小学数学专题研究

江苏自考《小学数学专题研究》复习资料第一章小学数学课程目标及内容对象：数学是一种研究客观世界中数量关系和空间形式的一门科学。本质：数学是一种研究思想事物的抽象的科学——恩格斯。作用：一种科学只有在成功运用数学时，才算达到了真正完美的地步。各门学科的数学化，数学作为一种文化，已成为共识。我国数学课程及演变过程：1、萌芽时期（公元前600年前）2、初等数学时期（公元前600年——17世纪中叶）3、变量数学时期（17世纪中叶——19世纪20年代）4、近代数学时期（19世纪20年代——第二次世界大战）5、现代数学时期（第二次世界大战以来）作为一门学科，在我国却迟到隋唐时期，才在国子监设算学。算学作为小学课程则从近代光绪二十八年（1902年）才正式开始。1892年编《笔算数学》，则是我国学校里的第一部算学教科书。1903年春编《最新教科书》我国自己编写的第一本正式的小学算学课本问世。1978年2月《全日制十年制小学数学教学大纲（试行草案）》明确将小学算术改为统一的数学。1992年三个面向“面向现代化、面向世界、面向未来”。国外数学课程变革的简况及趋势。20世纪初，德国数学家克莱因发起并领导了数学教育近代化运动。现代数学运动发展是不平衡的，分三种类型：1、革新型如英美；2、进化型如苏联；3、中间型如日本。相似之处：1、精简传统的算术内容；2、增加或渗透集合、函数、统计等现代数学内容；3、用结构思想处理传统内容。“回归基础”改为“走向基础”。大众数学：目标让全体学生学好数学、学习更多的数学而且是需要的数学。小学数学课程目标是小学教育方向和性质的表征，也是小学数学教育活动，包括组织教学内容、确定教学要求、选择教学方法、进行质量评估、决定考试命题等进行的依据，小学数学课程目标与分析：1、理解和掌握最基础的数学知识。2、培养初步的数学能力（是核心）解决实际问题的能力是最终目的。3、培养良好的思想品德。学科数学与科学数学课程内容的载体是教材——教科书。学科数学的内容是依赖于科学数学而建立和发展的。1、作为科学的数学，它不考虑人们是否能够理解和接受，只要能完备而又精确地阐明某种数学理论，更深刻地反应世界的空间形式和数量关系就行。而作为学科的数学必须遵循学生的认知规律和心理特点，往往从日常生活、生产中的具体事例出发，对现象进行描述，然而转向定义、定律、性质等的揭露。2、作为科学数学，对所有的定理、法则等都必须进行严格的论证和推导，而作为学科的数学限于学生的接收水平，往往通过列举一些事例用不完全归纳法得出结论。3、作为科学数学，完全按照数学理论的逻辑系统进行安排，可以难易起伏不均；作为学科数学在不影响科学性的前提下，兼顾小学生的认知规律，对某些内容可以适当调整。由此可见，科学数学是作为人类认识的结果而呈现的，以完全揭示数量关系和空间形式为目的；而学科数学可看作为认识对象而存在。对作为小学学科的数学而言，除了正确反映科学数学的知识外，还必须充分遵循小学生的认知规律，有利于使他们学懂、学好、学活，有利于发展他们的智能，有利于进行思想品德教育。小学数学课程内容编排原则：1、以数与计算为主线，以数与形为重点，把各部分内容按其彼此的内在联系结合起来。2、由浅入深，由易到难，循序渐进，螺旋上升。3、突出重点，分散难点。4、把数学知识和数学应用结合起来。5、注重趣味性。数学学科的特点：1、高度的抽象性；2、严密的逻辑性；3、应用的广泛性。悖论：英国数学家罗素提出一个悖论，指出作为数学基础的集合论本身就存在着矛盾。“理发师”悖论。小学数学认知发展可以理解为小学数学认知结构和数学认知技能的发展，是通过小学数学活动过程来体现的。认知发展一般包含这样几个阶段：1、输入阶段；2、同化和顺应阶段；3、应用阶段。以上三个阶段是密切联系的。第四章小学数学解题的实质和结构小学数学即小学数学领域中的问题解决，不但要关心问题的结果，而且要关心求得结果的过程，也就是问题解决的整个思考活动。所以小学数学解题指的是按照一定的思维对策进行的一个思维过程，一步一步地靠近目标，最终达到目标。其含义就是思考的活动及探索的过程。19世纪中叶，德国数学家格拉斯曼才成功地建立了一个算术基本公理体系，解决和统一礼物在此之前人们一直混淆的上述问题。小学数学解题也就意味着找出这样一个数学的一般原理（定义、公理、法则、定律、公式）的序列，当应用他们到问题的条件或者条件的推论（解法的中间结果）时，就能得到问题所要求的答案。奥苏伯尔解题结构模式：1、呈现问题的情境2、明确问题的目标与已知条件3、填补空隙的过程4、解答后的检验。小学数学解题的几个阶段：1、分析题意2、寻找解法3、实行解法4、回顾解法教育心理学认为根据解题者寻求解答的趋向可以把解题分为两种主要方式，一种是尝试错误式，另一种是顿悟式。尝试错误式是由进行无定向的尝试，重复无效动作，纠正暂时性尝试错误。直至出现解决问题得以成功的一系列反应所组成的行动。顿悟式解决问题尝试错误式不同，它具有一定的“心向”，努力发现手段与目标之间的有意义的联系，而这种联系正是问题赖以解决的基础。在小学数学解题中，尝试错误式和顿悟式实际上司不能绝对化的，尝试错误式解题可能是隐含在内而不表露于外的。所以看不出是尝试错误式，未必就是顿悟式。顿悟式解题也不一定是彻底的、完善的和即时的，尽管看上去解答是突然出现的，事实上却往往经历着一定的甚至是相当曲折的过程。常规问题解题规则：1、公式规则2、恒等式规则3、定理规则4、定义规则非常规问题就是没有一般解题规则的数学问题，它的解题步骤序列，可以利用技巧将其转化为等价的常规问题，或分解为若干个小常规问题，或通过分析、综合等方法来寻求。算术基本公式体系是小学数学中的定义、公理、定理、法则等之间的逻辑关系。小学数学解题是以思考为内涵，以问题目标为定向的心理活动过程。第五章小学数学解题的思想方法化归类比归纳美籍匈牙利数学家波利亚在《怎样解题》《数学与合情推理》——关于数学解题的核心观点就是发现与再创造。苏联娅诺夫斯卡娅《解题意味着什么》——解题也就意味着把所要解的问题转化到已经解过的问题。法国笛卡尔我所解决的每一个问题都将成为范例，以用于解决其他问题。化归法的一般模式为：化归法的特点：在于它具有较强的目的性、方向性和概括性。基本原则：是由未知到已知，由难到易、由繁到简；它的方向就是如何实现由所要解决的问题向已经解决的或较容易解决的问题的转化，这里蕴含着发现、发明及创造性的活动。从广义上的理解化归是一种思想，如果从狭义上来看，化归乃是重要的常用的和具体的解题方法之一，而且又有分割组合、映射反演等分别。分割组合的一般模式：分割组合就是把所要求的问题，按照可能和需要，分割成若干部分，使他们更易于求解，再将这些解答有机地组合起来，过渡到问题的最终结论。映射反演就是映射和反演两种方法并用。映射就是在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立的某种对应关系。反演就是从已知运算往回推（每一步运算都以其逆运算来代替，相对映射而言，反演就是逆映射。）在数学解题中，这种映射反演具体表现为坐标法、复数定向法、换元法等。万能发现法（笛卡尔）：这种模式在某些情况下是不适用的。这种方法包含了“数学化”、“代数化”、“计算化”等合理的化归思想方法。类比法是根据两个或两类不同的对象在某些方面（如特征、属性、关系等）的类同之处，猜测这两个对象在其它方面也可能有类同之处，并作出某种判断的推理方法。基本模式：类比的结论属于或然性推论，因为从前提到结论并不具备逻辑必然性。也就是说，类比也有一定的局限性，其结论常常是不可靠的，甚至是完全错误的。归纳法是指通过对特殊情形的分析引出普遍的结论的推理方法。德国大数学家高斯就曾经说过，他的许多定理靠的是归纳法发明的，证明只是一个补行的手续。归纳常常是建立在有目的、有计划的观察和实验基础上的。根据对象是否完备，归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法两种。完全归纳法是根据某类事物中每一个对象的情况或每一个子类的情况，而作出该类事物的一般性结论的推理。上面两种安全归纳推理，前者根据每一个情况而得出一般性结论，后者根据每一类特殊（子类）情况而得出一般性结论。它们在本质上师相互联系的，前者是后者的特例，后者是前者的推广。所以，通常也可以把后者作为完全归纳推理的一般形式。完全归纳法实质上也是一种演绎推理。不完全归纳法是根据对某类事物中的一部分对象的情况，而作出关于该事物的一般性结论的推理。不完全归纳法是根据对某类事物中的一部分对象的情况，而作出关于该事物的一般性结论的推理。不完全归纳的推理形式：和归纳法不同，数学归纳法属于论证的范畴，而不是猜测的方法。但是，在归纳法与数学归纳法之间也存在着相互依赖、相互渗透的辩证关系。换言之，数学归纳法所证明的往往是由归纳法所得出的猜测，而归纳法所得出的猜测有些可用数学归纳法来证明。而且，更为重要的是，归纳的过程往往为应用数学归纳法去证明相应的结论打下了基础；反之证明的过程则加深了对原来猜测的理解。创造，一般是指创造者的主管意识活动，通过科学实践而对自然界的某一方面或某些方面的合乎规律的反映，它是一种现象。创造的三大基本特征：1、实践性2、创造者的创造力充分发挥3、创新性即开创性和新颖性。创造性作为一个认知范畴的概念，系指一种能力或特性，按教育心理学的观点，它和人的智力、智慧品质以及人格等有着密切的关系。创造和创造性不能等同，不可相互替代，但两者共处一体。因为如果强调过程，着眼于心理机制的话，那么创造即是一种特殊的解决问题的活动，是解决问题的最高表现。而任何问题的解决都需要一定的创造性作为基础。创造性既然贯穿在始于问题提出，终于问题解决这一创造过程中，就其内涵来说，它也具有一定的阶段性。想象、灵感和直觉，通常被人们称做创造性的精华。（核心）想象是在头脑中改造记忆中的表象而创造新形象的过程。它既是一种具有极大的自由度的思维活动形式，同时又是可以自觉地引导进行的一种积极主动的心理现象。灵感是指人们在创造过程中，由于某种诱因的作用而突发的一种非逻辑的思维活动。灵感的特点：灵感引发的随机性、灵感显现的暂时性、灵感显现过程中的情感性。灵感的产生不是凭空产生的，不是靠等待就能来临的。它的诱发有着漫长的有意识的活动，有着相当的辛勤努力和实践为基础。如爱迪生说：天才乃是99%的勤奋加上1%的灵感。小学数学解题中，我们也应该通过有意识的思考，去诱发灵感。直觉简单得说就是直接去觉察。直觉的三个明显的特性：1、它对问题的内在规律（即客观事物的本质联系）的深刻理解。2、这种理解来自经验的积累。3、经验积累到一定的程度突然理性与感性产生共鸣时，表现为豁然贯通的一种顿悟式的理解。直觉是从感性经验达到理性飞跃的人的认识过程的一种特殊表现形式，是逻辑顺序的高度简缩。总之想象、灵感、直觉的出现，不仅意味着常规思维中的“跳跃”，逻辑顺序的“中断”，及由此而得到的创造性。而且三者常常又是紧密联系和相互作用的，或是想象诱发了灵感和直觉，或是灵感和直觉唤起了活跃的想象。第六章小学数学解题能力分析从广义上讲，数学能力是顺利完成数学活动所必备的，且直接影响其活动效率的一种心理特征，它是在数学活动过程中形成和发展起来的，并在这类活动中主要表现出来的比较稳定的心理特征。从狭义上讲，数学能力即理解为解决数学问题的个性特征。运算能力：这些运算能力最初表现为对其知识的理解和技能的形成上，进而体现在根据具体问题的特点，恰当地合理运用运算，与其他各种运算的灵活运用和巧妙的结合上。这也就表现出一种解题的能力，即运算能力。空间想象能力：在空间形式的问题中，所要研究的是图形的形状，图形的大小，图形与图形的位置关系等。在研究过程中，除直接给出一些基本图形的性质外，总是要根据所给具体图形的特点和解决它的需要，把它分解和重新组合，即在头脑中进行感知和操作，出现或构造出一些异于所给图形的新图形，并找到新的关系。这又表现出一种解题的能力即空间想象力。逻辑思维能力：数学问题的解决时解题者从感知获得的感性材料出发，通过分析和综合、抽象和概括、判断和推理等逻辑思维方法，去粗取精、去伪存真，由此及彼、由表及里的改造，才上升到理性认识，从而领会和掌握数学的规律和本质。因此，这仍然表现出一种解题的能力，即逻辑思维能力。运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力这三者之间的关系既相互区别，又相互联系和制约的，所以习惯上把他们概括成数学解题能力的主要成分。瑞典心理学家魏德林为代表的欧美心理学家认为组成数学解题能力的因素有：1、一般因素G(主要指智力因素)2、数因素N（对数概念的理解和应用）3、空间因素S（对空间形式的理解、想象和抽象）4、语言因素v(用语言表达数学关系)5、推理因素R（运用逻辑思维、形象思维和直觉思维）日本的大桥正夫等学者，认为数学解题能力包括以下三个方面：A、数理性的领会能力：具体要求是使之抽象化，使之数量化和图形化，使之记号化或形式化；B、概括能力：具体要求是使之扩展，集中归纳，改变观点和改变条件。C、思维能力：具体要求是有计划按步骤地进行思考，进行类比或对比，有根据地进行证明。苏联心理学家鲁捷茨基：1、使数学材料形式化能力；2、概括数学材料的能力；3、用数学和其他符号进行运算能力；4、连续而有节奏的逻辑推理能力；5、缩短推理过程的能力；6、逆转心理过程的能力；7、灵活的思维能力；8、数学记忆能力；9、形成空间概念的能力；10、借助形象化（直观）能力。我们认为小学数学解题能力是取决于数学学科和数学活动的个人特性，是小学生顺利完成解题这种特殊的数学活动时所表现出来的心理品质的综合。概括数学材料、逆转心理过程、灵活性、借助形象化等即是这种心理品质综合体中的具体成分。概括数学材料能力主要表现：1、在从所给数学材料的形成和结构中，能迅速抓住事物的“数”和“形”，找出或发现具有数学意义的关系与特征；2、正确辨认出或分离出某些对解决问题有效的成分与有数学意义的结构。概括数学材料，还在于感知题目的形式结构。所谓题目的形式结构是指构成题目实质的相互关联的量的综合体。概括数学材料的能力还充分体现在这样两个方面：一是从特殊的和具体的事物中，概括出某些一般的熟识的教学模式；二是从孤立的和特殊的事物中，概括出未知的数学模式。综合起来也就是从具体内容摆脱出来，并且在各种对象、关系和运算的结构中，概括出相似的、一般的和本质的东西。克鲁捷茨基认为对数学材料的概括能力，还应表现在问题的类型上即能从不同的题目中发现一般类型，能从较简单的题目过渡到相同类型较复杂的题目，以及怎样把一种类型从表面上相似的其他类型的题目中区分出来。这样有助于在解决问题时，解题者也就能够迅速概括出所要解决的问题，发现和过去所熟悉的问题的相似之处，从而将解法平移过来。逆转心理的能力指的是重建一种心理过程的方向的能力，即不仅取顺向而且取逆向；不仅从正面而且从反面；不仅从因到果，而且执果索因地进行分析，使问题得到解决。小学数学解题过程中，逆转心理过程还具体表现在正逆双方面的理解、思考和应用上，这样不仅有利于深入领会概念、公式、法则，而且能达到解题迅速，简捷的目的。灵活性又称变通性。爱因斯坦看成是创造能力的典型特征。在数学解题过程中，灵活性指的是解题思路的灵活转换盒迅速重组。从认知心理学的角度看，所谓的灵活性系指解题途径的多样化，判断其强弱的标准一般是指解题者从一种心理运算到另一种心理运算的轻快平衡和敏捷程度。灵活性和深刻性。思维深刻的小学生容易摆脱通常方法的羁绊，灵活自如地考虑问题；而灵活性很强的小学生，也常常能发现一些出乎意料的解题方法，更深刻地认识问题。在小学数学解题中，小学生应努力完善语言——逻辑和视觉——形象这两个方面的相互转换，即在一定程度上依靠视觉意象，把数学关系视觉化，对比较抽象的数学系统也作出一种形象的解释，这就是所谓的“借助形象化”的全部内涵。借助于想象化的根本目的在于从直观上来理解较为抽象的数学关系，形成再现性想象，从而促进创造性的活动。从其模式（视觉的形象）来看，它和语言——逻辑模式有着不同的特征，但在具体解题过程中，它们是相互联系和作用的，因此，单纯地强调解题中的视觉——形象化作用则也是片面的。借助想象化所得到的数学关系、数学规律、数学形式结构、数学知识系统和推证模式等，比起其他方式来，更能保持记忆。数学气质有如下的三种类型：分析型：倾向于用语言——逻辑的词语去思考。几何型：习惯于用视觉——形象的词语去思考。混合型：综合上述两类特征。数学能力是解决数学问题的一种个体心理特征。数学能力的成分取决于数学学科和数学活动的个人特性，在小学数学解题中，，数学能力的主要内容是概括数学材料，逆转心理过程、灵活性，借助形象化。概括数学材料，逆转心理过程、灵活性、借助形象化在小学数学解题过程中的具体应用。第七章小学数学研究专题导引小学数学教育存在的一些误区：1、小学数学教育贫乏化：即忽视了基础教育不是以培养本学科的专家为目标这个事实。除了一般的数学知识外，数学留给学生的东西，应含有作为一个公民所必需的，有利于发展人的素质的那些因素。2、学科教育专门化：小学数学教师受的大都是本学科的专门的教育，这对进行学科教学实践是完全必要的，但也可能带来片面和狭隘的学科的局限性，不了解本学科在整个培养人的工作中的地位与作用，往往不自觉地夸大了本学科的次要矛盾，而忽视了同培养人的素质联系较为密切的具有根本性的矛盾。3、忽视科学数学同作为小学学科数学的区别。4、现行考试制度不合理。数学学科品格：1、积极的思维态度：这种不断的抽象化，一般化和统一化为数学思维的不断升华，提供必要的以及可能的条件，促进数学的发展。2、科学的思维方式：1、是数学通过秩序、和谐、对称、整齐、简约等形式来表现与之联系的思维情趣，并在此基础上，形成学习或研究科学以及从事创造性的劳动具体方法。2、“技术化”向“科学化”的过渡。“技术化”是指只注意具体实用的技巧，而没有形成某种思想，停留在经验和技术层面。而科学化则表现为注重定量分析，注重形式逻辑，注重抽象思维。3、强烈的思维内驱力：从数学发展这一角度来看，思维内驱力主要是由数学内部发展和外部需要相适应而产生的。从数学学习这一角度来看，思维内驱力主要是来源于数学材料与人的认识的矛盾冲突。4、密集的脑力当量。某种学科知识总量为T，其脑力总付出为R，则两者之反比，即为单位知识所含有的脑力付出，通称脑力当量C用公式表示，即C=数学活动教学观：由于数学本身是一种演绎法与结构法相互矛盾又相互作用的活动过程，所以它的教学就必须还其本来面目，不仅注重演绎法，而且还设计出一种符合学生的认识规律和数学发展规律的教学过程，这就是数学活动教学观。数学活动教学可以分为这样三个阶段：1、具体材料的数学化，即从实际生活中提取数学模型。2、数学材料的逻辑组织化，即通过辨析、归纳、直觉、类比、想象，寻找方向和线索，用逻辑方法把数学材料组织到逻辑材料体系中去。3、数学结论的应用化。即把理解和掌握结论转变为更加具体的思维，并能同所面临的实际情境相结合，从而创造性地应用结论。上述阶段其实就是思维活动由上升性——探索性——再上升性这样一个循环发展过程。数学活动教学是提高人的素质的一个有效的途径。它能最大限度地调动学生的积极性，变被动接收知识为主动地寻求知识，变脱离学生的认识实际为符合学生的认识规律，通过创设一些引人入胜的问题情境，激发学生的内在的学习动机。数学活动教学提供了个体探求和获得知识的过程，使之锻炼了意志，增强了思维能力，领会了数学的基本思想和方法。学生掌握的结论不仅不少，而且得到的思想方法更具有广泛的迁移意义，久而久之，可以使学生从爱学到学会，再到会学。数学活动教学，因为同现实联系起来，所以既培养了辩证唯物主义的科学世界观，又发展了人头脑中的数学现实认识。数学来源于现实，寓于现实，用于现实。小学数学活动教学现代心理学、教育心理学、数学教育学的相关研究成果，构成了数学活动及其教学的理论基础。首先，从智力发展理论中的划分来看，小学生处于具体运算和形成运算这两个阶段，已经能从特殊到特殊这种传递性的推理。逐渐过渡到特殊到一般或一般到特殊这两种不完全归纳和演绎推理；能从具体直观入手，通过语言复述和部分描述，逐渐过渡到经验型的抽象。所以小学数学的教学方法，对此就应该具有依赖性和适应性，就不能是单纯的结论教学，而应该强调多种多样的活动教学。否则就不能激起学生的共鸣，达不到应有的效果。其次，概念学习理论认为，学习从广义上讲就是一种概念学习。概念的形成过程，也就是活动的过程，如果注意感性的，具体的描述方法，就一定能够使学生正确理解和掌握概念。所以，对小学生而言，他们学习数学就应该是处理概念——数和量的分类，及他们之间的关系，记忆概念——数和量的表达方式；应用概念——数和量的相互作用。完成这些目标的形成主要是：活动、游戏、寻找共性、表达和符号化。再次，认知发现理论强调学习不单纯是简单的刺激反应，而且是以人的意识为中介的认知过程，所以，学习者是认识的主体。小学教学活动，就是以学生为主体，让他们自觉地、主动地探索，掌握认识和解决问题的方法，与步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成自己的概念和理论。小学数学活动教学符合小学生的认识规律，体现了辩证逻辑和形式逻辑的矛盾统一，突出了因材施教与面向全体的和谐统一。但是，也必须注意，小学数学活动教学必须有鲜明的目标性，必须选择最合适学生年龄特征的材料，必须设计合理、经济、有效的活动步骤，也不能照搬学生中心论，更不能是无管理的“放羊式”。某知识点A推导出其他知识点的数目，习惯上称之为知识点A的“基本度”，用J（A）表示，如图：由于数学学科的特殊性，使其具有这样的两个显著的特点：1、知识点之间不等重，有的知识点起着关键作用，而有的知识点则是次要的；2、知识点之间不是离散的，知识点之间存在着逻辑联系。所以，如果小学数学教学内容所含知识点的基本度愈高，说明其内容系统的结构愈合理，知识之间的联系愈活跃，且易于平移，符合小学生的认知实际。另外，基本度的比较，还可以在两种不同设计的教学内容（比如不同版本的教材）之间进行，基本度越低，说明直接应用知识的情况越明显。小学数学内容的趣味化。旨在以小学数学系列知识为基础，通过数学游戏，数学图形、数学故事，数学歌谣，以及大量诱人思考的趣题，来激发小学生的学习兴趣，培养他们灵活的思路和分析的技巧，启迪他们的智慧