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文档简介

人教版六年级上册数学知识点汇总

汇总一

第一单元分数乘法

一、分数乘法

(一)分数乘法的意义:

1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。

都是求几个相同加数的和的简便运算。

2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。

(二)、分数乘法的计算法则:

1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不

变。

2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的

积做分母。

注意

(1)分数的化简:分子、分母同时除以它们的最大公因数。

(2)关于分数乘法的计算:可在乘的过程中约分,也可将

积的分子分母约分,提倡在计算过程中约分,这样简便。

(3)当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数

再进行计算。

(三)、规律:(乘法中比较大小时)

一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。

一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数。

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一个数(0除外)乘工,积等于这个数。

(四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

(五)、整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘

法也同样适用。

乘法交换律:axb=bxd

乘法结合律:axbxc=ax(bxc)

乘法分配律:ax(b+c)=ab+ac或ax(b-c)=ab-ac

二、分数乘法的解决问题

(已知单位“1〃的量(用乘法),求单位“1〃的几分之几是多

少)

1、找单位“甘:”占〃、"是〃、"比〃的后面

2、求一个数的几倍是多少;求一个数的几分之几是多少。

用乘法

三、倒数

1、倒数的意义:乘积是1的两个数互为倒数。

(互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数

不能单独存在。)

2、求倒数的方法:

(1)、求分数的倒数:交换分子分母的位置。

(2)、求整数的倒数:把整数看做分母是1的分数,再交

换分子分母的位置。

(3)、求带分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。

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(4)、求小数的倒数:把小数化为分数,再求倒数。

3、1的倒数是1;0没有倒数。

4、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分

数的倒数小于lo

第三单元分数除法

一、分数除法

1、分数除法的意义:

分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和

其中一个因数,求另一个因数的运算。

2、分数除法的计算法则:除以一个不为0的数,等于乘

这个数的倒数。

3、规律(分数除法比较大小时):

(1)当除数大于1,商小于被除数;

(2)当除数小于1(不等于0),商大于被除数;

(3)当除数等于1,商等于被除数。

4、分数混合运算顺序:

(1)同级运算要按从左往右顺序计算。

(2)先算乘、除后算加、减,有括号的,要先算括号里面

(3)一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算

小括号里面的,再算中括号里面的。

(4)能用运算律的要用运算律。

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二、分数除法解决问题

(已知单位"1"的几分之几是多少,求单位“1”的量。)

用方程解应用题步骤:

1、解。(写“解〃字,打冒号。)

找。(找等量关系)

设。(设未知数,根据题目设未知数,问什么设什么。)

歹鼠(根据等量关系列方程)

解。(解方程)

答。(写答数)

2、求一个数是另一个数的几分之几:就一个数+另一个数

3、求一个数比另一个数多(少)几分之几:两个数的相差

量+单位“r的量

三、比和比的应用

(一)、比的意义

1、比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。

2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后

面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。

3、比可以表示两个相同量的关系,即倍数关系。也可以表

示两个不同量的比,得到一个新量。

4、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为

Oo

体育比赛中出现两队的分是2:0等,这只是一种记分的形

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式,不表

两个数相除的关系。

5、比和除法、分数的联系:

比前项比号“后项比值

除法被除数除号除数商

分数分r分数线分母分数值

U____99

(二)、比的基本性质

1、(1)商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的

数(0除外),商不变。

(2)分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相

同的数时(0除外),分数值不变。

(3)比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的

数(0除外),比值不变。

2、最简整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,

这样的比就是最简整数比。

3、化简比的类型:

4.按比例分配:

把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按

比例分配。

第四单元圆

一、认识圆形

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1、圆的定义:圆是由曲线围成的一种平面图形。

2、圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的

一点,这一点叫做圆心。一般用字母0表示。它到圆上任意一点

的距离都相等.

3、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般

用字母r表示。

把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。

4、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一

般用字母d表示。

直径是一个圆内最长的线段。

5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。

6、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。所有

的半径都相等,所有直径都相等。

7、在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长

度是直径的1/2o

用字母表示为:£|=2「或「=£|/2

8、轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的

图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直

线叫做对称轴。

二、圆的周长

1、圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母

C表示。

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2、圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固

定的数,我们把它叫做圆周率。用字母二(pai)表示。圆周

率二是一个无限不循环小数。在计算时,一般取冗=3.14。

3、圆的周长公式:C=ndfd=C或C=2nrfr=C+2冗

已知直径求周长:C=nd已知半径求周长:C=2nr

已知周长求直径:d=C+n已知周长求半径:r=C-rn-?2

三、圆的面积

1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S

表不。

2、圆面积公式的推导:

用逐渐逼近的转化思想:体现化圆为方,化曲为直;

已知半径求面积:S=nr2已知直径求面积:S=Wd+2)2

3、环形的面积:一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径

是r。

(R=r+环的宽度.)

S环=nR2—nr2或S环=n(R2—r2)。

4、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或

缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。

5、两个圆:半径比=直径比=周长比;而面积比等于这

比的平方。

6、确定起跑线:

每相邻两个跑道相隔的距离是:2xnx跑道的宽度

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7、常用各二值结果:

2n=6.283元=9.424元=12.56

5元=15.76元=18.847n=21.98

8n=25.129n=28.2610n=31.4

16n=50.2425n=78.536n=113.04

常用平方数结果

1f=121^2r=14413,=169id=19615=225

m=25617=289182=324192=361

第五单元:百分数

一、概念:如18%、50%、64.2%-—这样的数,叫做百分数。

百分数表示一个数是另一个数的百分之几。百分数也叫做百分率

后百分比。

1、百分数的读法:读百分数时,先读百分之,再读百分号

前面的数,读数时按照整数的读法来读。

2、百分数的写法:百分数通常不写成分数形式,而在原来

的分子后面加上百分号"%”来表示。

3、百分数和分数的区别:百分数只能表示两个数的比的关

系,而分数不仅可以表示数的关系,还可以表示成一个具体的量,

可以带上单位名称。

4、百分数和小数及分数的互化

(1)小数化成百分数:把小数点向右移动两位再在数的后

面加上百分号。

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(2)百分数化成小数:把百分号去掉,同时把小数点向左

移动两位。

(3)百分数化成分数:化成分母是100的分数,能约分的

要约分。如果百分数分子是小数,要先根据分数的基本性质,把

百分数改写成分数是整数的分数,再约分。

(4)分数化成百分数有两种方法:一种是根据分数的基本

性质,把分数的分母化成为100的分数,然后改写成百分数。另

一种是先把分数化成小数,在利用小数化百分数的方法。(利用

第二种时,除不尽,通常保留三位小数)

二:用百分数解决问题:

1、在生产工作中常用的百分率有:

及格率=警辔X100%增产率=普鹭二*100%

总人数原来的产里

♦格率=鬻L品总鬻数xioo%出勒率=应罂该出舞勤人愕数xioo%

一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,

出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以

超过100%o

2、解答百分数应用题时,要注意弄清楚谁和谁比,比的标

准不同,单位“甘也不同,解题时要注意找准把谁看单位“1〃。

3、在实际生活中,人们常用“增加百分之几〃、“减少百分之

几〃、“节约百分之几来表示增加、减少的幅度。(占谁的把

谁看成单位"1")

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4、税收主要分为消费税、增值税、营业税和个人所得税等

几类。缴纳的税款叫做应纳税额,应纳税额与各种收入(销售额、

营业额一-)的比率叫做税率。

5、在银行存款的方式有多种,如活期、整存整取、零存整

取等。存入银行的钱叫做本金;取款时银行多付的钱叫做利息,

利息与本金的比值叫做利率。

6、国家规定,存款所得的利息要按5%的税率纳税,这个税

叫‘利息税〃。我们从银行取款时得到的利息都是税后利息。国债

的利息不纳税。

利息=本金x利率x时间

7、成数、打折、利润、利息、税收应用题的解题公式:

(1)含义:五成的含义是:收成是50%,二成五的含义是:

收成是25%

八折的含义是:现价是原价的80%,或按原价的80%出售,

或降了20%;

八五折的含义是:现价是原价的85%,或按原价的85%出售,

或降了15%o

(2)公式:

现价=原价x折数(通常写成百分数形式)

利润=售价-成本

应纳税额=需要交税的钱X税率

利息=本金X利率X时间

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第六章:统计

1、常用统计图:条形统计图、折线统计图、扇形统计图。

2、用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形的大小表示

各部分数量占总数的百分数,这样的统计图我们称为扇形统计

图。特点:通过扇形统计图我们可以很清楚地表示出各部分数量

同总数之间的关系。

3、条形统计图的的特点:条形统计图可以清楚地看出每个

数量的多少。折线统计图的特点:折线统计图不仅可以看出数

量的多少而且可以看出数量的增减变化情况。

第七单元:数学广角

1、用表格方式解决有局限性,数目必须小,

2、用假设法解决

3、用代数方法解(用方程解)

(1)审题,弄清题意

(2)找等量关系

(3)设未知数,根据题目设未知数,问什么设什么。)

(4)根据等量关系列方

(5)解方程)

(6)(答)。

汇总二

(2)分数化简的方法是:分子、分母同时除以它们的最大

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公因数。

(3)在乘的过程中约分,是把分子、分母中,两个可以约

分的数先划去,再分别在它们的上、下方写出约分后的数。(约

分后分子和分母必须不再含有公因数,这样计算后的结果才是最

简单分数)。

(三)积与因数的关系:

一个数(0除外)乘小于1的数(真分数),积小于它本身。

一个数(0除外)乘大于1的数(假分数),积大于或等于

它本身。

一个数(0除外)乘大于1的数(带分数),积大于它本身。

(四)分数乘法混合运算

1、分数乘法混合运算顺序与整数相同,先乘、除后加、减,

有括号的先算括号里面的,再算括号外面的。

2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用;

乘法交换律:axb=bxa乘法结合律:(axb)xc=ax(bxc)

乘法分配律:ax(b±c)=axb±axca-?b^c=a4-(bxc)

(五)倒数的意义:乘积为1的两个数互为倒数。0没有倒

1、倒数是两个数的关系,它们互相依存,不能单独存在。

单独一个数不能称为倒数。(必须说清谁是谁的倒数)

2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是:两数相乘的积

是否为"1"、

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3、求倒数的方法:

(①求分数的倒数:交换分子、分理的位置.、

②求整数的倒数:整数做分母,分子改写成1

③求带分数的倒数:先化成假分数,再按照分数的方法求倒数.

.④求小数的倒数:先把小数化成分数再求倒数,,

4、1的倒数是它本身,因为1x1=1

5、真分数的倒数是假分数,真分数的倒数大于1,也大于

它本身。

假分数的倒数小于或等于1。带分数的倒数小于1。

(六)分数乘法应用题一一用分数乘法解决问题

1、求一个数的几分之几是多少?(用乘法)

已知单位“1〃的量,求单位“1〃的量的几分之几是多少,用单

位"1〃的量与分数相乘。

2、巧找单位“1”的量:在含有分数(分率)的语句中,

团”占〃”是〃“比〃字后面的量是单位“r,分率前面的量就是单位

3、求甲比乙多(少)几分之几?(相差的量+单位“1〃的量)

甲比乙多百分之几:(甲-乙)+乙乙比甲少百分之几:(乙

-甲)。甲

第二单元位置与方向(二)

1、什么是数对?数对:(列,行)即“先列后行〃。

2、确定物体位置的方法:

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(1)、先找观测点;(2)、再定方向(看方向夹角的度数);

(3)、最后确定距离。

描绘路线图的关键是选好观测中心,建立方向标,确定方向

和路程。

第三单元分数的除法

一、分数除法的意义:分数除法是分数乘法的逆运算,已知

两个数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。

二、分数除法计算法则:除以一个数(0除外),等于乘上

这个数的倒数。

1、被除数+除数=被除数x除数的倒数。

2、除法转化成乘法时,被除数一定不能变,"+〃变成"x〃,除

数变成它的倒数。

3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假

分数再计算。

4、被除数与商的变化规律:

①除以大于1的数(假分数),商小于被除数:

②除以小于1的数(真分数),商大于被除数:

三、分数除法混合运算

1、运算顺序:

①同级运算,按照从左往右的顺序进行计算;先把所有除

法转化成乘法再计算;

②混合运算:先乘、除后加、减,有括号的先算括号里面,

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再算括号外面。

第四单元比

比:两个数相除也叫两个数的比

1、比式中,比号(:)前面的数叫前项,比号后面的项叫

做后项,比号相当于除号,比的前项除以后项的商叫做比值。

2、比表示的是两个数的关系,可以用分数表示,写成分数

的形式,读作几比几。例:12:20==12+20==0.612:20读作:

12比20

区分比和比值:比值是一个数,通常用分数表示,也可以是

整数、小数。

比是一个式子,表示两个数的关系,可以写成比,也可以写

成分数的形式。

3、比的基本性质:比的前项和后项同时乘以或除以相同的

数(0除外),比值不变。

4、化简比:化简之后结果还是一个比,不是一个数。

(1)整数比:用比的前项和后项同时除以它们的最大公约

数。

(2)两个分数的比:用前项除以后项,商就是最简整数比

(3)两个小数的比,向右移动小数点的位置,也是先化成

整数比。

5、求比值:用前项除以后项,结果是一个数(或分数),

相当于商,不是比。

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6、比和除法、分数的区别:

联系区别

比前项后项比值两个敖之邮倍数关系

除法破除数-5-除数商一种运算

分效分子—分母分数值_爆

商不变性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),

商不变。

分数的基本性质:分子和分母同时乘或除以相同的数(0除

外),分数的大小不变。

分数除法和比的应用

1、已知单位"1"的量用乘法。2、未知单位“1”的量用除法。

3、分数应用题基本数量关系(把数量比看成份数之比)

4、按比例分配:把一个量按一定的比分配的方法叫做按比

例分配。

5、画线段图:

(1)找出单位"1”的量,先画出单位“1〃,标出已知和未知。

(2)分析数量关系。(3)找等量关系。(4)列方程。

第五单元圆

一、圆的特征

1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。

2、圆的特征:、

3、圆心0:圆中心的点叫做圆心.圆心一般用字母0表示。

圆多次对折之后,折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定

圆的位置。

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半径r:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一

个圆里,有无数条半径,且所有的半径都相等。半径确定圆的大

小。

直径d:通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个

圆里,有无数条直径,且所有的直径都相等。直径是圆内最长的

线段。

同圆或等圆内直径是半径的2倍:d=2r或r=d+2

4、等圆:半径相等的圆叫做同心圆,等圆通过平移可以完

全重合。同心圆:圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。

5、圆是轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两

侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。折痕所在的直

线叫做对称轴。

有一条对称轴的图形:半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、

角。

有二条对称轴的图形:长方形有三条对称轴的图形:等边三

角形

有四条对称轴的图形:正方形有无条对称轴的图形:圆,圆

6、画圆

(1)圆规两脚间的距离是圆的半径。

二、圆的周长:

围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,周长用字母C表示。

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1、圆的周长总是直径的三倍多一些。

2、圆周率:圆的周长与直径的比值是一个固定值,叫做圆

周率,用字母二表示。

即:圆周率71=周长+直径=3.14

所以,圆的周长(c)公式:c=nd,c=2nrd=C-e-n)r=C4-n-e-2

圆周率是一个无限不循环小数,3.14是近似值。

3、周长的变化的规律:半径扩大多少倍直径也扩大多少倍,

周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。

4、半圆周长=圆周长一半+直径=7ir+d=5.14r

三、圆的面积

1、圆面积公式的推导、5、环形面积=大圆-小圆=$环=nR2

—nr2

两个圆:半径比=直径比=周长比;而面积比等于这比

的平方。

如图把一个圆沿直径等分成若干份,剪开拼成长方形,份数

越多拼成的图像越接近长方形。

圆的周长的一半=长方形的长

长方形面积=长、宽圆的半径=长方形的宏

所以:国的面枳=圆的周长的一半(pr)x圆的半径(r)

S=SirAArAx/r=Trr2

2、在面积相等时,圆的周长最短,而长方形的周长最长;(越

扁周长越长)

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3、在周长相等时,圆的面积最大,而长方形的面积最小(越

圆面积越大)

3、圆面积的变化的规律:半径扩大多少倍,直径、周长也同

时扩大多少倍,圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平

方倍。

4、扇形面积=Tir2xn+360(n表示扇形圆心角的度数)

第六单元百分数(一)

一、百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几的数

叫做百分数。百分数又叫百分比或百分率,百分数不能带单位。

注意:百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的,表示

两个数的比。

1、百分数和分数的区别和联系:

(1)联系:都可以用来表示两个量的倍比关系。

(2)区别:意义不同:百分数只表示倍比关系,不表示具

体数量,所以不能带单位。分数不仅表示倍比关系,还能带单位

表示具体数量。百分数的分子可以是小数,分数的分子只可以是

整数。

2、小数、分数、百分数之间的互化

(1)百分数化小数:小数点向左移动两位,去掉"%"。

(2)小数化百分数:小数点向右移动两位,添上"%”。

(3)百分数化分数:先把百分数写成分母是100的分数,

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然后再化简成最简分数。

(4)分数化百分数:分子除以分母得到小数,(除不尽的

保留三位小数)然后化成百分数。

(5)小数化分数:把小数成分母是10、100.1000等的分

数再化简。

(6)分数化小数:分子除以分母。

二、百分数应用题

1、常见的百分率的计算方法:

要求量(就是XX所代表的信息、)

XX率=X100%

单位“1”的量(总量)

一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出斛达不到100%,

2、求一个数比另一个数多(或少)百分之几,实际生活中,

求甲比乙多百分之几:(甲-乙)+乙

求乙比甲少百分之几:(甲-乙)+甲

3、求一个数的百分之几是多少。一个数(单位“1〃)x百分

4、已知一个数的百分之几是多少,求这个数。

部分量+百分率=一个数(单位“1〃)

5、百分数应用题型分类

(1)求甲是乙的百分之几一一(甲・乙)xl00%=百分之几

(2)求甲比乙多百分之几一一(甲-乙)小乙X100%

(3)求乙比甲少百分之几一一(甲-乙)+甲“00%

第七单元扇形统计图的意义

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1、扇形统计图的意义:用整个圆的面积表示总数,用圆内

各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系,也就是各部分数

量占总数的百分比,因此也叫百分比图。部分量+总量=百分率总

量X百分率=部分量部分量+百分率=总量2、常用统计图的优点:

(1)条形统计图直观显示每个数量的多少。

(2)折线统计图能直观显示数量的增减变化,还可清晰看

出各个数量的多少。

(3)扇形统计图直观显示部分和总量的关系。

第八单元数学广角-数与形

2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=(110)

规律:从2开始的n个连续偶数的和等于nx(n+l)。

从1开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。

汇总三

第一单元位置

1、用数对表示位置,应该先写列数,再写行数,前后顺序

不能颠倒,要用小括号把列数和行数括起来,并在列数和行数之

间写一个逗号,把两个数隔开。例如:数对(5,3)表示第5列

第3行,读作:五三。

2、竖排叫列(从左往右看),横排叫行(实际生活中是从

前往后看)(在图上是从下往上看)。

3、图形左右平移,列数变化,行数不变;图形上下平移,

行数变化,列数不变。

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第二单元分数乘法

一、分数乘法

(一)分数乘法的意义:

1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。就是求几个相同加

数的和的简便运算。

例如:-X5表示求5个邑的和是多少?或表示:-的5倍是多少?

999

2、一个数乘分数是求一个数的几分之几是多少。

例如:色X;表示求色的;是多少?9X3表示求9的;是多少?

949444

(二)、分数乘法的计算法则:

1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不

变。(整数和分母能约分的,可以先约分,再计算.)

2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的

积做分母。

3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。注意:当

带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。

4、分数的基本性质:分子、分母同时乘或者除以一个相同

的数(0除外),分数的大小不变。

(三)规律:(乘法中比较大小时)

一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。

一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个

数。

一个数(0除外)乘1,积等于这个数。

第22页共38页

(四)分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

先乘、除后加、减,有括号的先算括号里面的,再算括号外面的。

(五)整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘

法也同样适用。

乘法交换律:axb=bxa

乘法结合律:(axb)xc=ax(bxc)

乘法分配律:(a±b)xc=ac±bc

二、分数乘法的解决问题(已知单位"1〃的量)

1、画线段图:

(1)两个量的关系:画两条线段图;

(2)部分和整体的关系:画一条线段图。

2、找单位“1〃:

在分率句中分率的前面;或者"占〃"是〃”比〃的后面。

3、求一个数的几倍:用一个数x几倍;

求一个数的几分之几是多少:用一个数x几分之几(分率)

4、写数量关系式技巧:

(1)”的〃相当于x"占〃"是〃"比〃相当于"="

(2)分率前是"的":用单位"1”的量x分率=分率对应量

(3)分率前是“多或少〃的意思:用单位“1〃的量x(1士分

率)=分率对应量

三、倒数

1、倒数的意义:乘积是1的两个数互为倒数。

第23页共38页

强调:互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,

倒数不能单独存在。(要说清谁是谁的倒数)。

2、求倒数的方法:

(1)、求分数的倒数:交换分子分母的位置。

(2)、求整数的倒数:把整数看作分母是1的分数,再交

换分子分母的位置。

(3)、求带分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。

(4)、求小数的倒数:把小数化为分数,再求倒数。

3、1的倒数是1;0没有倒数。。(因为1x1=1;0乘任

何数都得0)

4、对于任意数a(awO),它的倒数a(l);非零整数a的倒

数为a(l);分数a(b)的倒数是b(a);

5、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带

分数的倒数小于lo

第三单元分数除法

一、分数除法

1、分数除法的意义:

分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和

其中一个因数,求另一个因数的运算。

乘法:因数X因数=积除法:积+一个因数=另一个因数

2、分数除法的计算法则:

甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。

第24页共38页

分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数

再计算。

3、规律(分数除法比较大小时):

(1)、当除数大于1,商小于被除数;

(2)、当除数小于1(不等于0),商大于被除数;

(3)、当除数等于1,商等于被除数。

4、运算顺序:

(1)在没有括号的算式里,要先算乘、除法,再算加、减

法。

(2)连除:按照从左往右的顺序进行计算;或者先把所有

除法转化成乘法再计算。

(3)一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算

小括号里面的,再算中括号里面的。

二、分数除法解决问题

分数除法解决问题:(也就是已知单位“甘的几分之几是多

少,求单位“1”的量。)

1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:

(1)分率前是”的〃:单位“1〃的量x分率=分率对应量)(2)

分率前是"多或少”的意思:单位"1"的量x(1±分率)=分率对

应量

2、解法:(建议:最好用方程解答)

(1)方程:根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。

第25页共38页

(2)算术(用除法)分率对应量+对应分率=单位"1"的量

3、求一个数是另一个数的几分之几:方法是:一个数+另

一个数

4、求一个数比另一个数多(少)几分之几:方法是:两个

数的相差量+单位“r的量

或者:①求多几分之几:大数+小数-1

②求少几分之几:1-小数+大数

三、比和比的应用

(一)、比的意义

1、比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。

2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后

面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。

例如15:10=15+10=2⑶(比值通常用分数表示,也可以用小

数或整数表示)

3、比可以表示两个同类量的关系,即倍数关系。也可以

表示两个不同类量的比,得到一个新量。例:路程+速度=时

间。

4、区分比和比值

比:表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数

表不。

比值:相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是

小数。、5、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分

第26页共38页

数形式。

6、比和除法、分数的联系:

比前项比号比“后项比值

除法被除数除号除数商

分数分子分数线j分母分数值

7、比和除法、分数的区别:除法是一种运算,分数是一个

数,比表示两个数的关系。

8、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为Oo

体育比赛中出现两队的分是2:0等,这只是一种记分的形式,

不表示两个数相除的关系。

(二)比的基本性质

1、商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0

除外),商不变。

分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数

(0除外),分数值不变。

比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0

除外),比值不变。

2、最简单的整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互

质数,这样的比就是最简单的整数比。

3、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。

4.化简比:

(1)依据比的基本性质

①两个整数的比:用比的前项和后项同时除以它们的最大

第27页共38页

公因数。

②两个分数的比:用前项后项同时乘分母的最小公倍数,

再按化简整数比的方法来化简。

③两个小数的比:先把比的前项和后项的小数点同时向右

移动相同的位数,转化成整数比再化简。

(2)用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。

如:目二3+士金

94949327

5.求比值

求比值的方法是用比的前项除以后项,结果是一个数(或分

数),相当于商,不是比。

6、按比例分配:把一个数量按照一定的比来进行分配。这

种方法通常叫做按比例分配。

按比例分配问题的解题步骤一般是:①先根据比求出总份

数;②再求出各部分量占总量的几分之几;③求出各部分的数

量。

7、路程一定,速度比和时间比成反比。(如:路程相同,

速度比是4:5,时间比则为5:4)

工作总量一定,工作效率和工作时间成反比。(如:工作

总量相同,工作时间比是3:2,工作效率比则是2:3)

第四单元圆

一、认识圆

1、圆的定义:圆是由曲线围成的一种平面图形。

第28页共38页

2、圆的特征:外形美观,易滚动。

3、圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的

一点,这一点叫做圆心。一般用字母0表示。它到圆上任意一

点的距离都相等.

4、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般

用字母r表示。把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半

径。

5、画圆步骤:定半径、定圆心、旋转一周。

6、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一

般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。

7、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。

8、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。所有

的半径都相等,所有的直径都相等。

9.在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长

度是直径的2(1)。

用字母表示为:d=2r或r=2(d)

10、轴对称图形:

如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重

合,这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。

11、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴。这些

图形都是轴对称图形。

12、只有1条对称轴的图形有:角、等腰三角形、等腰梯

第29页共38页

形、扇形、半圆。

只有2条对称轴的图形是:长方形

只有3条对称轴的图形是:等边三角形

只有4条对称轴的图形是:正方形

有无数条对称轴的图形是:圆、圆环。

二、圆的周长

L圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C

表不。

2、圆周率实验:在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度

对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。发现一般规律,就

是圆周长与它直径的比值是一个固定数(n)o

3.圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固

定的数,我们把它叫做圆周率。用字母n(pai)表示。

(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值

是一个固定的数。圆周率n是一个无限不循环小数。在计算时,

一般取n=3.14。

(2)、在判断时,圆周长与它直径的比值是71倍,而不是3.14

倍。

(3)、世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人是

我国的数学家祖冲之。

4、圆的周长公式:C=nd或C=2nr•由圆的周长公式可以得

到:

第30页共38页

计算方法:211r+2即nr

(2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。计算方法

nr+2r即5.14r

三、圆的面积

1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S

表不。

2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做

扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。

3、圆面积公式的推导:

(1)、用逐渐逼近的转化思想:体现化圆为方,化曲为直;

化新为旧,化未知为已知,化复杂为简单,化抽象为具体。

(2)、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成

的图形越接近长方形。

(3)、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。长方形的长

=圆的周长的一半长方形的宽=圆的半径因为:长方形面积=

长x宽,所以:圆的面积=圆周长的一半x圆的半径

用字母表示为:SH=|Xr=nrXr=打一由圆的面积公式可以知道:1=S+n

4、环形的面积=大圆的面积一小圆的面积

一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是ro(R=r+环

的宽度.)环形的面积用字母表示为:S环=TIR2—nr2或者S环

=n(R2—r2)

5、扇形的面积计算公式:S=nrJX-J-(n表示扇形圆心角的度数)

第31页共38页

6、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或

缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这个倍数的平方

倍。

例如:在同一个圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就

都扩大3倍,而面积扩大9倍。

7、两个圆:半径比=直径比=周长比;而面积比等于这

比的平方。例如:两个圆的半径比是2:3,那么这两个圆的

直径比和周长比都是2:3,而面积比是4:9

8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,

即:4:Ho

9、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正

方形居中,长方形面积最小。反之,当面积相同时,长方形的周

长最长,正方形居中,圆周长最短。

10、确定起跑线:

(1)、每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长

+两个直道的长度。

(2)、每条跑道直道的长度都相等,而各圆周长决定每条

跑道的总长度。(因此起跑线不同)

(3)、每相邻两个跑道相隔的距离是:2xnx跑道的宽度

(4)、当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2元

a厘米;当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加na

厘米。

第32页共38页

11,常用各二值结果:

n=3.142n=6.283n=9.42n=12.565n=15.7

6n=18.847n=21.988n=25.129n=28.26lOn=31.4

12、常用平方数结果112=121122=144132=169142=196

152=225

162=256172=289182=324192=361

第五单元百分数

一、百分数的意义和写法

1、百分数的意义:百分数表示一个数是另一个数的百分之

几。

百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比。

2、百分数和分数的主要联系与区别:

(1)联系:都可以表示两个量的倍比关系。

(2)区别:①、意义不同:百分数只表示两个数的倍比

关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位名称;分数既可以

表示两个数的关系,又可以表示具体的数,表示具体数时可以带

单位名称。

②、百分数的分子可以是整数,也可以是小数;分数的分

子不能是小数,只能是除0以外的自然数。

3、百分数的写法:通常不写成分数形式,而在原来分子后

面加上"%”来表示。

二、百分数和分数、小数的互化

第33页共38页

(一)百分数与小数的互化:

1、小数化成百分数:把小数点向右移动两位,同时在后面

添上百分号。

2.百分数化成小数:把百分号去掉,同时把小数点向左移

动两位,位数不够时,可以用0补足。

(二)百分数的和分数的互化

L百分数化成分数:先把百分数改写成分母是100的分数,

然后能约分要约成最简分数。

2、分数化成百分数:①用分数的基本性质,把分数化成

分母是100的分数,然后再写成百分数形式。②先把分数化

成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。

(三)常见的分数与小数、百分数之间的互化

-=0.5=50«-=0.25=25%-=0.75=75%

244

19

-=0.2=20%-=0.4=40«-=0.6=60%

553

41q5

-=0.8=80%-=0.125=12.5%-=0.375:=37.5%-=0.625=62.5%

5888

7

-=0.875=87.5%

8

三、用百分数解决问题

(一)一般应用题

1、百分率就是求一个数是另一个数的百分之几。常见的百

分率的计算方法:

第34页共38页

发芽率100%成活率=

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