2024届浙江省嘉兴市高三二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3浙江省嘉兴市2024届高三二模数学试题一､选择题1.已知集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，所以，故选：D.2.已知函数是奇函数，则的值可以是（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由为奇函数，可得，，当时，.故选：C3.设，则是为纯虚数的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件〖答案〗B〖解析〗对于复数，若，则不一定为纯虚数，可以为；反之，若为纯虚数，则，所以是为纯虚数的必要非充分条件.故选：B.4.若正数满足，则的最小值是（）A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗由可得，，当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意.所以的最小值为.故选：A.5.如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设半球半径为，圆锥高为，由题意，解得.故圆锥的体积与半球体的体积的比值为.故选：D.6.已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，由可知点的轨迹是以为直径的圆，设为圆，因，故圆.依题意知圆与圆必至少有一个公共点.因，则，由，解得：.故选：B.7.6位学生在游乐场游玩三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（）A.180种 B.210种 C.240种 D.360种〖答案〗C〖解析〗若A有2人游玩，则有种；若A有4人游玩，则有种；所以共有240种，故选：C.8.已知定义在上且无零点的函数满足，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由变形得，从而有，，所以，因为，所以，则，则，故当时，，当时，，所以在上单调递增，在单调递减，所以，，又，而，所以，综上，.故选：D.二､多选题9.已知一组数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为.现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为，则下列说法中正确的是（）A.若删去3，则B.若删去9，则C.无论删去哪个数，均有D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗A选项，若去掉3，根据中位数的定义，，满足，A选项正确；B选项，若删去9，根据平均数的定义，，，，B选项错误；C选项，根据极差的定义，若去掉的数是中的一个，显然去掉前后极差都是，满足，若去掉，，若去掉，，综上，，C选项正确；D选项，原数据平均数，去掉一个数后平均数保持不变，即，则剩下的四个数之和为，显然去掉的数只能是，由方差的定义，，，满足，D选项正确.故选：ACD10.已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，定义：.对于函数，则（）A.函数的图象关于点对称B.函数在区间上单调递增C.将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象D.方程在区间上有两个不同的实数解〖答案〗AB〖解析〗根据题意，，，对于A，由正切函数的性质得，，解得，所以函数的对称中心为，，故A正确；对于B，，，由正切函数的性质可知在上单调递增，故B正确；对于C，将的图象向左平移个单位可得，为奇函数，故C错误；对于D，，，令，由正切函数的性质可知在上单调递增，且，在上单调递增，且，所以方程在区间上只有一个实数解，故D错误.故选：AB.11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，已知抛物线的准线为为坐标原点，在轴上方有两束平行于轴的入射光线和，分别经上的点和点反射后，再经上相应的点和点反射，最后沿直线和射出，且与之间的距离等于与之间的距离.则下列说法中正确的是（）A.若直线与准线相交于点，则三点共线B.若直线与准线相交于点，则平分C.D.若直线的方程为，则〖答案〗ACD〖解析〗对于选项A，因为直线经过焦点，设，，直线，与抛物线联立得，，由题意得，，所以，即三点共线，故A正确；对于选项B，假设，又，所以，所以，这与和相交于A点矛盾，故B错误；对于选项C，与距离等于与距离，又结合A选项，则，所以，故C正确；对于选项D，由题意可得，，，，，故D正确.故选：ACD.三､填空题12.已知平面向量是非零向量，且与的夹角相等，则的坐标可以为__________.（只需写出一个符合要求的〖答案〗）〖答案〗均可〖解析〗设，，由题意可得，，，即，，解得.，.故〖答案〗为：，均可.13.设数列前项和为，等比数列的前项和为，若，，则__________.〖答案〗〖解析〗设等比数列的公比为，由，则，解得，又，所以，，代入，解得，当时，，当，时，，满足上式，所以，.故〖答案〗为：.14.在四面体中，，且与所成的角为.若四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为__________.〖答案〗3〖解析〗依题意，可将四面体补形为如图所示的直三棱柱，因为与所成的角为，所以或，设，外接球半径记为，外接球的球心如图点.易知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，，得，在中，，在中，由余弦定理得，所以当时，外接球的半径会更小.所以，所以，所以.故〖答案〗为：3.四､解答题15.在中，内角所对的边分别是，已知.（1）求的值；（2）若为锐角三角形，，求的值.解：（1）由题可得，即，解得或.（2）解法一：因为，由正弦定理得，即，即，因，所以；所以，又，且为锐角三角形，解得.解法二：由余弦定理得，因为，所以，即，所以，所以，又，所以，所以.16.在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，.（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：解法一：，在中，，即，，，，又，底面，底面，，平面且相交于，平面，又平面，平面平面.解法二：.如图建立空间直角坐标系，，，则，，设是平面的法向量，则，可取，设是平面的法向量，则，可取，所以，所以平面平面.（2）解：解法一：在直角梯形中，因为，解得，过作分别平行于，连结，作交于点，连结，，且都在面内，平面，平面，又平面，，又，平面且交于，平面，又平面，，为平面与平面的夹角或其补角，在中，，,，由等面积法解得，又，.所以平面与平面夹角的余弦值为.（2）解法二：在直角梯形中，解得，如图建立空间直角坐标系，，，平面的法向量为，又，设平面的法向量为，则，即，令，解得，，设平面与平面夹角为，所以，即平面与平面夹角的余弦值为.17.春季流感对广大民众的健康生活带来一定的影响，为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.某市防疫部门从辖区居民中随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果是有错检的可能，已知患有流感的人其检测结果有呈阳性（感染），而没有患流感的人其检测结果有呈阴性（未感染）.（1）估计该市流感感染率是多少？（2）根据所给数据，判断是否有的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；（3）已知某人的流感检测结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001）附：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）估计流感的感染率.（2）列联表：疫苗情况流感情况合计患有流感不患有流感打疫苗220580800不打疫苗80120200合计3007001000根据列联表，计算.因为，所以有的把握认为注射流感疫苗与流感发病人数有关.（3）设事件为“一次检测结果呈阳性”，事件为“被检测者确实患有流感”，由题意得，，由全概率公式得，，所以此人真的患有流感的概率是.18.已知双曲线的虚轴长为4，渐近线方程为.（1）求双曲线的标准方程；（2）过右焦点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值.解：（1）由题意可知，又浙近线方程为，所以，易知双曲线的标准方程为.（2）设，联立方程得，且，由三点共线得①，由得，即②，由①②解得由可知，四边形是平行四边形，所以，，，所以，令，则，令，则，所以在上单调递减，上单调递增，所以，所以，当且仅当，即时取等号.19.已知集合，定义：当时，把集合中所有的数从小到大排列成数列，数列的前项和为.例如：时，，.（1）写出，并求；（2）判断88是否为数列中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；（3）若2024是数列中的某一项，求及的值.解：（1）因为，此时，，.（2）当时，，是数列中的项，比它小的项分别有个，有个，有个，所以比88小的项共有个，故88是数列的第30项.（3）是数列中的项，故，则当时，，方法一：比它小的项分别有以下7种情况：①个数字任取7个得个，②，得个，③，得个，④，得个，⑤，得个，⑥，得个，⑦，得个，所以比2024小的项共有个，其中故2024是数列的第329项，即.方法二：共有元素个，最大的是，其次为，所以2024是数列的第项，即.在总共项中，含有的项共有个，同理都各有个，所以，则.浙江省嘉兴市2024届高三二模数学试题一､选择题1.已知集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，所以，故选：D.2.已知函数是奇函数，则的值可以是（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由为奇函数，可得，，当时，.故选：C3.设，则是为纯虚数的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件〖答案〗B〖解析〗对于复数，若，则不一定为纯虚数，可以为；反之，若为纯虚数，则，所以是为纯虚数的必要非充分条件.故选：B.4.若正数满足，则的最小值是（）A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗由可得，，当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意.所以的最小值为.故选：A.5.如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设半球半径为，圆锥高为，由题意，解得.故圆锥的体积与半球体的体积的比值为.故选：D.6.已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，由可知点的轨迹是以为直径的圆，设为圆，因，故圆.依题意知圆与圆必至少有一个公共点.因，则，由，解得：.故选：B.7.6位学生在游乐场游玩三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（）A.180种 B.210种 C.240种 D.360种〖答案〗C〖解析〗若A有2人游玩，则有种；若A有4人游玩，则有种；所以共有240种，故选：C.8.已知定义在上且无零点的函数满足，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由变形得，从而有，，所以，因为，所以，则，则，故当时，，当时，，所以在上单调递增，在单调递减，所以，，又，而，所以，综上，.故选：D.二､多选题9.已知一组数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为.现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为，则下列说法中正确的是（）A.若删去3，则B.若删去9，则C.无论删去哪个数，均有D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗A选项，若去掉3，根据中位数的定义，，满足，A选项正确；B选项，若删去9，根据平均数的定义，，，，B选项错误；C选项，根据极差的定义，若去掉的数是中的一个，显然去掉前后极差都是，满足，若去掉，，若去掉，，综上，，C选项正确；D选项，原数据平均数，去掉一个数后平均数保持不变，即，则剩下的四个数之和为，显然去掉的数只能是，由方差的定义，，，满足，D选项正确.故选：ACD10.已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，定义：.对于函数，则（）A.函数的图象关于点对称B.函数在区间上单调递增C.将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象D.方程在区间上有两个不同的实数解〖答案〗AB〖解析〗根据题意，，，对于A，由正切函数的性质得，，解得，所以函数的对称中心为，，故A正确；对于B，，，由正切函数的性质可知在上单调递增，故B正确；对于C，将的图象向左平移个单位可得，为奇函数，故C错误；对于D，，，令，由正切函数的性质可知在上单调递增，且，在上单调递增，且，所以方程在区间上只有一个实数解，故D错误.故选：AB.11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，已知抛物线的准线为为坐标原点，在轴上方有两束平行于轴的入射光线和，分别经上的点和点反射后，再经上相应的点和点反射，最后沿直线和射出，且与之间的距离等于与之间的距离.则下列说法中正确的是（）A.若直线与准线相交于点，则三点共线B.若直线与准线相交于点，则平分C.D.若直线的方程为，则〖答案〗ACD〖解析〗对于选项A，因为直线经过焦点，设，，直线，与抛物线联立得，，由题意得，，所以，即三点共线，故A正确；对于选项B，假设，又，所以，所以，这与和相交于A点矛盾，故B错误；对于选项C，与距离等于与距离，又结合A选项，则，所以，故C正确；对于选项D，由题意可得，，，，，故D正确.故选：ACD.三､填空题12.已知平面向量是非零向量，且与的夹角相等，则的坐标可以为__________.（只需写出一个符合要求的〖答案〗）〖答案〗均可〖解析〗设，，由题意可得，，，即，，解得.，.故〖答案〗为：，均可.13.设数列前项和为，等比数列的前项和为，若，，则__________.〖答案〗〖解析〗设等比数列的公比为，由，则，解得，又，所以，，代入，解得，当时，，当，时，，满足上式，所以，.故〖答案〗为：.14.在四面体中，，且与所成的角为.若四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为__________.〖答案〗3〖解析〗依题意，可将四面体补形为如图所示的直三棱柱，因为与所成的角为，所以或，设，外接球半径记为，外接球的球心如图点.易知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，，得，在中，，在中，由余弦定理得，所以当时，外接球的半径会更小.所以，所以，所以.故〖答案〗为：3.四､解答题15.在中，内角所对的边分别是，已知.（1）求的值；（2）若为锐角三角形，，求的值.解：（1）由题可得，即，解得或.（2）解法一：因为，由正弦定理得，即，即，因，所以；所以，又，且为锐角三角形，解得.解法二：由余弦定理得，因为，所以，即，所以，所以，又，所以，所以.16.在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，.（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：解法一：，在中，，即，，，，又，底面，底面，，平面且相交于，平面，又平面，平面平面.解法二：.如图建立空间直角坐标系，，，则，，设是平面的法向量，则，可取，设是平面的法向量，则，可取，所以，所以平面平面.（2）解：解法一：在直角梯形中，因为，解得，过作分别平行于，连结，作交于点，连结，，且都在面内，平面，平面，又平面，，又，平面且交于，平面，又平面，，为平面与平面的夹角或其补角，在中，，,，由等面积法解得，又，.所以平面与平面夹角的余弦值为.（2）解法二：在直角梯形中，解得，如图建立空间直角坐标系，，，平面的法向量为，又，设平面的法向量为，则，即，令，解得，，设平面与平面夹角为，所以，即平面与平面夹角的余弦值为.17.春季流感对广大民众的健康生活带来一定的影响，为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.某市防疫部门从辖区居民中随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果是有错检的可能，已知患有流感的人其检测结果有呈阳性（感染），而没有患流感的人其检测结果有呈阴性（未感染）.（1）估计该市流感感染率是多少？（2）根据所给数据，判断是否有的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；（3）已知某人的流感检测结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001）附：，0.10.050.010.0050.0012