2024届上海市高考模拟测数学试卷06（临考押题卷03）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2上海市2024届高考数学模拟测试卷06（临考押题卷03）一、填空题1．已知集合，，则．〖答案〗〖解析〗由题意，，，．故〖答案〗为：2．复数满足（为虚数单位），则.〖答案〗〖解析〗由题意可得，所以.故〖答案〗为：.3．函数的定义域为．〖答案〗〖解析〗要使有意义，则当且仅当，解得，即函数的定义域为.故〖答案〗为：.4．已知的展开式中项的系数为，则．〖答案〗〖解析〗由题意得，解得，故〖答案〗为：5．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．〖答案〗〖解析〗当时，不等式为，显然不符合题意；当时，因为关于的不等式的解集为，所以有，所以实数的取值范围是，故〖答案〗为：6．已知，则．〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，所以．故〖答案〗为：.7．等差数列中，若，，则的前10项和为.〖答案〗〖解析〗等差数列，，，解得，故，则的前10项和为.故〖答案〗为：.8．同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量表示结果中有正面朝上，表示结果中没有正面朝上，则.〖答案〗〖解析〗由题意可知，，，所以，所以．故〖答案〗为：.9．已知底面半径为1的圆柱，是其上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线．若直线与所成角的大小为，则．〖答案〗〖解析〗如图所示，因为，且则直线与所成角即为直线与所成角的大小为，可得,在直角中，可得，即.故〖答案〗为：.10．已知平面向量满足，则的取值范围是．〖答案〗〖解析〗不妨设，则，由，可得，则，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.11．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是．〖答案〗13〖解析〗∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故〖答案〗为：13.12．对于定义在非空集上的函数，若对任意的，当，有，则称函数为“准单调递增函数”,若函数的定义域，值域，则在满足这样条件的所有函数中，为“准单调递增函数”的概率是．〖答案〗〖解析〗若函数的值域为，则有1个函数，所以值域为单元素的函数有3个，若值域为，将定义域中的元素分组为3,3，则有个函数，将定义域中的元素分组为2,4，则有个函数，将定义域中的元素分组为1,5，则有个函数，则共有个函数，所以值域为双元素的函数共有个函数；若值域为，将定义域中的元素分组为1,2,3，则有个函数，将定义域中的元素分组为2,2,2，则有个函数，将定义域中的元素分组为1,1,4，则有个函数，则共有个函数，综上可知，共有个函数，其中，若函数为增函数，当值域为单元素集合，有3个函数，满足条件，当值域有2个元素，将元素1,2,3,4,5,6中间隔1块板，有5种方法，则有个函数，若值域有3个元素，则将元素1,2,3,4,5,6中间隔2块板，有种方法，即有10个函数，综上可知，为增函数的函数有个函数，所以为增函数的概率.故〖答案〗为：二、单选题13．已知直线、，平面、，满足且，则“”是“”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分条 C．充要 D．既非充分又非必要〖答案〗A〖解析〗因为，所以，又因为，所以，即“”是“”的充分条件；如图，在长方体中，设面为面、面为面，则，且与面不垂直，即“”不是“”的必要条件；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.14．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（）A．， B．，C．， D．，〖答案〗C〖解析〗根据频率分布条形图可知，，即；显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即；故选：C15．设，利用函数单调性比大小，可得（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗令，则，当时，在上单调递减，又，所以在上恒成立，所以，即，因为，所以，又，所以，即，又，所以，因为，所以，所以，所以，所以.故选：B.16．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面直角坐标系中，把与定点、距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，记为曲线.关于曲线，有下列两个命题：①曲线上的点的横坐标的取值范围是；②若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为.则（

）A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题C．①为真命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题〖答案〗B〖解析〗对于①：由伯努利双纽线的定义可知，曲线C的方程为:，化简得，设，则方程化为设上述方程的两个根为,则至少有一个大于等于0则需有由于，，解得，①为假命题；对于②：直线与曲线一定有公共点，若直线与曲线只有一个交点，将代入曲线方程中得，方程无非零解，即无实数解，故有，所以，解得或，故②为真命题.故选：B.三、解答题17．在中，、、分别是内角、、的对边，，，.(1)求的值；(2)求的值.解：(1)由余弦定理知，即，整理得，解得或（舍负），故.(2)∵，且，∴，由正弦定理知，即，得，∴.18．如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，分别为棱和棱的中点．(1)求证：面面；(2)求二面角的余弦值大小．(1)证明：为棱中点，为正三角形，.又三棱柱是直三棱柱，面，又面，，而平面，面，面，面面；(2)解：由(1)得面，面，，是二面角的平面角，在中，二面角的余弦值为．

方法二：以为原点，建立直角坐标系如图：则，，，设平面、平面的法向量分别为，，可以是可以是，二面角的余弦值为．19．生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）解：(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，这人都最喜爱使用跑步软件一的概率为.(2)因为抽取的人中最喜爱跑步软件二的人数为，所以的所有可能取值为，，所以的分布列为：所以.(3)，证明如下：，，所以.，，所以.数据：，，，，，，，，对应的平均数为所以所以.20．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．(1)求的周长；(2)求面积的取值范围；(3)设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．解：(1)，为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点，，从而的周长为．由题意，得，即的周长为.(2)由题意可设过的直线方程为，联立，消去x得，则，所以，令，则（当时等号成立，即时）所以,故面积的取值范围为.(3)设，直线的方程为：，将其代入椭圆的方程可得，整理可得，则，得，，故．当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得，同理，可得，因为，所以，当且仅当时，等号成立.若轴时，易知，，，此时，综上，的最大值为.21．已知.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数存在两个不同的极值点，求证：；(3)若，，数列满足，．求证：当时，．(1)解：当时，，所以曲线在点处的切线方程为.；(2)证明：由，得：，令，则，原方程可化为：①，则是方程①的两个不同的根，所以，解得，所以，因为，所以，所以；(3)证明：由题意可知，，所以，当时，，所以函数在区间上严格减，当时，，所以函数在区间上严格增，因为，所以，，以此类推，当时，，又，所以函数在区间上严格减，当时，，所以，所以，即，故.上海市2024届高考数学模拟测试卷06（临考押题卷03）一、填空题1．已知集合，，则．〖答案〗〖解析〗由题意，，，．故〖答案〗为：2．复数满足（为虚数单位），则.〖答案〗〖解析〗由题意可得，所以.故〖答案〗为：.3．函数的定义域为．〖答案〗〖解析〗要使有意义，则当且仅当，解得，即函数的定义域为.故〖答案〗为：.4．已知的展开式中项的系数为，则．〖答案〗〖解析〗由题意得，解得，故〖答案〗为：5．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．〖答案〗〖解析〗当时，不等式为，显然不符合题意；当时，因为关于的不等式的解集为，所以有，所以实数的取值范围是，故〖答案〗为：6．已知，则．〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，所以．故〖答案〗为：.7．等差数列中，若，，则的前10项和为.〖答案〗〖解析〗等差数列，，，解得，故，则的前10项和为.故〖答案〗为：.8．同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量表示结果中有正面朝上，表示结果中没有正面朝上，则.〖答案〗〖解析〗由题意可知，，，所以，所以．故〖答案〗为：.9．已知底面半径为1的圆柱，是其上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线．若直线与所成角的大小为，则．〖答案〗〖解析〗如图所示，因为，且则直线与所成角即为直线与所成角的大小为，可得,在直角中，可得，即.故〖答案〗为：.10．已知平面向量满足，则的取值范围是．〖答案〗〖解析〗不妨设，则，由，可得，则，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.11．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是．〖答案〗13〖解析〗∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故〖答案〗为：13.12．对于定义在非空集上的函数，若对任意的，当，有，则称函数为“准单调递增函数”,若函数的定义域，值域，则在满足这样条件的所有函数中，为“准单调递增函数”的概率是．〖答案〗〖解析〗若函数的值域为，则有1个函数，所以值域为单元素的函数有3个，若值域为，将定义域中的元素分组为3,3，则有个函数，将定义域中的元素分组为2,4，则有个函数，将定义域中的元素分组为1,5，则有个函数，则共有个函数，所以值域为双元素的函数共有个函数；若值域为，将定义域中的元素分组为1,2,3，则有个函数，将定义域中的元素分组为2,2,2，则有个函数，将定义域中的元素分组为1,1,4，则有个函数，则共有个函数，综上可知，共有个函数，其中，若函数为增函数，当值域为单元素集合，有3个函数，满足条件，当值域有2个元素，将元素1,2,3,4,5,6中间隔1块板，有5种方法，则有个函数，若值域有3个元素，则将元素1,2,3,4,5,6中间隔2块板，有种方法，即有10个函数，综上可知，为增函数的函数有个函数，所以为增函数的概率.故〖答案〗为：二、单选题13．已知直线、，平面、，满足且，则“”是“”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分条 C．充要 D．既非充分又非必要〖答案〗A〖解析〗因为，所以，又因为，所以，即“”是“”的充分条件；如图，在长方体中，设面为面、面为面，则，且与面不垂直，即“”不是“”的必要条件；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.14．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（）A．， B．，C．， D．，〖答案〗C〖解析〗根据频率分布条形图可知，，即；显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即；故选：C15．设，利用函数单调性比大小，可得（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗令，则，当时，在上单调递减，又，所以在上恒成立，所以，即，因为，所以，又，所以，即，又，所以，因为，所以，所以，所以，所以.故选：B.16．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面直角坐标系中，把与定点、距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，记为曲线.关于曲线，有下列两个命题：①曲线上的点的横坐标的取值范围是；②若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为.则（

）A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题C．①为真命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题〖答案〗B〖解析〗对于①：由伯努利双纽线的定义可知，曲线C的方程为:，化简得，设，则方程化为设上述方程的两个根为,则至少有一个大于等于0则需有由于，，解得，①为假命题；对于②：直线与曲线一定有公共点，若直线与曲线只有一个交点，将代入曲线方程中得，方程无非零解，即无实数解，故有，所以，解得或，故②为真命题.故选：B.三、解答题17．在中，、、分别是内角、、的对边，，，.(1)求的值；(2)求的值.解：(1)由余弦定理知，即，整理得，解得或（舍负），故.(2)∵，且，∴，由正弦定理知，即，得，∴.18．如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，分别为棱和棱的中点．(1)求证：面面；(2)求二面角的余弦值大小．(1)证明：为棱中点，为正三角形，.又三棱柱是直三棱柱，面，又面，，而平面，面，面，面面；(2)解：由(1)得面，面，，是二面角的平面角，在中，二面角的余弦值为．

方法二：以为原点，建立直角坐标系如图：则，，，设平面、平面的法向量分别为，，可以是可以是，二面角的余弦值为．19．生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜