函数极限与连续教案

第一章函数、极限、连续

§1.1函数

㈠函数

一、函数的概念

1、函数的定义

定义1.1：设是两个变量，。是一个给定的非空数集。若对于每一个数xe。，按照某一

确定的对应法则了,总有唯一确定的数值y与之对应，则称变量y是x的函数，记作：

V=/(%),xeD

其中：X——自变量，

y---因变量，

f一—对应法则，

D——该函数的定义域。

几点说明:

①定义域为自变量x的取值范围，也就是使函数y=/(x)有意义的一个数集。记作：D(f)

当自变量取定/e。时，与％对应的数值称为函数在点儿处的函数值，记作：

/(%)或九,0

②对应法则/：/是反映y与龙的对应规则的，即y是x的函数关系，

例如：y=f,对应法则是：“因变量是自变量的平方”。

③值域Z：当x取遍。中的每一个值时，对应的函数值组成的集合称为函数的值域Z,

记作：Z(/),Z={y|y=f(x),xG£>}。

2、函数的两要素(。和/)

由函数的定义可知，定义域。和对应法则/是函数定义的两个要素，如果两个函数具有相同

的定义域和对应法则，那么它们就是同一个函数。

例1求下列函数的定义域。

(1)y=~7——-——;(2)y=Jl-x+log2a+1)。

x—5x+6

x—2

解(1)要使y==---------有意义，则分母

-5x+6

x~-5%+6w0,

解得：X#2且彳#3,所以函数的定义域为(—8,2)U(2,3)U(3,+8)。

(2)要使y=Jl二^+log?(x+l)有意义，则有

l-x>0

\x+l>0'

解得：一所以函数的定义域为(―1,1]。

(定义域有三种表示方式,这里要讲解一下。)

例2已知函数/四=三'求八。)，/⑴，/(—),+

0-11-1

解八0)=二T-阿=币=0；

-x-\x+1v+l-1

f(~x)=/u2+l)=

—X+1x2+1+1X2+2,

例3比较下面几组函数是否相同？

(1)y=x,y=V?;(2)y-x,y=(V，；(3)y=x,y=—o

解(1)y=x与y=-J?的£>=(-8,-t-oo)

x,x>0

而y=4^=W=<

-x,x<0

/.仅当x20时，、=%与丁=4^才相同

故，。同，/不同，，y=%与y=_不是相同的函数。

(2)y=，的/)=(_OQ,+8),y=的£)=[(),4-oo),

2x,x>0

而y=(Vx)—<

不存在,xv0

...仅当X20时，y=x,y=/)2才有相同的对应规则一,

故，。不同，开同，y=x,y=(J7)2不是相同的函数。

2

%

(3)y=x的。是xwR,y=—的。是xw()

x

x~

仅当xrO时，y=x,y=—才有相同的对应规则/,

x

X2

故，。不同，同，；.y=x,y=—不是相同的函数。

x

例4判断下列函数是否为相同函数

(1)/(x)=lgx2,g(x)=21gx;(2)/(x)=A/1-COS2x,g(x)=sinx.

解：⑴定义域：的。(力=(fo,0)(0,4oo)

g(x)的£>(g)=(O,+<=o)

显然两个函数的定义域是不同的，.••/(X)与g(x)不是相同的函数。

⑵定义域：/(X)的D(/)=(-oo,+oo);g(x)的D(g)=(-OO,+OO),显然定义域同

对应法则：“X)的值域z(/)=[o,1];g(x)的值域z(g)=[-l,1].

即：在(-OO,+0O)内，/(X)与g(x)的对应规则是不一样的，

故/(X)与g(x)不是相同的函数。

3、函数的表示法

函数的表示法有三种：解析法(公式法)、列表法、图象法表示。

1)解析法一一函数的对应法则/用数学表达式表示。

例如：函数y=百=1,S=20，等等就是用解析法表示的函数，

优点:简单明确，便于数学研究、理论分析和计算等。当尤在其定义域内取任意值时，可由

解析式计算出相应的y值。

2)列表法一一用表格表示两个变量之间的函数关系。

例如：某商品在16月份的销售量调查表如下:

月份r123456

销售量Q(千件)605843502539

上表给出了月份f与销售量0之间的函数关系。

优点:很容易找到对应于自变量/的某一函数值Q。

缺点:局限性，不可能列出全部函数值。

3)图象法一一函数的对应法则/用建立在平面直角坐标系上的几何图形来表示。

例如:气象台每天用自动记录仪把一天中的气温变化

情况自动描绘在记录纸(如图1-1所示)。

这是用图形表示的函数，气温y与时间了的函数关系

它的定域。=[0,24]。当时间x在其定义域。内取任意值时,

在曲线上都可找到一个与之对应的气温值。

优点:方便找出对应某一时间的温度值，并能观察出函数的

图1-1

变化趋势。

4、分段函数

有些函数关系，其函数定义不是用一个表达式完成的，而是把整个定义域分成若干个区间段，

与一个区间段内的次对应的函数值y用一个表达式给出。

分段函数——对于xeD,不能用一个统一的数学表达式表示，有时要用两个以上的数学式来表

示同一个函数，即在定义域的不同部分，用不同的数学式来表达的函数，称为分段函数。

分段函数的定义域:是各段函数自变量取值范围之并。

注:分段函数是用几个式子表达的同一个函数,而不是多个函数。

痴口，△用了将【2五,0<x<I

例5：已知分段函数,

1+X,X>1

(1)求/门一、、/(0)和/(3)；(2)求函数的定义域；(3)画出函数图形。

解(1)当x时，条件OKxWl成立，按表达式/(x)=2后计算，从而

当x=0时，仍有条件OWxWl成立，仍按这一表达式/(x)=2«计算，有

f(0)=2xVo=0o

当x=3时，条件x>l成立，按表达式/(x)=l+x计算，从而/(3)=1+3=4。

(2)分段函数的定义域是各段自变量取值范围之总和,

依题设定义域应为：

{x|0<x<l}U{x|x>l}.即［0,+oo)。

(3)函数/(x)图形由函数y=26的［0,1］段

与直线y=l+x的(l,+oo)段组成，分别将两个图形

对接在同一图中，就得到了给定函数的图形。

(如图1-2所示)

图1-2

二、函数的几何特性

1、函数的奇偶性

定义12设函数y=/(x)在区间/内有定义，若对于任意的xw/,恒有

®/(-X)=/(%),则称y=为偶函数;(图象关于锢对称)

②/(-%)=—/(幻，则称y=为奇函数。(图象关于原点对称)

偶函数

偶函数的图象关于y轴对称奇函数的图形关于原点对称

例如：函数y=l在区间（一8,+oo）内是偶函数；函数y=/在区间（-oo,+8）内是奇函数。

例6：判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)=xsinx+cosx；(2)f(x)=2x4+3x3+1；(3)f(x)=In---

1+x

解：(1)/(x)的。(/)=(—00,zo),对任意xeO,有：

/(-x)=(-x)si^-x)+co^-x)=xsins+cosr=/(x)

/(x)=xsinx+cosx为偶函数。

(2)/(x)的。(/)=(—oo,”)，对任意xe。，有：

f(-x)=2(-x)4+3(-x)3+l=2x4-3X3+1

•••/(—x)w/(x),/(-x)^-/(x)

:./(x)=2x4+3/+1为非奇非偶函数。

⑶/(无)=ln=的。(/')：-尤，解得：XG(-1,1)

i+x------>0

11+x

D(/)=(-1,+1),对任意x&D,有：

f(-x)=-「=-ln1—=-/(x)

1+(I—"xj=1—X1+X

1—X

・•・/(x)=In—^为奇函数。

1+X

2、函数的单调性

定义1.3设函数y=/(x)在区间/内有定义，对于区间/内的任意两点玉w/,

①当当＜当时，有/'（西）＜/（%），则称函数外外在区间/内是单调增加的;

②当石＜龙2时，有•/'（王）＞/（%2），则称函数〈X）在区间/内是单调减少的。

当X＜0时，为单调减函数;

当工2洞，为单调增函数;

例7：判断下列函数的单调性

⑴丁=%>⑵y=(J；(3)y=Y.

解：(1)/(X)的£)(/)=(-8,+00),设X],为2G。且玉<工2,有：

f(Xj)-f(x2)=一々3<0,即f(X])</(x2)

/.y=/在(_8,+8)内是单调增加的。

(2)了=&丫的。(/)=(一00,+oo).

设X1,%2£。且再V12，有：

/(%])—/区)=($一GA>。，即/(x,)>/(x2)

...)=@)'在(一00,笆)内是单调减少的。

(3)y=/的£)(/)=(_8,+00),设X],%2W。且X]<%2，有：

①在(一8,0)内，设X]<工2有：

2

f(xl)-f(x2)=x^-x2=(jq+Ai)(^-^)>0,即f(xt)>f(x2)

：.y=》2在(_8,o)内是单调减少的。

②在[0,4-00)内，设X]<%2有:

/(X)-/(工2)=¥-毛2=(工1+%)(%1-w)<0,即/(^)</U2)

...y=/在[o,+oo|内是单调增加的。

注意:函数y=X2在整个定义域区间(-8,+00)内无单调性可言。

3、函数的周期性

定义1.4设函数y=/(x)在区间/内有定义，如果存在一个不为零的实数T,对于任意的

xel,有(x+T)e/,且有/(X+7)=/(%)恒成立，则称y=〃x)是周期函数。

实数T称为周期。通常我们所说的周期函数的周期指的是函数的最小正周期。

函数y=sinx是周期函数,即有：

./兀C、.万

sm(一+2乃)=sin—

66

—2TC一文2Ksin(x+2〃)=sinx

sin(x+2〃〃)=sinx

(几=±1,±2,…)

显然，±2乃，±4乃…都是函数y=sinx的周期，而2)是它的最小正周期。

函数y=sinx,y=cosx都是以2兀为周期的周期函数;

y=tanx,y=cotx都是以兀为周期的周期函数。

法:若于四是以T为周期的函数,则于〈吟就是以:为周期的函数。

2乃7t

例如：y—sin3x,T=—；y-tan2x,T=y.

4、函数的有界性

定义1.5设函数y=在区间/内有定义,如果存在一个正数M,对于任意的xe/,

恒有|/(%)|VM,则称/(%)在I上有界。否则无界。

函数y=sinx图形介于两条直线y=—l和

y=l之间，即有:|sinX<1,这时称

y-sinx在(一8,+8)内是有界函数。

y=-M(M>0)

有界函数图形必介于平行于x轴的两条直线y=M之间。

常见的有界函数有：

y=sin%,y=arcsinx,y-arctanx等。

㈡反函数

一、反函数概念

1、反函数的定义

在研究两个变量之间的依赖关系时，根据具体问题的实际情况，需要选定其中一个为自变量，

那么另一个就是因变量(或函数)。

定义1.6已知函数：y=/(x)>xeD,ywZ,

若对于任意一个yeZ,D中只有唯一的一个数x与y对应,使得：/(x)=y成立，这就以

Z为定义域确定了一个新函数，这个函数称为函数丁=/(%)的反函数，记作：

%="(丫)，ywz

瓶习惯记法,X作自变量，y作因变量，于是函数y=/(x)的反函数一般写作：

y=/T(%)%ez

说明:①反函数的定义域即为原函数的值域。

②函数y=/(x)与y=/i(x)两者互为反函数。

例1求下列函数的反函数。

(1)y=2x-\；(2)_y=ln(x+2)-3。

解：(1)先由直接函数y=2x—l解出：％=皇，

再将x,y互换，得到按习惯记法的反函数为：丁=+」。

(2)先由直接函数y=ln(x+2)—3解出：x^ey+i-2,

再将x,y互换，得到按习惯记法的反函数为：y=ex+3-2.

例2求下列函数的定义域和值域。

2r-31,

(1)y=———-；(2)>=-—1。

X+17X

解：（1）y=汩2定义域1},

X+11

解出X

由y=汩2=>%=212,定义域Z={N"2},

x+12—y1

根据反函数的定义域为原函数的值域，得：

原函数^=在三的值域即为：z=My02}。

X+11

（2）>=五一1定义域o={4r>0}，

]解出X

由y=五_1=>五=%，定义域Z={y|y>_l}

/.原函数>=五一1的值域即Z=»|y>—1}。

2、反函数与直接函数的关系

㈢基本初等函数

一、基本初等函数(6种)

基本初等函数是我们中学已经学过的函数，在此，我们仅对它们及它们的图象、性质作以简要

复习。包括常值函数y=c在内，基本初等函数共有6种：

1.常量函数：y=c(常数)，XG(-OO,+GO)

2.募函数：y=义，(〃为实类

定义域随n而异,但不论n取何值,它在区间2,+垃内总是有定义的。

例如，当”=1时，y=%，定义域为xe(-8,+8)；

3

当〃=77时，定义域为［0,+℃)；

当〃=一；时，定义域为(-8,0)U(0,+°o)；

当〃=一1时，定义域为(0,+8)。

图像我们分〃>0和〃<0分别讨论。

A.当〃>0时，募函数图象过点(0,0)和。,1),在(。，短))内单调增加且无界。图1-3

①幕函数的图象过(L1)点，

②嘉函数在犬=1时的函数值为I：

③丁:/与,二》:的图象关于直线y二刀对称；

④若a与b均为常数,且4>0，

则在(1,1)点的左侧，曲线y=x"在y=f之下,

即0<%K1时

而在(1,1)点的右侧，曲线y=x"在y=f之上,

图1.3

即％21时，xa>xbo

B.当〃<0时，嘉函数图象过点（1,1）,在（0,”）内单调减少且无界。图1-4所示。

例如：

-1

y=%；

-2

y=%；

i

y=%2.

3.指数函数

y=(2x(a>0,6/l),xe(-oo,H-oo),ye(0,+oo)

指数函数丁=优的图象如图1-5所示。

图象特征:

①因定义域是（-0。,+8）,故恒有">（）,

所以指数函数图象全部位于X轴上方

②当4>1时，它是单调增函数；

③当（）<&<1时，它是单调减函数：

④该函数无零点，与）'轴的交点为（0,1）。

常用的指数函数是y=e',

其中e是一个无理数，e=2.71828……

4.对数函数y=log光（。＞0且a/l）,xe（0,+oo）,ye（-oo,+oo）,

对数函数的图形如图1-6所示。

图象特征:

①因定义域是(0,-8),故图象全部在)’轴右方;

②当0＜。＜1时，y=log“x为单调减函数；

③当a＞1时，y=log“x为单调增函数；

④该函数无零点，与x轴的交点为(1,0)。

⑤轴为指数函数的渐进线。

对数函数y=log,,x与指数函数y="互为反函数，图形关于直线V=%为对称。

常用的对数函数有:

/(x)=lgx和/(x)=lnx

/(x)=Igx是以10为底的对数函数，称为常用对数函数,

/(x)=lnx是以e为底的对数函数，称为自然对数函数。

(自然对数函数将是本课程中更为常见的对数函数)

5.三角函数

三角函数是统称，包括：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

正弦函数：y=sinx,如图1-7所示，定义域为（-8,+℃）,值域为[TJ],

它的特性是：有界、奇函数、周期函数（周期为2兀）。

余弦函数：y=cosx,如图1一8所示，定义域为（-8,+00）,值域为[—1,1],

它的特性是：有界、偶函数、周期函数（周期为2元）。

图1-9

y=sinx与＞=cosx都是周期函数，周期均为2万。（如图1-9所示）

正切函数：y=tanx="±,（如图1-10所示）

cosX

定义域为xw左兀+三（ZeZ）,值域为（—8,+8）,

2

它的特性是：无界、奇函数、周期函数（周期为兀）。

余切函数：y=cotx=»^,（如图1-11所示）

sinx

定义域为XWZTT（ZwZ）,值域为（一8,+8）,

它的特性是：无界、奇函数、周期函数（周期为加）。

图1-10图1-11

正割函数：只需知道丫=$8彳=—,其它不作详细讨论。

COSX

余割函数：只需知道'=08（：彳=」一，其它不作详细讨论。

smx

6.反三角函数

反三角函数是三角函数的反函数，常用的反三角函数包括：

说明:正弦函数y=sinx在其定义域（-8,+8）内不具备单调性，故应不存在反函数。

但如果我们限定自变量的取值范围，使得函数在限定的区间内具备单调性，于是就可以讨论

三角函数的反函数了。

7TTT

反正弦函数：y=arcsinx（如图1-12所示），定义域为［TJ,值域为一耳,/。

但如果我们限定自变量X在指定区间

TFTT

——上取值，则它在该区间就变成

_22_

了单调增加，于是在该区间就有反函数

存在了--------要点!

（如图1-12所示）

反余弦函数：=x（如图1/3所示），定义域为［-U］,值域为［0,兀］。

但如果我们限定自变量x在指定区间

［0,可上取值，则它在该区间就变成了

单调增加，于是在该区间就有反函数存

在了--------要点!

（如图1-13所示）

反正切函数：y=arctanx（如图1-14所示）,定义域为（-8,+8）,值域为

反余切函数：y=arccotx（如图1-15所示）,定义域为（-8,+oo）,值域为（0,兀）。

图1-14反正切函数图1-15反余切函数

㈣复合函数

在实际应用中，两个变量的联系有时不是直接的，而是通过另一变量间接联系起来的。

例如：设y=G，U^l-X2,用1一一代替y=〃中的〃，得到y=二

这就是说函数y=11一％2是由y=4经过中间变量〃=1-—复合而成的。

即：y==7是由丫=〃和必=1一，这两个函数复合在一起构成的，我们称为复合函数。

1.定义

定义1.7：已知两个函数：

设)'是〃的函数，y=/(")，〃是X的函数，U=<p(x),若M=e(x)的值域的全部或部

分能使y=/(〃)有意义，则称y是通过中间变量M构成的X函数，即y是X的复合函数。记

作：

y=f[(p{x}]

通常称f为外层函数，/为内层函数，其中X是自变量，“是中间变量。

几点说明:

①并不是任何两个函数都可以构成一个复合函数。

例如，y=lnM,〃=一，就不能构成复合函数，因为〃=一X2的值域是〃40,而y=EM的

定义域是“>0。

当“对于x值所对应的u值,y=/(〃)无意仪”，则这时二者就不能构成复合函数。

给出一般判断方法:

y=/(9,定义域。(7)

u=(p(x),值域Z(0)

当D(/)Z(O)H①时，

贝!Iy=/(9与〃=。(%)才能构成复合函数。

②复合函数不仅可由两个函数,也可由多个函数相继复合而成。

③分解复合函数时,多采用“由外向内,逐层分解”法。

例1：已知函数y=/(4)=/,u=(p(x)=tanx,求二者而成的复合函数。

22

解：y=/(奴x))=(被x)F=(tan%)=tan%o

例2:已知函数y=/(〃)=*，U=(p(v)=Inx,V=l//(x)=cosx

求：三者而成的复合函数。

解：y=/(奴〃(x)))=J奴v)=Jln(〃(x))=VinCOSXo

例3：已知函数f(x)=x2,(p(x)=ax,

求(1)/(/(x))；(2)/(奴幻)；(3)(p(f(x))。

解：⑴/(/(%))=(/(X))2=(x2)2=X4(将/(X)代换/(X)中的X得到的)；

(2)/(^(x))=(0(X))2=(优)2=a2x(将°(x)代换/(x)中的x得到的)；

(3)0(/(%))=〃")="’(将/(x)代换9(x)中的x得到的)。

注意:

“复合函数”本质就是一个函数(不是一类新型的函数)，今后经常需要将一个给定的函数

看成是由若干个基本初等函数复合而成的形式，叫“分解复合函数”。

2.复合函数分解法(“由外向内”分解法)

即由最外层函数起,层层向内进行,直到分解出自变量x的基本初等函数为止。

例4:下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的。

(1)y=lnarcsinx2；(2)y=arcsin2x

解：(1)令y=ln〃(对数函数)，则〃=arcsinx2；

令〃=arcsinu(反正弦函数)，贝iju=l2；

因v=x2(基函数)，已经是基本初等函数了，所以不用再分解了；

/.y=lnarcsin/是由基本初等函数y=ln〃，u=arcsinv,u=/复合而成的。

(2)令y=“2(基函数)，则〃=arcsinx；

(y-arcsin?x实际上就是y=(arcsinx)2的一种习惯简写形式。)

而“=arcsinx(反正弦函数)，己经是基本初等函数了，不用再分解了;

，y=arcsin?x是由基本初等函数y="2,“=arcsinx复合而成的。

例5：分解下列复合函数。

(1)y=tang)；(2)y=esinr；

(3)y-y/4-x2；(4)y=Jig，-3)。

解(1)y=tan6‘)是由y=tan”,〃=3*复合而成的；

(2)y=es"，是由y=e",〃=sinx复合而成的；

(3)y=是由y=〃=4-炉复合而成的；

(4)y=Jlg(/-3)是由丁=“^〃=旭丫,丫=%2-3复合而成的。

例6：判断下列函数能否构成复合函数。

(1)y-Igw,u=-(x-1)2；(2)y=y[u,u=-l-x21,

解：(1)y=lg”,定义域£)(/)=(0,+oo)

M=-(x-l)2,值域Z(0)=(-oo,0),:£)(/)cZ")=。

y=lg"，"=—(x—IK不能构成复合函数。

(2)y=y/u,定义域£>(7)=[p,+°°)

u=-l-x2=-(l+x2),值域Z(夕)=(-8,

,:O(/)cZ(°)=。

：.y=4u,〃=一1一*2不能构成复合函数。

㈤初等函数

初笠函教J由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算而成，且能用

一个式子表达的函数统称为初等函数。

例如，函数y=sin(e')+2p-xln%+J—.

VI-%-

y=arccos—...均为初等函数。

x

说明:①初等函数的构成既有函数的四则运算，又有函数的复合，所以我们必须掌握把初等函数

按基本初等函数的四则运算和复合形式分解开来。

②复合函数一般都是初等函数。

③分段函数不是初等函数。

微积分学中研究的函数,主要都是初等函数。

例7:将下列函数按基本初等函数的复合与四则运算形式分解

(1)y=arctan——-

I1+无

(3)y=cose，+2x+2；(4)y=

1—X1—X

解：(1)令〃=arctan----,贝ijy=iC\又令v=----,贝!]u=arctanv,

1+x\+x

(1_y\2]-X

则y=[arctan----由下列函数构成：y-it1,w=arctanv=-------.

I\+x)1+x

(2)令〃=丁+，1+",则y=ln“，又令y=l+e*,则得到u=ex+4v,

则y=In(e'+由下列函数构成：y=lnM,u=&+/丫v=l+e'.

(3)y=cose，+2x+2由下列函数构成：y=cos〃，"=,，口=/+2%+2.

(4)^=asinv+£Ost由下列函数构成：y=au,u=sinx+cow

㊅函数关系的建立（选讲）

在解决工程技术问题、经济问题等实际应用中，经常需要找出问题中变量之间的函数关系，然

后再利用有关的数学知识、数学方法去分析、研究、解决这些问题。由于客观世界中变量之间的函

数关系是多种多样的，往往要涉及到几何、物理、经济等各门学科的知识，因此建立函数关系式没

有一般规律可循，只能具体问题具体分析。

下面通过几个简单的实例来说明建立函数关系式的方法。

例1北京到某地的行李费按如下规定收取，当行李不超过50千克时，按基本运费0.30元/千

克计算，当超过50千克时，超过部分按0.45元/千克收费，试求北京到该地的行李费y（元）

与行李重量x（千克）之间的函数关系。

解：当0<x<5（）时，y=0.3x；

当x〉5（）时，y=0.3x50+0.45（x-50）=0.45%-7.5。

所以行李费y（元）与行李重量x（千克）之间的函数关系为：

0.3x,0<x<50

y=*

[0.45x-7.5,x>50

例2在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出他们的工资标准，A公司允诺第一年

的月工资数为1500元，以后每年月工资比上年月工资增加230元，8公司允诺第一年的

月工资数为2000元，以后每年月工资在上年月工资的基础上递增5%,设某人年初被A、

B两家公司同时录取，试问：

①若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则第n年的月工资分别是多少？

②该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘标准，应选择哪

家公司？

解：G）根据题意建立函数关系如下：

此人在A公司第n年的月工资数为：

«„=15（X）+23O（n-l）

此人在B公司第n年的月工资数为：

2=2000（1+5%）”，〃为正整数.

(2)若此人在A公司连续工作10年，则他的工资收入总量为:

12(4+⑥++a［。)=3()42(X)(元).

若此人在B公司连续工作10年，则他的工资收入总量为：

12(伪+4++第)=301869(元).

由于在A公司收入略高于在B公司的收入，故此人应选择在A公司工作。

例3(复利息问题)设银行将数量为4的款贷出，每期利率为若一期结算一次，则r期后连

本带利可收回：

4(1+〃)'；

若每期结算加次，则f期后连本带利可收回

此函数既可看成期数f的函数，也可看成结算次数加的函数。

现实生活中一些事物的生长(r>0)和衰减(r<0)就遵从这种规律。

而且是立即产生立即结算。

例如：细胞的繁殖、树木生长、物体冷却、放射性元素的衰减等等……

此类计算银行复利问题会用到极限概念，我们将在后面极限理论部分中的两个重要极限

中会遇到此类问题的极限表示法。

§1.2极限

㈠数列极限

一、引例

引例：（割圆术）中国古代数学家刘徽早在公元263年就用“割圆求周”（简称“割圆术”）的

方法，算出万=3.14。刘徽注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积，且当将边数屡次加倍时，

正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。“割之弥细，所失弥少。割之又

割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣这几句话明确地表明了刘徽的这一思想。如图1-16

所示，当内接正多边形的边数越多，多边形的边就越贴近圆周。

具体操作如下:

先把直径为1的圆分成六等分，求得内接正六边形的周长；再平分各弧求内接正十二边形的周

长；这样继续割下去，就得到一个数列，若以笫表示其通项，则为的值就是正3x2"边形的周长,

见下表：表2-1

序号内接正多边形数（3x2"）正多边形周长（）

163.00000000

2123.10582854

3243.13262861

4483.13935020

5963.14103194

61923.14145247

73843.14155761

87683.14158389

915363.14159046

1030723.141592106

1161443.141592517

12122883.141592619

13245763.141592645

14491523.141592651

15983043.141592653

由该表可看出，数列｛/｝的通项先随着〃的无限增大而无限地接近于圆的周长〃，

这正如刘徽所说的，“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣与

这个例子反映了一类数列的一种性质：对数列｛%｝,存在某一个常数4,随着〃的无限增大,

X,能无限接近于这一常数A,这时称数列｛笫｝以A为极限。

二、数列极限定义

1、数列——按自然数顺序排列成有序的无穷多个数，称为数列，数列通常记作：

y=/(〃)，〃为自然数.

则数列展开为：必，必，火…，笫，…一般也简记作：｛力｝。

其中笫称为数列的一般项。我们所要研究的就是当〃无限增大时，数列｛先｝的变化趋势。

观察下面几个数列：

(1)yn=—(〃GN),数列：1,—当〃一＞8时，=工无限趋近于一个确定

"n23nn

的常数0；

⑵一(nGN),数列：,」一,,当〃—oo时，数列北=」一无

«+12345n+\n+1

限趋近于一个确定的常数1；

⑶yn-2n(〃eN),数列：2,4,6,8,…,2”,…；当〃foo时，数列y”=2〃不趋近于一个

确定的常数；

(4)=(一1)”“，(〃wN),数列：1,—1,1,—1,…,(一1)向,…，当〃时，笫=(—1)""始

终在数+1和-1来回跳动，它不趋近于一个确定的常数。

2、数列极限定义

定义2.1:设数