2024届云南省昆明市高三三模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3云南省昆明市2024届高三三模数学试题一、选择题1.如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题可知阴影部分表示的集合为：且，即.故选：A.2.已知点在抛物线的图象上，为的焦点，则（）A. B.2 C.3 D.〖答案〗B〖解析〗将代入，即，所以，所以.故选：B.3.已知中，，，，则的面积等于（）A.3 B. C.5 D.〖答案〗B〖解析〗由余弦定理得，，因为为三角形内角，则，所以，故选：B．4.某学校邀请五个班的班干部座谈，其中班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（）A.10 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗由题分两类讨论，当班选到1位班干部发言有种选法，其余班级有种选法；当班选到2位班干部发言有种选法，其余班级有种选法；故共有种选法，故选：C．5.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列说法错误的是（）A.若，则“”是“”的必要条件B.若，，则“”是“”的充分条件C.若，则“”是“”的充要条件D.若，则“”是“”的既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗对于A，若，则“”是“”的充分不必要条件，故A错误；对于B，，，则“”“”“m，n平行或异面，所以是的充分条件，故B正确；对于C，，则“”“”，则“”是“”的充要条件，故C正确；对于D，，则“”“或”，“”“m，n相交、平行或异面”，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确.故选：A.6.在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中概率为，第二次投篮命中的概率为，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设事件A表示“小明第一次投篮命中”，事件B表示“小明第二次投篮命中”，则，所以，解得.故选：B.7.某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，作出该艺术吊灯的主视图，由已知得四边形为正方形，则，设正方形的外接圆圆心为，连接交球面于点，如图所示，则，所以，因为该艺术吊灯总高度为14，，所以，设球半径为，则，在中，，解得，所以球的体积为，故选：C．8.函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且与轴有且仅有一个交点，对任意，，，，则下列说法正确的是（）A. B.为奇函数C.在单调递减 D.若，则〖答案〗D〖解析〗令得，，则；对于A，令，有，则，令，有，则，故A错误；对于B，令，则，故为偶函数，故B错误；对于C，因为在上的图象是一条连续不断的曲线，且与轴有且仅有一个交点，，所以当时，，设，令，则，即，所以在单调递增，故C错误；对于D，由上述结论得，为偶函数，且在单调递增，，所以若，则，故D正确；故选：D．二、选择题9.在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（）A. B.A与相互独立C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A选项，A与互斥，故，，则包含事件，故，A正确；B选项，，即，故，故，A与相互独立，B正确；C选项，A与互斥，故与互斥，故，C错误；D选项，，因为，故，D正确.故选：ABD.10.已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（）A. B.是偶函数C.是函数的一个极值点 D.在单调递增〖答案〗ABC〖解析〗因为的最小正周期大于，所以，即，又关于点中心对称，所以，所以，因为，所以当时，，所以，对于，，故正确；对于，，由且是全体实数，所以是偶函数，故正确；对于，，令得，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以是函数的极大值点，故正确；对于，由，，得，函数的单调递增区间为，，当时，，当时，，显然函数在上不单调，故不正确.故选：.11.已知分别是双曲线左、右焦点，是左支上一点，且在在上方，过作角平分线的垂线，垂足为是坐标原点，则下列说法正确的是（）A.若，则直线的斜率为B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗AC〖解析〗，不妨设在第二象限，当时，则，则，故，，,故,，由于是的角平分线，所以,进而可得,故斜率为，故A正确，由于，所以,B错误，延长,交于点，连接,由于是的角平分线，，所以,故是的中点，,由双曲线定义可得，又是的中点，,故C正确，D错误，故选：AC三、填空题12.已知复数满足，则__________.〖答案〗〖解析〗因为复数满足，所以，所以.故〖答案〗为：.13.过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对__________〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，，设所求切线的切点坐标为，则切线斜率为，得切线方程为，由切线过点，有，化简得，设，则，，解得或；，解得，在和上单调递减，在上单调递增，极大值，极小值，且或时，时，，的函数图象如图所示，则当时，无解，；当或时，有一个解，；当或时，有两个解，；当时，有三个解，.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）14.以表示数集中最大的数．已知，，，则的最小值为__________〖答案〗2〖解析〗由题意可知,所以有，因为所以，当且仅当，即时取等号，另外，当且仅当即时取等号，综合上述，所以有即，当且仅当时取等号.故〖答案〗为：2.四、解答题15.甲、乙两位同学组成学习小组进行项目式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、乙都参加了若干次测试，现从甲的测试成绩里随机抽取了7次成绩，从乙的测试成绩里随机抽取了9次成绩，数据如下：甲：93958172808292乙：858277809486928485经计算得出甲、乙两人的测试成绩的平均数均为85.（1）求甲乙两位同学测试成绩的方差；（2）为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计量，其中个数据的方差为，个数据的方差为，且．若，则认为两组数据有显著性差异，否则不能认为两组数据有显著性差异.若的临界值采用下表中的数据：123456781161200216225230234237239218.519.019.219.219.319.319.419.4310.19.559.289.129.018.948.898.8547.716.946.596.396.266.166.096.0456.615.795.416.195.054.954.884.8265.995.144.764.534.394.284.2141575.594.744.354.123.973.873.793.7385.324.464.073.843.693.583.503.44例如：对应的临界值为5.41.请根据以上资料判断甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果是否有显著性差异.解：（1）依题意：，，所以，，.（2）由于，则，，，，则，查表得对应的临界值为3.58，则，所以甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果没有显著性差异.16.正项数列的前项和为,等比数列的前项和为，，（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，求数列的前项和．解：（1）当时，，即，，所以，同理．当时，，化简得：，因为，所以，即，故，又，所以．同理，或，因为是等比数列，所以，即，所以．（2）由（1）知，所以当为奇数时，，同理当为偶数时，．所以.17.如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足，．（1）证明：平面；（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高．（1）证明：由三棱台知，平面，因为平面，且平面平面，所以，又，所以，因为，所以，又，，且平面，平面，所以平面．（2）解：以为原点建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为，则，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量，易得平面的一个法向量，设与平面夹角为，由（1）知，所以由已知得，解得，所以三棱台的高为．18.已知函数；（1）当时，证明：对任意，；（2）若是函数的极值点，求实数的值．（1）证明：当时，，，当时，，则；当时，，，故，所以在单调递增，因为，所以，所以，所以，所以，故；综上，对任意，．（2）解：，，因为是的极值点，所以，即．当时，，令，则，由（1）可知，对任意，，故在单调递增，又，故当时，，即，当时，，即，故在单调递减，在单调递增，满足是的极值点，综上，实数的值为1．19.已知曲线由半圆和半椭圆组成，点在半椭圆上，，．（1）求的值；（2）在曲线上，若（是原点）．（ⅰ）求取值范围；（ⅱ）如图，点在半圆上时，将轴左侧半圆沿轴折起，使点到，使点到，且满足，求的最大值．解：（1）由题意知，是椭圆的左、右焦点，由椭圆的定义知：．（2）（ⅰ）由题意知，，则，当为半椭圆右顶点时，，当不为半椭圆右顶点时，设直线方程为，联立，解得，，故，①若点在半圆上，则，所以，所以，所以，②若点在半椭圆上，因为，设直线的方程为，同理可得，所以，令，则，因为，故，所以，所以，综上所述，所以．（ⅱ）过作垂直轴，垂足为，设，则，，所以，即，，则半圆所在平面与半椭圆所在平面垂直，两平面交线为轴，则有，所以，令，，当且仅当，时，取得最大值．综上所述的最大值为．

云南省昆明市2024届高三三模数学试题一、选择题1.如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题可知阴影部分表示的集合为：且，即.故选：A.2.已知点在抛物线的图象上，为的焦点，则（）A. B.2 C.3 D.〖答案〗B〖解析〗将代入，即，所以，所以.故选：B.3.已知中，，，，则的面积等于（）A.3 B. C.5 D.〖答案〗B〖解析〗由余弦定理得，，因为为三角形内角，则，所以，故选：B．4.某学校邀请五个班的班干部座谈，其中班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（）A.10 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗由题分两类讨论，当班选到1位班干部发言有种选法，其余班级有种选法；当班选到2位班干部发言有种选法，其余班级有种选法；故共有种选法，故选：C．5.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列说法错误的是（）A.若，则“”是“”的必要条件B.若，，则“”是“”的充分条件C.若，则“”是“”的充要条件D.若，则“”是“”的既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗对于A，若，则“”是“”的充分不必要条件，故A错误；对于B，，，则“”“”“m，n平行或异面，所以是的充分条件，故B正确；对于C，，则“”“”，则“”是“”的充要条件，故C正确；对于D，，则“”“或”，“”“m，n相交、平行或异面”，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确.故选：A.6.在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中概率为，第二次投篮命中的概率为，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设事件A表示“小明第一次投篮命中”，事件B表示“小明第二次投篮命中”，则，所以，解得.故选：B.7.某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，作出该艺术吊灯的主视图，由已知得四边形为正方形，则，设正方形的外接圆圆心为，连接交球面于点，如图所示，则，所以，因为该艺术吊灯总高度为14，，所以，设球半径为，则，在中，，解得，所以球的体积为，故选：C．8.函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且与轴有且仅有一个交点，对任意，，，，则下列说法正确的是（）A. B.为奇函数C.在单调递减 D.若，则〖答案〗D〖解析〗令得，，则；对于A，令，有，则，令，有，则，故A错误；对于B，令，则，故为偶函数，故B错误；对于C，因为在上的图象是一条连续不断的曲线，且与轴有且仅有一个交点，，所以当时，，设，令，则，即，所以在单调递增，故C错误；对于D，由上述结论得，为偶函数，且在单调递增，，所以若，则，故D正确；故选：D．二、选择题9.在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（）A. B.A与相互独立C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A选项，A与互斥，故，，则包含事件，故，A正确；B选项，，即，故，故，A与相互独立，B正确；C选项，A与互斥，故与互斥，故，C错误；D选项，，因为，故，D正确.故选：ABD.10.已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（）A. B.是偶函数C.是函数的一个极值点 D.在单调递增〖答案〗ABC〖解析〗因为的最小正周期大于，所以，即，又关于点中心对称，所以，所以，因为，所以当时，，所以，对于，，故正确；对于，，由且是全体实数，所以是偶函数，故正确；对于，，令得，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以是函数的极大值点，故正确；对于，由，，得，函数的单调递增区间为，，当时，，当时，，显然函数在上不单调，故不正确.故选：.11.已知分别是双曲线左、右焦点，是左支上一点，且在在上方，过作角平分线的垂线，垂足为是坐标原点，则下列说法正确的是（）A.若，则直线的斜率为B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗AC〖解析〗，不妨设在第二象限，当时，则，则，故，，,故,，由于是的角平分线，所以,进而可得,故斜率为，故A正确，由于，所以,B错误，延长,交于点，连接,由于是的角平分线，，所以,故是的中点，,由双曲线定义可得，又是的中点，,故C正确，D错误，故选：AC三、填空题12.已知复数满足，则__________.〖答案〗〖解析〗因为复数满足，所以，所以.故〖答案〗为：.13.过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对__________〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，，设所求切线的切点坐标为，则切线斜率为，得切线方程为，由切线过点，有，化简得，设，则，，解得或；，解得，在和上单调递减，在上单调递增，极大值，极小值，且或时，时，，的函数图象如图所示，则当时，无解，；当或时，有一个解，；当或时，有两个解，；当时，有三个解，.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）14.以表示数集中最大的数．已知，，，则的最小值为__________〖答案〗2〖解析〗由题意可知,所以有，因为所以，当且仅当，即时取等号，另外，当且仅当即时取等号，综合上述，所以有即，当且仅当时取等号.故〖答案〗为：2.四、解答题15.甲、乙两位同学组成学习小组进行项目式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、乙都参加了若干次测试，现从甲的测试成绩里随机抽取了7次成绩，从乙的测试成绩里随机抽取了9次成绩，数据如下：甲：93958172808292乙：858277809486928485经计算得出甲、乙两人的测试成绩的平均数均为85.（1）求甲乙两位同学测试成绩的方差；（2）为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计量，其中个数据的方差为，个数据的方差为，且．若，则认为两组数据有显著性差异，否则不能认为两组数据有显著性差异.若的临界值采用下表中的数据：123456781161200216225230234237239218.519.019.219.219.319.319.419.4310.19.559.289.129.018.948.898.8547.716.946.596.396.266.166.096.0456.615.795.416.195.054.954.884.8265.995.144.764.534.394.284.2141575.594.744.354.123.973.873.793.7385.324.464.073.843.693.583.503.44例如：对应的临界值为5.41.请根据以上资料判断甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果是否有显著性差异.解：（1）依题意：，，所以，，.（2）由于，则，，，，则，查表得对应的临界值为3.58，则，所以甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果没有显著性差异.16.正项数列的前项和为,等比数列的前项和为，，（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，求数列的前项和．解：（1）当时，，即，，所以，同理．当时，，化简得：，因为，所以，即，故，又，所以．同理，或，因为是等比数列，所以，即，所以．（2）