直线与直线垂直教学案

8.6.1直线与直线垂直

用诵周薪因闰(教师独具内容)

课程标准：借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系.

教学重点：异面直线所成的角的求法.

教学难点：找异面直线所成的角.

核心素养：1.通过从教材实例中抽象出异面直线所成的角的概念的过程培养

数学抽象素养.2.通过借助异面直线所成的角证明空间中两直线垂直的过程提升

逻辑推理素养.

±1评价自测I

1.判一判(正确的打“，错误的打“义”)

(1)异面直线所成的角的大小与。点的位置有关，即。点位置不同时，这一角

的大小也不同.()

(2)异面直线a与6所成的角可以是0°.()

(3)若N/加=110°,则分别和边OA,必平行的两条异面直线所成的角为

110°.()

(4)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条

直线垂直.()

2.做一做

如图，在正方体ABCD-A^G〃中，

⑴4。和私所成的角是

(2)47和〃G所成的角是,

⑶况?和8心所成的角是.

(4)4。和48所成的角是

核心素养.形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一求异面直线所成的角

例1如图，在正方体力腼一跖第中，。为侧面/颇'的中心.

求：⑴应'与CG所成的角的大小；

(2)向0与劭所成的角的大小.

［跟踪训练1］在空间四边形46口中，AD=2,BC=2小,E,尸分别是48,

⑦的中点，EF=yf7,求异面直线助与a'所成的角的大小.

题型二利用异面直线所成的角证明垂直

例2已知正方体力式48a〃的棱长为1,。是底面力时的中心，求证：

划」4G.

［跟踪训练2］如图，已知在长方体48⑦一/£。〃中，但止%4,点P,

物分别是A4”3的中点，求证：B心DR

题型三异面直线所成的角的综合问题

例3⑴正方体力腼一45G〃中（下左图），"是46的中点，则能与0所

成角的余弦值为.

（2）如图所示（上右图），四面体4—腼中，E,6分别是46,切的中点.若

BD,力。所成的角为60°,且初=力仁2.求）的长度.

[跟踪训练3]（1）已知长方体ABCD—ABC。中,48=2/4=249,则异面直

线啰与胡।所成角的余弦值是（）

⑵在四棱柱力腼一48《〃中，侧面都是矩形，底面四边形力3口是菱形,

且48=%=2小,N/a、=120°,若异面直线48和皿所成的角是90°,则初

的长度是—.

随堂水平达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.设a,b,c是直线，则（）

A.若alb,cA-b,则a//c

B.若a_L6,cVb,则a_Lc

C.箱a〃b,则a与c,6与c所成的角相等

D.若a与b是异面直线，c与6也是异面直线，则a与c是异面直线

2.在长方体455一4RG〃中，AB=BC=1,AAt=y）2,则异面直线4G与做

所成的角为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

3.（多选）一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中，下列结论

正确的是（）

A.ABVEF

B.4?与OV所成的角为60°

C.如与助平是异面直线

D.MN//CD

4.空间四边形4?"中，AB,BC,切的中点分别是RQ,R,且Ag2,QR

々=3,那么异面直线芯和劭所成的角的大小为.

5.如图，已知正方体/腼一4A

（1）求4G与8c所成的角的大小；

⑵若£,尸分别为棱力8,/〃的中点，求证：4G，跖

课后课时精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

A级，》学考水平合格练

一、选择题

1,若空间三条直线a,b,c满足a_Lb,b//c,则直线@与＜?（）

A.一定平行B.一定垂直

C.一定是异面直线D.一定相交

2.直三棱柱力a'—43C中，ABVAC,在三棱柱所有的棱中，和〃1垂直且异

面的直线有（）

A.1条B.2条

C.3条D.4条

3.如图，点R0分别是正方体45G〃的面对角线/〃，面的中点，

则异面直线功和窗所成的角为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

4.如图，若正四棱柱4兆-48c〃的底面边长为2,高为4,则异面直线

8〃与血所成角的正弦值是（）

A.华

O

（、场

3

5.（多选）在空间四边形幽幻中，AB=CD,且18与切所成的角为30°,E,

F分别为BC,/〃的中点，则）与所成的角的大小可能为（）

A.15°B.25°

C.65°D.75°

二、填空题

6.在长方体/8口一48C〃中，点反尸分别是4〃和力的中点，则在长方

体所有的棱中和跖垂直且异面的是.

7.如图，空间四边形/时的对角线4C=8,BD=6,M,N分别为48,切的

中点，并且异面直线〃'与8〃所成的角为90°,则掰仁.

8.如图，在直四棱柱力腼一48a〃中，底面四⑦是正方形，AA尸小AB,

则异面直线4身与故所成角的余弦值为.

三、解答题

9.如图，已知长方体力比®-45G〃中，AtA=AB,E,尸分别是初和49的中

点，求证：CD、工EF.

10.如图所示，等腰直角三角形/a'中，ZBAC=90°,BC=y[2,DALAC,

DAVAB,若加=1,且£为物的中点，求异面直线座与切所成角的余弦值.

B级«学考水平等级练

1.在正方体/阅9—4AG〃中，点尸在线段/〃上运动，则异面直线少与胡।

所成的角。的取值范围是（）

A.0°<0V60°B.0°W〃V60°

C.0°WJW60°D.0°<OW60°

2.如图所示，在正三角形48c中，D,E,产分别为各边的中点，G,H,I,J

分别为AD,BE,龙的中点.将△/1比沿施,EF,"折成三棱锥4-DEF,

则HG与77所成的角的大小为（）

A.90°B.60°

C.45°D.0°

3.如图，在三棱柱46C—4月G中，MAC,所成的角均为60°,ABAC

=90°,且48=44/4,£是84的中点，则直线力£与a'所成的角为,直

线A山与AQ所成角的余弦值为.

4.正四棱锥，一4腼的所有棱长均相等，小是用的中点，求异面直线施与

为所成角的余弦值.

5.如图，四棱锥产一/8口中，PDLDA,PDLDC,在底面/四中，AB//DC,

ABLAD,又5=6,AB=AD=PD=3,£为尸。的中点.

E

(1)求证：BE〃平面ADP；

⑵求异面直线必与％所成的角的大小.

所以异面直线必与"所成的角为60°.

8.6.1直线与直线垂直

13圃俱圃自国(教师独具内容)

课程标准：借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系.

教学重点：异面直线所成的角的求法.

教学难点：找异面直线所成的角.

核心素养：1.通过从教材实例中抽象出异面直线所成的角的概念的过程培养

数学抽象素养.2.通过借助异面直线所成的角证明空间中两直线垂直的过程提升

逻辑推理素养.

±1评价自测I

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)异面直线所成的角的大小与。点的位置有关，即。点位置不同时，这一角

的大小也不同.()

(2)异面直线a与6所成的角可以是0°.()

(3)若N4如=110°,则分别和边OA,如平行的两条异面直线所成的角为

110°.()

(4)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条

直线垂直.()

答案⑴X⑵X(3)X(4)V

2,做一做

如图，在正方体4?⑦一43。〃中，

"、

(1)4。和〃〃所成的角是;

⑵〃'和"G所成的角是；

(3)4。和A〃所成的角是；

(4)4。和48所成的角是.

答案(1)90°(2)45°(3)90°(4)60°

核心素养形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一求异面直线所成的角

例1如图，在正方体48缪一跖第中，。为侧面/加值的中心.

求：(1)旗与CG所成的角的大小;

⑵/。与"所成的角的大小.

［解］⑴如图，因为CG〃BF.

所以/酬'(或其补角)为异面直线掰与龙所成的角，又在△弼中，/EBF

=45°,

所以跖与C6所成的角为45°.

(2)连接掰由正方体的性质可知磔〃用，豆HD=FB,所以四边形必沏为

平行四边形.

所以HF//BD,所以/50(或其补角)为异面直线也与物所成的角.

连接物，AF,易得FH=HA=AF,所以△47/为等边三角形，

又知。为/〃的中点，

所以N用230°,即尸。与劭所成的角为30°.

求异面直线所成的角的步骤

(1)找出(或作出)适合题设的角一一用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位

线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体

的特殊点，使异面直线转化为相交直线.

(2)求一一转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.

(3)结论一一设由(2)所求得的角的大小为。.若0。〈JW90°,则。为所求;

若90°<〃<180°,则180°-0为所求.

提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通

过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角〃的范围是0°<〃W90°.

［跟踪训练1］在空间四边形/时中，AD=2,BC=2yj3,E,6分别是48,

切的中点，EF=®求异面直线/〃与a'所成的角的大小.

解如图所示,

设劭的中点为0,连接以9,FO,

则EO//AD,FO//BC.

所以NA*是异面直线AD与a'所成的角或其补角.

又EO=!AD=LFO=3BC=小,

乙乙

EF=yp,在中，由余弦定理的推论，得cos/叱=£：+鲁二房=

丫2•E0、F0

1+3-7^3

2^32'

所以/仇加=150°.所以异面直线/〃与a'所成的角为30°.

题型二利用异面直线所成的角证明垂直

例2已知正方体力腼的棱长为1,。是底面/时的中心，求证:

0D\_LCJ.

［证明］证法一：

如图，连接〃BD,则交于点0,连接力〃，CD、.

因为4M〃是正方体，。是底面力时的中心,

所以4G〃/C,AR=CD\,AO=OC.

所以4G与如所成的角即为/。与如所成的角.

在中，因为皿=/，AO=OC,

所以如_L然所以勿」4G.

证法二：如图，连接4GBD,交于点0,连接

因为4。〃凰所以//如是异面直线必与AG所成的角（或所成角的补角）,

因为OA=^AC=~\Il2+r'=^»

KT+l♦蜴0D'=阍2=^

1_3_

,初+萌一刈2+2-2

所以cosN加〃=2“。・如=亚亚―

2*2*2

所以//如=90°.所以异面直线必与46所成的角为90°.

所以加，4G.

金版点睛

证明空间的两条直线垂直的方法

(1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直.

(2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形或正方形的对角线相互垂直、

等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等.

［跟踪训练2］如图，已知在长方体阳力一46K〃中，46=4湾点尸,

"分别是44，CG的中点，求证：AML〃出

证明取血的中点M连接4MPN,则直线4/V,即所成的角即为直线6也,

〃产所成的角，在长方体力腼〃中，熊=昨54,

所以四边形44跖是正方形，

所以4肛阳，所以3M

R

题型三异面直线所成的角的综合问题

例3⑴正方体力腼一46G〃中（下左图），"是46的中点，则能与0所

成角的余弦值为

⑵如图所示（上右图），四面体力—腼中，E,£分别是46,切的中点.若

BD,力。所成的角为60°,且初=力仁2.求炉的长度.

［解析］⑴将正方体力"〃补成一个长方体，连接丝，松，DBJ/

CE、

所以乙移是异面直线的与所成的角（或其补角），设正方体的棱长为a.

在为中，

CM=^-a,CE尸事a,ME、=^a,

乙乙

51Q

yU+2_|3_oa2一71°2屏

那么cosNMCE\=『=］1・

2X坐aX小a

（2）取比'的中点M连接ME,MF,如图，蛆㈣/AC,MF〃BD,

.I监'与版所成的锐角（或直角）即为“与劭所成的角，而他劭所成的角

为60°,

.•./£嫡=60°或N⑸小'=120°,

当/£娟=60°时，EF=ME=MF=^BD=\^

当N日野'=120°时，取)的中点M则楸工环；

:.EF=2EN=2EMs\n/EMN=2X1X^=小.

故)的长度为1或小.

［答案］(1)喏(2)见解析

金版点睛

(1)关于补形作异面直线所成的角

当不方便作异面直线所成的角时，可以考虑补形，一是补一个相同形状的几

何体，以方便作平行直线，二是将不常见的几何体补成一个常见的几何体，如四

棱锥补成一个正方体.

(2)关于异面直线的应用

当已知条件中含有异面直线所成的角时，应先作出该角，才能应用此条件，

但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成的角，也可能是已知角的补角，应

分情况讨论.

［跟踪训练3］(1)已知长方体4%力一4AG〃中，AB=2AAt=2AD,则异面直

线啰与以所成角的余弦值是()

(2)在四棱柱/时一4AG〃中，侧面都是矩形，底面四边形小(力是菱形，

且4B=BC=2而,N/8C=120°,若异面直线43和/〃所成的角是90°,则加

的长度是.

答案（1）D（2）南

解析⑴如图所示，设/H=4?=a,则/6=2a,连接〃C〃综则〃勿48,

则/〃绢就是异面直线以与胡所成的角，在△〃区。中，D\B\=yfia,BC=@,

aaa:

ma,由余弦定理的推论，得cosN〃%i=由?+乖—乖

2X小aX邓a

V10

故选D.

（2）连接以，AC,由题意得四棱柱/8（力-48。〃中，AD=BC,3BC,所

以四边形//勿是平行四边形，所以48〃CD”所以（或其补角）为异面直线

48和力〃所成的角，因为异面直线48和所成的角为90°,所以NA9c=90°,

因为四棱柱ABCD—ABC以中,AB=BC=2乖,N480=120°,所以4C=2小

sin60°X2=6,因为四棱柱/腼一45G〃的侧面都是矩形，所以㈤U〃，DD、

工DC,所以力〃=%十/毋，D\C=DIf\+DG,因为力8=8C,所以4D=0C,所以必

=DC所以为等腰直角三角形.所以AD尸gAC=3巾,所以M=

、lAM—A/=y]3722

随堂水平,达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO

1.设a,b,c是直线，则（）

A.若a_L6,cA.b,则a//c

B.若cVb,则a_Lc

C.箱a"b,则a与c,6与c所成的角相等

D.若a与力是异面直线，c与6也是异面直线，则a与c是异面直线

答案C

解析由异面直线所成的角的定义可知C正确.

2.在长方体力比77—4旦G〃中，AB=BC=\,AA=^2,则异面直线4G与做

所成的角为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案B

解析如图，连接4G,因为阴〃/4,所以N4/G为异面直线阳与防所

AG-yr+i2

成的角.因为tanN4』G==1,所以N4/G=45°,故选B.

AA~y[2

3.（多选）一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中，下列结论

正确的是（）

A.ABLEF

B.与CV所成的角为60°

C.）与是异面直线

D.MN//CD

答案AC

解析把正方体的平面展开图还原为正方体，如图所示.因为16〃加'，加工

EF,所以48,用，故A正确，B错误；）与腑是异面直线，故C正确；易知腑

LCD,故D错误.故选AC.

4.空间四边形45⑦中，AB,BC,⑦的中点分别是只Q,R,且尸。=2,QR

=乖,PR=3,那么异面直线和劭所成的角的大小为.

答案90°

解析由题意可知，异面直线力。和劭所成的角为NR流（或其补角），在△尸四

中，因为&+。#=内，所以N尸窈=90°.所以异面直线4。和龙所成的角的大

小为90。.

5.如图，已知正方体力腼

（1）求4G与8c所成的角的大小；

⑵若反6分别为棱48,4〃的中点，求证：4G_L仔:

解⑴如图，连接力&AB,.

由几何体力腼-45G〃是正方体，知四边形/4GC为平行四边形，所以

〃4G,

从而足?与8c所成的角为4G与8c所成的角.

由4a可知/8。=60°.

故4G与8。所成的角为60°.

⑵证明：如图，连接"Z易知四边形为平行四边形，所以/%4G,

因为EF为4ABD的中位线，所以EF〃BD.

又ACLBD,所以牙L4C,所以4G，成

课后课时精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

A级，》学考水平合格练

一、选择题

1.若空间三条直线a,b,c满足b//c,则直线。与°（）

A.一定平行B.一定垂直

C.一定是异面直线D.一定相交

答案B

解析Va±b,b//c,/.ad.c.

2.直三棱柱/比‘-4AC中，ABLAC,在三棱柱所有的棱中，和力。垂直且异

面的直线有（）

A.1条B.2条

C.3条D.4条

答案B

解析和4。垂直且异面的直线有4打和防，故选B.

3.如图，点尸，0分别是正方体力65一45G〃的面对角线/〃，6〃的中点，

则异面直线尸0和为所成的角为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案C

解析连接AC,4C.由凡0分别为A。,8〃的中点，得PQ//CD、,又BCJ/ADX,

.•.N4〃C为异面直线尸0和密所成的角以为等边三角形，.•.N/〃C=60°.

即异面直线尸0和8G所成的角为60°.

4.如图，若正四棱柱力比》—43。〃的底面边长为2,高为4,则异面直线

劭与力〃所成角的正弦值是（）

A返

A・3

C画

L-3

答案D

解析•••/!〃〃8a.•./〃勿即为异面直线班与49所成的角（或其补角），连

接〃C,在△〃比'中，•.•正四棱柱/四一4AG〃的底面边长为2.高为4,...〃/=

2m，8U2,〃。=2乖，〃/="+〃汽==90°,，sin/〃8。=盥=逑

DW2y6

华异面直线8〃与/〃所成角的正弦值是华.故选D.

5.（多选）在空间四边形仍切中，AB=CD,且力8与切所成的角为30°,E,

月分别为8。，/〃的中点，则跖与4?所成的角的大小可能为（）

A.15°B.25°

C.65°D.75°

答案AD

解析如图所示，取〃'的中点G,连接微FG,则及〃4?且跖=98,GF

〃切且GF=\cD,由9=①知EG=FG,从而可知/斯为EF与四所成的角，Z

况F或其补角为48与5所成的角与切所成的角为30°，，/瓦尸=30°

或150°,由知△£?可为等腰三角形，当/EGF=3。。时，N小产=75°,

当N£(/=150°时，/位尸=15°,与所成的角的大小为15°或75°.故

选AD.

二、填空题

6.在长方体4?⑦一48。〃中，点反尸分别是4〃和力的中点，则在长方

体所有的棱中和"垂直且异面的是—.

答案AD,BC

解析长方体所有的棱中和如垂直且异面的是力〃，BC,共2条.

7.如图，空间四边形48(力的对角线4C=8,BD=6,M,N分别为/瓦切的

中点，并且异面直线4。与8〃所成的角为90°,则助V=.

答案5

解析取4〃的中点尸，连接掰，PN,则劭〃掰/勿/W,，N,"V即为异面

直线〃'与初所成的角，.•./物科=90°,PN=^AC=A,

1

PM=~BD=3,:.MN=5.

8.如图，在直四棱柱/80?一484〃中，底面/腼是正方形，

则异面直线力k与6〃所成角的余弦值为一.

答案率

解析连接区，，A",因为在直四棱柱4?43G〃中，底面4?口是正方

形，所以6〃〃身〃,所以N/A〃是异面直线/A与被所成的角（或所成的角的补角），

设皿=小加=木,AB=1,

所以护5=2,B、D尸事,记异面直线力区与龙所成的角为0,

|4+2~4|^2

则COS0—

|2X2X的―4

三、解答题

9.如图，已知长方体4%刀一45。〃中，A,A=AB,E,尸分别是初和49的中

点，求证：CD^EF.

证明如图，取切的中点G,连接EG,DG,

是班的中点，

J.EG//BC,宓=界：是/〃的中点，S.AD//BC,AD=BC,

C.DF//BC,DF=^BC,

：.EG//DF,EG=DF,...四边形切％是平行四边形，

：.EF//DG,

"DGD\（或其补角）是异面直线CD,与跖所成的角.

又A\A=AB,

四边形ABB4、四边形CDDC都是正方形，

又G为口的中点，:.DG，CD\,：.4DGD\=9Q°,

异面直线内与厮所成的角为90°.

:.CD\LEF.

10.如图所示，等腰直角三角形力比"中，/BAC=90°,BC=y[2,DALAC,

DALAB,若加=1,且£为的的中点，求异面直线比'与切所成角的余弦值.

解取次7的中点凡连接/BF.

在△/①中，E,夕分别是4?,〃'的中点，，跖〃⑦，

N期即为所求的异面直线BE与切所成的角（或其补角）.

在中，BC=^2,AB=AC,：.AB=AC=\.

11乖

在A中，AB=l,AE=~AD=~,

乙乙乙

,^111

在口△A［旗中，AF=~AC=~,AE=~,

：.EF=^~.

1乖

在Rt△A/肝中，AB=1,AF=~,：.BF=^~.

乙乙

在等腰三角形EBF中,

1平

耍

需

cos/FEB=r

.•.异面直线BE与口所成角的余弦值为Ng.

B级«

1.在正方体4?5一48G〃中，点尸在线段皿上运动，则异面直线"与以।

所成的角，的取值范围是（）

A.0°<〃V60°B.0°W9V60°

C.0°W〃W60°D.0°<Y60°

答案D

解析连接CD、,因为CDJBA、,所以CP与胡।所成的角就是CP与由所成的

角，即J=当点尸从〃向4运动时，CF从0°增大到60°,但当点尸

与〃重合时，CP//BA,,与b与物।为异面直线矛盾，所以异面直线⑦与员li所

成的角〃的取值范围是0°<^<60°.

2.如图所示，在正三角形力宛中，D,E,b分别为各边的中点，G,H,I,J

分别为IF,AD,BE,庞的中点.将△48C沿龙，EF,加折成三棱锥力'-DEF,

则HG与77所成的角的大小为（）

«

A.90°B.60°

C.45°D.0°

答案B

解析如图所示，在三棱锥力'—DEF中,因为G,H,I,/分别为，F,A'D,

A'E,庞的中点，所以IJ//A'D,HG//DF,故〃G与77所成的角与/D与DF

所成的角相等，显然©〃与如所成的