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磨尖课09蒙日圆的应用蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆、双曲线两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫作“蒙日圆”.本课主要介绍蒙日圆的定义、证明及其几何性质.一、蒙日圆的定义在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴长与短半轴长平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆.如图，设椭圆的方程为x2a2+y2b2=二、蒙日圆的常用结论【结论1】过圆x2+y2=【结论2】过圆x2+y2=【结论3】过圆x2+y2=【结论4】过圆x2+y2=a2上任意不同两点A,B【结论5】过椭圆x2a2+y2b2=1a【结论6】过双曲线x2a2−y2b2=1a其中，结论1，2，3为蒙日圆的必要性命题，即蒙日圆⇒切线垂直；结论4，5，6为蒙日圆的充分性命题，即蒙日圆⇐切线垂直.磨尖点一求轨迹方程典例1[2024·咸阳模拟]已知椭圆M的方程为x24+y2=1，过平面内的点PA.x2+y2=5 B.x[解析]设点Px0,联立x24+y2=1,y两切线垂直，故其斜率之积为−1，则由根与系数的关系知1−y当切线斜率不存在或为0时，点P的坐标为2,1或−2,1或−2,−1或1.设点P的坐标及切线方程，与椭圆方程联立，将判别式为零转化为切线斜率的同解方程，化简即可，再验证切线斜率不存在或为0的情况是否符合即可.2.椭圆x2a2+y2b已知双曲线C：x2a2−y2b2=[解析]由蒙日圆［结论3]得点E的轨迹方程为x2+y2=a2−b2,即点E在圆x磨尖点二面积的最值典例2[2024·恩施模拟]法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的蒙日圆方程为x2+A.5 B.8 C.4 D.10[解析]由题意可知，椭圆C的蒙日圆的半径为a2+b2=a2因为MP⋅MQ≤MP2+MQ22=2a2故选B.根据蒙日圆的特征可知，PQ是蒙日圆的直径，所以MP2+MQ2是定值；利用基本不等式性质可知画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的蒙日圆方程为x2+y2[解析]因为e=ca=c由已知条件可得MP⊥MQ，则PQ为圆由勾股定理可得MP2所以S△当且仅当MP=因此△MPQ面积的最大值为3磨尖点三参数的范围典例3已知椭圆x2a2+y2b2=1a>0,bA.1,9 B.[1,9)[解析]由题意可知，与椭圆x2+y23=1相切的两条互相垂直的直线的交点P的轨迹为圆P:x2+y2=4，圆心为点0,0故选D.以圆锥曲线和蒙日圆为背景，转化为圆和圆的位置关系，即转化为圆心距和半径的和差的不等式，从而求得范围.对于圆x2+y2=已知⊙O:x2+y2=1，若在直线y=kA.[1,

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