2023年高考数学第 24讲 函 数 的图像- 变换思想的运用

第24讲函数"Asin®x+°)的图像——变换思想的运用

一、知识聚焦

函数丁=然皿皿+°)(4>0,卬>0/£11)简图的作法有如下6种变换途径.

，产sinQx+p)

y=/sin(x+@).

•y=sin(5+9)

y=smxy=sincoxy=As\n(cox+(pi)

y=As\ncox

y=As\nx)=/sins

y=Asm(x+(p)

相位变换在前，周期变换在后时,先将图像向左(°>0)或向右(°<0)平行移动|同个单位，再

把图像上所有点的横坐标缩短(卬>1)或伸长(O<w<l)到原来的-(纵坐标不变)；

周期变换在前，相位变换在后时，先将图像上所有点的横坐标缩短(卬>1)或伸长(0〈川<1)

到原来的-(纵坐标不变),再把图像向左(°>0)或向右(°<0)平行移动团个单位.

二、精讲与训练

【核心例题1]⑴用“五点法”作y=2cos2x-2Gsiiu:cosx的图像

⑵己知函数为/(x)=sin2x+Gsiarcosx+2cos2x,X€R.

(i)求函数/(x)的最小正周期和单调增区间；

(ii)函数/(x)的图像可由函数卜=而2%(%€2的图像经过怎样的变换得到？

【解题策略】第⑴问，先把函数解析式变形为y=Asin(wx+0)的形式，而作此类函数的

图像的基本方法就是“五点法”，关键是找出与x相应的5个占,一般令wx+e=0、

jr37rT

一,凡2万,即可得到绘图所需的5个点的坐标.其中x的取值依次相差匕.若要求画出给

224

定区间上的函数图像时，应适当调整vvx+0的取值，以便列表时能使x在给定的区间内取值

除了用“五点法”作三角函数y=Asin(皿x+夕)的图像之外，还可用变换法作图.而变换法又

分为两类，看图像在水平方向先平移后伸缩还是先伸缩后平移.

函数y=sin%的图像经变挟得到y=Asin(VEX+夕)的图像的步敏如图24—1所示.

画出y=sinr的图像

横坐标变为I原来的、

得到＞=sinwx的图像

向左(右)平移2个单位长度

得至ljy=sin(iur+g)的图像

纵坐标变为原来的A倍

得到y=Asin(uw+r)的图像

图24-1变换y=sinx的图像得到y=Asin(mx+p)的图像的步骤

第(2)问的第(2)小问运用的正是变换法，还有一种是按向量平移的方法.

M：(l)y=2cos2jr-2>/3sin^cosx=-2sin2x-3乃|+I.

6

列表如下.

ft3K

ZJC——07T2K

67~2

nn7n5K13K

X

12T12-6IF

y1-i131

7113乃

先画出一个周期内的图像,在区间

n'~vi上描点作图(如图24—2所示).

⑵

l-cos2x6.c、

(l)〃x)=------+sin2x+(1+cos2xj

^Sin2x4cos2x4=sinf2x+—^+

222I6J

1・••/(x)的最小正周期T=y=^.

由题意得f（x\的单调增区间为2Z万—工<2x+工二MeZ,即

Jv7262

.兀，八兀1r

K7T-----<X<K7r+-,KEZ.

36

・・・/（X）的单调增区间为伙万一工，々乃+代］,《£Z.

36

②解法一先把y=sin2x图像上所有的点向左平移盍个单位长度，得到y=$皿2》+着）的图

像，再把所得图像上所有的点向上平移3个单位长度，就得到y=sin（2x+2）+3的图像.

262

解法二把尸而2》的图像上所有的点按向量。=（-卷,|）平移，就得到产疝出+a+^

的图像.

变式训练已知函数y=2sin（2x+0.

（1）求它的振幅、周期、初相.

（2）用“五点法”作出它在一个周期内的图像.

（3）问：y=2sin（2x+$的图像可由y=sinx的图像经过怎样的变换得到？

核心例题2要得到函数y=sin（2x-马的图像，只需把函数产sin（2x+马的图像（）.

36

A.向左平移£个单位长度

4

B.向右平移工个单位长度

4

C.向左平移工个单位长度

2

D.向右平移巴个单位长度

2

解题策略由、=5皿(2%+2)的图像fy=sin(2x-工)的图像，按照图像平移的规则一定是左

63

右平移.应当把X的系数提取出来确定平移长度.由x+乙到X-乙且减少了£,一定是向右平

1264

移，当然也可以直接对解析式)』sin(2x-5)变形寻求平移方向与单位，也可以抓住图像上

的特殊点如相邻最高点确定平移方向与单位.

解法一y=sin(2x--)=sin2(x--),y=sin(2x+巳)=sin2(x+—)，

36612

由x+2到x-三减少了工个单位长度，，向右平移工个单位长度.故选B.

12644

解法二:y=sin(2x-0)=sin[(2x-g+?=sin[2(x-?)+^].

・・・y=sin(2x+-)的图像只需向右平移工个单位长度即可得到

64

y=sin[2(x--)+-],即y=sin(2x-三)的图像.故选5.

463

解法三令2x+2=工得x=工，令2x-工=工，得犬=生.原点附近的最高点横坐标由工到

62632126

—,向右平移了工个单位长度，故选5.

124

变式训练已知函数/(x)=2sin(ox),其中常数o>0.

(1)若y="x)在[-工,2为上单调递增，求3的取值范围.

43

(2)令。=2,将函数y=f(x)的图像向左平移三个单位长度，再向上平移1个单位长度，

6

得到函数y=g(x)的图像，区间[a,b]{a,beR且a<勿满足：y=g(x)在[a,b]上至少有30个

零点，在所有满足上述条件的切中，求b-a的最小值.

核心例题3如图24-3所示是函数y=Asin(cox+s)(A>0⑷>0,冏的一般图像，求其解

析式.

解题策略由函数图像确定三角函数解析式，实质是确定。，8,A的值，由于关键点的横坐标

图像上已标明，则求切比较容易.最高点、最低点不明朗，把求A的值放在最后一步，而确

定。是难点，方法很多，下面的解法运用动态思维，可以用若干不同的处理方式，从而突破

这一难点.

解：先求。，设函数的周期为T,则网，.•.7=T.

4884

a>=—=2,则所求解析式为y=Asin(2x+e),再求e.

解法一:(最值点法)•.•当x时，函数取得最大值，...2*(+e=2版■+^GteZ),又•••

解法二:(起始点法)把函数图像向左补充，可知(-*,())应是“五点法”作图中的第一点,

则2x(—令+9=0,解得夕=(.

解法三：(第五点法)(卫,0)应是“五点法”作图中的第五点，则有2x卫+尹=2%，解得

88

解法四：(平移法)把函数图像向左扩展(补充)知丫=441!2彳的图像向左平移工个单位长

8

度可得到丫=念访(2万+0)的图像，于是有£=即e=

解法五：(单调性法)如图所示，知(网,0)在所给图像上，把这一点的坐标代入

8

y=Asin(2x+°)得sin(2—x+°)=0,又点(2—,0)在递减的一般图像上，/.

48

34TC37r,_3万

L

-^-x+(pe\2k7r+—,2k7r+^-](<keZ),由此有^—x+(p=2k^+7r{kGZ),

夕=24乃+?(ZwZ),又•冏e=?.最后求A,所求函数解析式为y=4sin(2x+?),

又图像过点(0,我)，,Asin2=后,4=2.

4

综上，所求函数的解析式为y=2sin(2x+?).

变式训练1将函数y=/(x)的图像上每一点的纵坐标变为原来的g,再将横坐标变为原来

的;，再将所得图像向左平移q个单位长度可得丫:豆!!》，则原来的函数解析式为.

变式训练2如图24・4所示，它是函数y=4sin(s+°)(A>0,①>0,|同<乃)的图像，由图中

变式训练3已知正弦型函数y=Asin(〃)x+9)(A>0,3>0,0〈冏〈乡的图像如图24-5所示.

(1)求此时函数的解析式/(©.

(2)求与工(冗)的图像关于x=8对称的函数的解析式[*).

核心例题4已知函数/(X)=sin(2xd■—)+cos(2x+—)+2sinxcosx.

36

(1)求函数/(x)图像的对称轴方程.

(2)将函数)，=/(x)的图像向右平移合个单位长度，再将所得图像上各点的横坐标伸长为

原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图像，求y=g(x)在弓,2划上的值域.

解题策略第(1)问，利用三角函数恒等变换化简函数解析式为y=Asin(ar+e)的形式，

令4yx+0=版•+](%€Z),解得所求函数的对称轴方程.第(2)问，利用函数y=Asin(<yx+e)

的图像变换规律求出y=g(x)的解析式，再求y=g(x)在xe[0,2加上的值域.

JTJT

解：(1)“X)=sin(2xd——)+cos(2x4-—)+2sinxcosx

=sin2xcos—+cos2xsin—+cos2xcos--sin2xsin—+2sinxcosx

3366

=—sin2x+cos2x+cos2x--sin2x+sin2x