高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：02 空间向量及其运算的坐标表示（学生版+解析版）

专题02空间向量及其运算的坐标表示

一、单选题

1.(2019•黑龙江省牡丹江一中高二期中)已知向量万=(1,—2,1),万—B=(—1,2,—1),则向量5=()

A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)

C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)

2.(2020•南京市秦淮中学高二期末)已知向量2=(3,2,x),向量6=(2,0,1),若£,石，则实数》=()

A.3B.-3C.6D.-6

3.(2019•湖南省衡阳县江山学校高二月考)若向量a=(0,1,—1),5=(1,1,0),S.(a+Ab)1a,则实数X的

值是()

A.-1B.0C.-2D.1

4.(2019•浙江省宁波市郸州中学高二月考)已知空间向量£=(1,〃,2),^=(-2,1,2),若22—B与B垂直，

r

则。等于()

A.在B.空C.也D.叵

2222

5.(2019.佛山市荣山中学高二期中)已知％=(2,—1,2),石=(T,2,x),且£/区，贝()

A.-4B.-5C.5D.-2

6.(2019•湖北省沙市中学高二月考)若万=(1—根,2m—1,0),5=(2,上,加)，则，一万|的最小值是()

A.亚B.76C.V2D.73

7.(2019・南郑中学高二期末)在空间直角坐标系中，点A(2,-1,3)关于平面％Oz的对称点为3,则

OAOB=()

A.-10B.10C.-12D.12

8.(2019•陕西省西北农林科技大学附中高二期末)已知向量£=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正

确的是()

A.a+b=(10,-5,-6)B.〃—=(2,—1,—6)

c.a-b^lQD.同=6

9.（2017.陕西省西安中学高二期中）已知£=（2,—1,3）,g=（-l,4,-4）,"=（7,7,2）,若人人Z三个

向量共面，则实数4=（）

A.3B.5

C.7D.9

10.（2020•北京交通大学附属中学高二月考）如图，在边长为2的正方体ABC。-A51GA中，E为3C的

中点，点P在底面ABCD上移动，且满足则线段与P的长度的最大值为（）

A.年B.2C.272D.3

二、多选题

11.（2019•晋江市南侨中学高二月考）已知向量a=（1,1,0）,则与公共线的单位向量。=（）

A.（一等「等，0）B.（0,1,0）

C.（乌乌0）D.（1,1,1）

22

12.（2020•南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量Z=（%,%,zj,b=（x2,y2,z2）,以下说法错误

的有（）

A.若-工人则西々+%%+ZZ2=0

B.若;〃力，则％=&=，

42%Z2

c.cos（痴>=,=+平+2

｛片+y；+2；.Jx；+y；+z；

D-若%=%=Z]=1,则a为单位向量

13.（2020•辽宁省高二期末）若7=（—1,4—2）,5=（2,—1,1）,£与石的夹角为120°,则；I的值为（）

A.17B.-17C.-1D.1

三、填空题

14.（2019•佛山市荣山中学高二期中）已知2=（—3,2,5）,石则£名=.

15.（2020•浙江省高二期末）已知向量、（1,2,2）-b=（2,%,-1），则口=;若万，6，则*=

16.（2020•贵州省铜仁第一中学高二开学考试）已知打=（1,1,0）,5=（0,1,1）,c=（1,0,1）,p^a-b,

q^a+2b-c,则力q=.

17.（2020•黑龙江省黑龙江实验中学高三期末）如图，棱长为2的正方体ABC。-A4G2中，"是棱A/

的中点，点P在侧面内，若2P垂直于CM,则APBC的面积的最小值为.

18.（2020•宁夏回族自治区宁夏育才中学高二期末）已知a=（2,—1,3）,石=（<2,尤），c=（l,-x,2）.

（1）若£/区,求了的值；

（2）若+求x的值.

19.（2019•甘肃省静宁县第一中学高二期末）已知向量题=（1,1,1）,AC=（1,2,-1）,AD=（3,j,l）.

（1）若AO1.AC,求y的值；

（2）若A、B、C、。四点共面，求y的值.

20.（2019•北京高二期末）已知向量£=（—2,—1,2）,S=（-1,1,2）,c=（x,2,2）.

（I）当|）|=2四时，若向量左Z+B与之垂直，求实数％和左的值；

（II）若向量2与向量Z，B共面，求实数X的值.

21.（2019•新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）已知空间三点

A（-2,0,2）,B（-1,1,2）,C（-3,0,4）,设"AB,b=AC.

（1）求公和石的夹角。的余弦值;

（2）若向量左£+B与心—25互相垂直，求左的值.

22.(2019•建瓯市第二中学高二月考)已知向量4=(1,2,—2).

(1)求与2共线的单位向量B；

(2)若日与单位向量T垂直，求机，〃的值.

23.(2019•佛山市荣山中学高二期中)已知空间中三点4(2,0,—2),C(3,0,T),设£=而，

b=AC-

(1)若，=3,且c11BC，求向量c；

(2)己知向量左Z+B与B互相垂直，求左的值；

(3)求AA3C的面积.

专题02空间向量及其运算的坐标表示

一、单选题

1.(2019•黑龙江省牡丹江一中高二期中)已知向量万=(L—2,1),万—5=(—1,2,—1),则向量,=()

A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)

C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)

【答案】A

【解析】

由已知可得B=(L—2,1)—(—1,2,-1)=(2,T2).

故选：A.

2.(2020•南京市秦淮中学高二期末)已知向量£=(3,2,尤)，向量后=(2,0,1),若£_13，则实数了=()

A.3B.-3C.6D.-6

【答案】D

【解析】

a=(3,2,九)，Z?=(2,0,1),a.Lb>,'.ct-b=6+x=0,解得x=-6.

故选：D.

3.(2019•湖南省衡阳县江山学校高二月考)若向量a=(0,L—l),5=(l,l,0)，&(a+Ab)±a,则实数彳的

值是()

A.-1B.0C.-2D.1

【答案】C

【解析】

由已知a+Ab-(0,1,—1)+A(l,1,0)=(A,1+A,—1),

由(a+J_a得:(a+九b)-a=(A,1+A,—V)■(0,1,—1)=1+4+1=0>

A=-2,

故选：C.

4.(2019•浙江省宁波市郸州中学高二月考)已知空间向量2=(1,",2),3=(—2,1,2),若2之一看与A垂直,

r

则。等于()

&3小R5后「国V21

A.---D.-----C.----nU.----

2222

【答案】A

【解析】

由空间向量％=2),B=(—2,1,2),若2Z—B与B垂直，

则(2Z—母出=0,

即23=片，

即2〃+4=9,

即〃=3,

2

[ipa=f1,—,2j,

故选：A.

5.(2019・佛山市荣山中学高二期中)已知2=(2,—1,2),B=(Y,2,X),且Z/贬，则％=()

A.-4B.-5C.5D.-2

【答案】A

【解析】

因为2=(2,-1,2),5=(-4,2,x),且"//1,

所以存在实数丸，使得石=/£，

-4=22，

4=—2

即｛2=-4解得《

-cx=-4

x=221

故选：A

6.(2019•湖北省沙市中学高二月考)若值=(1一加,2加一1,0),5=(2,加,加)，则归一目的最小值是()

A.正B.76C.y/2D.g

【答案】C

【解析】

b-a=(m+1,1-m,tn),所以忸一@=J(7“+1)?+(1_加y+:由=43ml+22夜,故选C

7.(2019・南郑中学高二期末)在空间直角坐标系中，点A(2,-1,3)关于平面工。的对称点为3,则

OAOB=()

A.-10B.10C.-12D.12

【答案】D

【解析】

由题意，空间直角坐标系中，点A(2,-1,3)关于平面工。的对称点5(2,1,3),

所以西=(2,-1,3),/=(2,1,3),则西・9=2*2+(-1)>1+3>3=12,故选D.

8.(2019•陕西省西北农林科技大学附中高二期末)已知向量2=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正

确的是()

A.a-\-b=(10,-5,-6)B.a—b=(2,—1,-6^

c.a-b^lGD.同=6

【答案】D

【解析】

因为£=(4,—2,—4),1=(6,—3,2)

所以a+Z?=(10,—5,—2),a—b=(―2』,一6),〃为=4x6+(—2)x(—3)+(—4)x2=22

问=^42+(-2)2+(-4)2=6

故选：D

9.(2017•陕西省西安中学高二期中)已知2=(2,—1,3),g=(-l,4,-4),?=(7,7,2),若入石、工三个

向量共面，则实数2=()

A.3B.5

C.7D.9

【答案】A

【解析】

a=（2,—1,3）,b=（—1,4,—4）,c=（7,7,l）,£、B、"三个向量共面,

二.存在实数相，几，使得。=根〃+成?，即有：

7=2m-n

<7=-m+4n,

2=3m-4n

解得m=5,〃=3,

.・.实数4=3x5—4x3=3.

故选：A.

10.（2020.北京交通大学附属中学高二月考）如图，在边长为2的正方体AB。。-A耳GA中，石为5。的

中点，点P在底面A5CD上移动，且满足男。，。区，则线段与P的长度的最大值为（）

A.B.2C.2&D.3

【答案】D

【解析】

如下图所示，以点。为坐标原点，DA>DC、所在直线分别为x、V、z轴建立空间直角坐标系

D-xyz,

则点4（2,2,2）、2（0,0,2）、£（1,2,0）,设点尸（羽y,0）（0KxW2,0VyW2）,

扉=(1,2,-2),即=(x-2,k2,-2),

:D】E工BF,二开•屏=x—2+2(y—2)+4=x+2y—2=0,得x=2—2y,

0<x<210<2-2y<2

由<得<得0«y<l,

l0<y<2l0<y<2

...丽=7(x-2)2+(y-2)2+4=J5y2—4y+8,

vO<y<l,当y=l时，|瓦耳取得最大值3.

故选：D.

二、多选题

11.（2019•晋江市南侨中学高二月考）已知向量斤=（1,1,0）,则与£共线的单位向量e=（

B.(0,1,0)

D.(1,1,1)

【答案】AC

【解析】

设与z共线的单位向量为&所以£=我，因而同=|词=囚，得到2Tq.

故）=土百，而忖=&TT=Ji,所以"=（¥,*,0）或"=

故选：AC.

12.（2020•南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量Z=（%]，x，Z]）,b=（x2,y2,z2）,以下说法错误

的有（）

A.若£_1石，则石9+%为+2理2=0

」1i%XZ]

B.右allb，则—=J=—

%%Z2

C.cos<Z,心—―+JV+”

+y；+z；,Jx；+£+z；

D.若石=%=Z]=1,则〃为单位向量

【答案】BD

【解析】

对于A选项，因为£_L心，则Q・B=EX2+Xy2+ZiZ2=0，A选项正确;

1i%

对于B选项，若％2=0,且%。0，Z2。。，若a〃b，但分式」无意义，B选项错误；

X2

对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos<a]>=/2-2I，22，C选项正确;

Jx；+y；+z；F%+y；+z；

对于D选项，若X]=%=Z1=1,则同=4+12+]2=也,此时，Z不是单位向量，D选项错误.

故选：BD.

13.（2020.辽宁省高二期末）若。=（—1",—2）,5=（2,—1,1）,£与万的夹角为120。，则2的值为（）

A.17B.-17C.11D.1

【答案】AC

【解析】

由已知£力=_2_2_2=_；1_4，同=a+方+4=A/5+22,W=V4+1+1=底,

a-b__2-41

cos120°,，解得几=17或％=—1,

。同A/5+22-V6

故选：AC.

三、填空题

14.(2019•佛山市荣山中学高二期中)已知2=(—3,2,5),B=(l,5,—1),则.

【答案】2

【解析】

•.•£=(-3,2,5),^=(1,5,-1)

(£1)=—3xl+2x5+5x(-1)=2

故答案为：2

15.(2020・浙江省高二期末)已知向量;=(1,2,2)，b=(2,羽-1)，则同=;若万，3，则％=

【答案】30

【解析】

:向量a=(1,2,2)，b=(2,%,-1)，

/.|a|=71+4+4=3.

若万，5,则无石=2+2x—2=0，解得x=0.

故答案为：3,0.

16.(2020•贵州省铜仁第一中学高二开学考试)已知乙=(1/,0)，5=(0,1,1),c=(1,0,1),p^a-b,

q^a+2b-c,则力•[=.

【答案】-1

【解析】

依题意p=fl-S=(l,0,-1),^=(0,3,1)>所以p•“=0+0-1=-L

故答案为：-1

17.(2020•黑龙江省黑龙江实验中学高三期末)如图，棱长为2的正方体ABC。-中，"是棱A4

的中点，点P在侧面A5与4内，若2P垂直于CM,则AP5C的面积的最小值为.

以。点为空间直角坐标系的原点，以。C所在直线为y轴，以。A所在直线为X轴，以。2为Z轴，建立

空间直角坐标系.则点P(2,y,z),D,(0,0,2),

所以郎=(2,yz—2).

因为C(0,2,0),M(2,0,1),所以两'=(2,—2,1),

因为印，两，所以4—2y+z—2=0,所以2=2y—2,

因为B(2,2,0),所以丽=(0,y—2,z),

所以忸尸|=7(J-2)2+Z2="V-2y+(2y-2)2=12y+8

因为0Ky«2,所以当y=g时，忸PL=g店.

因为8sBp，所以⑸曲焉=；X2X孚=孚•

故答案为：正.

5

四、解答题

18.(2020.宁夏回族自治区宁夏育才中学高二期末)已知2=(2,—1,3),B=(T,2,X),C=(1,-X,2).

(l)若Z/区，求X的值；

(2)若(£+B)_LZ,求X的值.

【答案】(1)-6；(2)-4.

【解析】

⑴B=4〃，

22=—4

—A=2,

x=3A

••x——6.

(2)〃+/?=(—2,1,3+x)9

(a+B)_Lc,

，(a+B)•c=0,

-2—x+2(3+x)-0,

."•%=-4.

19.(2019•甘肃省静宁县第一中学高二期末)已知向量题=(1,1,1)，AC=(1,2,-1),AD=(3,y,l).

(1)若AOLAC,求了的值；

(2)若A、B、C、。四点共面，求y的值.

【答案】(1)y=—1；(2)y=4.

【解析】

(1)AD1AC,得而，二通.恁=0，

(3,y,1)-(1,2,-1)=0,3+2y-1=0,解得y=-l；

(2)由4、B、C、。四点共面，得三2,使得，AD=AAB+juAC,

X+〃=3

.•.2(l,l,l)+//(l,2,-l)=(3,y,l),:.<A+2ju=y,解得y=4.

4—//=1

20.(2019*北京高二期末)已知向量£=(—2,—1,2),5=(-1,1,2),c=(x,2,2).

(I)当|)|=2血时，若向量左Z+B与2垂直，求实数％和女的值；

(II)若向量"与向量Z，B共面，求实数%的值.

【答案】(I)实数x和左的值分别为。和—3.(II)--

2

【解析】

(I)因为|N=2J5,所以J7百万=20-x=0•

且历+B=(一2左—1,1—忆2左+2).

因为向量上Z+B与之垂直，

所以(左Q+B)・C=O.

即2k+6=0.

所以实数x和女的值分别为0和-3.

(II)因为向量"与向量2,B共面，所以设C=2〃+〃/?(4〃£尺).

因为(%,2,2)=2(-2,-1,2)+4(T1,2),

x——2A—以,~~

<2=//-2,所以<%=_(,

2=22+2//,§

4二一.

[2

所以实数x的值为-

2

21.(2019•新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考)已知空间三点

A(-2,0,2),5(-1,1,2),C(-3,0,4),设&=AB,b=AC.

(1)求£和万的夹角。的余弦值；

(2)若向量左£+石与面—25互相垂直，求左的值.

【答案】(1)—巫；(2)左=—2或左=2.

102

【解析】

£=荏=(—1,1,2)—(―2,0,2)=(1,1,0),

b=AC=(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2).

八a,石-1+0+0屈

(1)cos.二一一

\a\\b\6.义亚

所以Z与石的夹角0的余弦值为-亚.

10

(2)kZ+B=(k,k⑼+(-1,0,2)=(左一1,k,2),

ka-2b^(k,k,0)-(-2,0,4)=(左+2,k,-4),

所以(左—1,左,2).(左+2,匕-4)=(左—1)(左+2)+左2—8=0,

即2左2+左—10=0，

所以左=—9.或左=2.

2

22.(2019・建瓯市第二中学高二月考)已知向量日=。,2,-2).

（1）求与万共线的单位向量5；

（2）若日与单位向量1=（0,加垂直，求相，〃的值.

m-----,[m=--0---,

-22]->(]2212一2

【答案】(1)b=\-,-,--Ub=\--——，一.(2)《或V

33)亚'6

n二---n--------.

1212