常微分方程蔡燧林答案

常微分方程蔡燧林答案【篇一：常微分方程讲义(1)】>课程目标：掌握常用的常微分方程解题技巧；利用常微分方程的思想建模。上课方式：课堂讲授、练习与考试。课程特点：承接高数、微积分、数学分析等课程而来，与导数、积分的关系非常紧密，在经济数学中有广泛的应用；常与其他数学工具与方法混合使用。参考书目：《常微分方程》，蔡燧林编著，武汉大学出版社，2003；及所有标注有“常微分方程”、“应用”、“经济数学”、“金融数学”的教材与专著。为什么在模拟经济变化时要引入常微分方程？注重刻画在无穷小时间段内的变量的动态变化，实现了从“静态”向“动态”的飞跃。微分方程比初等函数更近于现实，更真于模拟。什么是方程？y?f(x)。什么是微分方程？常微分方程：含有dy、dx、dy的方程；dx偏微分方程：含有?y、?x、?y的方程。?x?y的几何含义：割线、割线的斜率?xdy的几何含义：切线、切线的斜率dx?ydylim?：数学上——切线的斜率，导数?x?0?xdx经济上——变化率，边际例：求y?x2与y?ex的导数应当记下来的等式：(xn)?nxn?1，?nxn?1dx?xn?c(ex)?ex，?exdx?ex?c(lnx)?1x，?1xdx?lnx?c(sinx)?cosx，?cosxdx?sinx?c(cosx)??sinx，?(?sinx)dx?cosx?c(tgx)?sec2x，?sec2xdx?tgx?c(ctgx)??csc2x，?(?csc2x)dx?ctgx?c(c)?0(kx)?k(a?b)?a?b(ab)?ab?ab(aab?abb)?b2(f[g(x)])?fg(?p(x)dx)?p(x)1?11(x)?x2?22x，?12xdx?x?c(ax)?axlna，?axlnadx?ax?c(arcsinx)?(arctgx)?1?x2，?1?x2dx?arcsinx?c11?x2，?1dx?arctgx?c21?x例：匀速运动与变速运动例：不良资产的处置常微分方程的“阶”dyd2ydny考察方程中导数的最高“阶”,2n，dxdxdx而不是考察方程中的最高“次方”dy,(dy)2dy)ndxdxdx常微分方程的“解”通解：曲线族特解：初值条件例：检验y?21(y)2?0的解?1是方程y?1?yc1x?c2例：检验xsin2y?y2?c是方程sin2y?(xsin2y?2y)y?0的解?x?t3?t?2例：检验由参数方程?所决定的函数y?f(x)，是微分方程?3412?y?t?t?c42?x?(dy3dy)??2的解dxdx例：设p(x)是区间（a，b）上的连续函数，证明y?cey?p(x)y?0在区间a?x?b,y???内的解。?p(x)dx?是微分方程例：一曲线经过点（2，0），且其上任意一点的切线界于切点和纵坐标轴之间的部分的长度恒等于2，求此曲线所满足的微分方程的表达式。文献清单：映了实际问题中出现的微分方程的相当一部分，掌握这些类型的解法具有十分重要的实际意义.参考文献:[1]徐进明，林其安．浅谈一类一阶微分方程的解法[j]．三明高等专科学校学报，1999，（1）：14-16．[2]刘林．一阶常微分方程初等解法研究[j]．河套大学学报（自然科学版），2006，（1）：13-15．[3]李祥林．一阶常微分方程的初等解法研究[j]．阜阳师范学院学报(自然科学版），1996，（2）：39-43．[5]王晓玲．关于一阶微分方程各类解法的研究[j]．数学学习与研究，2012，（9）．[6]丁飞．一些一阶微分方程的解法[j]．中国科教博览，2004，（12b）：40-41，46．[7]文武．一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨[j]．四川文理学院学报，2010，（5）．[8]冯录祥．一类一阶常微分方程的推广及应用[j]．河南科学，2012，（5）：529-531．[9]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松．常微分方程（第三版)[m]．北京：高等教育出版社，2006：30-67．[10]蔡燧林