、x2，且21，证明：2.axelnxxx2023～2024学年度第一学期第四次月考高三数学试卷考试时间120分钟试卷满分150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）27,xAx3xBxZ2x2AB1.设集合，，则（）220,1x2x3A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解指数不等式化简集合A，用列举法表示集合，再进行并集运算即可.Ax3x27,xNxxxN2，【详解】由题意知BxZ2x20,1，AB2.所以故选：A.，则（）2.已知复数z满足z34z154525A.B.C.D.555【答案】B【解析】zz【分析】根据复数的除法运算，求出复数，然后利用z即可求解.43433342，所以z【详解】因为复数满足z34zi，552242255所以zz.55故选：B.3.若圆锥的母线长为6，其侧面展开图的面积为12π，则这个圆锥的体积为（）2πA.24πB.8πC.162πD.3【答案】D【解析】【分析】根据圆锥母线即侧面展开图可求得底面圆半径，再利用勾股定理可求得圆锥的高为h42，由体积公式即可得结果.【详解】由题可知圆锥的侧面展开图扇形的半径l6，162r12π42，，解得r2，设底面圆的半径为r，则2所以圆锥的高hl2r21162π所以该圆锥的体积V故选：D.π2242.33，则在b上的投影向量为（aab4.已知a，b是单位向量，若1a）11a13abbD.A.B.C.333【答案】D【解析】13ab【分析】根据已知可推得，进而即可求出投影向量.aabaab1ab0，2【详解】根据已知可得13ab所以，.13abbb所以，a在b上的投影向量为故选：D..bb5.设aR,若直线l:ax2y801与直线l:x(ay402a平行,则的值为2或1D.1或2A.1B.1C.【答案】B【解析】【分析】由a（a+1）﹣2=0，解得a．经过验证即可得出．【详解】由a（a+1）﹣2=0，解得a=﹣2或1．经过验证：a=﹣2时两条直线重合，舍去．∴a=1．故选B．【点睛】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．x121,2)内没有零点，则的取值范xR6.已知函数f(x)sin2sinx(0)，.若f(x)在区间22围是1815,158115,A.B.C.D.48848【答案】D【解析】24k+【分析】先把化成f(x)sinx的零点的一般形式为fx，fx，求出4x,kZ2,2)根据f(x)在区间k内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到k所求的取值范围.111224【详解】由题设有f(x)xsinxsinx，222k+fx0，则有xk,kZ令即4.x,kZ4,2)因为f(x)在区间内没有零点，4，k+k+k故存在整数，使得4145k1k5即，因为0，所以，k1且k，故k1或0k，k42828114580所以故选：D.或8【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题.7.折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．图COD，1，设向量2中的扇形OCD为一把折扇展开后的平面图，其中3mOCOD，nOCkOD，若mn11，则实数的值为（k）A.1B.3C.7D.14【答案】D【解析】1【分析】先利用题意算出，然后利用数量积的运算律对2mnkOD11进行化简，即可求解COD1【详解】因为，，312所以，3因为向量mOCOD，nOCkOD，mn11，22所以kOD6k42k11，16k42k11，解得k14即2故选：Dxaexa恒成立，则实数a的取值范围为（8.若）x1ee,,A.B.C.D.【答案】A【解析】xaexae(e(xx变形为，通过构造函数【分析】将xg(x)(xx(x0)g(x)(xx(x0)g(x)，对求导，利用导数与函数的单调性间的关系，得到x(0,)单调递增，从而得到eaexa恒成x，进而将在区间xxxa恒立，构造函数G(x)，再对G(x)进行求导，求出G(x)的立转化成ex恒成立，也即xx单调区间，即可求出结果.x【详解】易知，x0，由aexa，x得到exxxax0，可变形为lne(e(xx0，即e(e(x，xxaexae(e(xx恒成立，即恒成立，所以xx1g(x)(xx(x0)x1g(x)x令令当即，则，x11x1h(x)xh(x)2，则，xxxx2xh(x)0，x)h(x)0时，，时，h(x)(h(x)h20)上单调递增，上单调递减，在区间(0,)上恒成立，g(x)0所以，即在区间g(x)(xx(x0)(0,)上单调递增，所以在区间又e(e(，所以exxaxx恒成立，x恒成立，也即xa又x0，所以恒立，xx1x令G(x)，则G(x)，xx2x(0,e)Gx0x(e,)Gx时，0当时，，当，即G(x)在区间(0,e)(e,)上单调递增，在区间上单调递减，1e1故G(x)G(e)，所以a，e故选：A.xaexae(e(xxx【点睛】关键点晴：将变形为，通过构造函数xg(x)(xx(x0)xa，利用导数与函数的单调性间的关系，得到恒立，再转化成求函数xG(x)的最值即可解决问题.x4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列函数中，是奇函数且在区间上是减函数的是（）1fxexfxC.f(x)x32xD.fxsinxA.B.x【答案】BC【解析】【分析】根据所给条件，逐一分析各选项中函数的奇偶性及其在区间上的增减性即可.【详解】对于A，函数fxex的定义域为R，是增函数，A不对；对于B，函数fxsinx上单调递减，B对；的定义域为R，是奇函数，并且在1，是奇函数，并且在上单调递减，C对；fx(,0)(0,)对于C，函数对于D的定义域为x2xfxf(x)x32x的定义域为Rf(x)x32xx3f(x)3x2，2数求导66，函数单调递减，即3x220，解得f(x)0xf(x)x2x递减区间是3当，所以3366(,).D不对．33故选：BCmn、l是三条不重合的直线，、，10.已知是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若//，mm//，则mn，//，B.若，则m//nC.若m//n，m，则nmnm/n/，lm且ln，则l是异面直线，，D.若、【答案】ACD【解析】【分析】由线面、面面的位置关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】若//，mm//，由面面平行的性质定理可得成立，故A正确；两个平行平面内的两条直线位置是平行或异面，即m//n不一定正确，故B错误；n若m//n，且m，则，故C正确；am/a，所以存在直线，a//m，又lm，所以la，如图，因为且满足同理存在直线b，b且满足b//n，又ln，所以lb，abAmna是异面直线，所以与相交，设bab，又，，因为、所以l，故D正确.故选：ACD.中，，，则（）aa251811.在等比数列nA.n1的公比为4log2an的前20项和为170B.aan3的前项积为an1的前项和为n11aa2C.10235D.nnn2【答案】ABC【解析】【分析】利用等比数列的性质、等差数列、等比数列的求和公式计算即可.522q12q38q1【详解】由题意可知，所以，aa12n12n2n1n2q24a所以，，A对；nnn12an2aaa1018170由上可知：，所以，2n2122220B对；22108235aa10而，C对；1记的前n项和为，则aSnn121212n12n1an1的前n项和，a12322nnSnSn111212D错，故选：ABC.12.已知定义在R上的函数满足2f(x)f(x)，在下列不等关系中，一定成立的是（）fxe2ff2e2ff2A.C.B.D.fee2e4f2fee2e4f2【答案】AD【解析】fxgx在R上单调递减，然后根据单调性比较大小即可.【分析】构造函数gx，求导得到e2x2fxfx，所以xf2fx0【详解】因为fx2fxfx令gx，则gx，e2xe2x因为，，所以，所以在gxR上单调递减，f2fxx0e2x0gx0f2f1，即g1g2，即2，故A正确，B错；ef1f2e2e4fe2ef2，即geg2，即24，故C错，D正确.f2fee4故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知锐角满足tan4sin，则2_______________.7【答案】【解析】8【分析】利用同角三角函数基本关系及倍角公式变形计算即可.sincostan4sin，又为锐角，【详解】因为，所以1cos1所以所以4，即，412722cos21214.87故答案为：8的前项和为，若Sn，，则a4a12an13SnN14.数列n______．nn【答案】96【解析】1,n1anan14an2a3S6，求出，从而得到答案.21【分析】根据求出，SS,n2nnn1【详解】②，an13SnN①，a3Sn1n2nn两式相减得a，故a4an2，，n1nan1a3SSnnn1nan13Sn1得，a3S6令中，n21aa4261696.所以42故答案为：9615.在三棱锥PABCPA，若P，A，B，C四点都中，是边长为2的等边三角形，平面在表面积为16π的球的球面上，则三棱锥PABC的体积为______．4242【答案】【解析】##33PA三棱锥体积公式即可求得答案.【详解】设O为正的中心，M为的中点，1过点O作平面的垂线l，由于PA，故l∥PA平面，1在l,PA确定的平面内作l，垂足为O，则四边形OO1AMOAOBOC为矩形，O,OB,OC连接，则，111111故，则O即为三棱锥PABC外接球的球心，因为P，A，B，C四点都在表面积为16π的球的球面上，4R16,R2，2设外接球半径为R，故23233是边长为2的等边三角形，故1A2,322233463故PA2R2AO2124，11134642PABCV(2)所以三棱锥故答案为：的体积2，32233423A的最大值是,B,Ca,b,c3sinA2sinBcosC，a116.所对边分别为_______________π【答案】##o6【解析】【分析】由题意，利用正弦定理将3sinAcosA的范围，得解；或利用三角恒等变换结合正切函数的性质即得.2sinBcosC角化边，再结合余弦定理可得b2c22a2，代入cosAa消去，利用基本不等式求出【详解】解法一：3sinA2sinBC，a2b2c2cosCCabcosC代入，可得由正弦定理得abcosC，由余弦定理得，将2abb2c22a2，132bcb2c2a2b2c2而A，消去a2可得1bc3，22A=（+bc4cb当且仅当byxc时取等号.(0,π)在上单调递减，π.6sinAsin(BC)sinBCBsinC，又3sinA2sinBcosC，C0，C为锐角，且sinBC3cosBsinC0，tanB3tanCB即为钝角，A为锐角，BtanC1BtanC13tanC2tanC23Atan(BC)≤而21，33tanCtanCπyx在上单调递增，2π.6π故答案为：6四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.是首项为的等比数列，且91，2，a3成等差数列.a17.已知1n（1）求数列的通项公式；anbacab的前项和cnSn.（2）设，，求数列n3n1nnnnan1【答案】（1）n32n1n13S（2）n44【解析】1）设等比数列的公比为，根据已知根据等差中项的性质列出关系式，求解即可得出qanq3；bncn3，然后根据错位相减法求和，即可得出答案.n（2）根据（1）的结论得出【小问1详解】，nn设等比数列的公比为，qq0，an91，aa因为所以，成等差数列，236a9aa6aq9aaq2，即，21311120，解得q3.6q9q3q2化简可得a11又，所以数列的通项公式为a1n1n1.nan【小问2详解】balog33nn因为所以，n3n1cabn3n，nnnS131232333n3n则，①，n3Sn13Lnn12233334，②313n31nn1nn1nn1，①-②得2S3132333nn132232n1n13S所以.n44πfxAsin（A0，0，0）的图象相邻两条对称轴间的距离为x18.已知函数2π．函数的最大值为2，且______．fx2π6fxx0时fx请从以下3个条件中任选一个，补充在上面横线上，①为奇函数；②当3；③πx的一条对称轴．并解答下列问题：fx是函数12（1）求函数的解析式；fxbAfA3，c3，ac中，、，分别是角，B，C（2）在的对边，若的面积S33a，求的值．π3fx2sin2x【答案】（1）（2）21【解析】π1）由最大值确定A，根据相邻两条对称轴间的距离为确定最小正周期，从而确定，选①，26ff0=3，求解即可；选②，，求解即可；选③，整体思想可得ππ2π(xZ)，求解即可.122（2）利用面积公式求出b，结合余弦定理即可求解.【小问1详解】TπA由题意得，222π∴最小正周期Tπ，则2，T∴fx2sin2x.66fxf，若选①，为奇函数，则π3π32sin0sin0∴，即πππ0∵∴，即，2336ππ0即，33π∴fx2sin2x.3若选②，当x0时fx3，3∴2sin3即sin，20∵，2π∴，3π∴fx2sin2x.3πx的一条对称轴，fx若选③，是函数12πππ2π(xZ)即π(xZ)∴∵12230，2π∴，3π∴fx2sin2x.3【小问2详解】fA3，∵π3π332sin2A3sin2A∴,即，2ππ7π333A(0,π)2A,∵∴即，π2ππ2AA，即，336S33，又∵c3，的面积1bcsinA33∴在得b43，2中，由余弦定理得：a2b22cbcA，解得a21.-ABCAB，BB1的中点，且AA1ACBC2，19.如下图，在直三棱柱中，D，E分别为111AB22.ECD（1）求三棱锥的体积；（2）求直线【答案】（1）110与平面ACD所成角1的余弦值.（2）5【解析】A为底面，CD1ECD的体积；1）以为高，可求得三棱锥（2）利用坐标法求线面夹角正弦值，进而可得余弦值.【小问1详解】三棱柱-ABC为直三棱柱，1111A为矩形，1ABBAABB1AABCAB平面，即平面平面平面，且平面111AA1ACBC2，AB22，且点D为AB中点，CDAB，且为直角三角形，CD，2\CD^1A，1平面BB又点E为中点，12BD2BE22132，21DAA21AD22226，3，2AEAB211E22212111E221D2AD1，即，11111所以VC1DESCDADCD6321；ECD1DE133232【小问2详解】如图所示，以点C为坐标原点，x为轴，为y轴，CCz为轴，1则A2,0,2，，，，C0,0,0D0E2,11CA2,0,2CD0CE2,1，，，1设平面的法向量为，ACD1nx,y,zCAn2x2z01，令x1，则，1n则CDnxy0155012111CE,n所以，2202212212155即sinθ，5所以cos，10即直线与平面ACD所成角1的余弦值为.5的前项和为SnSn2an2n6nN．，a*20.设数列nn（1）求证数列a2为等比数列，并求数列的通项公式an．nnn12127258（2）若数列的前m项和Tm，求m的值，aan1na2nn2【答案】（1）证明见解析，（2）7【解析】an2an122a2为等比数列，可求数列nSan1）利用数列中与的关系，得，可证明数列n的通项公式an．nn12127项和T，由Tm求m的值.（2）利用裂项相消求数列的前mmaa258n1n【小问1详解】S2a2n6n1时，S2a4a4，解得．1因为，所以当nn11当n2时，S2an12n8，则SS2an2an12，n1nn1an2an12a2a22a221整理得，故，，nn1所以数列a2是首项为2，公比为2的等比数列，所以a222n12．所以nna22nnn【小问2详解】2n12n12121n2，2n12n2n12anan122n数列的前m项和bn11111111m121421m112222m1m2L2，4661010142m22212212722，则2m1256，解得m7则，则，故m的值为7．2m122582m12258中,B,Ca,b,c，21.在锐角，内角的对边分别为且sinCsinBaBbA.absinAsinB（1）求角A的大小；b2c2（2）若外接圆的半径为3，求的取值范围.a2π【答案】（1）A353,2（2）.【解析】12abc，即可得A1）根据题意由正弦定理以及两角和的正弦公式可得b2c22，结合π角的范围可得A；3（2）利用正弦定理可得a3，b23sinB，c23sinC，代入表达式利用三角恒等变换可得b2c2432πb2c253sin2B,2，再根据角的范围由三角函数值域即可得6.a23a2【小问1详解】因为absinAsinBsinCsinBaBbA，由正弦定理得sinAsinBsinAsinBsinCsinBsinABsinBAsinCsinBsinABsinCsinBsinC，由正弦定理得ababcbc，所以b2c22abc，b2c2a2bc12由余弦定理得A，bcbcπAπA又，所以.23【小问2详解】abc23，由正弦定理得sinAsinBsinC所以a23sinA3，b23sinB，c23sinC，2ππ224sin2B4sin2B4sin2B4sin2B23sinB23sinC所以b2c233a293314142π1因为所以2sin2B3sin2B3sin2B2Bsin2B，633333ππABB是锐角三角形，所以，所以，226ππ5π666π12B,sin2B,1，所以，62b2c253,2，所以a2bc2253,2即的取值范围是.a2hxxax22.已知（1）若有两个零点，求的取值范围；hxae1x2e20（2）若方程axexlnxx有两个实根x、xx，且22x1，证明：h.1210a【答案】（1）e（2）证明见解析【解析】xyafx1与函数的图象有两个交点，利用导数分x析函数的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围；fxaa的分类讨论，研究函数的单调性与极最值，通过分析原函数图a象，数形结合求得实数的取值范围.txeaxexxextxe1，11（2x1t1t2tt1的两个零点，进而可得ahx2，要证，即证txe2h120h是222a121t2k1k121t2tttktt2t1kk112212t21t21t2t21t21进行证明即可；tt1是的两个零点，证，txe1txe2hxh120h解法二：首先根据已知条件、11222a2212ttt2t2即证，然后分和两种情况进行分类讨论，最终构