高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：26 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（学生版+解析版）

专题26分类加法计数原理与分步乘法计数原理

一、单选题

1.（2020•湖北省高二期中）将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案

有（）

A.12种B.9种C.8种D.6种

2.（2020•山东省高二期中）现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委组

织的演讲比赛，有多少种不同的选法（）

A.60B.45C.30D.12

3.（2020•广东省湛江二十一中高二开学考试）有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5

本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（）

A.21种B.315种C.153种D.143种

4.（2020•浙江省宁波诺丁汉附中高二期中）教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法

有（）

A.10种B.种C.5z种D.24种

5.（2020•天津大钟庄高中高二月考）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学

校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、

《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案

种数为（）

544

A.4B.5C.C5D.4

6.（2020.宁夏回族自治区宁夏育才中学高二开学考试（理））如图，某城市中，M>N两地有整齐的道路

网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（）

A.10B.13C.15D.25

7.（2020•吉林省长春市实验中学高二期中（理））某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个

号码只能从字母艮C、。中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择（数字可以重复），某车主第一

个号码（从左到右）只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的

所有可能情况有（）

A.180种B.360种C.720种D.960种

8.（2020•江苏省高二期中）由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位偶数共有（）

A.36个B.42个C.48个D.120个

9.（2020•北京十二中高二月考（理））将数字1,1,2,2,3,3排成三行两列，要求每行的数字互不相同,

每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

10.（2020•江西省高三三模（理））在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、

列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，算筹有纵式和横式两种，如图是利用算筹表示1~9的

数字，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，例如，137可以

用7根小木棍表示叶三TT"，则用6根小木棍（要求用完6根）能表示不含“0”且没有重复数字的三位数的

个数是（）

IIIIIHIUNITITITIff

-===111

123456789

A.12B.18C.24D.27

11.（2020•北京市鲁迅中学高二月考）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数

学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：

（字

形式123456789

纵式1IIIIItillmuTTTUITir

横式—==111

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图:

17r=7IT6728

11T>6708

如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（）

A.46B.44C.42D.40

12.（2018•浙江省高三三模）三位数中，如果百位数字、十位数字、个位数字刚好能构成等差数列，则称为

”等差三位数”，例如：147,642,777,420等等.等差三位数的总个数为（）

A.32B.36C.40D.45

二、填空题

13.（2020•四川省泸县第二中学高二期中（理））已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，

且英文字母在前，数字在后.己知英文字母是A,B,C,D,E这5个字母中的1个，数字是1,2,3,

4,5,6,7,8,9这9个数字中的一个，则共有个不同的编号（用数字作答）.

14.（2020.汪清县汪清第六中学高二期中（理））现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要

求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为.

A

BC

D

15.（2018•浙江省高三月考）用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每格子染一种颜色，并且

从左往右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为.

16.（2020-山东省高二期中）用0,1,2,3,4,5六个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是；

可以组成有重复数字的三位数的个数为.

三、解答题

17.小明同学要从教学楼的一层到四层，已知从第一层到第二层有4个扶梯可走，从第二层到第三层有3

个扶梯可走，从第三层到第四层有2个扶梯可走，那么小明同学从第一层到第四层有多少种不同的走法？

18.（2020.唐山市第十一中学高二期中）某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会.

（1）若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？

（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？

19.(2020.宜昌市人文艺术高中(宜昌市第二中学)高二月考)已知集合”={-3,—2,—1,0,1,2},若a,b,

cGM,则：

(1)y=a?+%x+c可以表示多少个不同的二次函数？

(2)y=af+bx+c可以表示多少个图象开口向上的二次函数？

20.(2019•甘南藏族自治州合作第一中学高二期中(理))一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信,

各封信内容均不相同.

(1)从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？

(2)从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？

(3)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？

21.（2020•南京市中华中学高二月考）现有3名医生，5名护士、2名麻醉师.

（1）从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？

（2）从这些人中选出I名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法?

22.（2020•武汉市钢城第四中学高二期中）某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成.

（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？

（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？

（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？

专题26分类加法计数原理与分步乘法计数原理

一、单选题

1.（2020・湖北省高二期中）将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案

有（）

A.12种B.9种C.8种D.6种

【答案】C

【解析】

每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法，根据分步计数原理可知，不同的分配方案总数为23=8

种.

故选：C

2.（2020•山东省高二期中）现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委组

织的演讲比赛，有多少种不同的选法（）

A.60B.45C.30D.12

【答案】D

【解析】

因为三个年级共有12名学生，

由分类加法计数原理可得：

从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，共有12种不同的选法.

故选：D.

3.（2020•广东省湛江二十一中高二开学考试）有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5

本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（）

A.21种B.315种C.153种D.143种

【答案】D

【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9x7=63种，

选一本数学书一本英语书有5x7=35种，

选一本语文书一本英语书有9x5=45种，

，共有63+45+35=143种选法.

故选D.

4.（2020•浙江省宁波诺丁汉附中高二期中）教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法

有（）

A.A种B.2,种c.52种D.24种

【答案】D

【解析】

共分4步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共24=16种.故选

D.

5.（2020•天津大钟庄高中高二月考）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学

校举行的“文学名著阅读月''活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、

《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案

种数为（）

A.45B.54C.Q4D.

【答案】A

【解析】

对于甲来说，有4种借阅可能，同理每人都有4种借阅可能，根据乘法原理，故共

有4$种可能，答案为A.

6.（2020•宁夏回族自治区宁夏育才中学高二开学考试（理））如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路

网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从"到N不同的走法共有（）

A.10B.13C.15D.25

【答案】C

【解析】

因为只能向东或向北两个方向

向北走的路有5条，向东走的路有3条

走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果

根据分步计数原理知共有3x5=15种结果，选C

7.（2020.吉林省长春市实验中学高二期中（理））某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个

号码只能从字母8、C、。中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择（数字可以重复），某车主第一

个号码（从左到右）只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的

所有可能情况有（）

A.180种B.360种C.720种D.960种

【答案】D

【解析】

根据题意，车主第一个号码在数字3、5、6、8、9中选择，共5种选法，

第二个号码只能从字母&C、。中选择，有3种选法，

剩下的3个号码在1、3、6、9中选择，每个号码有4种选法，则共有4x4x4=64种选法，

则共有5x3x64=960种，

故选：D.

8.（2020•江苏省高二期中）由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位偶数共有（）

A.36个B.42个C.48个D.120个

【答案】B

【解析】

分两类：一、若五位数的个位数是0,则有〃।=4x3x2x1=24种情形；

二、若五位数的个位数是2,由于。不排首位，因此只有1,3,5有3种情形，中间的三个位置有3x2xl=6种

情形，依据分步计数原理可得〃2=3x6=18种情形.

由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为”=勺+〃2=24+18=42,应选答案B.

9.（2020•北京十二中高二月考（理））将数字1,1,2,2,3,3排成三行两列，要求每行的数字互不相同,

每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

【答案】A

【解析】

由题意，可按分步原理计数，

第一步，第一行第一个位置可从1,2,3三数字中任意选一个，有三种选法，

第二步，第一行第二个位置可从余下两数字中选一个，有二种选法，

第三步，第二行第一个位置，由于不能与第一行第一个位置上的数字同，故其有两种选法，

第四步，第二行第二个位置，由于不能与第一行第二个数字同也不能第二行第一个数字同，故它只能有一

种填法，

第五步，第三行第一个数字不能与第一行与第二行的第一个数字同，故其只有一种填法，

第六步，此时只余下一个数字，故第三行第二列只有一种填法，

由分步原理知，总的排列方法有3x2x2xlx1x1=12种.

故选：A.

10.（2020•江西省高三三模（理））在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、

列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，算筹有纵式和横式两种，如图是利用算筹表示1~9的

数字，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，例如，137可以用

7根小木棍表示“黄甲'，则用6根小木棍（要求用完6根）能表示不含“0”且没有重复数字的三位数的个

数是（）

VIA।auimimuTirnrnr

-====1X1占

123456789

A.12B.18C.24D.27

【答案】C

【解析】

数字7、2、1组成6个，数字7、6、1组成6个，数字6、3、1组成6个，数字3、2、1组成6个，共24

个符合要求的三位数.

故选:C.

11.（2020•北京市鲁迅中学高二月考）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数

学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和"横式”两种方式来表示数字，如图：

11T>6708

如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（)

A.46

B.44

C.42

D.40

【答案】B

【解析】

按每一位算筹的根数分类一共有15种情况，如下

(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),

(2,2,1),(2,1,2),(2,3,0),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4),

2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理，

则上列情况能表示的三位数字个数分别为：

2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2,

根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：

2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44.

故选B.

12.(2018•浙江省高三三模)三位数中，如果百位数字、十位数字、个位数字刚好能构成等差数列，则称为

”等差三位数”，例如：147,642,777,420等等.等差三位数的总个数为()

A.32B.36C.40D.45

【答案】D

【解析】

由题意得若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为0的”等差三位数”，则只要各位数字不为零即可，有

9个；

若百位数字、十位数字个位数字构成公差为1的“等差三位数“，则百位数字不大于7,有7个；

若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为2的“等差三位数”，则百位数字不大于5,有5个；

若百位数字十位数字个位数字构成公差为3的“等差三位数”，则百位数字不大于3,有3个；若百位数字、

十位数字、个位数字构成公差为4的“等差三位数”，则百位数字只能为1,有1个；

若百位数字、卜位数字、个位数字构成公差为-1的“等差三位数，则百位数字不小于2,有8个；

若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为-2的“等差三位数”，则百位数字不小于4,有6个；

若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为-3的”等差三位数“，则百位数字不小于6,有4个；

若百位数字、十位数字个位数字构成公差为-4的”等差三位数”，则百位数字不小于8有2个.

综上所述，”等差三位数”的总数为9+7+5+3+1+8+6+4+2=45个，

故选：D.

二、填空题

13.（2020•四川省泸县第二中学高二期中（理））已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，

且英文字母在前，数字在后.己知英文字母是A,B,C,D,E这5个字母中的1个，数字是1,2,3,

4,5,6,7,8,9这9个数字中的一个，则共有个不同的编号（用数字作答）.

【答案】45

【解析】

对于英文字母来说，共有5种可能，刻于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有

5x9=45个不同的编号.

14.（2020•汪清县汪清第六中学高二期中（理））现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要

求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为.

A

BC

D

【答案】48

【解析】

根据题意，设需要涂色的四个部分依次分小B、C、D,对于区域A,有4种颜色可选，有4种涂色方法,

对于区域8,与区域A相邻，有3种颜色可选，有,3种涂色方法，对于区域C,与区域相邻，有2种

颜色可选，

有2种涂色方法，对于区域力，与区域8,C相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，

则不同的涂色方法有4x3x2x2=48种.

故答案为：48.

15.(2018•浙江省高三月考)用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每格子染一种颜色，并且

从左往右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为.

【答案】20

【解析】

从左往右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子包含的情况有：

全染黑色，有1种方法；

第一个格子染黑色，另外5个格子中有1个格子染白色，剩余的都染黑色，有5种方法：第一个格子染黑色,

另外5个格子中有2个格子染白色，剩余的都染黑色，有9种方法；第一个格子染黑色，另外5个格黑子中

有3个格子染白色，剩余的都染黑色，有5种方法.

所以从左往右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法数为1+5+9+5=20.

故答案为：20.

16.(2020•山东省高二期中)用0,1,2,3,4,5六个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是；

可以组成有重复数字的三位数的个数为.

【答案】100180

【解析】

百位的数字可以选择的种数为5种，十位，个位可以选的种数分别为5种，4种

则可组成无重复数字的三位数的种数为5x5x4=100：

可组成有用复数字的三位数的种数为5x6x6=180.

故答案为：(1).100；(2).180

三、解答题

17.小明同学要从教学楼的一层到四层，已知从第一层到第二层有4个扶梯可走，从第二层到第三层有3

个扶梯可走，从第三层到第四层有2个扶梯可走，那么小明同学从第一层到第四层有多少种不同的走法？

【答案】24

【解析】

第1步，从第一层到第二层有4种不同的走法；

第2步，从第二层到第三层有3种不同的走法；

第3步，从第三层到第四层有2种不同的走法；

根据分步乘法计数原理，小明同学从教学楼的第一层到第四层的不同走法仃4x3x2=24种.

18.(2020•唐山市第十一中学高二期中)某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会.

(1)若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？

(2)若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？

【答案】(1)48；(2)560.

【解析】

(1)选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成''选I名代表”这件事分2类：

第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；

第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法.

根据分类加法计数原理，共有28+20=48种不同的选法.

(2)完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：

第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；

第2步，选1名女生代表，有20种不同方法.

根据分步乘法计数原理，共有28x20=560种不同的选法.

19.(2020•宜昌市人文艺术高中(宜昌市第二中学)高二月考)已知集合河={-3,-2,—1,0,1,2},若a,b,

cGM,则：

(1)y=依2+法+。可以表示多少个不同的二次函数？

(2)y=a?+法可以表示多少个图象开口向上的二次函数？

【答案】(I)180；(2)72.

【解析】

(1)因为a不能取0,所以有5种取法，b有6种取法，c,有6种取法，

所以y=+/zx+c可以表示5x6x6=18()个不同的二次函数.

(2)y=℃2+bx+c的图象开口向上时，。不能取小于等于0的数，所以有2种取法，6有飞种取法，c有

6种取法，

所以丁=必2+法+。可以表示2x6x6=72个图象开口向上的二次函数

20.（2019•甘南藏族自治州合作第一中学高二期中（理））一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4