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文档简介
届上海市实验高三数学上学期9月练习试卷一、填空题1.不等式的解集为__________.2.用反证法证明命题“如果可被5整除,那么中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容应是__________.3.根式的指数幂形式为__________.4.已知幂函数的图像经过点,求__________.5.设集合,且,则实数的值为__________.6.已知,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是__________.7.已知函数的定义域为,则实数的取值范围是__________.8.已知,则的解集为__________.9.已知均为正实数,且,则的最大值为__________.10.对于函数和,设,若存在,使得,则称和互为“零点相邻函数”,若函数与互为“零点相邻函数”,则实数的取值范围是__________.11.对于集合,给出如下三个结论:①如果,那么;②如果,那么;③如果,那么;其中正确结论的序号是__________.12.已知一个正方形的四个顶点都在函数的图像上,则此正方形的面积为__________.二、选择题13.若且,则下列不等式中一定成立的是()A.B.C.D.14.集合的子集个数为()A.2B.4C.8D.1615.已知函数的图像如图所示,则的解析式可能是()A.B.C.D.16.已知函数是定义在上的偶函数,且在上单调递增.若关于的不等式的解集为,则不等式的解集为()A.B.C.D.三、解答题17.设集合.(1)若且,求的取值范围;(2)若,求的取值范围.18.已知四棱柱中,底面为梯形,平面,,其中是的中点,是的中点.(1)求证:平面;(2)求平面与平面的夹角的余弦值.19.近期随着某种国产中高端品牌手机的上市,我国的芯片技术迎来了重大突破,某企业原有1000名技术人员,年人均投入万元,现为加强技术研发,该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员,其中技术人员工名且,调整后研发人员的年人均投入增加,技术人员的年人均投入调整为万元.(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入,则调整后的研发人员的人数最少为多少?(2)为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性,企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件:①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入;②技术人员的年人均投入始终不减少.请问是否存在这样的实数,满足以上两个条件?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.20.已知函数.(1)当时,解不等式;(2)若任意,都有成立,求实数的取值范围;(3)若,使得不等式成立,求实数的取值范围.21.柯西是一位伟大的法国数学家,许多数学定理和结论都以他的名字命名,柯西不等式就是其中之一,它在数学的众多分支中有精彩应用,柯西不等式的一般形式为:设,则,当且仅当或存在一个数,使得时,等号成立.(1)请你写出柯西不等式的二元形式;(2)设是棱长为的正四面体内的任意一点,点到四个面的距离分别为,求的最小值;(3)已知无穷正数数列满足:①存在,使得;②对任意正整数,均有,求证:对任意,恒有.参考答案一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第16题每题4分,第7~12题每题5分)学生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.【答案】【详解】,即,,解得:或,所以不等式的解集为.故答案为:2.【答案】都不能被5整除【详解】用反证法证明时,应先假设命题的结论不成立,则假设的内容应是都不能被5整除.故答案为:都不能被5整除3.【答案】【详解】.故答案为:.4.【答案】【详解】设幂函数为,因为幂函数的图象经过点,可得,解得,即,所以.故答案为:.5.【答案】5【详解】集合,且,(i)当时,,违反集合元素的互异性,(ii)当时,解得或,①当时,不满足集合元素的互异性,舍去,②当时,,满足题意,则实数的值为5.故答案为:5.6.【答案】【详解】解不等式得记因为是的充分不必要条件,所以是的真子集,所以,解得.所以的取值范围为.7.【答案】【详解】由题意得在上恒成立,,即.故答案为:.8.【答案】【详解】函数的定义域为,则是上的奇函数,函数在上都单调递减,则函数在上单调递减,不等式,因此,即,解得或,所以原不等式的解集为.故答案为:9.【答案】1【详解】,由,可得,当且仅当,等号成立,则的最大值为1.故答案为:1.10.【答案】【详解】因为,所以在上为增函数,又,所以有唯一零点为1,令的零点为,依题意知,即,即函数在上有零点,令,则在上有解,即在上有解,因为,当且仅当,即时,取等号,所以,故答案为:.11.【答案】①②③【详解】对于①:因为,所以,故,故①正确;对于②:因为,所以为偶数,且不能被4整除,若,则存在使得,因为和同奇或同偶,若和同奇,则为奇数,矛盾,不符合,若和同偶,则能被4整除,矛盾,不符合,所以,故②正确;对于③:因为,所以存在使得,所以,因为所以,故③正确.故答案为:①②③.12.【答案】10或17【详解】由得函数关于点中心对称,显然该正方形的中心为,由正方形性质得于,且,设直线的方程为,则直线的方程为,设,则,联立直线方程与函数得,即,所以,同理,又,所以,即,化简得,所以或,所以或,所以或17.故答案为:10或17二、单选题13.【答案】C【详解】A:当时,,故A错误;B:当时,满足不成立,故B错误;C:,因为,所以,得,即,故C正确;D:当时,满足不成立,故D错误.故选:C14.【答案】D【详解】由题意,得,故集合子集个数为个.故选:D.15.【答案】D【详解】对于A:函数的定义域为,显然不符合题意,故A错误;对于B:函数的定义域为,显然不符合题意,故B错误;对于C:函数的定义域为R,又为奇函数,但是在上函数是下凸递增,故不符合题意,故C错误;对于D:定义域为R,又为奇函数,且在上函数是上凸递增,故D正确.故选:D16.【答案】B【详解】因为函数是定义在上的偶函数,且在上单调递增,所以在上单调递减,又的解集为,可得的解集为,所以当,或时,的图象在图象的下方,当时,的图象在图象的上方,又因为当,或时,的图象在图象的上方,当时,的图象在图象的下方,所以当,或时,的图象在图象的下方,当时,的图象在图象的上方,则不等式的解集为.故选:B.三、解答题17.【答案】(1)(2)【详解】(1)因为,且,所以,解得,,综上所述,的取值范围为.(2)由题意,需分为和两种情形进行讨论:当时,,解得,,满足题意;当时,因为,所以,解得,或无解;综上所述,的取值范围为.18.【答案】(1)证明见解析;(2).【详解】(1)取中点,连接,由是的中点,得,且,由是的中点,得,且,则有,四边形是平行四边形,于是,又平面平面,所以平面.(2)四棱柱中,平面,则直线两两以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图,有,则有,设平面与平面的法向量分别为,则有,令,得,,令,得,因此.所以平面与平面的夹角余弦值为.19.【答案】(1)500(2)存在,.【详解】(1)依题意可得调整后研发人员的人数为,且年人均投入为万元,则.因为,所以,解得,因为且,所以,故,即要使这名研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入,则调整后的研发人员的人数最少为500.(2)由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入,得,上式两边同除以,得,整理得,由条件②技术人员年人均投入不减少,得,解得.假设存在这样的实数,使得技术人员在已知范围内调整后,满足以上两个条件,即恒成立.设,由在上单调递减,因为且,所以在上单调递减,则,当时,等号成立,所以.又因为,当时,,所以,所以,即存在这样的满足条件,的取值范围为.20.【答案】(1)(2)(3)【详解】(1)当时,所以,所以,所以的解集为.(2)若对任意,都有成立,即在恒成立,解法一:设,对称轴,由题意,只须,①当,即时,在上单调递增,所以,符合题意,所以;②当,即时,在上单调递城,在单调递增,所以,解得且,所以.综上,.解法二:不等式可化为,即,设,由题意,只须,当且仅当即时等号成立,则,所以,即.(3)若对任意,存在,使得不等式成立,即只需满足,,对称轴在递减,在递增,,对称轴,①即时,在[0,1]递增,恒成立;②即时,在递减,在递增,,所
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