2024届江西省宜春市宜丰中学高三上学期12月月考数学试题及答案

江西省宜丰县2023-2024（上）创新部高三12月考试数学试卷一、单选题（40分）3xM2Nx|yln(x2MN1.已知，则（）122,3A1,0B.C.D.33,bm,1m，则（a-2.已知向量，且夹角的余弦值为）52424A.0B.1C.0或D.D.7735)sin3.若，则47117C.A.B.2555满足n，，则数列的前项和为（）aan12sin1anN*a4.数列80nnn2A.1640B.1680C.2100D.21205.正四面体ABCD的棱长为1，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当PAPD取得最小值时，点P到AD的距离为（）326632232A.B.C.D.1212124x，过点a,b作曲线fxfx的切线，下列说法正确的是（6.已知函数）ex4aA.当0a2时，可作两条切线，则b的值为e2B.当a2，b0时，可作两条切线4C.当a0，b时，有且仅有一条切线e24时，可作三条切线，则0bD.当a07.在长方体e2ABCD3，M、BB的中点，点P在对1中，AB4、N分别为棱AB、1111ACAP3上，且1N角线，过点M、、P作一个截面，该截面的形状为（）11A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形第1页/共5页8.已知函数fxsinx2axaxx，x0，fx0）a，则实数的取值范围是（141131,,A.B.C.D.43二、多选题（20分）9.在中，下列命题中正确的有（）A.若ab，则sinAsinBB.若sinAsinB，则AB11B，则AB则AB22C.若AD.若sin2Asin2B-ABC的各棱长都为1，1110.已知正三棱柱A.直线1与直线E为AB的中点，则（）1AE为异面直线的正弦值为11//A1B.C.二面角平面5AA157πD.若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为311.设定义在R上的函数的导函数为fxfx，若fx2与均为偶函数，则下列说法一定fx1正确的是（）A.C.的图象关于的一个周期fxB.2为fxx=1对称的图象关于2,0fx为偶函数fx对称D.x2y221b0的左右焦点分别为F1F，点2P2,1在椭圆内部，点Q在椭圆12.已知椭圆C：、4b上，椭圆Ce的离心率为，则以下说法正确的是（）2eA.离心率的取值范围为226QFQP的最大值为4B.当e时，142C.存在点Q012，使得11D.的最小值为121三、填空题（20分）第2页/共5页13.在(3y)(xy)4x2y3的展开式中的系数为___________.14.3个大人和2个小孩乘船游玩，现有船3只，1号船最多装3人，2号船最多装2人，3号船最多装1人，可从中任选2只或3只船乘坐，但一只船上不能只有小孩，则有______种不同的分乘方法.x,0x2fx15.设f(x)m，且xi2,3,4有四个不相等的实根i若方程f4x,2x4xxxx，则xx2x32x24的取值范围为___________.123412x22y216.已知点F是椭圆到椭圆上的动点Q的距离的最大值不超过P0,3a的右焦点，点aPQQF25，当椭圆的离心率取到最大值时，则四、解答题（70分）的最大值等于__________．17已知平面四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BC=3.（1）若AB=6，AD=3，CD=4，求BD；93（2）若∠ABC=120°，△ABC的面积为，求四边形ABCD周长的最大值.218.“中国共产党党史知识”A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得101道B类试题得20分，答3A2类试题中有7道题能答对，而他答对各道B类试题的概率均为．3（1）若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布和期望；（2）若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．，an2时满足19.已知单调递减的正项数列n1n1a2n1a2aaaan0．a，S前项和．a为nna2nnnn1nn11n2（1）求的通项公式；an1S1n（2）证明：.n1-ABC2AAAABAACBAC60M,N为线20.已知三棱柱，，，111111AMBNt(0t1,段上的点，且满足．11BA1第3页/共5页（1）求证：（2）求证：//平面；BB1BCMNA；3ABClMlCt，求的值．（3）设平面平面，已知二面角的正弦值为3f(x)(xxx21已知函数.（1）当x0时，fx0，求的最大值；111112.（2）设nN*，证明：12342n12n，且离心率为2.P4,6x22y2222.已知双曲线C:ab0)经过点ab（1）求C的方程；yy于点，交轴于点N,B为双曲线C设点（2）过点P作轴的垂线，交直线l:x1M.上的两个动点，SSNAB,PBk,k1kk2，若，求12直线的斜率分别为.2第4页/共5页江西省宜丰县2023-2024（上）创新部高三12月考试数学试卷一、单选题（40分）3xM2Nx|yln(x2MN1.已知，则（）12D.2,3A.1,0B.C.【答案】B【解析】【分析】先化简集合N，再利用集合的交集运算求解.N，则x|x0x或，【详解】解：由x23x0，得M2，所以MN，x3或x0又故选：B33,bm,1m，则（a-2.已知向量，且夹角的余弦值为）52424D.A.0B.1C.0或77【答案】A【解析】【分析】根据向量的夹角的坐标公式求解即可.a(4)2(2bm2ab4m3【详解】由已知，所以rra,brrab4m3334m，即4m33m210，故，且5ab5m2124或9，解得m0m016m224m99m27故选：A35)sin3.若，则47117D.A.B.C.2555【答案】D【解析】2243272121【详解】试题分析：45，25第1页/共27页22sin，故选D.且4【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．满足n，，则数列的前项和为（）aan12sin1anN*a4.数列80nnn2A.1640B.1680C.2100D.2120【答案】A【解析】【分析】利用周期性以及等差数列进行求解.4f(n)2sin1，因为sin【详解】设的周期为，222f(n)2sin1的周期为T2.所以2又f1，f(2)1，所以当n为奇数时，f(n)1，所以当n为偶数时，f(n)1.an1f(n)ann，所以aa1aa2a1又，，21321aa3a4aaaa6，于是得到，同理可求出4311234aaaa14aaaa22，…，56789ba4n24n14n是以6为首项，8为bn设，则数列n4n3公差的等差数列，所以数列的前80项和为数列的前20项和anbn201982061640.故B，C，D错误.2故选：A.5.正四面体ABCD的棱长为1，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当PAPD取得最小值时，点P到AD的距离为（）第2页/共27页326632232A.B.C.D.1212124【答案】A【解析】2PA14【分析】根据正四面体的体积可求出内切球的半径，取AD的中点为E，，可得当的长度最小时，PAPD取得最小值，求出球心O到点E的距离d，可得点P到AD的距离为dr.ABCD是棱长为1的正四面体，【详解】因为四面体1136211.所以其体积为322312ABCD内切球的半径为r，设正四面体11326则411rr，得.32212如图，取AD的中点为E，则PAPD(PE)(PEED)2142PEPE(EAED)EAEDPE.显然，当的长度最小时，PAPD取得最小值.6设正四面体内切球的球心为O，可求得.422612因为球心O到点的距离EdPA2AE2，24426326所以球O上的点到点的最小距离为EPdr，41212326即当PAPD取得最小值时，点P到AD的距离为.12故选：A.第3页/共27页【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切球问题，解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的半径，得出点P到AD的距离为球心O到点的距离减去半径.Ex，过点a,b作曲线fxfx的切线，下列说法正确的是（6.已知函数）ex4aA.当0a2时，可作两条切线，则b的值为e2B.当a2，b0时，可作两条切线4C当a0，b时，有且仅有一条切线e24D.当a0时，可作三条切线，则0be2【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义，结合函数单调性的判断方法，对参数值进行分类讨论，即可判断和选择.01xex【详解】设过点a,b的切线与曲线的切点为，故过点a,b的切线方程为：x,0f(x)，又ex0xex1x010x0a02，则bxxaxy00，整理得：b；ex0e0e00ex000x2xax2axa令hx，则h(x)hx0x，当时，x，且当时，exex；hx对A：当0a2时，显然hx在单调递减，在a,2单调递增，在单调递减，又,aa4ahah2，eae24aa若过点a,b可作两条切线，则b或，故A错误；ae2e第4页/共27页对B：当a2，则当b0时，有且仅有一条切线，故错误；h(x)0恒成立且不恒为零，故在上单调递减，hxRha0hx在,0单调递减，在2单调递增，在单调递减，且对C：a0时，，4h2，e24bhx有两个根，可做两条切线，故C错误；故当b时，e2对D：当a0时，由C可知，若要做三条切线，则bhxh0bh2，有三个根，则40b即，故D正确.e2故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数单调性；处理问题的关键是构造xaxa2函数hx，并利用导数研究其单调性，属综合困难题.exABCD3，M、BB的中点，点P在对1N分别为棱AB、7.在长方体中，AB4、1111ACAP3上，且1N角线，过点M、、P作一个截面，该截面的形状为（）11A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】C【解析】【分析】找到截面与长方体的平面的交线，判断为五边形.MNABMNABTPT、，1【详解】如图所示，延长、，使，连接1111第5页/共27页∵AB4、3、1P3，AC51P2∴、，11∵M、分别为棱NAB、BB的中点，1BMT2∴∴∵，AT61，T1P3A，又、P、三点共线，C1D1P2111∴T、P、三点共线，∴在截面上，DD11NMAANM1AK1K1KADQ，使，延长、，使，连接1∴Q连接在截面上，KM、，1AQ//1DAQ1D∵，且11212∴AKAA1，∴AK//BNAK=BN且，又M为AB中点，A、B、M三点共线，∴M、N、K三点共线，1SNMQ∴截面为五边形，故选：C．第6页/共27页8.已知函数fxsinx2axaxx，x0，fx0）a，则实数的取值范围是（1411313,,A.B.C.D.4【答案】C【解析】sinx2xsinx2xaxx0对gxaxgx0在【分析】依题意可得恒成立，记，即11a0aa0上恒成立，利用导数说明函数的单调性，分、、三种情况讨论，即可求出参数的取33值范围.sinx2x【详解】x0，fx0等价于ax，sinx2xgx0在上恒成立，gx，即ax记11212x1gxa.a32x22x331313a0即a时，gx，gx在上单调递减，0当所以当x0时，gxg00fx0即恒成立；1sinxx0ahxhxa，当当时，记，则333xπ2x1hxh0ha0，时2a单调递减，又a0，332xh00，当，x0时，hx0hx，单调递增，所以存在，使得0sinx所以hxh00ax，即3sinx2xsinxxx时，不符合题意；axfx，即0所以当03π2π当a0时，f1a0，不符合题意.213综上，a的取值范围是,.故选：C【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为第7页/共27页不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二、多选题（20分）9.在中，下列命题中正确的有（）A.若ab，则sinAsinBB.若sinAsinB，则AB11B，则AB则AB22C.若AD.若sin2Asin2B【答案】ABD【解析】【分析】根据正弦定理可判断ABD的正误，根据反例可判断C的正误.【详解】设R为三角形外接圆的半径.2RsinA2RsinB，从而sinAsinB，故A正确；在中，若ab，则若sinAsinB，则2RsinA2RsinB，故ab所以AB，故B正确；A120,B30AB成立，当但时，123312330，故C错误；sin2Asin2Bab2RsinA2RsinB，故，若AB，故0sinAsinB，从而sinAsin，即1cosA1cosB故22B22，所以2AB，故D正确．2故选：ABD.-ABC的各棱长都为1，1110.已知正三棱柱E为AB的中点，则（）1A.直线1与直线AE1为异面直线1//A1B.C.二面角平面5AA的正弦值为157πD.若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为3【答案】ABD【解析】第8页/共27页ACEFEF//1//A平面1【分析】连接、交于点F，连接，即可证明，从而得到，即可判111断ABC外接球的半径，即可判断D.ACEF，则F为的中点，1【详解】连接、交于点F，连接11EF//1A1A，平面，1又E为AB的中点，所以，平面11//A1所以平面，故B正确；EF1EE，EF,1E平面A1AEBC，所以与不平行且无公共点，11又BCAE为异面直线，故A正确；1所以直线AB与直线1DE//AA，又1AA1DE，又CE平面，取的中点D，连接ED，则平面，则11321如图建立空间直角坐标系，则，C,0,0A,1，E0,0,01，231,0,0EA,1所以，，212123nEAyz02,1，1x,y,z，则A1n设平面的法向量为，取nECx02ACEm0,1又平面的法向量可以为，AA为1设二面角，显然为锐二面角，mn125则cos即二面角，，所以sinmn5525AA1的正弦值为，故C错误；5113外接圆的半径r，2sin60321237-ABC所以正三棱柱外接球的半径R7π2，1112312S4R所以该球的表面积，故D正确.3故选：ABD第9页/共27页11.设定义在R上的函数的导函数为fxfx，若fx2与均为偶函数，则下列说法一定fx1正确的是（）A.C.的图象关于的一个周期fxB.2为fxx=1对称的图象关于2,0fx为偶函数fx对称D.【答案】ABC【解析】fx1fxfxx，可判断A；与由x=1f2【分析】根据为偶函数可得的图象关于对称，为偶函数可得的图象关于x=2对称，，进而得到，fx2fxfxf4xfxfx22xfx6f0fxfx可判断B；分析可得，可判断C；分析可得，进而可得fxfx，可判断D.fx1fxfxx，故A正确；x=1f2【详解】因为为偶函数，则的图象关于对称，则因为fx2为偶函数，则的图象关于fx对称，则，x=2fxf4xf2xf4x所以，即，fxfx2所以2为的一个周期，故B正确；fxfx因为2为的一个周期，则，fxfx2fx6f2x，fx4fx6fxf2x，所以又第10页/共27页所以2x，即fx62x0，fx6ff所以的图象关于0对称，故C正确；fxfxf2xfxfx为奇函数，故D错误.fxf2x，得由，所以fx，则fx故选：ABC.【点睛】方法点睛：关于函数的对称性，周期性总结如下：abfxafbx（1）若，则函数关于x对称；2fxafaxb（2）若，则函数关于a,b对称；fxafx（3）若，则函数的周期为a；fxafx（4）若，则函数的周期为2a．x2y22P2,1在椭圆内部，点Q12.已知椭圆C：1b0的左右焦点分别为F1、F2，点在椭圆4b上，椭圆Ce的离心率为，则以下说法正确的是（）2eA.离心率的取值范围为226QFQP的最大值为4B.当e时，142C.存点Q012，使得11D.的最小值为121【答案】ABD【解析】【分析】A项中需先解出b的范围，然后利用离心率的定义进行判断；42QPB项中根据椭圆定义转化为求的最大值，从而进而判断；C项中先求出点Q的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；2a4D项中根据椭圆定义得，并结合基本不等式判断.12第11页/共27页21P2,112，得2b4，【详解】对于A项：因为点在椭圆内部，所以24b2cc22b22b2所以得：e11，故A项正确；aaa424对于B项：由椭圆定义知当Q，12QF1QP4有最大值，2x在轴下方时，且P，QF2，三点共线时，2222c26由e，得c，F,0，所以得221，224222262QF1QP所以最大值4，故B项正确；对于C项：设，若，即：，cx,ycx,y0Qx,y012x2y2c2，即点Qc在以原点为圆心，半径为的圆上，则得2cec2，，得又由A项知：a24，得b2,2又因为2b2，cb所以得：，所以该圆与椭圆无交点，故C项错误；2a4对于D项：由椭圆定义得，1211111QF12所以2421114112212221，124122当且仅当时取等号，故D项正确.12故选：ABD.三、填空题（20分）13.在(3y)(xy)4x2y3的展开式中的系数为___________.【答案】6【解析】【分析】把(xy)4按照二项式定理展开，可得(3y)(xy)4的展开式中x2y3的系数．，Qy)(xy)4y)C04x4C41x3yC42x2y2C433C44y4【详解】第12页/共27页x2yx32yC42x2y2C42x2y36x2y3展开式中含的项为y3的系数为6，故它的展开式中故答案为：614.3个大人和2个小孩乘船游玩，现有船3只，1号船最多装3人，2号船最多装2人，3号船最多装1人，可从中任选2只或3只船乘坐，但一只船上不能只有小孩，则有______种不同的分乘方法.【答案】27【解析】【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理结合排列、组合列式计算作答.C23A22C1，3【详解】选2只船游玩，1号船坐2大人，1小孩有；1号船坐1大人，2小孩有A33A22选3只船游玩，每只船各坐1大人，1号船坐1小孩有；每只船各坐1大人，1号船坐2小孩有A33，C23A22C31A33A22A3327由分类加法计数原理得不同的分乘方法种数是：.故答案为：27x,0x2fx15.设f(x)m，且xi2,3,4有四个不相等的实根i若方程f4x,2x4xxxx，则xx2x32x24的取值范围为___________.123412452【答案】【解析】11x,44,34x【分析】画出函数的图象，根据对数函数的性质与运算及对称性可得，将122222324xx2xxxx转化为关于的代数式，利用换元法，根据的范围结合二次函数的性质即可求解.122【详解】解：∵2x，fxf4x4时，∴在fx4上的图象与2上的图象关于x2对称，xxxx，如图：4不妨设123第13页/共27页xxxx4-1=x可得，.1423211xxx,44,34x∴.121222223x24212223x24∴1xxxx212x222111122422422x8x30，22.x222222215t2令，225tt则原式化为htt2，其对称轴为t2，开口向上，252452∴在htht上单调递增.∴.4522324∴1xxx的取值范围为.22452故答案为：.x22y216.已知点F是椭圆到椭圆上的动点Q的距离的最大值不超过P0,3a的右焦点，点aPQQF25，当椭圆的离心率取到最大值时，则的最大值等于__________．【答案】322##232【解析】【分析】设，求得0Qx,yPQa的表达式，对进行分类讨论，结合二次函数的性质、椭圆的定义来求0PQQF得的最大值.第14页/共27页x20【详解】设，则1，即aay且0Qx,yy02x2022y2011．00a20322y202202PQ022aa06091a609a2，因为a1，即1a0，而231a1a2所以，当1，即时，2y10PQ425当时，取得最大值，．maxa211又因为椭圆的离心率e1，因此当a2时，e最大．a2a2FF02a4，因此，11设椭圆的左焦点为，则11PF取得最大值，1所以当Q在的延长线上时，12PF13323，21PQQF因此的最大值为234．31a当1，即a2时，231a91ayPQa92当由时，取得最大值，，02max29a22925解得2a10，即2a210．1aa211又因为椭圆的离心率e1，因此当a10时，e最大．a2a2，1FF0设椭圆的左焦点为，则1PQPQ2aPQ210因此，11PF取得最大值，1所以当Q在的延长线上时，12PF133232，的最大值为322．PQQF1PQQF因此综上所述，的最大值为322．第15页/共27页故答案为：322【点睛】在椭圆有关线段和差的最值问题求解的过程中，可考虑利用椭圆的定义进行转换，从而求得最值.四、解答题（70分）17.已知平面四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BC=3.（1）若AB=6，AD=3，CD=4，求BD；93（2）若∠ABC=120°，△ABC的面积为【答案】（1）33，求四边形ABCD周长的最大值.2（2）9+67【解析】AcosC01）根据题意得到，再利用余弦定理求解即可.（2）首先利用正弦定理面积公式和余弦定理得到AC37，再利用基本不等式求解最值即可.【小问1详解】32622在△ABD中，由余弦定理得A在△BCD中，由余弦定理得C..23632422234AcosC0因为AC180，所以，32622324220，即236234得BD33.【小问2详解】1393由题意知△ABC3，得6.22212AC6326337.22在中，由余弦定理得x，CDyACD令，在中，2260，即x37x2y22y263.由余弦定理得第16页/共27页xy2所以xy2633633，4xy)263，xy37时取等号.即y67，当且仅当x4所以四边形ABCD周长的最大值为967..18.“中国共产党党史知识”A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得101道B类试题得20分，答3A2类试题中有7道题能答对，而他答对各道B类试题的概率均为．3（1）若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布和期望；（2）若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．E(X)21【答案】（1）分布列见解析，（2）【解析】1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解，（2）根据相互独立事件的概率，即可求解.【小问1详解】X0102030，，，C3331C17CC23217P(X0)P(X10)，，C12031012040C27CC136321C373357P(X10)P(X30)，31012040C1202410所以X的分布为XP01020301721740402417217E(X)010203021所以120404024第17页/共27页【小问2详解】记“该同学仅答对1道题”为事件M.71312193390PM()21210310这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为.，时满足an219.已知单调递减的正项数列n1n1a2n1a2aaaan0．a，S前项和．na2na为nnnn1nn11n2（1）求的通项公式；an1S1n（2）证明：.n11n1an【答案】（1）（2）证明见解析【解析】111）通过分组分解法化简已知条件，然后构造等差数列，求得的通项公式，进而求anan得的通项公式.an（2）结合分析法、裂项求和法证得不等式成立.【小问1详解】由2n1a2n1a12aaaaa10，aan1nnn1nn1n(aa)2nn1aa2a2na2n10，得nn1nn1即aann1aa2nn10，nn1nn1由是单调递减的正项数列，得aa2nn10，nn1an11aaanan101，则故，即nn1nn1112为首项，1为公差的等差数列，是以an1第18页/共27页11n1n1，即.n则n【小问2详解】1S1n要证：，n11n111a只需证：，nn1n111n12即证：(n2，，nnn12111即证：即证：nn1nn1(n222n22n1n(n，nn124n(n3(2n22n2即证：，即证：4n34n210，而此不等式显然成立，1S1n所以成立.n1-ABC2AAAABAACBAC60M,N20.已知三棱柱，，，为线111111AMBNt(0t．1,段上的点，且满足11BA1（1）求证：（2）求证：//平面；BB1BC；3MNAABClMlCt，求的值．（3）设平面平面，已知二面角的正弦值为3第19页/共27页【答案】（1）证明见解析127（2）证明见解析（3）t或22【解析】1）作辅助线，先证明四边形MEFN为平行四边形，得线线平行，再由线面平行判定定理可证；11AB,AC,AA（2）以为一组基底，先利用基底表达向量BC，再向量平方利用数量积求模，求得2BCBC13，由勾股定理计算可证垂直；11,DB,DA（3两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用法向量求解二面角余弦值，即可根据题1t意建立等量关系求参数.【小问1详解】M,N∥AC于点于点F，E,NF∥1A交AB过分别作交1∥CC∥NF，11MEAMNF,，且1111AMBNNFNF，1BA1AA11MEFN为平行四边形，∥∴四边形//，．．平面平面平面．【小问2详解】BBBCBCACABACABAA，111122BCACABAA1111144922222322313，222C13，12BC2C21．【小问3详解】BCDAD,AD,中点，连接1取ABC为等边三角形且AB2，则ADBC3．第20页/共27页12在△1中，1B492237，由AAACACAB7，1111在1中，D为中点，，1D716，1DBC1D221D.12x,y,z如图，分别以,DB,DA为轴建立空间直角坐标系．1A3,0,0,B0,C1,0,A6,1CCAA(0,0)3,63,6．111C3,6即，1AMtAC，设，M(x,y,z)1x32tx3,y,zt23,6yt则，即，zt32t,t,t，M故又BNtBA，同理可得N0,1t,t，1MN2t0,AM2t,t,6t，设平面的一个法向量nx,y,z，1n32t,2t3xy0322t12txtytz0n0,1，而平面的一个法向量2第21页/共27页3设二面角MlC的的平面角为，则sin，3322tcosn,nnn612则，123nn2322121(32t)2t化简得t2t70，17解得t或.222f(x)(xxx21.已知函数.（1）当x0时，fx0，求的最大值；111112.（2）设nN*，证明：12342n12n【答案】（1）1（2）证明见解析【解析】1）由导数法讨论函数最小值，分别讨论参数1、1时，题设条件是否成立即可；1ln(x1（2）由（1）可知，当1，x0时，可得11，即可令x，nN*，可得nx1n1111ln(nn2，结合累加法可得，最后对题设不等式变形即可证明n1n22n【小问1详解】的定义域为，，fxfxx11因为在上单调递增，f01，fx1时，对于任意的x，有fxf00，所以上单调递增，fx在①当x，fxf00则对于任意的，所以1符合题意；f(x)>0x1时，令xe11，令f0，得0xe11，②当，得所以在上单调递减，在e1上单调递增，1舍去；fxe11fx1fe1f(0)0x0x时，f0矛盾，所以则，这与当综上，1，所以的最大值为1.【小问2详解】第22页/共27页1ln(x(xxx0由（1）可知，当x0时，有，即11，x11n1n11x1ln(nn*令，nN，则，nnn1n11n21ln(nnln(n2)ln(nln(2n)ln(2n，所以，，…，2n111ln(2n)n2将以上不等式左右两边分别相加，得，n1n22n111111112n1213141112所以12n12n2342n12n241112341111111112.2n12n12nn1n22n【点睛】1.求函数不等式恒成立时参数的最值，可用导数法对参数分类讨论函数最值，取符合条件的参数的最值即可.1n1ln(nn2.用导数证明不等式，本题方法是利用已有结论构造出形式相关的不等式，即可利用累加法结合适当变形可得结论x22y2222.已知双曲线C:，且离心率为2.ab0)经过点P4,6ab（1）求C的方程；yy于点，交轴于点N,B为双曲线C