2023年人教A版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语 重点难点题（高分突破）

第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合的概念...............................................................I

1.2集合的基本关系.........................................................15

13集合的基本运算..........................................................31

1.4充分条件与必要条件....................................................45

1.5全称量词与存在量词....................................................62

1.1集合的概念

一、单选题

1.设集合A=｛周长为4cm的正方形｝,B=｛面积为4cm2的长方形｝,则正确的是（）

A.A,8都是有限集B.A,8都是无限集

C.人是无限集，B是有限集D.人是有限集，“是无限集

【答案】D

【解析】

先依据集合A限制条件判定其为是有限集；再依据集合B限制条件判定其为无限集，进而得

到正确答案.

集合A：周长为4cm的正方形，可以解得边长1cm,这样的正方形只有1个.

所以为有限集.

集合B：面积为4cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个，

所以为无限集.

2.下列说法：①地球周围的行星能构成一个集合；②实数中不是有理数的所有数能构成一个

集合；③｛1,2,3｝与｛1,3,2｝是不同的集合.其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

根据集合中元素具有的特征：互异性，无序性和确定性即可判断.

“周围”是一个模糊的概念，不满足确定性，所以①错误.实数中不是有理数的所有数，元素是确

定的，所以能构成一个集合，②正确.｛1,2,3｝与｛1,3,2｝两个集合中的元素是一样的，所

以是相同的集合，故③错误.

3.下列命题中正确的是（）

①”与｛0｝表示同一个集合

②由1,2,3组成的集合可表示为｛123｝或｛3,2,1｝

③方程(X-1)2(X-2)=0的所有解的集合可表示为{U,2}

④集合{水<x<5}可以用列举法表示

A.只有①和④B.只有②和③C.只有②D.以上都对

【答案】C

【解析】

由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③.

解：对于①，由于“0”是元素，而“{0}”表示含0元素的集合，而。不含任何元素，所以①不

正确；

对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；

对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；

对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.

综上可得只有②正确.

4.已知集合人={{0},0},下列选项中均为A的元素的是()

(1){0}(2){{0}}(3)0(4){{。}。}

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(2)(4)

【答案】B

【解析】

根据元素与集合的关系判断.

集合A有两个元素：{0}和0,

5.下列关于集合的说法正确的有()

①很小的整数可以构成集合；

②集合卜卜=2x2+1}与集合((Xy)\y=2x2+1}是同一个集合：

③1,2,4,0.5,J这些数组成的集合有5个元素.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【解析】

根据集合的定义判断.

很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素的确定性，故①错误.

集合卜卜=2/+1}=卜,21}表示)，的取值范围，而{(x,刈y=2/+l}表示的集合为函数

y=2/+l图象上的点，所以不是同一集合，故②错误.

1,2,~,0.5,g这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故③错误.

6.已知集合知={1,帆+2,加+的，且则m的值为（）

A.1或-1B.1或3C.-1或3D.I,T或3

【答案】B

【解析】

根据元素与集合的关系，得到〃?+2=5或>+4=5,从而求得〃，值，并验证是否符合集合

互异性即可.

解：5G{1,6+2,in2+4},

..m+2=5^m2+4=5>即加=3或加=±1.

当相=3时，河={1,5,⑶；

当初=1时，M=U,3,5）；

当,〃=一1时，"={1,1,5}不满足互异性，

•.根的取值集合为{1，3}.

7.由大于・3且小于11的偶数所组成的集合是（）

A.x£Z}

B.{R-3<x〈U}

C.{x|-3<x<l1,x=2k}

D.{.^-3<x<l1,x=2k,k^Z}

【答案】D

【解析】

逐一分析各个选项，用不等式表示题中描述的内容，在利用描述法即可得出答案.

解：大于-3且小于11的偶数，可表示为-3811,x=2k,kGZ,

所以由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是3-34V11,尸2A,右目，故D符合题意；

对于A,集合表示的是大于・3且小于11的整数，不符题意；

对于B,集合表示的是大于-3且小于11的数，不符题意：

对于C,集合表示的是大于-3且小于11的数，，但不一定是整数，不符题意.

8.由实数x,-x，k|,G■，-#7所组成的集合中，最多含有元素的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

从集合中元素的互异性出发，按照x=0、x>0,x<0分类，即可得解.

由于行=卜|,=

因此当K=0时，这几个实数均为0,集合含有1个元素；

当x>0时，它们分别是集合有2个元素；

当工<0时，它们分别是集合有2个元素；

所以集合中最多含有元素的个数为2.

9.若xwA,则gwA,就称A是伙伴集合.其中“二12,-1,0,；,2,3}的所有非空子集中具

有伙伴关系的集合个数是（）

A.1B.3C.7D.31

【答案】B

【解析】

根据伙伴集合的定义利用列举法即可求出结果.

・•・若xeA,则，eA,就称A是伙伴集合，

X

.知=卜2,一1,0,；,2,3},

卜2,-1,0,,2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合有{吗，{-1},{-1，吗.

••河=卜2,-1,0，,2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是3.

10.已知集合尸={x|x=2%MwZ},Q={x|x=2Z+l,kwZ},M={x|x=4A+L%€Z},且

。挝户力。，则（）

A.a+b?PB.。+力？Q

C.a+b?MD.a+b不属于P,Q,M中的任意一个

【答案】B

【解析】

设出。，力的值，相加再判断得解.

asP,:.a=2K，吊wZ.

.bwQ,:.b=2kl+1,eZ.

..a+b=2（K+&）+l=2攵+leQ（占,七,%wZ）.

xyxy

11.已知x,y都是非零实数，7=凡+凡+前可能的取值组成集合4,则（）

A.2GAB.3cAC.-1EAD.1GA

【答案】C

【解析】

先求出集合A,再对照四个选项一一验证.

①当x>0,)>0时，z=1+1+1=3；

②当x>0,yvO时，z=l-l-l=-l；

③当x<0,)>0时，z=-l+l-l=-l；

④当x<0,)，<0时，z=-l-l+l=-l,

工集合A={-1,3}.A-ieA.

12.对于集给出如下三个结论：①如果

P={"|b=2〃+l,〃eZ},那么P=M；②如果c=4〃+2,〃wZ,那么c/M；③如果4eM,a2eM,

那么gwM.其中正确结论的个数是

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

①根据2〃+1=(〃+1)22,得出2〃+le”,即P=M；

②根据c=4〃+2,证明4〃+2?M,即c居M；

③根据qeM，02GM,证明q/eM.

解：集合M={。|。=*2-)?，XGZ,ywZ},

对于①，b=2n+l,〃wZ,

则恒有2/i+l=(n+1)2-n2,

+^P={b\b=2n+\fneZ}t则P=①正确;

对于②，c=4n+2,neZt

若4〃+2?M,则存在x,ywZ使得y2=4,2+2,

..4〃+2=(x+y)(x-y),

又工+y和x—y同奇或同偶，

若x+y和x-y都是奇数，则(x+y)(x-y)为奇数，而4〃+2是偶数；

若x+y和x-y都是偶数，则(x+y)(x-y)能被4整除，而4〃+2不能被4整除,

.1.4n+2eM,即c足M,②正确;

对于③，,

可设q=x”>3a2=xl-y1f阳.、y,eZ；

则4a2=5-父)(¥-£)

=(斗弓)2+(人为)2-a%)?一(吃城

2

=a占+>跖)2—(西必+X2yt)GM

那么4%GM,③正确.

综上，正确的命题是①@③.

二、多选题

13.(多选题)下列各组中M,P表示不同集合的是()

A.M={3,-1),P={(3,-1)1

B.A/={(3,1)),P={(1,3)}

C.M={y|y=/+1,xGR),P={x|x=/2+l,f£R}

D.M={y|y=f—1,x《R},P={(x,y)|y=f-l,%£R}

【答案】ABD

【解析】

选项A中，M和P的代表元素不同，是不同的集合；

选项B中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M$；

选项C中，解出集合M和夫

选项D中，M和P的代表元素不同，是不同的集合.

选项A中，M是由3,一1两个元素构成的集合，而集合户是由点(3,—1)构成的集合；

选项B中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故MrP；

选项C中，M={*=f+1,xeR}=[h-Bx>),p={4r=»+i,zeR}=[l,+oo),故小尸；

选项D中，M是二次函数x£R的所有因变量组成的集合，而集合尸是二次函数y

=f-1,x£R图象上所有点组成的集合.

14.下列各组中集合P与Q,表示同一个集合的是()

A.尸是由元素1,6万构成的集合，。是由元素兀，1,卜&构成的集合

B.P是由乃构成的集合，。是由3.14159构成的集合

C.P是由2,3构成的集合，。是由有序数对(2,3)构成的集合

D.P是由满足不等式-1M1的整数构成的集合，。是由方程工(无+1)(六1)=0的解构成的集合

【答案】AD

【解析】

根据题意分析即可.

由于A,D中P,。的元素完全相同，所以P与。表示同一个集合，

而B,C中P,。的元素不相同，所以尸与。不能表示同一个集合.

15.(多选)设集合M={x|x=2/〃+l,〃?WZ},P={y\y=2m,若xoWM,yoWP,a

=切+光，b=xoyo,则()

A.aEMB.aGP

C.b£MD.bGP

【答案】AD

【解析】

利用整数的运算性质，根据集合M,N中元素的性质判定。力的性质，进而判定〃力与M,N的

关系，即可作出判定.

设初=2帆+1,yo=2n,m,nGZ,

则。=xo+yo=2m+1+2〃=2（，"+〃）+1,

*.*m+nWZ,：.aWM,

b=xoyo=2n（2m+1）=2（2mn+〃），

•J2mn+n£z、：.bGP,

即。WM,b£P,

16.当一个非空数集厂满足条件“若"，bwF,则a+b,a—b,abwF,且当6工0时，

b

时，称尸为一个数域，以下说法正确的是（）

A.0是任何数域的元素

B.若数域尸有非零元素，则2023户

C.集合P={x|x=3A/wZ}为数域

D.有理数集为数域

【答案】ABD

【解析】

根据新定义，依次分析各选项即可得答案.

解：对于A,若awF,则a-a=Oe尸，故A正确；

对于B,若aw尸且。*0,贝心=色£尸，2=1+1GF,3=1+2GF,依此类推，可得2021G尸，

a

故B正确；

3

对丁C,P={x\x=3k.k^Z},3七尸，6<=尸，但三丈尸，故产不是数域，C错误；

6

对于D,若。，。是两个有理数，则a+〃，a-b,ab,楙作工0）都是有理数，所以有理数集

是数域，D正确.

17.已知集合人={X”=加+岛,川/eZ},则下列说法中正确的是（）

A.OeA但（1-2月>任4

B.若与=4+石4，9=叫+百4，其中吗,〃I，叫,％cZ,则芭士々《4

C.若内=町+，5〃],9二〃22+，5%，其中犯，勺，吗，电eZ,则玉fwA

D.若％=町+75〃],巧=“+6%,其中吗,〃],外,巧€Z,则—

【答案】BC

【解析】

A选项，求出帆=13,〃=T,故(1-2石尸6A；BC选项，通过计算可以得到4±巧€A,

X]-x2eA；D选项，毛=也+\/5的=0时，不符合要求，D错误.

(1一26)2=13-46，故m=13,〃=T,所以(1一2石/wA,A错误；

石±七=S+G〃i±(，丐+6丐)=(明士吗)+G(〃i±〃2),其中班土，々eZ,n}±n2eZ,故

x}±x2eAtB正确；

X[-x2=(〃?]+Ga1)•(7%+V3«2)=，即巧+3〃I〃2+(町八2+"4〃i)&，其中川j%+3〃]/eZ,

叫巧+叫勺62，故C正确;

因为OcA,^x2=/n,+5/3/23=0,此时受无意义，故土史A,D错误.

々“2

18.设集合“二{。|。=%2_y2,x,y?z},则对任意的整数〃，形如4小4〃+1,4〃+2,4〃+3的

数中，是集合M中的元素的有

A.4〃B.4n+1C.4〃+2D.4〃+3

【答案】ABD

【解析】

将4〃,4〃+1,4〃+3分别表示成两个数的平方差，故都是集合M中的元素，再用反证法证明

4w+2?M.

V4/?=(〃+I)2-(/I-I)2,A4/zIM.

V4H+1=(2〃+1尸-(2n)2,・・・4"+1?M.

V4/2+3=(2〃+2>.(2n+I)2,:.4〃+3?M.

若4〃+2?M,则存在KyfZ使得--丫2=4〃+2,

贝IJ4〃+2=(x+y)(x-y1x+y和与一、的奇偶性相同.

若x+y和x-y都是奇数，则(x+y)(x-y)为奇数，而4〃+2是偶数，不成立；

若x+y和工一丁都是偶数，则(x+y)(x—y)能被4整除，而4〃+2不能被4整除，不成立，，

4〃+2?M.

三、填空题

19.用符号和“住”填空：

⑴I-—N；(2)1___z.；(3)-2——R；

(4)冗—_Q+；(5)32____N；(6)0__0.

【答案】任任G任任

【解析】

根据元素与集合的关系判断.

由MZ_,R,Q+，0所表示的集合，由元素与集合的关系可判断

(1)/(2)右(3)e(4)任(5)e(6)电.

故答案为：(1)史(2)/(3)e(4)史(5)e(6)史.

20.设集合A={a)，)|x+y=3,x£N\)，wN*},则用列举法表示集合A为.

【答案】{(1,2),(2,1)}

【解析】

x>0

根据题意可得{,八，则0cx<3,对x=l,2代入检验，注意集合的元素为坐标.

y=3-x>0

x>0

Vx+y=3,A-GN\>'eNr,则可得{,则0cx<3

y=3-x>0

则当”=1,y=2成立，当x=2,y=1成立，

AA=((1,2),(2,1)}

故答案为：{(1,2),(2,1)}.

21.若3e{m-l,3肛M-l},则实数/"=.

【答案】4或±2

【解析】

分三种情况讨论即得.

:3e)〃一1,3/〃,nr-11,

Am-1=3,即机=4,此时3〃?=12,〃?2T=15符合题意；

3m=3,即m=1,此时m-1=0,疝-1=0,不满足元素的互异性，故舍去；

加2_』3,即加=±2,经检验符合题意,

综上，加=4或12.

故答案为：4或±2.

22.给定集合A,若对于任意a,有且a-6£A,则称集合A为闭集合，给

出如下四个结论：

①集合A={0}为闭集合；

②集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合；

③集合A={川〃=32,ZWZ}为闭集合；

④若集合A/、4为闭集合，则A/U4为闭集合.

其中所有正确结论的序号是

【答案】①③

【解析】

根据新定义和集合知识综合的问题，分别判断。+力£4且a-6WA是否满足即可得到结论.

©0+0=0,0-0=0,0£A,故①正确；

②当。=-4,b=・2时，a+b=-4+(-2)=・6色4,故不是闭集合，.••②错误；

③由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故是闭集合，，③正确：

④假设4={川〃=3攵，MZ},。={咖=5%,MZ},3£A/,5WA2,但是，3+5<A/UA2,则

A/UAz不是闭集合，，④错误.

正确结论的序号是①@.

故答案为：①③.

四、解答题

23.用列举法表示下列集合：

(1){小是14的正约数}:

(2){(x,y)ke{l,2},ye{i,2}l；

(3){(x,y)a+y=2,L2)，=4}；

(4)］小=(—l)〃,〃£N}；

(5){Uy)|3x+2y=16,x£N,y£N}.

【答案】(1){1,2,7,14}

(2){(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}

⑶信管}

(4)(-1,1)

(5){(0,8),(2,5),(4,2))

【解析】

根据集合的列举法的概念即得.

(1){小是14的正约数}二{1,2,7,14}.

(2){8加心(1,2),yG{l,2)}={(l,1),(1,2),(2,1),(2,2)).

(3){Uy)k+y=2,x-2y=4}=|(1.-|)k

(4){4c=(-lXneN)={-l,1}.

(5){®y)\3x+2y=16,xeN,yeN}={(0,8),(2,5),(4,2)}.

24.把下列集合用适当方法表示出来：

(1){2,4,6,8,10}；

(2){xeN13Vx<7}；

⑶A={X|X2=9}；

(4)={xe/V|1<x<2j；

(5)C={*|.，-3r+2=0}.

【答案】(1){x|x=2A/eZ且ld45}；(2){4,5,6}；(3){-3,3}；(4){1,2}；(5){1,2}.

【解析】

根据集合的元素个数和元素特征选择列举法和描述法即可解出.

(1)因为集合中的元素都是偶数，所以{2,468,10)=(用犬=2生4€2且1«%45}.

(2){xe/V|3<x<7}={4,5,6).

(3)由/=9得户±3,因此力=卜|/=4={-3,3}.

(4)由xeN,且得X=1或X=2,因此夕={xeN|lSx«2}={1,2}.

(5)由炉一34+2=0得x=l或工=2,.因此C=卜|V_3x+2=0}={1,2}.

25.判断下列集合是有限集还是无限集：

(1)A=(x||x|<10,XGZ}；

(2)卜x=—N)；

(3)S={P|4P+P5=45}(A,B为平面上两个不同的定点，P为动点).

【答案】⑴有限集;(2)无限集；(3)无限集.

【解析】

(1)由已知得4={划-10〈工<10)£2},可得出集合A中的元素，由此可得结论；

(2)由已知得该集合的元素有0,；,j,由此可得结论；

(3)由S={P|4P+P5=表示线段AB上的点组成的集合可得结论.

解：(1)因为A={.qk|<10,x€=z}={x|-10<xv1O,X€=Z},

所以集合A中的元素为±9,±8,土7,±6,±5,±4,±3,±2,±1,0,所以集合4是有限集；

(2)因为［工工=」7，〃£%］中的元素有0。,2,…无限个元素，所以集合=

n+\J23n+\J

是无限集；

(3)因为S={P|AP+PB=A8}表示线段4B上的点组成的集合，线殁48上有无数个点，

所以集合S={P|AP+P8=A8}为无限集.

26.(1)已知集合4=}6"丁=痣62卜试用列举法表示集合A；

(2)已知集合5={yeZy=芸,XEN},试用列举法表示集合B.

【答案】(1){0,1,3,9}；(2){1,2,3,4}.

【解析】

12

(1)由xeN,y=--eZ,可列举出x+3的值，得出力的值，即可•写出集合A；

x+3

12

(2)由y==£Z且xwN,可列举出x的值，得出相应的丁的值，即可写出集合8.

x+3

12

解：(1)由xwN,y=--eZ,知x+3可为3,4,6,12,即x为0,1,3,9,

x+3

所以集合A用列举法表示为{0,1,39}；

12

(2)因为y=-且xeN,所以x=0,l,3,9,则相应》的值为4,3,2,1,

x+3

所以集合8用列举法表示为{1,2,3,4}.

27.己知集合A=k|o?+2x+l=0MeR},若A中至少有一个元素，求实数。的取值集合.

【答案】{电讯.

【解析】

分类讨论集合中恰有一个元素和恰有两个元素的情况，即可得解.

集合A中至少有一个元素，即A中只有一个元素，或A中有两个元素.

当A中有一个元素时，a=0,或即a"；

(a±0,

当A中有两个元素时，由A//八解得avl,且〃工0.

[A=4-4t/>0,

综上，得。W1.

即实数。的取值集合为{。卜4}.

28.已知集合人二,仁叫好?-3%+l=0,aeR}.

⑴若leA,求实数。的值；

(2)若集合A中仅含有一个元素，求实数。的值；

(3)若集合4中仅含有两个元素，求实数a的取值范围.

【答案】(1)。=2

9

⑵a=0或a=-

4

⑶卜a<\,aw。)

【解析】

(1)将4=1代入方程求解即可；

（2）分。=0、两种情况求解即可；

（3）由条件可得。工0,且△=（一3）2-44>0,解出即可.

（1）

VIGA,Aaxl2-3X14-1=0.

a=2；

（2）

当a=0时，x=1,符合题意；

9

当。工0时，△=（一3—一4〃=0,/.«=—.

4

9

综上，〃=0或。=:；

4

（3）

集合A中含有两个元素，即关于x的方程依2一3工+1=0有两个不相等的实数解,

且△=（一3-一4a>0,

9

解得且”0,

4

.・.实数a的取值范围为

29.已知集合A=卜卜=加+小万，且帆:一3〃2=l,"?,〃tZ}.

（1）判断（夜+卡）2是否为A中元素

（2）设ciA,求证：—~~石GA

（3）证明：若xwA,则％是偶数；

X

【答案】（1）（血+痴）2不是集合A中元素；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据集合元素的属性判断;

根据.A'由笠膂化简'

(2)由集合元素的属性判断;

⑶根据反4由=M+〃石+小化简判断.

（1）因为（&+石>=8+4百，

此时：m=8,w=4,不满足裙-37

所以（女+指门不是集合A中元素.

(2)因为ciA,则二尸=生邛,

2+x/32+V3

=(m+n-73)(2-V5)，

=(2m-3〃)+(2n-m)\/3,

因为2m-3〃,2〃-加都是整数，

所以占

(3)因为xwA,

所以x+'=/w+〃6+---7=,

x〃?+〃x/3

01m-n4i

=m+〃V3+­；---7=2m,

m~-3n

因为mw/?,所以2m为偶数即x为偶数.

r

14-r

30.己知由实数构成的集合A满足：若xtA,且工工±1、0,则当6A.

(1)求证：当2eA时，A中还有3个元素；

(2)设±1、0均不属于A,问：非空集合A中至少有几个元素？

【答案】⑴A中还有3个元素是：-3,-吴・证明见解析；(2)至少有4个.

【解析】

(1)令x=2,代入产中计算，再根据彳64则；上wA进行计算即可，注意集合中的元

i-x\-x

素是互异的；

14-r

(2)当xw±l、0时，由xeA,则；式wA,进行计算即可，注意集合中的元素是互异的.

1-x

(1)若令x=2wA,则匕=匕=-3eA,

\-x1-2

1+x14-(-3)1

止匕时即有x=-3e4,PPJ---=/*=一彳^4，

I—r1—1—31z

I1+"

即工=彳£4,则丁上=T=2C4(出现重复元素2,停止计算),

3171-1

3

综上，当2"时・，A中还有3个元素是：-3,-；,；.

(2)当xw±l、0时，由xeA,所以——eA,

\-x

1+X

+77T1

所以--_—=-A

\-x

X-1

x-1

4-----

所以x+~1_—Ayt(=/AI（出现重复元素X,停止计算）,

x-1

x+\

所以，非空集合A中至少有4个元素.

1.2集合的基本关系

一、单选题

1.下列表述正确的有（）

①空集没有子集：

②任何集合都有至少两个子集；

③空集是任何集合的真子集；

④若0是A的真子集，则4题.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【解析】

根据空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断.

因为。之。，故①错；

。只有一个子集，即它本身.故②错；

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故③错；

空集是任何非空集合的真子集，故④正确，

2.下列各式中：①{0}e{0J2}；②{0,1,2}q{2,1,0}；③0G{0,1,2}；®0={O}；⑤

{O,l}={(OJ)};⑥0={0}.正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.

①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；

②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{0,1,2}q{2,1.0},正确；

③空集是任意集合的子集，故0q{O,L2},正确；

④空集没有任何元素，故0。{0},错误；

⑤两个集合所研究的对象不同，故{0」},{(0,1)}为不同集合，错误；

⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；

，②③正确.

3.已知集合4={-2,3,1},集合5={3,〃Z2}.若则实数〃，的取值集合为()

A.{1)B.网C.)1,-1)D.卜瓦6}

【答案】C

【解析】

根据8是A的子集列方程，由此求得机的取值集合.

由于所以=

所以实数m的取值集合为{1,7}.

4.若集合A={小=2hH,k^Z]tB={x\x=2k~\,2」Z},。={小=4%-1,k^Z}f则A,

B,C的关系是()

A.C£A=8B.AQCQB

C.A=B^CD.BQAQC

【答案】A

【解析】

由整数的整除性，可得A、8都表示奇数集，C表示除以4余3的整数.将A、B、。尽可能

形式表达统一，由此利用集合间的关系求解.

VA={jdx=2(k+l)-l,kez}t8={小=2=-1,依Z},C-22AL依Z},

.•.4=5,C集合中24只能取偶数，.•.CuA=3

5.给出下列关系式：①0£0；@-3eZ：③{0}1{#2=@；④{OkN；⑤

(、.|2x-y=1

将土a,刈1+[=5,其中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

①空集中不含任何元素，由此可判断①；

②-3是整数，故可判断②正确；

③通过解方程可得出卜,2=@={0」},故可判断③；

④根据N4为正整数集可判断④；

⑤通过解方程产二可，得==从而可判断⑤.

[x+4y=51[x+4y=5]1)

①0史0,故①错误；

②一3是整数，所以-3wZ,故②正确；

③由/=不，得x=0或x=l,所以卜,=@={0,]},所以{0}口卜,=x}正确;

④N"为正整数集，所以{0}qN.错误；

f2x-y=1_fx=l~,fif2x-y=11“f.\2x-y=\

⑤由t今=5,得所以z卜叫小二卜依此所以将小现十:5错

误.

所以正确的个数有2个.

6.已知集合4={打-1。43},S=L|^1<ok则用韦恩图表示它们之间的关系正确的

【答案】C

【解析】

先求出集合丛然后根据集合间的关系以及韦恩图即可判断正确选项.

解：因为集合8={H言《()},

所以3={x[—l<x«3},又集合4={x|—lJW3},

所以St)A,根据韦恩图可得选项C正确，

7.已知集合B={.r|0<x<6,x£N},则满足雇在5的集合C的个数

为()

A.4B.7C.8D.16

【答案】B

【解析】

求出集合A,B,由此利用列举法能求出满足A手CG8的集合C的个数.

：集合2),

B={xl0<x<6,X《N}={1,2,3,4,5),

・•・满足4组CG8的集合C有："，2,3),{1,2,4},{I,2,5),{1,2,3,4),(1,2,3,

5},{1,2,4,5},{1,2,3,4.5),

共7个.

8.对于两个非空集合4,B,定义集合A-8={x|xeA且工任8},若材={1,2,3,4,5},

N={0,2,3,6,7},则集合N—M的真子集个数为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】

先根据题意求出N-M={0,6,7},从而可求出其真子集个数

由题意，知集合={067},所以集合N-M的真子集个数为23-1=7.

9.设小力是实数，集合4={%卜一。|<1,XWR},B={x\\x-b\>3,xGR},且则|。一可

的取值范围为()

A.[0,2]B.[0,4]C.[2,+oo)D.[4,-Ko)

【答案】D

【解析】

解绝对值不等式得到集合A3,再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.

集合A={x卜-a|</?}={x|q_]<x<a+l},

B=|x||x-Z?|)3,x€/?|={x|x<Z?-3g£x>Z?+3}

又4=8,所以或a-lNb+3

即a-bW-4或。一力之4,即,一身工4

所以的取值范围为[4,*o)

10.集合M={x+3x-1=0）至多有1个真子集，则4的取值范围是（）

9QQ

A.a<—B.a>—C.a=0D.a=0或—

444

【答案】D

【解析】

由题意得M元素个数，分类讨论求解

当。=0时，A/={1）,满足题意，

9

当。工0时，由题意得△ug+daWO,得aW一一，

4

综上，。的取值范围是S，-如⑼

11.若xeA,则就称A是伙伴集合.其中“=卜2,-1,0,；,2,3}的所有非空子集中具

有伙伴关系的集合个数是（）

A.1B.3C.7D.31

【答案】B

【解析】

根据伙伴集合的定义利用列举法即可求出结果.

「若xeA,则,€4,就称A是伙伴集合，

x

.M+2,—l,0,g,2,3},

.•.闻=卜2「l,0,g,2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合有卜,；卜{-1},卜

二.M=卜2,-1,0,；,2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是3.

12.全集U={（x,y）|xeZ,yeZ},非空集合SqU,且S中的点在平面直角坐标系x。），内形成

的图形关于x轴、y轴和直线丫=》均对称.下列命题：

①若（1,3"S,则（T,—3）£S；

②若（O,4）eS,则S中至少有8个元素；

③若（O,O）/S,则S中元素的个数一定为偶数；

@若{（乂旷）卜+尸4/€乙），€2}6,则{（x,y）旧+|y|=4,xcZ,y€Z}aS.

其中正确命题的个数是

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

s中的点在平面直角坐标系X。店形成的图形关于x轴、y轴和直线均对称.

所以当(x,y)wS,则有(x,-y)w5,(T,y)wS,(y,x)eS,

进而有：(一乂一y)eS,(-y,x)wS,(y,-x)e5,(-J,-X)G5

①若(1,3)CS,则(T,—3)wS,正确;

②若(0,4)eS,则(O,T)eS,(4,0)eS,(T,O)eS,能确定4个元素，不正确：

③根据题意可知，(x,y)wS,若x=0,丁工。能确定4个元素，当xwO,，=0也能确定四个，

当工工0,丁工0也能确定8个所以［0,0)£S,则S中元素的个数一定为偶数正确：

④若{(x，y)|x+y=4,xwZ,)，wZ}qS,由S中的点在平面直角坐标系9,内形成的图形关于

%轴、V轴和直线产x均对称可知，{(x,y)k-y=4,x€Z,ywZ}qS,

{(国)，)|一x+y=4,xeZ,ycZ}qS,{(x,y)|-x-y=4,xeZ,yeZ}qS,即

{(x,y)M+|y|=4,xeZ,ywZ}±S,故正确,

综上：①③④正确.

二、多选题

13.下列关系中正确的是()

A.Oe0B.0e{0}

C.0c{0}D.0c{O}

【答案】BCD

【解析】

根据空集的定义和性质，依次判断即可

选项A：空集中没有元素，故A错误；

选项B：{0}中只有一个元素0,故B正确；

选项C,D：空集是任意集合的子集，故C,D正确

14.下列集合是空集的是()

A.B.|xe/?|x2+x+3=o|

C.{xe/?|x+2020=2020}D.{(x,y)|x2+|>j=O,x,ye

【答案】AB

【解析】

根据各选项集合的描述直接判断是否为空集即可.

A：由ycR上y22o恒成立，故卜€/?卜2<（）}=0；

B：方程/+%+3=0无解，故卜£林"+3=0}=0；

C：”昨+2020=2020}={0},不为空集；

D：{（若切上+3=0}={（0,0）},不为空集.

15.下列说法正确的是（）

A.任何集合都是它自身的真子集

B.集合{。㈤共有4个子集

C.集合{x|x=3/74-l,7ieZ}={x|x=3〃-2,〃eZ}

D.集合{xlX=1+6T2,OGN*|={.dx=a2-4/7+5,.GN"}

【答案】BC

【解析】

根据集合的性质依次判断即可.

对A,空集不是它自身的真子集，故A错误；

对B,因为集合{。，力}中有2个元素，所以有2?=4个子集，故B正确；

对C,因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确;

对D,因为x=/-4〃+5=（。-2）2+1,当a=2时，x=\,所以le{dA=«2-4a+5,«eN*},

但1任{x[x=l+a2MtN*},故两个集合不相等，故D错误.

16.下列选项中两个集合相等的是（）

A.P=|x|x2+x=0|，C=-x\

2

B.P=[（|>}.Q={0}

C.P={Hx=10A,Z£Z},Q={xk=2m_Kx=5〃,，〃eZ,“eZ}

D.P='xx=—+—,«e/?,Q=|x|x5-3x3-4x=oj

ab

【答案】ACD

【解析】

利用集合相等判断.

A.因为尸=卜v+、=0}={-1,0}.。={-1,0},故两个集合相等；

B.因为P={囱的元素是0,Q={。}的元素为0,故两个集合不相等；

C.因为尸={x|x=l。4/eZ},Q={xk=2An^x=5〃,meZ,〃eZ}={xk=10NMeZ},故两

个集合相等；

D.尸={-2,0,2},。={-2,0,2},故两个集合相等；

17.（多选）集合4={幻/+公+1>0},6={幻/+办+2>0},下列说法正确的是（）

A.对任意心6是鸟的子集B.对任意a,R不是E的子集

C.存在。，使得《不是2的子集D.存在4,使得鸟是耳的子集

【答案】AD

【解析】

讨论6、名均为非空或空集，研究集合6、鸟之间的包含关系.

当6、8均不为空集时，/?={x|<+av>-l},鸟=卜次2+6>一2},此时[是鸟的

子集：

当4、2均为空集时，6=6，4与6互为子集，

18.己知集合A={x|lc<2},E={x|2a—3Vx〈a—2},下列说法正确的是（）

A.不存在实数〃使得A=3

B.当。=4时，AaB

C.当0KaK4时，

D.存在实数〃使得BqA

【答案】AD

【解析】

选项A由集合相等列方程组验算；选项B由。=4得3=0,故不满足A=B；选项C、D通

过假设bqA求出实数a的取值范围可判定.

选项A：若集合A=8,则有产二二“，因为此方程组无解，所以不存在实数。使得集合A=8,

[a-2=2,

故选项A正确.

选项B：当a=4时，B={x|5<x<2）=0,不满足低3,故选项B错误.

若8=则

①当6=0时，有2〃一32〃一2,a>l；

a<1,

②当BW0时，有•2a-3>1,此方程组无实数解；

a-2<2

所以若5工A,则有故选项C错误，选项D正确.

三、填空题

19.一个〃（〃eN）元集合有个子集，有个非空子集，有

个非空真子集.

【答案】2"（2"