安徽中考研究之-五函数的应用

专题复习五函数的应用

题型解读

函数是初中数学的重点内容之一，也是初高中数学联系的纽带，它与方程、不等式、几何等知识有密

切的联系，主要考查学生的数学建模能力、阅读理解能力、分析和解决问题的能力。解函数应用题，第一

步有实际问题抽象出数学问题；第二步解决数学问题，从而使实际问题得到解决.其间应注意转化、数形

结合、方程、待定系数法等思想方法灵活运用。函数的实际应用也是安徽中考每年必考题型，成为安徽卷

中亮点题目，题目设置简洁流畅，背景鲜活。如2009年第23题是一次函数与二次函数的综合应用，2012

年第21题是一次函数与反比例函数的综合应用，2013年第22题是复合型函数的综合应用，预计2014年

安徽中考仍会出现函数应用的综合题。

题型例析

类型1一次函数与反比例函数的应用

例1.(2012•安徽)甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用"买200减100"的促销方式，即购买商品的

总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；…，乙商场按顾客购

买商品的总金额打6折促销.

(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？

(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400<x<600)元，优惠后得到商家的优惠率为p

(P拿卷二事)，写出P与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；

-购Q买&商W品的息金额

(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x(200<x<400)元，你认为选择

哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由.

思路点拨：(1)根据题意直接列出算式510-200即可;

(2)根据商家的优惠率即可列出p与x之间的函数关系式，并能得出p随x的变化情况；

(3)先设购买商品的总金额为x元，(200Wx<400),得出甲商场需花x-100元，乙商场需花0.6x元，然

后分三种情况列出不等式和方程即可；

解答：(1)根据题意得：510-200=310(元)

答：顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付310元.

(2)p与x之间的函数关系式为p=2W，p随x的增大而减小；

X

(3)设购买商品的总金额为x元，(200<x<400),则甲商场需花y]=x-100元，乙商场需花y2=0.6x元,

在同一坐标系下画出两函数图象，由x-100=0.6x,得两函数图象交点的横坐标为：x=250,

甲-----

乙……

X

由图象知250Vx<400,乙商场花钱较少，200Vx<250,甲商场花钱较少，x=250,两家商场花钱一样多.

方法归纳：解决这类问题应注意审清题目，理清步骤；先根据点的坐标确定解析式，可再根据一次函数图

象直观地解决实际问题。本题考查了反比例函数的应用，用到的知识点是反比例函数的性质，一次函数与

一元一次不等式的关系等，关键是根据题意求出函数的解析式.

类型2一次函数与二次函数的应用

例2..（2013安庆模拟）某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包

了种植蔬菜和水果的任务.小张种植母国蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数关系如图①

所示；小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积〃（亩）之间的函数关系如图②所示.

（1）如果种植蔬菜20亩，列小张种植每亩蔬菜的工资是一元，小张应得的工资总额是一元；此时，

小李种植水果一亩，小李应得的报酬是一元.

（2）当/0<〃W30时，求z与"之间的函数关系式；

（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为卬（元），当/0<,〃W30时，求W与，〃之间的函数关系式.

图①图②

第2题

思路点拨：（1）根据图象观察，片20时y的值可得小张种植每亩蔬菜的工资及工资总额；根据图象观察x=10

时z=1500,可得小李应得的报酬；

（2）设z=h?+〃（原0）,由图象知：它过（10,1500）,（30,3900）,故可利用待定系数法求一次函数解析

式；

(3)先求出20<w<30时y与m的函数关系式，再分①10<加/20时，10<m/20；②20<〃区30时，0<n<10

两种情况，根据总费用等于两人的费用之和列式整理得解.

解答：(1)小张种植每亩蔬菜的工资是/40元，小张应得的工资总额是2800元；小李种植水果10亩，小

李应得的报酬是150()元.

(2)当(0<"W30时,z关于〃的函数图象经过点(10,1500),(30,3900),

则110%+。=1500,%=120

设z=kn+b,解得4z=120〃+300(10<〃W30).

'130%+0=3900.6=300,

(3)当10<znW30时,广一2巾+180,'：m+n=30,又：当0<〃W10时，z=150n；

当/0<〃W20时，z=120n+300,.•.当/0<，"W20时，/0<n^20,

/.W=m(—2/n+180)+120/?+300=/M(—2m+180)+120(30-w)+300=—2OT2+60/M+3900.

当20<mW30时，0<〃W10,；.W=m(一2m+180)+150〃=皿-2m+180)+150(30-〃?)=-2/M2+30W+4500.

-2m2+6O//7+3900(10</”W20)

W与之间的函数美系式为：.

-2m2+30/n+4500(20<mW30)

方法归纳：解决此类问题，要充分利用图中的信息，结合实际问题情境所含等量关系，构建函数模型求解

问题。本题主要利用待定系数法求一次函数解析式，第三问的难点在于要分情况讨论，同时注意〃?、〃的

取值范围的对应关系，这也是本题易错的地方.

类型3二次函数的实际应用

例3.(2012安徽)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2〃?的A处发出，把球看

成点，其运行的高度y(加)与运行的水平距离x(m)满足关系式产“(X—6尸+/?.已知球网与O点的水平距

离为9，小高度为2.43/n,球场的边界距。点的水平距离为18m。

(1)当〃=2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)

(2)当〃=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求的取值范围。

第3题图

思路点拨：(1)根据函数图象上面的点的坐标应该满足函数解析式，把x=0,y=2,及后2.6代入到y=〃(x

-6)2+/7中即可求函数解析式；(2)根据函数解析式确定函数图象上点的坐标，并解决时间问题；(3)先

2-77

把x=0,y=2,代入至I」y=《(%—6尸+/z中求出a=----：然后分别表示出产9年=18时，y的值应满足的条件，解

36

得即可.

解：(1)把x=0,y=2,及〃=2.6代入至lJy=a(x—6)2+//

即2=。(0—6)2+26U=----,\y=-------(x—6)2+2.6

60“60

1

(2)当力=2.6时,y=----(工一6)之0+2.6

60

x=9时，产---(9-6)2+2.6=2.45>2.43,，球能越过网

60

后18时，尸---(18-6)2+2.6=0.2>0,，球会过界

60

2-h

(3)x=0,y=2,代入到产。(x—6)?+〃得Q=----；

36

42-A22+3/1〜

x=9时，y=-----(9—6)2+/Z=--------->2.43①

364

2-/?

户18时，尸----(18-6)2+/?8-3/Z>0(2)

36

Q

由①②得生一

3

方法归纳：解决有关二次函数的实际问题，首先要学会确定二次函数解析式，会用配方法将一般式化为

顶点式，能利用顶点式确定二次函数的最值，进而解决实际问题。本题是二次函数问题，利用函数图象上

点的坐标确定函数解析式，然后根据函数性质来结合实际问题求解.

类型4复合型函数的应用(2013年22题)

例4.(2013安徽)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件

的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示.

销售量P(件)P=50-x

销售单价q(元/件)当1WXW20时，q=30+-x;

2

525

当213x040时，q=20+——

X

(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件；

(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；

(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

思路点拨：(1)本小题是已知函数值求自变量的取值，一般采用代入法，由于销售单价Q是关于第几天x

的分段函数，因此要分两种情况代入求值，并检验x的取值是否在取值范围内；(2)根据“利润=每件商品

的销售利润x销售的件数”建立函数关系式，这也是一个分段函数：(3)分两种情况：当第几天获得的利润

y是x的二次函数关系时，利用配方法配成顶点形式，结合自变量取值范围求出函数最大值；当几天获得

的利润y是x的非二次函数时，结合自变量x的取值范围求出函数最大值，并综合考虑求出该网店第几天

获得的最大利润.

解答：(1)①对于q=30+」x,当q=35时，30+-X=35,解得x=10在1夕三20范围内；②对于q=20+当，

22x

525

当q=35时，20+——=35,解得x=35在21Wx*0范围内.综上所述，当第10天或第35天该商品的销售

x

单价为35元/件；(2)①当l<x<20时，y=(30+-x-20)(50-x)=--x2+15x+500；②当21<x<40时，

——22

52526250,、121,上11

y=(20+----20)(50-x)=-------525；(3)①y=——x~+15x+500=一—(zx-15)'+612.5,由于一一<0,

xx222

抛物线开口向下，且1WXW20,所以当x=15时，y届大=612.5(元)；②丫二”生？一525,受空^越大(即x

xx

越小)y的值越大，由于21WXW40,所以当x=21天时，y最大=1250—525=725(元)，综上所述，这40天中

该网店第21天获得的利润最大，最大利润是725元.

方法归纳：1.对于分段函数，已知函数值求自变量取值时，要分别代入各个函数中，并检验求出的自变量

是否在其取值范围内，若不在应舍去；2.求函数最值问题，若函数是二次函数，一般运用配方法将函数配

成顶点形式，并结合自变量取值范围，确定函数的极值；若函数是一次函数函数或其他函数，一般情况下

没有极值，但自变量的取值范围有特殊的规定，如本题中，也可以确定函数的极值.本题主要涉及的数学

思想方法有：1.代入法，2.分类讨论，3.配方法.本题是运用分段函数解决实际问题，三个小题都分两种情

况进行讨论，最后综合得出结论.

题型精炼

类型I一次函数与反比例函数的应用

1.(2013•益阳)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度

为18℃的条件下生长最快的新品种.图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时

间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线y=V的一部分.请根据图中信息解答下列问题：

x

(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18C的时间有多少小时？

(2)求k的值；

(3)当x=16时，大棚内的温度约为多少度？

J©

解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为10小时.

kk

(2);点B(12,18)在双曲线丫=一上，.•.18=—,...解得：k=216.

x12

216一

(3)当x=16时，y=------=13.5,

16

所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5C.

2.(2013防城港)工匠制作某种金属工具要进行材料燃烧和锻造两个共需，即需要将材料煨烧到800℃,然

后停止煨烧进行锻造操作.第8min时，材料温度降为600℃,煨烧时，温度y(℃)与时间x(min)成一次函数

关系；锻造时，温度》(七)与时间x(min)成反比例关系(如图)，已知该材料初始温度是32℃.

(1)分别求出材料煨烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；

(2)根据工艺要求，当材料温度低于480C时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？

解答：解：(1)停止加热时，设y="(k#0),由题意得600=",解得k=4800,

x8

当y=800时，竺竺=800解得x=6,...点B的坐标为(6,800)

x

材料加热时，设丫=2*+32(a,0),由题意得800=6a+32,解得a=128,

二材料加热时，y与x的函数关系式为y=128x+32(0<x<6).

...停止加热进行操作时y与x的函数关系式为丫=幽(6<x<20)；

X

(2)把y=480代入y=竺四，得x=10,

X

故从开始加热到停止操作，共经历了10分钟.

答：从开始加热到停止操作，共经历了10分钟.

3.（2013.淮北模拟）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在

一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L,此后浓度呈直线型增加，在

第7小时达到最高值46mg/L,发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降.如图所示，根据题

中相关信息回答下列问题：

（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；

（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少

km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？

（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆

所以可设y与x的函数关系式为丫=卜a+5（k#0）,

由图象知丫=1<杯+13过点（0,4）与（7,46）,则b=4,7kl+b=46,解得k1=6,b=4,

则y=6x+4,此时自变量x的取值范围是0WXV7.

（不取x=0不扣分，x=7可放在第二段函数中）

•••爆炸后浓度成反比例下降，.•.可设y与x的函数关系式为y=4—WO）.

X

k322

由图象知y==过点（7,46）,k2=322,・\y=-----，此时自变量x的取值范围是x>7.

xx

（2）当y=34时,由y=6x+4得，6x+4=34,x=5.二撤离的最长时间为7-5=2（小时）・・••撤离的最小

速度为3+2=1.5（km/h）.

322

（3）当y=4时，由y=-----得，x=80.5,

x

80.5-7=73.5（小时）.

・・・矿工至少在爆炸后73.5小时才能下井.

4.心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上

课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意

力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如右图所示（其中

AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：

（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？

（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经

过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为yi=k1x+20,

把B（10,40）代入得，ki=2,.*.y1=2x+20.

设C、D所在双曲线的解析式为y2=­,

X

把C（25,40）代入得，k2=1000,/.y2=^^

X

当x『5时，y[=2x5+20=30,当X2=30时，y2=1000-30=,

•“<丫2,第30分钟注意力更集中.

（2）令yi=36,/.36=2x+20,."=8

令y2=36,/.36=1000-x,Ax2=1000-36=27.8

V27.8-8=19.8>19,

.•.经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.

类型2-次函数与二次函数的应用

5.（2013•铁岭）某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元.经过市场调查，一周的

销售量y件与销售单价x（x>50）元/件的关系如下表：

销售单价X（元/件）55607075

一周的销售量y（件）450400300250

（1）直接写出y与x的函数关系式：

（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时,

一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？

（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的

贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？

解：（1）设丫=6+13,由题意得，55k+b=450,60k+b=400,

解得：k=-10,b=1000,

则函数关系式为：y=-1Ox+1000；

（2）由题意得,S=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）

=-10X2+1400X-40000=-10（X-70）2+9000,

•.•-10V0,.•.函数图象开口向下，对称轴为x=70,

当40<x<70时，销售利润随着销售单价的增大而增大：

（3）当购进该商品的贷款为10000元时,

y=--------=250（件），此时x=75,

40

由（2）得当X270时，S随X的增大而减小，

.•.当x=70时，销售利润最大，

止匕时S=9000,

即该商家最大捐款数额是9000元.

6.（2013•乌鲁木齐）某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）

的变化如下表：

价格X（元/个）...304050<60...

销售量y（万个）...543：2...

同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元.

（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识

写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式.

（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定

为多少元时净得利润最大，最大值是多少？

（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量

尽可能大，销售价格应定为多少元？

解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，

设解析式为：y=ax+b,贝ij[30a+b=5,解得：Ja=一五,

140a+b=4,_c

故函数解析式为：--Xr+8：

10

(2)根据题意得出：

z=(x-20)y-40=(x-20)(--+8)-40=--Xr2+10.r-200,=-A(?-100x)-200=-』(x-

10101010

50)2-2500]-200=-J-(x-50)2+50,

10

故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元.

（3）当公司要求净得利润为40万元时,BP-—（%-50）2+50=40,解得:x\=40,必=60.

如上图，通过观察函数尸-

10

销售价格的取值范围为：40sxs60.

而y与x的函数关系式为：尸-」u+8,y随x的增大而减少，

10

因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个.

（2013•淮北一模）为喜迎“五一”佳节，某食品公司推出一种新礼盒，每盒成本20元，在“五一”节前20天

进行销售后发现，该礼盒在这20天内的日销售量p（盒）与时间x（天）的关系如下表：

时间X（天）第1天第2天第3天第4天第5天第…天

日销售量P（盒）7876747270

在这20天内，前10天每天的销售价格力（元/盒）与时间x（天）的函数关系式为丫尸-x+25（1<x<10,

4

且x为整数），后10天每天的销售价格丫2（元/盒）与时间x（天）的函数关系式为y2=-1x+40（11<x<20,

且x为整数），

（1）直接写出日销售量p（盒）与时间x（天）之间的函数关系式；

（2）请求出这20天中哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？

（3）“五一”当天，销售价格（元/盒）比第20天的销售价格降低a元（a>0）,而日销售量比第20天提

高了a盒，日销售额比前20天中的最大日销售利润多284元，求a的值.

注：销售利润=（售价-成本价）x销售量.

解：（1）设日销售量p（盒）与时间x（天）之间的函数关系式为p=kx+b,

把（1,78）,（2,76）代入得：78=k+b,76=2k+b,

k=-2,b=80,

即日销售量p（盒）与时间x（天）之间的函数关系式为p=-2x+80.

(2)设日销售利润为w元，

当14x410时,w=(-2X+80)(-x+25-20)=--(x-10)2+450；

42

当114x420时，w=(-2X+80)(--x+40-20)=(x-40)2,

2

Vw=--(x-10)2+450(1<X<10)的对称轴为X=10,

2

...当x=10时，w取得最大值，最大值是450；

Vw=(x-40)2(11<x<20)的对称轴为x=40,且当114x420时w随x的增大而减小，

.•.当x=11时，w取得最大值，最大值是841；

综合上述：当x=11时，利润最大，最大值是841元，

即第11天的利润最大，最大值是841元.

(3)当x=20时，销售价格y2=-；x+40=30,日销量p=-2x+80=40,则(30-a)(40+a)=841+284,

整理得：a2+10a-75=0,解得：a=5或a=-15(不合题意，舍去)，

即a=5.

7.(2013黄冈)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完,

该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润为(元)与国内销售数量x(千件)的

关系为：X=p5.r+90{0<A-<2),若在国外销售，平均每件产品的利润丫式元)与国外的销售数量,(千

l-5x+130(2<x<6)

“…七、L[100(0<r<2)

件)的关系为：力"八,,

[-5?+110(2</<6)

(1)用X的代数式表示f为：t=；当0<烂4时，丫2与X的函数关系为：>2=___；

当______<r<时，>2=100；

(2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润w(千元)与国内的销售数量x(千件)的函数关系式，并指出

x的取值范围；

(3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？

解：(1)U6一左当0<烂4时，y2=-5(6-x)+110=5x+80.当4%<6时，y2=W0.

(2)当0<x<2时，w=(15x+90)x+(5x+80)(6-x)=10?+40x+480;

当2<x<4时，w=(-5x+130)x+(5x+80)(6-x)=-10f+80x+480;

当4<x<6时，w=(-5x+130)x+100(6-x)=-5?+30.r+600.

10X2+40X+480(0<X<2)

即w=--10x2+80^+480(2<x<4)

-5X2+30X+600(4<X<6)

(3)当0〈烂2时，w=10?+40x+480=10(x+2)2+440,止匕时42时，wa水=600.

当2<x<4时,w=—I0X2+80X+480=—10(x—4)2+640,止匕时时，w最人=64().

当4cx<6时，w=—5X2+30X+600=—5(x—3)2+645,4Vx<6时，w<640,，x=4时，w提人=640.

答：国内4千件，国外2千件，最大利润为64万元.

8.（2013“l照）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆.公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）

与每月租出的车辆数（y）有如下关系：

X3000320035004000

y100969080

（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）

与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.

（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.用含x（x23000）

的代数式填表：

租出的车辆数未租出的车辆数

租出每辆车的月收益所有未租出的车辆每月的维护费

（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公

司的最大月收益是多少元.

解：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，

设其解析式为y=kx+b.

由题：3000k+b=100,3200k+b=96

解之得：k=--,b=160,

.,•y与x间的函数关系是y=--^-x+160.

（2）如下表：

租出的车辆数-----x+160未租出的车辆数—x-60

5050

租出的车每辆的月收益x-150所有未租出的车辆每月的维护费x-3000

(3)设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得:

W=—x+160)(x-150)-(x-3000)

50

=(--X2+163X-24000)-(x-3000)

150

X2+162X-21000

51O

(x-4050)2+30705

5O

当x=4050时，Wmax=307050,

即：当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元.

故答案为：x+160,—x-60.

5050

类型3二次函数的实际应用

9.（2013•哈尔滨）某水渠的横截面呈抛物线，水面的宽度为AB（单位：米），现以AB所在直线为x轴，

以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O已知AB=8米，设抛物线解

析式为y=ax2-4.

（1）求a的值；

（2）点C（-1,m）是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D,连接CD,BC,BD,求ABCD

的面积.

.•.B(4,0),把B点坐标代入解析式得：16a-4=0,解得：a=-:

4

(2)过点C作CE1AB于E,过点D作DF_LAB于F,

1111515、

・a=一,•・y=—x2-4,令x=-1,・・m=—x(-1)2-4=-----，••C(-1,------),

44444

关于原点对称点为D,；.D的坐标为(1,—),则CE=DF=",

44

11115115

SABCD=SZ\BOD+SABOC=-OB*DF+—OB*CE=­x4x—+—x4x—=15,

222424

•••△BCD的面积为15平方米.

10.（2013•莆田）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）.矩形的四个

顶点分别在菱形四条边上，菱形ABCD的边长AB=4米，NABC=60。.设AE=x米（0。＜4）,矩形EFGH

的面积为S米2.

（1）求S与X的函数关系式：

（2）学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草.已知红色花草的价格为20元/米2,

黄色花草的价格为40元/米2.当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保

留根号）？

解：（1）连接AC、BD,

•花坛为轴对称图形，；.EH〃BD,EF〃AC,.-.ABEF^ABAC,

VZABC=60°,...△ABC、ABEF是等边三角形，AEF=BE=AB-AE=4-x,

在Rt^AEM中，ZAEM=ZABD=30°,则EM=AEcosNAEM=±x,.'.EH=2EM=V3x,

2

故可得S=(4-x)xV3x=-A/3X2+4V3X.

(2)易求得菱形ABCD的面积为8石cnf,由°)得，矩形ABCD的面积为Kx2,则可得四个三角

形的面积为(873+73X2-4V3X),

设总费用为W,则W=20(-gx2+4J5x)+40(8V3+V3X2-4V3X)

=20岛2_8O岛+320G=206(x-2)2+2405/3,

*.'0<x<4,.•♦当x=2时，W取得最小，W城小=240兀.

即当x为2时，购买花草所需的总费用最低，最低费用为240G元.

如图是运动会开幕式火炬点燃方式在平面直角坐标系中的示意图，位于点0正上方2米处的发射装置A

可以向目标点火炬盆C发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为一抛物线，当火球运行到距出发点A

水平距离为12米时达到离地面最大高度20米（图中B点）.火炬盆C距发射装置A的水平距离为20

米，在A点处测得目标点火炬盆C的仰角为a,且tana=

2

（1）求火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式；

（2）说明按（1）中轨迹运行的火球能否点燃目标C?

解：（1）由题意可知抛物线的顶点B坐标为（12,20）可设火球运行抛物线解析式为:

y=a（x-12）2+20,把点A（0,2）代入解析式得：2=a（0-12）2+20,解得：a=--,

8

.•.火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式为：y=--（x-12）2+20=--X2+3X+2；

88

（2）设C（xi,yi）,作CF^x轴，垂足为F,作AE_LCF于E,连接AC,

则NCAE=a,AE=20米,

।CEi।

Vtano=—.-----=—,/.CE=10,CF=12＞，点C坐标为：（20,12,）,代入y=—x?+3x+2得，

2AE28

左右相等，所以点C在抛物线上，故能点燃目标.

11.（2013.淮北模拟）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问

题.某款燃气灶旋钮位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋钮的位置为。度，旋钮角度越大，

燃气流量越大，燃气开到最大时，旋钮角度为90度.为测试燃气灶旋钮在不同位置上的燃气用量，在相

同条件下，选择在燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时;其火力不能够将水烧

开，故选择旋钮角度x度的范围是18M90）,记录相关数据得到下表：

旋钮角度（度）2050708090

所用燃气量（升）73678397115

（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮

角度x度的变化规律?说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式;

（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少?最少是多少？

（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节

约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气用量.

解：（1）若设厂（原0）,

解得k=T

73=20k+b

由1y=——x+77o

67=50k+b5

b=77

把470代入得产65#3,...一次函数不符合。

若设y=K（叵0）,由73=1-解得"1460。丫=反竺。

x20x

把x=50代入得产29.2彳67,...反比例函数不符合。

若设y=cu^+bx+cf

1

a=一

73=400a4-20b+c50

由［67=2500a+5()b+c解得;L818

b=—.*.y=—x29——x+97(18<^<90)o

5505——

83=4900a+70b+c

c=97

把尸80代入得产97,把490代入得产115,符合题意。

，二次函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律。

1Q1

（2）由（1）得：）=—x2——x+97=—（X—40）2+65,

50550

J当440时，y取得最小值65。

答：当旋钮角度为40。时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升。

（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节

约用气115—65=50（升），设该家庭以前每月平均用气量为。立方米，则由题意得:

--a=10,解得4=23。

115

答：该家庭以前每月平均用气量为23立方米。

类型4复合型函数的应用

12.阅读材料：若。力都是非负实数，则"822旅.当且仅当。口时，“二”成立.

证明：：(4a一4b)2>0,:・a-2a)+bW.

・"+/?22当且仅当。=6时，“=”成立.

举例应用：

已知心>0,求函数y=2x+—的最小值.

x

解：)=2X+Z222X・2=4.当且仅当2户2,即x=l时，"=”成立.

X\XX

・••当x=l时，函数取得最小值，y最小=4.

问题解决:

汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度.某种汽车在每小时70-110公里之间行驶时(含70公

1450

110公里)，每公里耗油(=+F)升.若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗

里和