2024-2025学年新教材高中数学 第6章 导数及其应用 6.3 利用导数解决实际问题教案 新人教B版选择性必修第三册

2024-2025学年新教材高中数学第6章导数及其应用6.3利用导数解决实际问题教案新人教B版选择性必修第三册主备人备课成员教学内容分析本节课的主要教学内容为《2024-2025学年新教材高中数学第6章导数及其应用6.3利用导数解决实际问题》，侧重于让学生掌握如何将导数应用于解决现实生活中的优化问题。教学内容与学生已有知识的联系在于，学生在之前的学习中掌握了导数的概念、性质及其运算规则，并对实际问题的数学模型有所了解。本节课将在此基础上，引导学生运用导数知识分析并解决诸如最大利润、最小成本等实际问题，从而加深对导数应用的理解，提高数学思维能力和解决实际问题的能力。具体内容包括：运用导数研究函数的单调性、极值和最值，并结合实际案例进行讲解和练习。核心素养目标本节课旨在培养学生以下核心素养：通过实际问题情境的探究，提升数学抽象和逻辑推理能力，增强数学建模和数学运算素养。学生将能够运用导数知识对现实问题进行合理建模，准确求解模型的极值和最值，从而培养解决实际问题的能力。同时，通过小组合作与讨论，提高学生的数学交流与合作素养，培养严谨的科学态度和勇于探索的精神。学习者分析1.学生已经掌握了导数的定义、计算法则以及导数与函数单调性的关系等基础知识。他们能够运用导数解决一些简单的数学问题，并对极值和最值的概念有了初步的理解。

2.学生普遍对数学学科具有一定的兴趣，尤其在解决实际问题时表现出较高的积极性。他们在逻辑推理和数学运算方面具备一定能力，但部分学生在数学建模和问题分析上仍需加强。学生的学习风格多样，有的擅长独立思考，有的则更倾向于合作交流。

3.学生在解决实际问题时可能遇到的困难和挑战包括：将现实问题抽象为数学模型的能力不足；在运用导数求解极值和最值时，可能会对条件判断和运算过程感到困惑；此外，对于如何将数学知识应用到不同情境中，学生也可能感到无所适从。因此，教学中需要针对这些难点进行重点讲解和指导。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段1.教学方法：

-讲授法：通过讲解导数在实际问题中的应用原理，为学生提供清晰的理论框架。

-讨论法：组织学生进行小组讨论，共同分析实际案例，培养学生的合作能力和问题解决能力。

-实践法：设计实践活动，让学生亲自动手解决实际问题，加深对导数应用的理解。

2.教学手段：

-多媒体设备：利用PPT和视频资料展示实际案例，增强直观感受，提高学生的学习兴趣。

-教学软件：运用数学软件辅助教学，如几何画板等，帮助学生直观理解导数的概念和计算。

-网络资源：引导学生在课后使用网络资源进行拓展学习，提高信息素养和自主学习能力。教学过程设计本节课共计45分钟，教学过程设计如下：

1.导入环节（5分钟）

创设情境：教师展示一个实际生活中的问题，如“如何确定一个最大容积的箱子尺寸，使得所需材料最少？”通过这个问题，引发学生对导数在实际问题中应用的思考。

提出问题：让学生思考并讨论以下问题：

-导数在解决实际问题中有什么作用？

-如何将现实问题转化为数学模型？

2.讲授新课（15分钟）

教师以讲解、举例等方式，向学生阐述以下知识点：

-导数在实际问题中的意义和作用；

-如何将实际问题抽象为导数的数学模型；

-求解实际问题的极值和最值方法。

在讲解过程中，教师要注意突出重点、难点，并通过实例进行演示。

3.巩固练习（10分钟）

设计以下练习题，让学生独立完成：

1.已知某函数的导数，判断其单调性，并求出极值和最值。

2.将实际问题转化为导数的数学模型，并求解。

学生完成后，组织学生进行小组讨论，相互交流答案和解题思路。

4.课堂提问（5分钟）

教师针对学生的解答和讨论，进行提问，了解学生的掌握情况，并对以下问题进行重点讲解：

-如何判断函数的单调性？

-求解极值和最值的方法有哪些？

-在实际问题中，如何确定导数的符号？

5.师生互动环节（5分钟）

教师邀请几名学生上台展示他们的解题过程和答案，并让其他学生进行评价和讨论。在此过程中，教师引导学生关注以下几点：

-解题思路是否清晰？

-导数在问题解决中的作用是否明确？

-数学模型是否正确？

6.教学创新（5分钟）

教师提出一个更具挑战性的实际问题，让学生在课后进行思考和研究，如：

-如何确定一个最大面积的矩形，使其周长不超过一定值？

学生通过自主学习、合作探究，培养解决实际问题的能力。

7.总结与拓展（5分钟）

教师对本节课的知识点进行总结，强调导数在实际问题中的应用。同时，布置一道拓展题，让学生在课后进一步巩固所学知识。知识点梳理1.导数的定义及其几何意义

-导数的定义：函数在某一点的导数表示函数图像在该点切线的斜率。

-导数的几何意义：导数表示曲线在某一点的切线斜率，正值表示曲线上升，负值表示曲线下降。

2.导数的计算法则

-基本导数公式：幂函数、指数函数、对数函数的导数。

-导数的四则运算法则：和、差、积、商的导数计算方法。

3.函数的单调性、极值和最值

-利用导数判断函数的单调性：导数的正负与函数单调性之间的关系。

-函数的极值：导数为0的点可能是函数的极值点，需要通过二阶导数判断是极大值还是极小值。

-函数的最值：求解闭区间上函数的最值，结合导数和极值点进行判断。

4.导数在实际问题中的应用

-优化问题：求解最大值或最小值问题，如最大面积、最小成本等。

-函数图像分析：通过导数分析函数图像的凹凸性、拐点等。

-线性规划：导数在求解线性规划问题中的应用。

5.实际问题转化为数学模型的方法

-确定变量：明确实际问题中的自变量和因变量。

-建立关系式：根据问题情境，建立函数关系式。

-求解模型：利用导数求解数学模型的极值和最值。

6.本节课的重点与难点

-重点：掌握导数在实际问题中的应用方法，如优化问题求解。

-难点：将实际问题抽象为数学模型，并运用导数知识求解。教学评价与反馈1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、积极性和互动情况，评价学生对于导数在实际问题中应用的理解和掌握程度。

2.小组讨论成果展示：评估学生在小组讨论中的表现，包括问题分析能力、解决方案的提出以及合作交流的效率。

-是否能准确抽象出实际问题中的数学模型；

-是否能合理运用导数知识求解问题；

-是否在小组内进行了有效的沟通和知识共享。

3.随堂测试：通过设计相关的随堂练习题，测试学生对导数应用的掌握情况，包括对导数的计算、单调性判断、极值和最值的求解等。

-练习题完成情况；

-学生解题思路的清晰度和正确性；

-对实际问题的数学建模能力。

4.课后作业：布置与课堂内容相关的作业，评价学生在课后对知识点的复习和巩固情况。

-作业完成质量；

-对难点知识的理解和应用；

-是否能独立解决实际问题。

5.教师评价与反馈：针对学生的表现，教师应及时给予评价和反馈，帮助学生明确学习目标，改进学习方法。

-对学生在课堂上的表现给予肯定和鼓励，对存在的问题进行指导；

-针对学生的个性化差异，提供有针对性的学习建议；

-收集学生的反馈意见，不断调整和优化教学方法，提高教学效果。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《导数在物理学中的应用》，介绍导数在描述物体运动、变化率等方面的应用。

-视频资源：《生活中的优化问题》，展示导数在实际生活中的应用案例，如最大利润、最小成本等。

-实践项目：自行选择一个实际生活中的问题，尝试运用导数知识进行建模和求解。

2.拓展要求：

-鼓励学生