九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）第26章 二次函数全章复习与测试（原卷版）

第26章二次函数全章复习与测试【知识梳理】1.二次函数的概念解析式形如的函数；它的定义域为一切实数；2.二次函数的图像与性质对称轴顶点开口方向变化情况直线时，开口向上，顶点是最低点；时，开口向下，顶点是最高点；当时，抛物线在对称轴（直线）左侧的部分下降，在右侧上升；时，在对称轴左侧上升，在对称轴右侧下降.直线直线直线直线【考点剖析】一．二次函数的定义（共3小题）1．（2023•杨浦区一模）下列函数中，二次函数是（）A．y＝x+1 B．y＝x（x+1） C．y＝（x+1）2﹣x2 D．2．（2022秋•宝山区校级期末）如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数，那么m＝．3．（2022秋•黄浦区校级月考）已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3．则这个二次函数的表达式是．二．二次函数的图象（共2小题）4．（2022秋•徐汇区校级期末）如图所示的抛物线y＝x2﹣bx+b2﹣9的图象，那么b的值是．5．（2022秋•宝山区校级期末）如果二次函数y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是．三．二次函数图象与系数的关系（共7小题）6．（2022秋•浦东新区校级期末）如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（）A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜07．（2022秋•金山区校级期末）如果抛物线y＝（k﹣2）x2的开口向上，那么k的取值范围是．8．（2023•普陀区一模）如果二次函数y＝（x﹣m）2+k的图象如图所示，那么下列说法中正确的是（）A．m＞0，k＞0 B．m＞0，k＜0 C．m＜0，k＞0 D．m＜0，k＜09．（2023•虹口区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（）A．a＜0 B．b＜0 C．c＞0 D．abc＜010．（2022秋•嘉定区校级期末）如果抛物线y＝（a+2）x2+a的开口向下，那么a的取值范围是．11．（2023•徐汇区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，下列选项中正确的是（）A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜012．（2023•杨浦区一模）已知抛物线y＝ax2在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是．四．二次函数图象上点的坐标特征（共13小题）13．（2023•普陀区一模）下列函数图象中，与y轴交点的坐标是（0，1）的是（）A．y＝2x B．y＝2x﹣1 C．y＝2x2+1 D．y＝2（x+1）214．（2023•长宁区一模）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：x……﹣2﹣1012……y……﹣10﹣3﹣4﹣3……由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（）A．﹣3 B．﹣4 C．0 D．﹣115．（2022秋•徐汇区校级期末）下列各点中，在二次函数y＝x2﹣8x﹣9图象上的点是（）A．（1，﹣16） B．（﹣1，﹣16） C．（﹣3，﹣8） D．（3，24）16．（2023•徐汇区一模）已知点A（﹣3，m）、B（﹣2，n）在抛物线y＝﹣x2﹣2x+4上，则mn（填“＞”、“＝”或“＜”）．17．（2022秋•青浦区校级期末）已知点A（0，y1）、B（﹣1，y2）在抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）上，则y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．18．（2022秋•金山区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…m﹣3﹣2﹣3﹣6…那么m的值为．19．（2022秋•杨浦区校级期末）已知y是关于x的函数，若该函数的图象经过点P（t，﹣t），则称点P为函数图象上的“相反点”，例如：直线y＝2x﹣3上存在“相反点”P（1，﹣1）．若二次函数y＝x2+2mx+m+2的图象上存在唯一“相反点”，则m＝．20．（2022秋•黄浦区校级期末）如果二次函数y＝（m﹣1）x2+x+（m2﹣1）的图象过原点，那么m＝．21．（2022秋•青浦区校级期末）函数y＝2x2+4x﹣5的图象与y轴的交点的坐标为．22．（2023•青浦区二模）已知点M（﹣1，2）和点N都在抛物线y＝x2﹣2x+c上，如果MN∥x轴，那么点N的坐标为．23．（2023•崇明区一模）已知点A（2，y1），B（﹣3，y2）为二次函数y＝（x+1）2图象上的两点，那么y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．24．（2023•长宁区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）经过点（﹣1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．25．（2023•静安区校级一模）抛物线y＝（x+1）2﹣2与y轴的交点坐标是．五．二次函数图象与几何变换（共6小题）26．（2023•虹口区一模）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2+2x沿着y轴向下平移2个单位，所得到的新抛物线的表达式为．27．（2023•金山区一模）将抛物线y＝2（x+4）2向右平移3个单位，得到新抛物线的表达式是．28．（2023•松江区一模）把抛物线y＝x2+1向左平移2个单位，所得新抛物线的表达式是．29．（2023•宝山区一模）将抛物线y＝x2+3向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）A．y＝x2 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+330．（2022秋•金山区校级期末）若将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向下平移3个单位，则所得到的新抛物线表达式为．31．（2023•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点B．（1）求点A，B的坐标；（2）求b，c的值；（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．六．二次函数综合题（共9小题）32．（2023•静安区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴分别交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C，联结BC，点P在线段BC上，设点P的横坐标为m．（1）求直线BC的表达式；（2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D；①求新抛物线的表达式（用含m的式子表示），并写出m的取值范围；②过点P向x轴作垂线，交原抛物线于点E，当四边形AEDP是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式．33．（2023•长宁区二模）已知抛物线y＝ax2+2x+6与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，点D是抛物线上一点，直线BD恰好平分△ABC的面积，求点D的坐标；（3）如图2，点E坐标为（0，﹣2），在抛物线上存在点P，满足∠OBP＝2∠OBE，请直接写出直线BP的表达式．34．（2023•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）联结AC、BC，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果△ABD的面积与△ABC的面积相等，求点D的坐标；（3）设点P（m，4）（m＞0），点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当∠APE＝90°，且＝时，求点E的坐标．35．（2023•杨浦区三模）已知抛物线与x轴交于点A（3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），顶点为点D．（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）点P是线段AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，如果PE＝PB，求点P的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F在y轴上，且点F到直线EC、ED的距离相等，求线段EF的长．36．（2023•虹口区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3的顶点为A，与y轴相交于点B，异于顶点A的点C（2，n）在该抛物线上．（1）如图，点B的坐标为（0，1）．①求点A的坐标和n的值；②将抛物线向上平移后的新抛物线与x轴的一个交点为D，顶点A移至点A1，如果四边形DCAA1为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式；（2）直线AC与y轴相交于点E，如果BC∥AO且点B在线段OE上，求m的值．37．（2023•崇明区二模）如图．在直角坐标平面xOy中，直线y＝﹣x+5分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）抛物线与x轴的另一个交点为C，点在抛物线对称轴左侧的图象上，将抛物线向上平移m个单位（m＞0），使点M落在△ABC内，求m的取值范围；（3）对称轴与直线AB交于点E，P是线段AB上的一个动点（P不与E重合），过P作y轴的平行线交原抛物线于点Q，当PE＝QD时，求点Q的坐标．38．（2023•浦东新区模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣ax2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C（0，﹣3），且OA＝2OC．（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）求tan∠MAC的值；（3）如果点D在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD＝45°，求点D的坐标．39．（2023•普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线的表达式，并写出点D的坐标；（2）将直线BC绕点B顺时针旋转，交y轴于点E．此时旋转角∠EBC等于∠ABD．①求点E的坐标；②二次函数y＝x2+2bx+b2﹣1的图象始终有一．部分落在△ECB的内部，求实数b的取值范围．40．（2023•青浦区二模）如图，已知抛物线经过点B（6，0）和C（0，3），与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）将该抛物线向右平移m个单位（m＞0），点C移到点D，点A移到点E，若∠DEC＝90°，求m的值；（3）在（2）的条件下，设新抛物线的顶点为G，新抛物线在对称轴右侧的部分与x轴交于点F，求点C到直线GF的距离．

【过关检测】一．选择题（共6小题）1．抛物线y＝﹣x2+2x﹣4一定经过点（）A．（2，﹣4） B．（1，2） C．（﹣4，0） D．（3，2）2．在同一坐标系中，作y＝x2，y＝﹣x2，y＝x2的图象，它们的共同特点是（）A．抛物线的开口方向向上 B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大 C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小 D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点3．下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（）A．y＝3x2 B．y＝3x2+1 C．y＝3（x+1）2 D．y＝3x2﹣x4．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么a、b、c的取值范围是（）A．a＜0、b＞0、c＞0 B．a＜0、b＜0、c＞0 C．a＜0、b＞0、c＜0 D．a＜0、b＜0、c＜05．将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2﹣4 B．y＝2（x﹣1）2+3 C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2x2﹣36．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4ac﹣b2＜8a；④3a+c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共12小题）7．如果抛物线y＝ax2+2经过点（1，0），那么a的值为．8．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是．9．如果抛物线y＝﹣2x2+bx+c的对称轴在y轴的左侧，那么b0（填入“＜”或“＞”）．10．将抛物线y＝2x2+4绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为．11．若抛物线y＝ax2+bx+c的系数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则这条抛物线必经过点．12．如果抛物线y＝（k﹣1）x2+9在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是．13．将抛物线y＝2（x+2）2+2经过适当的几何变换得到抛物线y＝2x2﹣2，请写出一种满足条件的变换方法．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣mx+4与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点B，点A在抛物线上，点B关于点A的对称点D恰好落在x轴负半轴上，过点A作x轴的平行线交抛物线于点E．若点A、D的横坐标分别为1、﹣1，则线段AE与线段CB的长度和为．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为．16．已知二次函数y1＝x2+2x﹣3的图象如图所示．将此函数图象向右平移2个单位得抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为．17．如图，在平面直角坐标系中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心．函数y＝（x﹣h）2的图象与正方形ABCD有公共点，则h的取值范围是．18．如图，正方形OABC和矩形CDEF在平面直角坐标系中，CD＝2DE，点O、C、F在y轴上，点A在x轴上，O为坐标原点，点M为线段OC的中点，若抛物线y＝ax2+b经过M、B、E三点，则的值等于．三．解答题（共7小题）19．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）在网格中，画出该函数的图象．（2）（1）中图象与x轴的交点记为A，B，若该图象上存在一点C，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．20．将抛物线y＝先向上平移2个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（﹣1，4），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．21．抛物线y＝x2﹣2x+c经过点（2，1）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB＝2，求新抛物线的表达式．22．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y＝a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．（1）求平移后抛物线的解析式；（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．23．我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．（1）求抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”