2024届江苏省百校大联考高三上学期二模数学试题及答案

江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。选择题部分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ−1.已知复数z满足z(1+i)=1-3i,则复数z的共轭复数z的模长为(ꢀꢀ)A.2B.3C.2D.512.已知集合M={x|<-1},N={x|lnx<1},则M∪N=(ꢀꢀ)푥-1A.(0,1]B.(1,e)C.(0,e)D.(-∞,e)3.已知平面向量a=(-2,1),c=(2,t),则“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的(ꢀꢀ)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件π4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,A(,0),B(12,-1),则f(x)的解析式23是(ꢀꢀ)πA.f(x)=sin(x+)6πB.f(x)=sin(x-)6πC.f(x)=sin(2x+)3πD.f(x)=sin(2x-)65.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x,y,记A事件为“C>C”푥푦8,则8P(A)=(ꢀꢀ)11B.113365A.C.D.363126.若直线y=ax+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则2a+b的最小值为(ꢀꢀ)A.2ln2B.ln21C.ln2D.1+ln227.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C过点P(1,-2),过点F的直线与抛物线C交于两点,A1,B1分别为A,B两点在抛物线C准线上的投影,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是(ꢀꢀ)A.线段AB长度的最小值为2B.△AFB的形状为锐角三角形11C.A,O,B1三点共线D.M的坐标不可能为(3,-2)8.设数列{a}的前n项和为S,且S+a=1,记b为数列{a}中能使a≥2푚+1(m∈N*)成立的最小nnnnmnn项,则数列{bm}的前2023项和为(ꢀꢀ)A.2023×2024B.22024-13113C.6-D.-27228二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则以下说法正确的是(ꢀꢀ)A.f(0)=0B.f(x)的一个周期为2C.f(2023)=1D.f(5)=f(4)+f(3)푥2푦2푎2푏210.双曲线C:-=1a>0b>0(,ABO),左、右顶点分别为,,为坐标原点,如图,已知动直线与双曲l线C左、右两支分别交于P,Q两点,与其两条渐近线分别交于R,S两点,则下列命题正确的是(ꢀꢀ)A.存在直线l,使得AP∥ORB.l在运动的过程中,始终有|PR|=|SQ|C.若直线l的方程为y=kx+2,存在k,使得S△ORB取到最大值D.若直线l的方程为y=-2(x-a푅푆=2푆퐵),C,则双曲线的离心率为3211.在平行六面体ABCD-ABCD中,AB=AA=2,AD=1,∠BAD=∠BAA=∠DAA=60°,动点P在直线1111111CD1上运动,以下四个命题正确的是(ꢀꢀ)A.BD⊥APB.四棱锥P-ABBA的体积是定值11C.若M为BC的中点,则퐴1B=2퐴푀-퐴퐶1D.푃퐴·푃퐶的最小值为-1412.已知函数f(x)=a(ex+a)-x,则下列结论正确的有(ꢀꢀ)A.当a=1时,方程f(x)=0存在实数根B.当a≤0时,函数f(x)在R上单调递减C.当a>0时,函数f(x)有最小值,且最小值在x=lna处取得3D.当a>0时,不等式f(x)>2lna+恒成立2非选择题部分三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[0,2]上有解,则实数a的取值范围是ꢀꢀ▲ꢀꢀ.9114.已知{a}是递增的等比数列,且满足a=1,a+a+a=,则a+a+a=ꢀꢀ▲ꢀꢀ.n3135468915.如图,若圆台的上、下底面半径分别为r,r,且rr=3,则此圆台的内切球(与圆台的上、下1212底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为ꢀꢀ▲ꢀꢀ.16.设a>0,已知函数f(x)=ex-aln(ax+b)-b,若f(x)≥0恒成立,则ab的最大值为ꢀꢀ▲ꢀꢀ.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)1―cos퐴sin퐴sin2퐵锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=.1+cos2퐵푎(1)证明:cosB=.2푏푎(2)求的取值范围.푏18.(12分)受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒,已知这三个市的人口数之比为4∶6∶10,现从这三个市中任意选取一个人.(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率;(2)若此人感染支原体肺炎病毒,求他来自甲市的概率.19.(12分)设数列{a}的前n项和为S,已知a=3,2S=3a-3.nn1nn(1)证明数列{an}为等比数列;32k)(S2a)nkkan12(2)设数列{a}的前n项积为T,若n对任意n∈N*恒成立,求整nnlog3kk1数λ的最大值.20.(12分)设椭圆푥+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,A,右焦点为F,已知=3.퐴F퐹퐴12122푦2푎2푏2(1)求椭圆的离心率.(2)已知椭圆右焦点F的坐标为(1,0),P是椭圆在第一象限的任意一点,且直线A2P交y轴于点Q.若△APQ的面积与△AFP的面积相等,求直线AP的斜率.12221.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,平面PAD⊥平面ABCD,平面PCD⊥平面ABCD.(1)证明:PD⊥平面ABCD.(2)若PD=AD,M是PD的中点,N在线段PC上,求平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围.22.(12分)1已知函数f(x)=xlnx-ax(a>0).22(1)若函数f(x)在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;1(2)若函数f(x)有两个极值点x,x(x<x),证明:xx>.121212푎江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷参考答案1.Dꢀ【解析】法一:因为z(1+i)=1-3i,―1-3i(1-3i)(1-i)1-3-4i所以z====-1-2i,所以|z|=|z|=5,故选D.1+i(1+i)(1-i)2―法二:两边取模|z(1+i)|=|1-3i|,得|z|·|1+i|=|1-3i|,所以|z|=|z|=5,故选D.1푥2.Cꢀ【解析】解不等式<-1,即<0,所以0<x<1,即M=(0,1),由lnx<1,得0<x<e,所以푥-1푥-1N=(0,e),所以M∪N=(0,e),故选C.3.Cꢀ【解析】a=(-2,1),c=(2,t).若a∥c,t×(-2)=2×1,得t=-1,此时a与c互为相反向量;若a·c=(-2)×2+t=t-4>0,得t>4,此时向量a与c的夹角为锐角.故“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的充要条件,故选C.4.Cꢀ【解析】由图象知T=4×(2-3)=π,故ω=2.7π7π7ππ将(12,-1)代入解析式,得sin(+φ)=-1,所以+φ=-+2kπ,k∈Z,662πππ又|φ|<,即φ=,所以f(x)=sin(2x+).故选C.2335.Cꢀ【解析】抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件;当x=2时,y=1满足;当x=3时,y=1,2,6满足;当x=4时,y=1,2,3,5,6满足;13当x=5时,y=1,2,6满足;当x=6时,y=1满足.总共有13种满足题意,所以P(A)=,36故选C.1푎=,126.Bꢀ【解析】设切点为(x,lnx),y'=,则푥得b=lnx-1,∴2a+b=+lnx-1.设00푥000푥푎푥+b=ln푥,000221푥-2푥2f(x)=+lnx-1(x>0),f'(x)=-+=,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,푥푥2푥∴f(x)min=f(2)=ln2,∴2a+b的最小值为ln2.7.Cꢀ【解析】因为抛物线C过点P(1,-2),所以抛物线C的方程为y2=4x,线段AB长度的最小值为通径2p=4,所以A错误;由定义知AA=AF,AA∥x轴,所以∠AFA=∠AAF=∠AFO,同理∠BFB=∠BFO,所以∠AFB=90°,111111111所以B错误;设直线与抛物线C交于AB:x=my+1,联立抛物线,得y2-4my-4=0,设(,),(,),则AxyBxyy·y=-112212푦44,kOA=푥1==-y,因为B(-1,y),所以푘푂퐵1=-y2=kOA,A,O,B1三点共线,所以C正确;212푦11푦1+푦设AB的中点为M(x,y),则y=2=2m,x=my+1=2m2+1,取m=-1M3-2,(,),所以错误故D.000002选C.118.Dꢀ【解析】当n=1时,a=,由Sn+1+an+1=1,得2an+1-a=0,∴a=,显然{a}递减,要使得a最1nnnn푛221112小,即要使得n最大,令≥,得2n≤2m+1.若,则m=1n≤1b=a=,;若2≤m≤3,则11푛2푚+12111n≤2,b=a=;若4≤m≤7,则n≤3,b=a=;若8≤m≤15,则n≤4,b=a=;…;若1024≤m≤2047,m2m3m4481611111112则n≤11,b=a=.∴T=b=,T=b+(b+b)=+=1,T=b+(b+b)+(b+b+b+b)=++m11113123712345672112222231111124113=,…,∴T=11×=,∴T2023=-=-28,故选D.2204722222119.ABDꢀ【解析】f(x)是R上的奇函数,因此f(0)=0,A正确;由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2),所以2是它的一个周期,B正确;f(2023)=f(2×1011+1)=f(1),而f(1)=0,C错误;f(4)=f(0)=0,f(5)=f(3),因此f(5)=f(4)+f(3),D正确.故选ABD.10.BDꢀ【解析】A选项,与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点,故A错误;B选项,易证明线段PQ与线段RS的中点重合,故B正确;C选项,当k越来越接近渐近线的斜率时,S△ORB会趋向于无穷,不可能有最大值,故C错误;푎2푎푏푏D选项,联立直线l与渐近线y=x,解得S(,),푎2b+a2b+a푎2푎푏푏联立直线l与渐近线y=-x,解得R(,),由题可知,푅푆=2푆퐵,푎2b+a2b-a-所以y-y=2(y-y),即3y=y+2y,SRBSSRB3푎푏푎푏=,解得b=a,所以e=,故D正确.故选BD.232b+a2b-a11.BCDꢀ【解析】对于A,假设BD⊥AP,则BD⊥平面ACD,因为AC⊂平面ACD,所以BD⊥AC,11则四边形ABCD是菱形,AB=AD,A不正确;对于B,由平行六面体ABCD-ABCD得CD∥平面ABBA,所以四棱锥P-ABBA的底面积和111111111高都是定值,所以体积是定值,B正确;1对于C,퐴퐶=퐴퐵+퐴퐷+퐴퐴,퐴푀=퐴퐵+퐴퐷,故2퐴푀-퐴퐶=퐴퐵-퐴퐴=퐴B,故C正确;112111对于D,设푃퐶=λ퐷1C,·=(++)·푃퐴푃퐶푃퐶퐶퐵퐵퐴푃퐶=(λ--)·λ=(λ--)·λ퐷C퐴퐷퐴퐵퐷1C퐴B퐴퐷퐴퐵퐴B111=(λ-λ--)·(λ-λ)퐴퐵퐴퐴퐴퐷퐴퐵퐴퐵퐴퐴11=λ(λ-1)|퐴퐵|2-λ2·-λ·-λ(λ-1)퐴퐵퐴퐴1+λ2|퐴퐴1·|2+λ·퐴퐴퐴퐵퐴퐷퐴퐵퐴퐷퐴퐴11=λ(λ-1)|퐴퐵|2-(2λ2-λ)·-λ퐴퐴퐴퐵퐴퐷퐴퐵+λ2|퐴퐴1·|2+λ·퐴퐷퐴퐴11=λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos60°-λ×2cos60°+4λ2+λ·2cos60°111=4λ2-2λ=(2λ-)2-≥-,24411当且仅当λ=时,等号成立,所以푃퐴·푃퐶的最小值为-,故D正确.故选BCD.4412.BDꢀ【解析】对于A,因为a=1,所以方程f(x)=0即ex+1-x=0,又ex≥x+1>x-1,所以ex+1-x>0恒成立,所以方程f(x)=0不存在实数根,所以A错误.对于B,因为f(x)=a(ex+a)-x,定义域为,所以f'(x)=aex-1R,当a≤0时,由于ex>0,则,故()aex≤0f'x=aex-1<0恒成立,所以f(x)在R上单调递减,所以B正确.对于C,由上知,当a>0时,令f'(x)=aex-1=0,解得x=-lna.当x<-lna时,f'(x)<0,则f(x)在(-∞,-lna)上单调递减;当x>-lna时,f'(x)>0,则f(x)在(-lna,+∞)上单调递增.当a>0时,f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增.所以函数f(x)有最小值,即最小值在x=-lna处取得,所以C错误.),对于D,由上知f(x)min=f(-lna)=a(e-lna+a+lna=1+a2+lna32+lna>2lna+31要证f(x)>2lna+,即证1+a,即证a2--lna>0恒成立,222112令g(a)=a2--lnaa>0(g'a=2a-=2푎-1.),则()2푎푎令g'(a)<0,则0<a<2;令(),则g'a>0a>2.22所以g(a)在(0,2)上单调递减,在(,2+∞)上单调递增,22所以g(a)min=g()(2=2-1-ln2=ln>0ga>0恒成立,)2,则()222223所以当a>0时,f(x)>2lna+恒成立,D正确.综上,故选BD.22푥푥2+113.(-∞,1]ꢀ【解析】因为x∈[0,2],所以由ax2-2x+a≤0,得a≤,2푥푥2+1因为关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[,]上有解,所以只需小于或等于02a的最大值,2푥푥2+12푥푥2+12当x=0时,=0,当x≠0时,=≤1,当且仅当x=1时,等号成立,1푥푥+2푥푥2+1所以的最大值为1,故a≤1,即实数a的取值范围是(-∞,1].故答案为(-∞,1].푎14.273ꢀ【解析】设公比为q,a+a+a=3+a+aq2=,解得q2=9或,因为{a}递增,所以q=3,91113533n2푞99919则a+a+a=(a+a+a)q3=×33=273.故答案为273.46813515.12πꢀ【解析】设圆台上、下底面圆心分别为O,O,则圆台内切球的球心O一定在OO2121的中点处,设球O与母线AB切于M点,∴OM⊥AB,∴OM=OO=OO=R(R为球O的半12径),∴△AOO与△AOM全等,∴AM=r,同理BM=r,112∴AB=r+r,∴O2=(r+r)2-(r-r)2=4rr=12,∴OO=21푂121212123,122∴圆台的内切球半径R=3,∴内切球的表面积为4πR2=12π.故答案为12π.e16.ꢀ【解析】f(x)≥0⇔ax+ex≥aln(ax+b)+(ax+b),设g(x)=alnx+x,易知g(x)在(0,+∞)上递增,且2g(ex)=alnex+ex=ax+ex,故f(x)≥0⇔g(ex)≥g(ax+b)⇔ex≥ax+b.法一:设y=e在点P(x,e푥0)处的切线斜率为,exa푥0=ax=lna,即,00切线l:y=ax+a(1-lna),由ex≥ax+b恒成立,可得(),b≤a1-lna∴ab≤a21-lna(),设()ha=a21-lnaa>0(),,1121212eh'(a)=2a(-lna),当a∈(0,)时,h'(a)>0,当a∈(,+∞)时,h'(a)<0,∴h(a)=h()=,∴ab的最大eeemax22ee值为.故答案为.22法二:设h(x)=e,()x-ax-bh'x=ex-a,当x∈(-∞,lna)时,h'(x)<0,当x∈(lna,+∞)时,h'(x)>0,∴h(x)min=h(lna)=a(1-lna)-b≥0,即有b≤a(1-lna),∴ab≤a2(1-lna),下同法一.1-cos퐴sin퐴sin2퐵2sin퐵cos퐵sin퐵17.【解析】(1)证法一:因为===,1+cos2퐵2cos2Bcos퐵所以(1-cosA)·cosB=sinA·sinB,..............................................................................................................2分所以cosB=cosAcosB+sinAsinB,即cos(A-B)=cosB,πππ而-<A-B<,0<B<,所以A-B=B,即A=2B,..........................................................................................4分222所以sinA=sin2B=2sinBcosB.由正弦定理得a=2bcosB,即cosB=..................................................................................................5分푎2푏2퐴22sincos퐴퐴2sin퐴sinsin1-cos퐴sin퐴sin2퐵sin2퐵证法二:由=퐴=2=2,所以2=,퐴2퐴2cos1+cos2퐵cos1+cos2퐵2퐴퐴即sin·(1+cos2B)=cos·sin2B,22퐴퐴퐴퐴所以sin=sin2B·cos-cos2B·sin=sin(2B-),2222πππ又0<A<,0<B<且A+B>,222퐴퐴퐴퐴π所以=2B-或+(2B-)=2B=π,所以A=2B或B=(与锐角△ABC不合,舍去).22222푎综上知,A=2B.所以sinA=sin2B=2sinBcosB,由正弦定理得a=2bcosB,即cosB=.2푏ππ(2)由上知A=2B,则C=π-A-B=π-3B,在锐角△ABC中,<B<,.......................................................7分64푎sin퐴sin2퐵2sin퐵cos퐵=由正弦定理,得===2cosB∈(2,3),...............................................................9分푏sin퐵sin퐵sin퐵푎所以的取值范围是(2,3).....................................................................................................................10分푏18.【解析】(1)记事件D:选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件E:此人来自甲市,记事件F:此人来自乙市,记事件G:此人来自丙市..................................................................................................1分Ω=E∪F∪G,且E,F,G彼此互斥,4610由题意可得P(E)==0.2,P(F)==0.3,P(G)==0.5,202020P(D|E)=0.08,P(D|F)=0.06,P(D|G)=0.04,..................................................................................................3分由全概率公式可得P(D)=P(E)·P(D|E)+P(F)·P(D|F)+P(G)·P(D|G)=0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04=0.054,.................5分所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054..........................................6分푃(퐷퐸)푃(퐸)·푃(퐷|퐸)0.2×0.088(2)由条件概率公式可得P(E|D)====.................................................11分푃(퐷)푃(퐷)0.054278所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为.........................................................12分2719.【解析】(1)因为2S-3a+3=0,①nn当n≥2时,2S-3a+3=0,②..................................................................................................................2分n-1n-1푎①-②得a=3a(n≥2),即푛=3(n≥2),nn-1푎푛-1所以数列{an}是首项为3,公比为3的等比数列..................................................................................4分푛푛+1(2)由(1)知a=3,所以nS=3(1-3)=3n-3,n1-32푛(푛+1)2T=aaa…a=3×32×33×…×3n=31+2+3+…+n=,...........................................................................6分3n123n푘+1푛3푛3-3-2·3푘+32(1-2푘)(푆-2푎+)(1-2푘)()所以ꢀ푘푘2=ꢀ2푘(푘+1)2log3푇푘푘=1푘=1log33푛ꢀ푘=1푘푛ꢀ푘=1푛푘+1푘푛+1=(2푘-1)3=(3-3)=3-3>휆·3对任意n∈N*恒成立,..................................................8分푘(푘+1)푘+1푘푛+1푛+1푛+13푛-1故λ<3-恒成立,....................................................................................................................................9分푛+13푛-1푛+2,则f(n+1)-f(n)=3-3푛푛+12푛+1令f(n)=3--(3-)=>0,...............................................................11分3푛-13푛所以数列{f(n)}单调递增,所以f(n)min=f(1)=1,所以λ<1,故整数λ的最大值为0.........................12分33220.【解析】(1)由题可知,|AA|=2a,由=3퐴F퐹퐴21,所以||=3|퐹퐴2|,所以||=|AA|=a,퐴F퐴F12121143푐1푎2即a+c=a,所以椭圆的离心率e==....................................................................................................3分222(2)法一:由题意知,c=1,a=2,所以椭圆方程为푥+푦=1,43直线AP的斜率存在,设直线AP的斜率为k,22则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,设A到直线AP的距离为h,F到直线AP的距离为h,12122|-4푘|푘2+1|-푘|则h1=,h2=,............................................................................................................................5分푘2+111又푆△퐴1PQ=h·|PQ|,푆=h·|AP|,푆△퐴1PQ=푆△퐴2FP△퐴2FP2,1222|푃푄|ℎ1所以=2=............................................................................................................................................8分,|퐴2P|ℎ41428由图可得퐴P=퐴Q,又因为A(2,0),Q(0,-2k),所以P(,-k),............................................................10分2252559k=-32...................................................12分又P在椭圆上,代入椭圆方程解得k2=,因为k<0,所以84法二:由题意知,直线AP的斜率存在,设直线AP的斜率为k,则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,22푘푥-푦-2푘=0,联立푥2푦2消去y得到方程(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0,+=1,4316푘2-123+4푘22所以푥·x=,所以x=8푘-6......................................................................................................5,分分PP퐴3+4푘228푘2-6-12푘代入直线方程得P(,),(,),Q0-2k..........................................................................................723+4푘23+4푘푦1112=|AF|·y=푃,푆△퐴1PQ=푆-=·4·(-2k)-·4·y,푆푆2PP△퐴2FP22△푄퐴1퐴2△푃퐴1퐴225又因为푆△퐴1PQ=푆△퐴2FP,所以y=-4k,....................................................................................................10分P2所以5·-12푘23+4푘2=-4k,解得k2=,因为9k<0,所以k=-.........................................................................12分324821.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AD⊂平面ABCD,∴AD⊥平面PCD,∵PD⊂平面PCD,∴AD⊥PD,......................................................................................................................2分同理CD⊥PD.∵AD∩CD=D,AD⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PD⊥平面ABCD........................................................................................................................................4分(2)由(1)知AD⊥PD,CD⊥PD,AD⊥CD,∴DA,DC,DP两两垂直,如图,以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.设PD=AD=2,则D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,0,1).∵PD⊥平面ABCD,∴平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),.............................................................................................5分=λ(0≤λ≤1),∴퐶푁퐶푃퐵푀=(-2,-2,1),=(0,-2,2),퐶푃∴=+=+λ=(-2,0,0)+λ(0,-2,2)=(-2,-2λ,2λ),퐵푁퐵퐶퐶푁퐵퐶퐶푃设平面BMN的法向量为n=(x,y,z),퐵푀·푛=-2푥-2푦+푧=0,则取x=λ,则y=1-2λ,z=2-2λ,퐵푁·푛=-2푥-2휆푦+2휆푧=0,∴平面BMN的一个法向量为n=(λ,1-2λ,2-2λ)....................................................................................7分设平面BMN与平面ABCD的夹角为θ,푛·푚|2-2휆||2-2휆|则cosθ=|cos<n,m>|=|设t=1-λ,则0≤t≤1.|=2=,...........................................8分|푛||푚|22휆+(1-2λ)+(2-2λ)9휆2-12λ+5①当t=0时,cosθ=0..................................................................................................................................9分2|푡|푡21②当t≠0时,cosθ==2=212푡1푡9푡2-6t+22()-6×+99푡2-6t+21=22)+,]1푡32922[(2-当t=时,cosθ=,∴0<cosθ≤.......................................................................................................11分2222333综上,0≤cosθ≤22.∴平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围为[,分022..............12]3322.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx-ax+1,.........................................................................1分ln푥+1由题意,f'(x)≤0恒成立,即a≥恒成立,..........................................................................................2分푥ln푥+1-ln푥푥2设h(x)=,h'(x)=,푥当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)递减,......................................................3分∴h(x)max=h(1)=1,∴a≥1.................................................................................................................................4分(2)证法一:∵函数f(x)有两个极值点,由(1)可知0<a<1,设g(x)=f'(x)=lnx-ax+1,则x,x是g(x)的两个零点,12111∵g'(x)=-a,当x∈(0,)时,g'(x)>0,当x∈(,+∞)时,g'(x)<0,푥푎푎111∴g(x)在(0,)上递增,在(,+∞)上递减,∴0<x<<x,又∵g(1)=1-a>0,12푎푎푎1∴0<x<1<<x,.............................................................................................................................................6分12푎1111要证xx>,只需证