第18讲直线的一般式方程（三大题型归纳分层练）（原卷版）

第18讲直线的一般式方程【人教A版选修一】目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01直线的一般式方程 2题型02利用一般式解决直线的平行与垂直问题 5题型03直线的一般式方程的应用 7分层练习 10夯实基础 10能力提升 15创新拓展 22一、直线的一般式方程我们把关于x，y的二元一次方程________________(其中A，B不同时为0)叫做直线的________________，简称一般式．注意点：(1)直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和负数．(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合二、利用一般式解决直线的平行与垂直问题已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)．(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.题型01直线的一般式方程【解题策略】求直线一般式方程的策略在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式【典例分析】课本例5已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－eq\f(4,3)，求直线的点斜式和一般式方程．【例1】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是eq\r(3)，且经过点A(5,3)；(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．【变式演练】【变式1】（2223高二上·山东菏泽·期中）过点与的直线的一般式方程为.【变式2】（2324高二上·全国·课后作业）已知点，，，写出直线，，的点斜式、两点式和一般式方程．【变式3】根据下列条件分别写出直线的一般式方程．(1)经过两点A(5,7)，B(1,3)；(2)经过点(－4,3)，斜率为－3；(3)经过点(2,1)，平行于y轴；(4)斜率为2，在x轴上的截距为1.题型02利用一般式解决直线的平行与垂直问题【解题策略】求过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的方法(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程．(2)可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2【典例分析】【例2】已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直．【变式演练】【变式1】已知直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，则实数a的值为________．【变式2】（2223高二上·贵州黔西·期中）已知直线和直线互相垂直，则实数的值为．【变式3】（2122高二上·上海金山·阶段练习）已知两条直线，，，判断两直线的位置关系．题型03直线的一般式方程的应用【解题策略】含参直线方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程要注意验根【典例分析】【例3】设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．【变式演练】【变式1】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【变式2】已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．【变式3】（2324高二上·安徽·阶段练习）已知直线.(1)若，求的值；(2)若，求过原点与点的直线的方程.【夯实基础】一、单选题1．（2324高二上·山东烟台·期中）若直线在y轴上的截距为2，则该直线的斜率为（

）A． B．2 C． D．2．（2324高二上·湖北·期末）已知直线与直线平行，则实数a的值是（

）A．2或0 B．2 C．0 D．3．（2324高二上·河南信阳·期末）直线与平行，则a的值为（

）A．0 B． C．或0 D．或04．（2324高二上·广东惠州·阶段练习）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．二、多选题5．（2324高二上·湖南岳阳·阶段练习）已知直线l的方程是（A，B不同时为0），则下列结论正确的是（

）A．B．若，则直线l过定点C．若且，则直线l不过第二象限D．若，则直线l必过第二、三象限6．（2324高二上·江苏宿迁·期末）如果，那么直线通过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限三、填空题7．（2223高二上·北京海淀·阶段练习）已知直线，.若，则实数a=，若，则实数a=．8．（2324高二上·吉林辽源·期末）已知直线，直线，且，则的值为.9．（2324高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线在x轴上的截距是．四、解答题10．（2324高二上·浙江台州·期中）已知直线经过点，.(1)求直线的一般式方程；(2)若点，求点C关于直线的对称点的坐标.11．（2122高二·全国·课后作业）讨论直线：和：的位置关系．【能力提升】一、单选题1．（2324高二上·浙江杭州·期中）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．（2324高二上·北京顺义·期末）已知直线：，：.若，则实数（

）A．0或 B．0 C． D．或23．（2324高二上·广西百色·期末）若直线和平行，则的值为（

）A． B．C．或 D．4．（2324高二上·全国·课后作业）已知直线l的方程为2x－5y＋10＝0，且在y轴上的截距为b，则b等于（）A．－2 B．2C．－5 D．5二、多选题5．（2324高二上·宁夏银川·期中）直线（A，B不同时为0）下列说法正确的是（

）A．则该直线与两坐标轴都相交 B．，则该直线与轴平行C．则该直线为轴所在直线 D．，则该直线过原点6．（2324高二上·新疆·期中）已知，直线经过第一、二、四象限，则（

）A． B． C． D．三、填空题7．（2324高二上·江苏·课前预习）（1）若直线，直线，则的充要条件为；（2）若直线，直线，则的充要条件为.8．（2324高二上·上海·期末）直线的倾斜角的大小为.9．（2223高二上·北京·期中）若直线：与直线：平行，则．四、解答题10．（2324高二上·山东临沂·期中）已知△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为，，点在边BC上．(1)若△ABC为直角三角形，求边BC所在直线的方程；(2)若P为BC的中点，求边BC所在直线的一般方程．11．（2324高二上·河南新乡·阶段练习）已知的三个顶点分别为．求：(1)边中线所在的直线方程；(2)的平分线所在的直线方程．【创新拓展】一、单选题1．（2324高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题2．（2324高二上·福建厦门·阶段练习）已知直线，则（

）A．无论如何变化，直线恒过定点B．无论如何变化，直线一定不经过第三象限C．无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限D．当取不同数值时，可得到一组平行直线三、填空题3．（2324高二上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，设，为不同的两点，直线l的方程为，设，其中a，b，c均为实数，下列四个说法中：①存在实数δ，使点N在直线l上；②若，则过M，N两点的直线与直线l重合；③若，则直线l经过线段的中点；所有结论正确的说法的序号是.四、解答题4．（2324高二上·重庆黔江·阶段练习）（1）已知斜率为负的直线过点，且与两坐标轴围成的面积是54，求直线的方程；（2）在中，已知边上的中线所在直线的方程依次是与，求所在直线方程.5.已知集合A＝eq\b\l