2024届重庆市名校联盟高三下学期全真模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3重庆市名校联盟2024届高三下学期全真模拟考试数学试题一、单项选择题1.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（）A. B.10 C. D.8〖答案〗A〖解析〗所对应点关于虚轴对称，,,故选：A.2.在的展开式中，含项的系数是（）A.16 B.19 C.21 D.24〖答案〗B〖解析〗因为展开式的通项为，所以的展开式中含项为，所以展开式中含项的系数是.故选：B.3.若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由于，若，，则无法得到，故充分性不成立，若，由于，所以，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B.4.下列说法错误的是（）A.若随机变量满足且，则B.样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62C.当时，若事件A、B相互独立，则D.若A、B两组成对数据的相关系数分别为，则A组数据的相关性更强〖答案〗D〖解析〗对于A,且，则,A正确，对于B，由于，故样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为第5个数62，B正确，对于C,事件A、B相互独立,则,所以,C正确，对于D，由于,所以组数据的相关性更强，D错误，故选：D.5.若函数有极值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数的定义域为，且，因为函数有极值，所以在上有变号零点，即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等），因为二次函数的对称轴为，开口向上，所以只需，解得，即实数的取值范围是.故选：C.6.双曲线其中，2，3，，，2，3，，且，取到其中每个数都是等可能的，则直线：与双曲线左右支各有一个交点的概率为A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗双曲线的渐近线方程为，直线与双曲线左右支各有一个交点，则，总基本事件数为，满足条件的的情况有：，共6个，概率为，故选：B．7.已知定义在上的函数满足：，都有，且，当时，恒有，则＝（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由于，都有，所以，，又，故由于，，故时，，由于，，故，因此，故，故选：B.8.已知椭圆，圆在第一象限有公共点，设圆在点处的切线斜率为，椭圆在点处的切线斜率为，则的取值范围为A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为椭圆和圆在第一象限有公共点，所以，解得.设椭圆和圆在第一象限的公共点，则椭圆在点处的切线方程为，圆在点处的切线方程为，所以，，所以，故选D.二、多项选择题9.已知函数的最小正周期为π，且对恒成立，则下列说法中正确的是（）A.B.C.函数的极大值点的集合是D.函数与函数的图象关于直线对称〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由函数的最小正周期为π，得，解得，A正确；对于B，由恒成立，得是的最小值，则，而，于是，B错误；对于C，，由，得，所以的极大值点的集合是，C正确；对于D，由，得函数与函数的图象关于直线对称，D正确.故选：ACD.10.已知数列，，记，，若且则下列说法正确的是（）A. B.数列中的最大项为C. D.〖答案〗BD〖解析〗对于A，由已知，当时，，即，，当时，，即，所以，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，A选项错误；对于B，所以，，且数列单调递减，所以数列中的最大项为，B选项正确；对于C，，，所以，C选项错误；对于D，又，所以，即，D选项正确；故选：BD.11.棱长为的正四面体ABCD中，，，，点K为△BCD的重心，则下列说法正确的是（）A.B.若直线AK与平面PQR的交点为M，则C.四面体ABCD外接球的表面积是D.四面体KPQR的体积是〖答案〗ABD〖解析〗由于点K为BCD的重心，所以点K为BCD的中心，故平面，平面，所以，A正确，由于该正四面体的棱长为，将该正四面体放入棱长为1的正方体中，则正方体的外接球即为四面体的外接球，故外接球的直径为正方体的体对角线，故,故表面积是，C错误，由于三点共面，点K为BCD的重心，所以,又四点共面，所以,由于共线，所以，解得，故，B正确，由于是的中点，所以，由选项B，可知，所以，所以,,D正确，故选：ABD三、填空题12.已知向量满足，则______〖答案〗〖解析〗，可得，故，故〖答案〗为：13.已知各项均为整数的数列满足，且前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列，那么______；若正整数m恰使得那么满足条件的正整数取值集合为______〖答案〗8〖解析〗前6项依次成等差数列，设其公差为，由于的各项均为整数，所以，，由于成等比数列，所以，即，解得或（舍去），故则，由于的各项为若，则，满足题意，若，则，不满足题意，若，则，满足题意，若，则，不满足题意，若，由于第5项起依次成等比数列，且公比为2，则，若，则，由于且，显然无解，故无满足题意的值，故取值集合为，故〖答案〗为：8，14.已知，若实数m，n满足，则的最小值为______.〖答案〗4〖解析〗由可得，故在单调递增，而，故得，，当且仅当，即时取等号，故〖答案〗为：4.四、解答题15.在中，的对边分别为，已知.（1）求；（2）已知点在线段上，且，求长.解：（1）在中，由及余弦定理，得，即，而，所以.（2）由（1）知，由余弦定理得，为三角形内角，则，而，于是，在中，由正弦定理得，所以.16.随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为，且计划当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止.（1）求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率；（2）若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望.解：（1）设学员小张恰第i次通过模拟考试的概率为，则，，所以，学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率为.（2）设表示一天内模拟考试的次数，则，由题意知：，，，，，所以，因为，所以，所以小张一天内模拟考试花费的时间X的期望为分钟.17.三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．（1）求侧棱的长；（2）侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．解：（1）在平面内过作，垂足为，因为侧面为矩形，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，易得，面，平面平面，所以平面，因为，所以，因为，，所以；（2）存在点满足题意，，理由如下：如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，故，，设平面的法向量为则即，令，则，故平面的一个法向量，设直线与平面所成角，则，解得，故存在点E满足题意，所以.18.已知抛物线：与双曲线：相交于点．（1）若，求抛物线的准线方程；（2）记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值．解：（1）由，得，将其代入，得，所以抛物线的方程为，其准线方程为.（2）由，得，由直线与相切，得，解得，切点，由，得，由直线与相切，得，解得，切点，于是，令，则直线的方程为，点，由，得，所以，点到直线的距离为，所以，所以的面积为定值，该定值为.19.T性质是一类重要的函数性质，具有T性质的函数被称为T函数，它可以从不同角度定义与研究.人们探究发现，当的图像是一条连续不断的曲线时，下列两个关于T函数的定义是等价关系．定义一：若为区间上的可导函数，且为区间上的增函数，则称为区间上的T函数．定义二：若对，，都有恒成立，则称为区间上的T函数．请根据上述材料，解决下列问题：（1）已知函数．①判断是否为上的T函数，并说明理由；②若且，求的最小值（2）设，当时，证明：．（1）解：①由于，所以记，则，由于，所以，故在单调递增，由定义一可知，为上的T函数，②由于为上的T函数，令，由定义二可知，所以，故当时可取等号，故的最小值为，（2）证明：设,为单调递增函数，由定义一可得为上的函数，，由于，则，由定义二可得，即，故，所以.重庆市名校联盟2024届高三下学期全真模拟考试数学试题一、单项选择题1.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（）A. B.10 C. D.8〖答案〗A〖解析〗所对应点关于虚轴对称，,,故选：A.2.在的展开式中，含项的系数是（）A.16 B.19 C.21 D.24〖答案〗B〖解析〗因为展开式的通项为，所以的展开式中含项为，所以展开式中含项的系数是.故选：B.3.若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由于，若，，则无法得到，故充分性不成立，若，由于，所以，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B.4.下列说法错误的是（）A.若随机变量满足且，则B.样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62C.当时，若事件A、B相互独立，则D.若A、B两组成对数据的相关系数分别为，则A组数据的相关性更强〖答案〗D〖解析〗对于A,且，则,A正确，对于B，由于，故样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为第5个数62，B正确，对于C,事件A、B相互独立,则,所以,C正确，对于D，由于,所以组数据的相关性更强，D错误，故选：D.5.若函数有极值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数的定义域为，且，因为函数有极值，所以在上有变号零点，即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等），因为二次函数的对称轴为，开口向上，所以只需，解得，即实数的取值范围是.故选：C.6.双曲线其中，2，3，，，2，3，，且，取到其中每个数都是等可能的，则直线：与双曲线左右支各有一个交点的概率为A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗双曲线的渐近线方程为，直线与双曲线左右支各有一个交点，则，总基本事件数为，满足条件的的情况有：，共6个，概率为，故选：B．7.已知定义在上的函数满足：，都有，且，当时，恒有，则＝（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由于，都有，所以，，又，故由于，，故时，，由于，，故，因此，故，故选：B.8.已知椭圆，圆在第一象限有公共点，设圆在点处的切线斜率为，椭圆在点处的切线斜率为，则的取值范围为A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为椭圆和圆在第一象限有公共点，所以，解得.设椭圆和圆在第一象限的公共点，则椭圆在点处的切线方程为，圆在点处的切线方程为，所以，，所以，故选D.二、多项选择题9.已知函数的最小正周期为π，且对恒成立，则下列说法中正确的是（）A.B.C.函数的极大值点的集合是D.函数与函数的图象关于直线对称〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由函数的最小正周期为π，得，解得，A正确；对于B，由恒成立，得是的最小值，则，而，于是，B错误；对于C，，由，得，所以的极大值点的集合是，C正确；对于D，由，得函数与函数的图象关于直线对称，D正确.故选：ACD.10.已知数列，，记，，若且则下列说法正确的是（）A. B.数列中的最大项为C. D.〖答案〗BD〖解析〗对于A，由已知，当时，，即，，当时，，即，所以，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，A选项错误；对于B，所以，，且数列单调递减，所以数列中的最大项为，B选项正确；对于C，，，所以，C选项错误；对于D，又，所以，即，D选项正确；故选：BD.11.棱长为的正四面体ABCD中，，，，点K为△BCD的重心，则下列说法正确的是（）A.B.若直线AK与平面PQR的交点为M，则C.四面体ABCD外接球的表面积是D.四面体KPQR的体积是〖答案〗ABD〖解析〗由于点K为BCD的重心，所以点K为BCD的中心，故平面，平面，所以，A正确，由于该正四面体的棱长为，将该正四面体放入棱长为1的正方体中，则正方体的外接球即为四面体的外接球，故外接球的直径为正方体的体对角线，故,故表面积是，C错误，由于三点共面，点K为BCD的重心，所以,又四点共面，所以,由于共线，所以，解得，故，B正确，由于是的中点，所以，由选项B，可知，所以，所以,,D正确，故选：ABD三、填空题12.已知向量满足，则______〖答案〗〖解析〗，可得，故，故〖答案〗为：13.已知各项均为整数的数列满足，且前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列，那么______；若正整数m恰使得那么满足条件的正整数取值集合为______〖答案〗8〖解析〗前6项依次成等差数列，设其公差为，由于的各项均为整数，所以，，由于成等比数列，所以，即，解得或（舍去），故则，由于的各项为若，则，满足题意，若，则，不满足题意，若，则，满足题意，若，则，不满足题意，若，由于第5项起依次成等比数列，且公比为2，则，若，则，由于且，显然无解，故无满足题意的值，故取值集合为，故〖答案〗为：8，14.已知，若实数m，n满足，则的最小值为______.〖答案〗4〖解析〗由可得，故在单调递增，而，故得，，当且仅当，即时取等号，故〖答案〗为：4.四、解答题15.在中，的对边分别为，已知.（1）求；（2）已知点在线段上，且，求长.解：（1）在中，由及余弦定理，得，即，而，所以.（2）由（1）知，由余弦定理得，为三角形内角，则，而，于是，在中，由正弦定理得，所以.16.随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为，且计划当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止.（1）求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率；（2）若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望.解：（1）设学员小张恰第i次通过模拟考试的概率为，则，，所以，学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率为.（2）设表示一天内模拟考试的次数，则，由题意知：，，，，，所以，因为，所以，所以小张一天内模拟考试花费的时间X的期望为分钟.17.三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．（1）求侧棱的长；（2）侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．解：（1）在平面内过作，垂足为，因为侧