25届（新教材QG版）数学新考案基础课49直线与圆锥曲线的位置关系

5也可联系础课49直线与圆锥曲线的位置关系考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养直线与椭圆的位置关系理解2023年新高考Ⅱ卷T2023年全国乙卷（文）T2023年北京卷T2023年天津卷T★★★逻辑推理数学运算直观想象直线与双曲线的位置关系理解2023年新高考Ⅱ卷T2023年全国甲卷（理）T2023年全国乙卷（文）T★★★逻辑推理数学运算直观想象直线与抛物线的位置关系理解2023年新高考Ⅰ卷T2023年新高考Ⅱ卷T2023年全国甲卷（理）T2023年天津卷T★★★逻辑推理数学运算直观想象命题分析预测从近几年高考的情况来看，直线与圆锥曲线的位置关系问题主要以解答题的形式出现，属于难题，常常伴随弦长、定点、定直线、定值等考点，命题热点是以圆锥曲线的定义为载体求出曲线方程，然后根据直线与圆锥曲线的位置关系进行求解.预计2025年高考命题情况点为抛物线与直线和圆的综合一、直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与圆锥曲线的位置关系有①相交、②相切、③相离；相交有两个交点（特殊情况除外），相切有一个交点，相离无交点.2.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C=0代入圆锥曲线C的方程,消去y（或x）得到一个关于变量x（或（1）当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，若Δ>0，则直线l与曲线C④相交；若Δ=0，则直线l与曲线C⑤相切；若Δ<（2）当a=0时，即得到一个一次方程，则直线l与曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的⑦渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的⑧二、圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线交于点Ax1,y1,Bx2,y题组1走出误区1.判一判.（对的打“√”，错的打“×”）（1）直线与椭圆公共点的个数最多为2.(√)（2）若直线与双曲线有唯一公共点，则直线与双曲线相切.(×)（3）若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有唯一公共点.(√)（4）“直线与抛物线有唯一公共点”是“直线与抛物线相切”的充分不必要条件.(×)2.（多选题）（易错题）已知直线l：y=x+A.若C与l至少有一个公共点，则mB.若C与l有且仅有两个公共点，则mC.若m=32，则CD.若m=−2，则C上到【易错点】直线与椭圆的公共点问题，一般需要考虑判别式，如果不考虑判别式就可能产生漏解或得出不符合题意的结论.[解析]联立y=x+m,x26+y22=1,消去y得4x2+6mx+3m2−6=0，则判别式Δ=128−m2.对于A，令Δ=128−m2≥0，得m≤22，故题组2走进教材3.（人教A版选修①P138·T5改编）若过抛物线y=14x2的焦点F作一条倾斜角为30∘的直线交抛物线于[解析]依题意，设Ax1,y1,Bx2,y2，抛物线y=14x24.（人教A版选修①P128·T13改编）已知双曲线x2−y22=1，过点P1,1[解析]当直线垂直于x轴时，因为过点P1,1的直线方程为x=1，此时P1,1不能成为线段AB的中点.当直线不垂直于x轴时，设Ax1,y1,B因为x1+x2=2,y1+y2=题组3走向高考5.[2023·新高考Ⅱ卷]已知椭圆C：x23+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+mA.23 B.23 C.−2[解析]由x23+y2=1,y=x+m,可得4x2+6mx+3m2−3=0，由椭圆与直线y=x+m交于A，23两点，得Δ>考点一直线与圆锥曲线的位置关系的判断［师生共研］典例1（1）当m取何值时，直线l：y=（2）当k取何值时，直线l：y=（3）当k为何值时，直线y=kx+[解析]（1）依题意，联立y=x+m,所以Δ=32m要使直线l：y=则Δ>0，即−576m要使直线l：y=则Δ=0，即−576m所以当m=±要使直线l：y=则Δ<0，即−576m2+综上，当−5当m=±当m<−5或（2）联立y消去y整理得1−k要使直线l与双曲线有两个公共点，则1整理得1解得−233<k要使直线l与双曲线仅有一个公共点，当1−k2=0,即k=±1时，直线l当1−k2所以Δ=44−要使直线l与双曲线无公共点，则1解得k>23综上，当−233<k当k=±1或当k>23（3）由y=kx+当k=0时，方程化为一次方程该方程只有一解x=1所以直线y=−当k≠0时，二次方程的判别式当Δ>0时，k2−2k−所以当1−2<由Δ=0得k由Δ<0得k<1综上，当1−2<当k=0或当k<1−直线与圆锥曲线位置关系的两种判定方法代数法联立直线与圆锥曲线的方程可得到一个关于x,y的方程组，消去y（或x）得一元方程，此方程根的个数即交点个数，方程组的解即交点坐标几何法画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点的个数1.已知椭圆C：x225+y29=A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定[解析]对于直线l：m+令x−y−1=0,因为3225+22所以直线l与椭圆C相交.故选A.2.直线y=2x+m与双曲线A.恒有一个交点 B.存在m，使其有两个交点C.至多有一个交点 D.存在m，使其有三个交点[解析]将y=2x+m代入4x2−y2=1得m3.[2024·沈阳模拟]已知p：直线y=kx+b与抛物线x2=2my有且仅有一个公共点，q：直线yA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[解析]因为抛物线x2=2my的对称轴为y轴，所以若一条直线与抛物线x2=2my有且仅有一个公共点，则该直线与抛物线相切或者该直线与x轴垂直，又因为直线y=kx+b存在斜率，与x轴不垂直，所以“直线y=kx+考点二圆锥曲线的切线问题［师生共研］典例2（1）（一题多解）已知点P(1,32)在椭圆C：x2（2）（一题多解）已知点P3,1在双曲线C：x2−（3）（一题多解）已知P4,b是抛物线C：y2=2pxp>0上一点，且位于第一象限，点P[解析]（1）（法一：代数法）由题意可知，切线的斜率存在，所以设切线方程为y−将y−32=kx−1代入化简整理得36k2+36k+所以切线方程为y−32（法二：公式法）由题意得，椭圆C在点P处的切线方程为1⋅x4（2）（法一：代数法）可知切线的斜率k存在且1−2k2≠0，所以设切线方程为y−化简整理得1−令Δ=4解得k=所以切线方程为y−1=（法二：公式法）因为P3,1在双曲线上，所以双曲线C在点P处的切线方程为3（法三：导数法）由C：x2根据题目条件，可知求曲线y=x2y'=12x2−1则曲线y=x2−12在点所以双曲线C在点P处的切线方程为3x（3）（法一:代数法）由抛物线定义，P到抛物线的焦点的距离为4+p2=6，得p=4，代入方程得b=42，设过点P的切线方程为y−42=k（法二：公式法）由法一可知点P4,42在抛物线上，所以抛物线C在点P处的切线方程为求圆锥曲线切线方程的两种方法代数法联立直线与圆锥曲线的方程，根据Δ=0*公式法①过椭圆x2a2+y②过双曲线x2a2−y③过抛物线y2=2pxp1.椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为此椭圆的蒙日圆.若椭圆x2a+2+y2A.1 B.2 C.3 D.4[解析]当椭圆两切线与坐标轴垂直时，则两切线的交点坐标为±a+2,±a，该点在圆x2+y2设两切线的交点坐标为x0,y联立y=kx+y0则Δ=4化简得k2[a整理得2a+2−故选B.2.已知O为坐标原点，过双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b[解析]利用公式法，设Px0,y0处的切线方程为xx0a2−yy0b23.已知抛物线C：x2=4y，点M为直线y=−1上一动点，过点M作直线MA,MB与抛物线C分别切于点[解析]由x2=4y，得y设Ax1,x1所以kMA=x所以切线MA的方程为y−x1切线MB的方程为y−x2又两条切线均过点Mx所以−1=x所以x1，x2是方程−1=x02又MA=x1所以MA=x将x1+x2=考点三与弦有关的问题［多维探究］一般弦典例3（一题多解）若过双曲线x2−y2=4的右焦点F作倾斜角为30∘的直线，交双曲线于[解析]由双曲线x2−y2=右焦点为F22,（法一:韦达定理法）直线斜率k=33，直线方程为x=3联立x2−y2=4,x=3y（法二：焦点弦法）AB=求解弦长的三种方法1.当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；2.当直线斜率存在时，联立直线与曲线的方程，消元得到关于x（或y）的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式求解；3.当弦过焦点时，可结合焦点弦公式求解弦长.中点弦典例4[2024·河南模拟]已知直线l：3x+4y−11=0与椭圆C：x24+A.33 B.22 C.32[解析]依题意，直线l的斜率为−3设Ax1,y1,由x124于是m2解得m2=6，此时椭圆C：x24+y26解决圆锥曲线中与弦的中点有关问题的两种方法韦达定理法将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解点差法设出直线l与圆锥曲线C的交点坐标Ax1,y1,Bx2,y焦点弦典例5[2024·重庆校考]（多选题）在平面直角坐标系中，已知F2,0，过点F可作直线l与曲线C交于M，N两点，使MN=2A.y2=8x B.x26+[解析]由题意，且根据选项可得，F恰为四个曲线的焦点.对于A,抛物线y2=8x的焦点弦弦长的最小值为2p=8对于B,在椭圆x26+y22=1中，根据椭圆的性质，可得焦点弦弦长的取值范围为对于C,若M,N同在右支上，则焦点弦弦长的取值范围为[2b2a,+∞)，即[对于D，若M,N在异支上，则焦点弦弦长的取值范围为[2a,+∞)，即[2,+∞)，因为2∈[圆锥曲线焦点弦的相关结论图形结论椭圆BF=AF=AB双曲线AB抛物线x1x2AF=BF=AB=x1.[2024·西安模拟]已知直线l与圆O:x2+y2=1相切，且交椭圆C:[解析]设直线l:∵直线l与圆O:∴tm2将直线l的方程与椭圆方程联立，得4+3m∵y1y2=−67由对称性，不妨取m=1,t=∴AB2.[2024·四川模拟]已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点[解析]由题意得F1,0，设线段AB则AF+BF=xA则线段AB的垂直平分线方程为y−令y=0，得x=ky0+x0，即4=k3.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0[解析]设Ax1,y1,Bx2,y注意到x1≤a，则a+e因此AF−因为直线AB的倾斜角为120∘，所以直线AB的斜率k根据弦长公式，可得AB=由ABAF−BF=1因为ABAF−BF圆锥曲线的光学性质一、圆锥曲线的光学性质1.椭圆的光学性质：如图1，从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.2.双曲线的光学性质：如图2，从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们好像是从另一个焦点射出的一样.3.抛物线的光学性质：如图3，从焦点出发的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.二、圆锥曲线的光学性质的引申引申1:如图4，椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，F引申2:如图5，双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0，F1，F2分别为其左、右焦点，l是过双曲线上一点Dx0,y0的切线，A，B是直线l上的两点（不同于点D），连接F1典例（1）（多选题）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆C：x216+y29=1，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C相切于点P，且PF1=2，A.∠F1PF2=π2C.∠F1PM[解析]由题意可知，a=4，b=3，c=a2−b2=7，即F1F2=27，因为PF1+PF2=8，所以PF2=6，所以cos∠F1PF2=PF12+PF22−F1F22（2）（多选题）抛物线的光学性质：从焦点F发出的光线经过抛物线上的点P反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，且法线垂直于抛物线在点P处的切线.已知抛物线y2=2pxp>0上任意一点Px0,y0处的切线为y0y=pA.直线l的方程为2pxB.记弦AB的中点为M，则QM平行于x轴或与x轴重合C.切线QA与y轴的交点恰在以FQ为直径的圆上D.∠[解析]如图，设l的方程为x=my+b，b>0，与抛物线方程联立得y2−2pmy−2pb=0，则必有Δ>0，由已知得，抛物线在点A处的切线lQA：y1y=px1+x，在点B处的切线lQB：y2y=px2+x，设点QxQ,yQ，则满足方程组y1yQ=px1+如图，记切线QA：y1y=px1+x与y轴的交点为C0,px1y1，kFC=2x1−y1，kQA=如图，记切线QA与x轴的交点为S，过A作x轴的平行线，由抛物线光学性质得，∠FSA=∠FAS，由等腰△SFA，Rt△SCF,F，C，Q，D四点共圆（同弦圆周角相等），可得图中所示的五个角α相等,同理，五个角β相等,则△AFQ∼△深度训练