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文档简介
人教版六年级上册数学知识点汇总
汇总一
第一单元分数乘法
一、分数乘法
(一)分数乘法的意义:
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。
都是求几个相同加数的和的简便运算。
2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。
(二)、分数乘法的计算法则:
1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不
变。
2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的
积做分母。
注意
(1)分数的化简:分子、分母同时除以它们的最大公因数。
(2)关于分数乘法的计算:可在乘的过程中约分,也可将
积的分子分母约分,提倡在计算过程中约分,这样简便。
(3)当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数
再进行计算。
(三)、规律:(乘法中比较大小时)
一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。
一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数。
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一个数(0除外)乘工,积等于这个数。
(四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。
(五)、整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘
法也同样适用。
乘法交换律:axb=bxd
乘法结合律:axbxc=ax(bxc)
乘法分配律:ax(b+c)=ab+ac或ax(b-c)=ab-ac
二、分数乘法的解决问题
(已知单位“1〃的量(用乘法),求单位“1〃的几分之几是多
少)
1、找单位“甘:”占〃、"是〃、"比〃的后面
2、求一个数的几倍是多少;求一个数的几分之几是多少。
用乘法
三、倒数
1、倒数的意义:乘积是1的两个数互为倒数。
(互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数
不能单独存在。)
2、求倒数的方法:
(1)、求分数的倒数:交换分子分母的位置。
(2)、求整数的倒数:把整数看做分母是1的分数,再交
换分子分母的位置。
(3)、求带分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。
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(4)、求小数的倒数:把小数化为分数,再求倒数。
3、1的倒数是1;0没有倒数。
4、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分
数的倒数小于lo
第三单元分数除法
一、分数除法
1、分数除法的意义:
分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和
其中一个因数,求另一个因数的运算。
2、分数除法的计算法则:除以一个不为0的数,等于乘
这个数的倒数。
3、规律(分数除法比较大小时):
(1)当除数大于1,商小于被除数;
(2)当除数小于1(不等于0),商大于被除数;
(3)当除数等于1,商等于被除数。
4、分数混合运算顺序:
(1)同级运算要按从左往右顺序计算。
(2)先算乘、除后算加、减,有括号的,要先算括号里面
的
(3)一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算
小括号里面的,再算中括号里面的。
(4)能用运算律的要用运算律。
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二、分数除法解决问题
(已知单位"1"的几分之几是多少,求单位“1”的量。)
用方程解应用题步骤:
1、解。(写“解〃字,打冒号。)
找。(找等量关系)
设。(设未知数,根据题目设未知数,问什么设什么。)
歹鼠(根据等量关系列方程)
解。(解方程)
答。(写答数)
2、求一个数是另一个数的几分之几:就一个数+另一个数
3、求一个数比另一个数多(少)几分之几:两个数的相差
量+单位“r的量
三、比和比的应用
(一)、比的意义
1、比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后
面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
3、比可以表示两个相同量的关系,即倍数关系。也可以表
示两个不同量的比,得到一个新量。
4、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为
Oo
体育比赛中出现两队的分是2:0等,这只是一种记分的形
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式,不表
两个数相除的关系。
5、比和除法、分数的联系:
比前项比号“后项比值
除法被除数除号除数商
分数分r分数线分母分数值
U____99
(二)、比的基本性质
1、(1)商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的
数(0除外),商不变。
(2)分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相
同的数时(0除外),分数值不变。
(3)比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的
数(0除外),比值不变。
2、最简整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,
这样的比就是最简整数比。
3、化简比的类型:
4.按比例分配:
把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按
比例分配。
第四单元圆
一、认识圆形
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1、圆的定义:圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的
一点,这一点叫做圆心。一般用字母0表示。它到圆上任意一点
的距离都相等.
3、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般
用字母r表示。
把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一
般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。所有
的半径都相等,所有直径都相等。
7、在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长
度是直径的1/2o
用字母表示为:£|=2「或「=£|/2
8、轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的
图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直
线叫做对称轴。
二、圆的周长
1、圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母
C表示。
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2、圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固
定的数,我们把它叫做圆周率。用字母二(pai)表示。圆周
率二是一个无限不循环小数。在计算时,一般取冗=3.14。
3、圆的周长公式:C=ndfd=C或C=2nrfr=C+2冗
已知直径求周长:C=nd已知半径求周长:C=2nr
已知周长求直径:d=C+n已知周长求半径:r=C-rn-?2
三、圆的面积
1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S
表不。
2、圆面积公式的推导:
用逐渐逼近的转化思想:体现化圆为方,化曲为直;
已知半径求面积:S=nr2已知直径求面积:S=Wd+2)2
3、环形的面积:一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径
是r。
(R=r+环的宽度.)
S环=nR2—nr2或S环=n(R2—r2)。
4、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或
缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
5、两个圆:半径比=直径比=周长比;而面积比等于这
比的平方。
6、确定起跑线:
每相邻两个跑道相隔的距离是:2xnx跑道的宽度
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7、常用各二值结果:
2n=6.283元=9.424元=12.56
5元=15.76元=18.847n=21.98
8n=25.129n=28.2610n=31.4
16n=50.2425n=78.536n=113.04
常用平方数结果
1f=121^2r=14413,=169id=19615=225
m=25617=289182=324192=361
第五单元:百分数
一、概念:如18%、50%、64.2%-—这样的数,叫做百分数。
百分数表示一个数是另一个数的百分之几。百分数也叫做百分率
后百分比。
1、百分数的读法:读百分数时,先读百分之,再读百分号
前面的数,读数时按照整数的读法来读。
2、百分数的写法:百分数通常不写成分数形式,而在原来
的分子后面加上百分号"%”来表示。
3、百分数和分数的区别:百分数只能表示两个数的比的关
系,而分数不仅可以表示数的关系,还可以表示成一个具体的量,
可以带上单位名称。
4、百分数和小数及分数的互化
(1)小数化成百分数:把小数点向右移动两位再在数的后
面加上百分号。
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(2)百分数化成小数:把百分号去掉,同时把小数点向左
移动两位。
(3)百分数化成分数:化成分母是100的分数,能约分的
要约分。如果百分数分子是小数,要先根据分数的基本性质,把
百分数改写成分数是整数的分数,再约分。
(4)分数化成百分数有两种方法:一种是根据分数的基本
性质,把分数的分母化成为100的分数,然后改写成百分数。另
一种是先把分数化成小数,在利用小数化百分数的方法。(利用
第二种时,除不尽,通常保留三位小数)
二:用百分数解决问题:
1、在生产工作中常用的百分率有:
及格率=警辔X100%增产率=普鹭二*100%
总人数原来的产里
♦格率=鬻L品总鬻数xioo%出勒率=应罂该出舞勤人愕数xioo%
一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,
出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以
超过100%o
2、解答百分数应用题时,要注意弄清楚谁和谁比,比的标
准不同,单位“甘也不同,解题时要注意找准把谁看单位“1〃。
3、在实际生活中,人们常用“增加百分之几〃、“减少百分之
几〃、“节约百分之几来表示增加、减少的幅度。(占谁的把
谁看成单位"1")
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4、税收主要分为消费税、增值税、营业税和个人所得税等
几类。缴纳的税款叫做应纳税额,应纳税额与各种收入(销售额、
营业额一-)的比率叫做税率。
5、在银行存款的方式有多种,如活期、整存整取、零存整
取等。存入银行的钱叫做本金;取款时银行多付的钱叫做利息,
利息与本金的比值叫做利率。
6、国家规定,存款所得的利息要按5%的税率纳税,这个税
叫‘利息税〃。我们从银行取款时得到的利息都是税后利息。国债
的利息不纳税。
利息=本金x利率x时间
7、成数、打折、利润、利息、税收应用题的解题公式:
(1)含义:五成的含义是:收成是50%,二成五的含义是:
收成是25%
八折的含义是:现价是原价的80%,或按原价的80%出售,
或降了20%;
八五折的含义是:现价是原价的85%,或按原价的85%出售,
或降了15%o
(2)公式:
现价=原价x折数(通常写成百分数形式)
利润=售价-成本
应纳税额=需要交税的钱X税率
利息=本金X利率X时间
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第六章:统计
1、常用统计图:条形统计图、折线统计图、扇形统计图。
2、用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形的大小表示
各部分数量占总数的百分数,这样的统计图我们称为扇形统计
图。特点:通过扇形统计图我们可以很清楚地表示出各部分数量
同总数之间的关系。
3、条形统计图的的特点:条形统计图可以清楚地看出每个
数量的多少。折线统计图的特点:折线统计图不仅可以看出数
量的多少而且可以看出数量的增减变化情况。
第七单元:数学广角
1、用表格方式解决有局限性,数目必须小,
2、用假设法解决
3、用代数方法解(用方程解)
(1)审题,弄清题意
(2)找等量关系
(3)设未知数,根据题目设未知数,问什么设什么。)
(4)根据等量关系列方
(5)解方程)
(6)(答)。
汇总二
(2)分数化简的方法是:分子、分母同时除以它们的最大
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公因数。
(3)在乘的过程中约分,是把分子、分母中,两个可以约
分的数先划去,再分别在它们的上、下方写出约分后的数。(约
分后分子和分母必须不再含有公因数,这样计算后的结果才是最
简单分数)。
(三)积与因数的关系:
一个数(0除外)乘小于1的数(真分数),积小于它本身。
一个数(0除外)乘大于1的数(假分数),积大于或等于
它本身。
一个数(0除外)乘大于1的数(带分数),积大于它本身。
(四)分数乘法混合运算
1、分数乘法混合运算顺序与整数相同,先乘、除后加、减,
有括号的先算括号里面的,再算括号外面的。
2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用;
乘法交换律:axb=bxa乘法结合律:(axb)xc=ax(bxc)
乘法分配律:ax(b±c)=axb±axca-?b^c=a4-(bxc)
(五)倒数的意义:乘积为1的两个数互为倒数。0没有倒
数
1、倒数是两个数的关系,它们互相依存,不能单独存在。
单独一个数不能称为倒数。(必须说清谁是谁的倒数)
2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是:两数相乘的积
是否为"1"、
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3、求倒数的方法:
(①求分数的倒数:交换分子、分理的位置.、
②求整数的倒数:整数做分母,分子改写成1
③求带分数的倒数:先化成假分数,再按照分数的方法求倒数.
.④求小数的倒数:先把小数化成分数再求倒数,,
4、1的倒数是它本身,因为1x1=1
5、真分数的倒数是假分数,真分数的倒数大于1,也大于
它本身。
假分数的倒数小于或等于1。带分数的倒数小于1。
(六)分数乘法应用题一一用分数乘法解决问题
1、求一个数的几分之几是多少?(用乘法)
已知单位“1〃的量,求单位“1〃的量的几分之几是多少,用单
位"1〃的量与分数相乘。
2、巧找单位“1”的量:在含有分数(分率)的语句中,
团”占〃”是〃“比〃字后面的量是单位“r,分率前面的量就是单位
3、求甲比乙多(少)几分之几?(相差的量+单位“1〃的量)
甲比乙多百分之几:(甲-乙)+乙乙比甲少百分之几:(乙
-甲)。甲
第二单元位置与方向(二)
1、什么是数对?数对:(列,行)即“先列后行〃。
2、确定物体位置的方法:
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(1)、先找观测点;(2)、再定方向(看方向夹角的度数);
(3)、最后确定距离。
描绘路线图的关键是选好观测中心,建立方向标,确定方向
和路程。
第三单元分数的除法
一、分数除法的意义:分数除法是分数乘法的逆运算,已知
两个数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
二、分数除法计算法则:除以一个数(0除外),等于乘上
这个数的倒数。
1、被除数+除数=被除数x除数的倒数。
2、除法转化成乘法时,被除数一定不能变,"+〃变成"x〃,除
数变成它的倒数。
3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假
分数再计算。
4、被除数与商的变化规律:
①除以大于1的数(假分数),商小于被除数:
②除以小于1的数(真分数),商大于被除数:
三、分数除法混合运算
1、运算顺序:
①同级运算,按照从左往右的顺序进行计算;先把所有除
法转化成乘法再计算;
②混合运算:先乘、除后加、减,有括号的先算括号里面,
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再算括号外面。
第四单元比
比:两个数相除也叫两个数的比
1、比式中,比号(:)前面的数叫前项,比号后面的项叫
做后项,比号相当于除号,比的前项除以后项的商叫做比值。
2、比表示的是两个数的关系,可以用分数表示,写成分数
的形式,读作几比几。例:12:20==12+20==0.612:20读作:
12比20
区分比和比值:比值是一个数,通常用分数表示,也可以是
整数、小数。
比是一个式子,表示两个数的关系,可以写成比,也可以写
成分数的形式。
3、比的基本性质:比的前项和后项同时乘以或除以相同的
数(0除外),比值不变。
4、化简比:化简之后结果还是一个比,不是一个数。
(1)整数比:用比的前项和后项同时除以它们的最大公约
数。
(2)两个分数的比:用前项除以后项,商就是最简整数比
(3)两个小数的比,向右移动小数点的位置,也是先化成
整数比。
5、求比值:用前项除以后项,结果是一个数(或分数),
相当于商,不是比。
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6、比和除法、分数的区别:
联系区别
比前项后项比值两个敖之邮倍数关系
除法破除数-5-除数商一种运算
分效分子—分母分数值_爆
商不变性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),
商不变。
分数的基本性质:分子和分母同时乘或除以相同的数(0除
外),分数的大小不变。
分数除法和比的应用
1、已知单位"1"的量用乘法。2、未知单位“1”的量用除法。
3、分数应用题基本数量关系(把数量比看成份数之比)
4、按比例分配:把一个量按一定的比分配的方法叫做按比
例分配。
5、画线段图:
(1)找出单位"1”的量,先画出单位“1〃,标出已知和未知。
(2)分析数量关系。(3)找等量关系。(4)列方程。
第五单元圆
一、圆的特征
1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。
2、圆的特征:、
3、圆心0:圆中心的点叫做圆心.圆心一般用字母0表示。
圆多次对折之后,折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定
圆的位置。
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半径r:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一
个圆里,有无数条半径,且所有的半径都相等。半径确定圆的大
小。
直径d:通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个
圆里,有无数条直径,且所有的直径都相等。直径是圆内最长的
线段。
同圆或等圆内直径是半径的2倍:d=2r或r=d+2
4、等圆:半径相等的圆叫做同心圆,等圆通过平移可以完
全重合。同心圆:圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
5、圆是轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两
侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。折痕所在的直
线叫做对称轴。
有一条对称轴的图形:半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、
角。
有二条对称轴的图形:长方形有三条对称轴的图形:等边三
角形
有四条对称轴的图形:正方形有无条对称轴的图形:圆,圆
环
6、画圆
(1)圆规两脚间的距离是圆的半径。
二、圆的周长:
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,周长用字母C表示。
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1、圆的周长总是直径的三倍多一些。
2、圆周率:圆的周长与直径的比值是一个固定值,叫做圆
周率,用字母二表示。
即:圆周率71=周长+直径=3.14
所以,圆的周长(c)公式:c=nd,c=2nrd=C-e-n)r=C4-n-e-2
圆周率是一个无限不循环小数,3.14是近似值。
3、周长的变化的规律:半径扩大多少倍直径也扩大多少倍,
周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。
4、半圆周长=圆周长一半+直径=7ir+d=5.14r
三、圆的面积
1、圆面积公式的推导、5、环形面积=大圆-小圆=$环=nR2
—nr2
两个圆:半径比=直径比=周长比;而面积比等于这比
的平方。
如图把一个圆沿直径等分成若干份,剪开拼成长方形,份数
越多拼成的图像越接近长方形。
圆的周长的一半=长方形的长
长方形面积=长、宽圆的半径=长方形的宏
所以:国的面枳=圆的周长的一半(pr)x圆的半径(r)
圆
S=SirAArAx/r=Trr2
2、在面积相等时,圆的周长最短,而长方形的周长最长;(越
扁周长越长)
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3、在周长相等时,圆的面积最大,而长方形的面积最小(越
圆面积越大)
3、圆面积的变化的规律:半径扩大多少倍,直径、周长也同
时扩大多少倍,圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平
方倍。
4、扇形面积=Tir2xn+360(n表示扇形圆心角的度数)
第六单元百分数(一)
一、百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几的数
叫做百分数。百分数又叫百分比或百分率,百分数不能带单位。
注意:百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的,表示
两个数的比。
1、百分数和分数的区别和联系:
(1)联系:都可以用来表示两个量的倍比关系。
(2)区别:意义不同:百分数只表示倍比关系,不表示具
体数量,所以不能带单位。分数不仅表示倍比关系,还能带单位
表示具体数量。百分数的分子可以是小数,分数的分子只可以是
整数。
2、小数、分数、百分数之间的互化
(1)百分数化小数:小数点向左移动两位,去掉"%"。
(2)小数化百分数:小数点向右移动两位,添上"%”。
(3)百分数化分数:先把百分数写成分母是100的分数,
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然后再化简成最简分数。
(4)分数化百分数:分子除以分母得到小数,(除不尽的
保留三位小数)然后化成百分数。
(5)小数化分数:把小数成分母是10、100.1000等的分
数再化简。
(6)分数化小数:分子除以分母。
二、百分数应用题
1、常见的百分率的计算方法:
要求量(就是XX所代表的信息、)
XX率=X100%
单位“1”的量(总量)
一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出斛达不到100%,
2、求一个数比另一个数多(或少)百分之几,实际生活中,
求甲比乙多百分之几:(甲-乙)+乙
求乙比甲少百分之几:(甲-乙)+甲
3、求一个数的百分之几是多少。一个数(单位“1〃)x百分
4、已知一个数的百分之几是多少,求这个数。
部分量+百分率=一个数(单位“1〃)
5、百分数应用题型分类
(1)求甲是乙的百分之几一一(甲・乙)xl00%=百分之几
(2)求甲比乙多百分之几一一(甲-乙)小乙X100%
(3)求乙比甲少百分之几一一(甲-乙)+甲“00%
第七单元扇形统计图的意义
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1、扇形统计图的意义:用整个圆的面积表示总数,用圆内
各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系,也就是各部分数
量占总数的百分比,因此也叫百分比图。部分量+总量=百分率总
量X百分率=部分量部分量+百分率=总量2、常用统计图的优点:
(1)条形统计图直观显示每个数量的多少。
(2)折线统计图能直观显示数量的增减变化,还可清晰看
出各个数量的多少。
(3)扇形统计图直观显示部分和总量的关系。
第八单元数学广角-数与形
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=(110)
规律:从2开始的n个连续偶数的和等于nx(n+l)。
从1开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。
汇总三
第一单元位置
1、用数对表示位置,应该先写列数,再写行数,前后顺序
不能颠倒,要用小括号把列数和行数括起来,并在列数和行数之
间写一个逗号,把两个数隔开。例如:数对(5,3)表示第5列
第3行,读作:五三。
2、竖排叫列(从左往右看),横排叫行(实际生活中是从
前往后看)(在图上是从下往上看)。
3、图形左右平移,列数变化,行数不变;图形上下平移,
行数变化,列数不变。
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第二单元分数乘法
一、分数乘法
(一)分数乘法的意义:
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。就是求几个相同加
数的和的简便运算。
例如:-X5表示求5个邑的和是多少?或表示:-的5倍是多少?
999
2、一个数乘分数是求一个数的几分之几是多少。
例如:色X;表示求色的;是多少?9X3表示求9的;是多少?
949444
(二)、分数乘法的计算法则:
1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不
变。(整数和分母能约分的,可以先约分,再计算.)
2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的
积做分母。
3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。注意:当
带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。
4、分数的基本性质:分子、分母同时乘或者除以一个相同
的数(0除外),分数的大小不变。
(三)规律:(乘法中比较大小时)
一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。
一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个
数。
一个数(0除外)乘1,积等于这个数。
第22页共38页
(四)分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。
先乘、除后加、减,有括号的先算括号里面的,再算括号外面的。
(五)整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘
法也同样适用。
乘法交换律:axb=bxa
乘法结合律:(axb)xc=ax(bxc)
乘法分配律:(a±b)xc=ac±bc
二、分数乘法的解决问题(已知单位"1〃的量)
1、画线段图:
(1)两个量的关系:画两条线段图;
(2)部分和整体的关系:画一条线段图。
2、找单位“1〃:
在分率句中分率的前面;或者"占〃"是〃”比〃的后面。
3、求一个数的几倍:用一个数x几倍;
求一个数的几分之几是多少:用一个数x几分之几(分率)
4、写数量关系式技巧:
(1)”的〃相当于x"占〃"是〃"比〃相当于"="
(2)分率前是"的":用单位"1”的量x分率=分率对应量
(3)分率前是“多或少〃的意思:用单位“1〃的量x(1士分
率)=分率对应量
三、倒数
1、倒数的意义:乘积是1的两个数互为倒数。
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强调:互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,
倒数不能单独存在。(要说清谁是谁的倒数)。
2、求倒数的方法:
(1)、求分数的倒数:交换分子分母的位置。
(2)、求整数的倒数:把整数看作分母是1的分数,再交
换分子分母的位置。
(3)、求带分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。
(4)、求小数的倒数:把小数化为分数,再求倒数。
3、1的倒数是1;0没有倒数。。(因为1x1=1;0乘任
何数都得0)
4、对于任意数a(awO),它的倒数a(l);非零整数a的倒
数为a(l);分数a(b)的倒数是b(a);
5、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带
分数的倒数小于lo
第三单元分数除法
一、分数除法
1、分数除法的意义:
分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和
其中一个因数,求另一个因数的运算。
乘法:因数X因数=积除法:积+一个因数=另一个因数
2、分数除法的计算法则:
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
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分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数
再计算。
3、规律(分数除法比较大小时):
(1)、当除数大于1,商小于被除数;
(2)、当除数小于1(不等于0),商大于被除数;
(3)、当除数等于1,商等于被除数。
4、运算顺序:
(1)在没有括号的算式里,要先算乘、除法,再算加、减
法。
(2)连除:按照从左往右的顺序进行计算;或者先把所有
除法转化成乘法再计算。
(3)一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算
小括号里面的,再算中括号里面的。
二、分数除法解决问题
分数除法解决问题:(也就是已知单位“甘的几分之几是多
少,求单位“1”的量。)
1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
(1)分率前是”的〃:单位“1〃的量x分率=分率对应量)(2)
分率前是"多或少”的意思:单位"1"的量x(1±分率)=分率对
应量
2、解法:(建议:最好用方程解答)
(1)方程:根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。
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(2)算术(用除法)分率对应量+对应分率=单位"1"的量
3、求一个数是另一个数的几分之几:方法是:一个数+另
一个数
4、求一个数比另一个数多(少)几分之几:方法是:两个
数的相差量+单位“r的量
或者:①求多几分之几:大数+小数-1
②求少几分之几:1-小数+大数
三、比和比的应用
(一)、比的意义
1、比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后
面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
例如15:10=15+10=2⑶(比值通常用分数表示,也可以用小
数或整数表示)
3、比可以表示两个同类量的关系,即倍数关系。也可以
表示两个不同类量的比,得到一个新量。例:路程+速度=时
间。
4、区分比和比值
比:表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数
表不。
比值:相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是
小数。、5、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分
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数形式。
6、比和除法、分数的联系:
比前项比号比“后项比值
除法被除数除号除数商
分数分子分数线j分母分数值
7、比和除法、分数的区别:除法是一种运算,分数是一个
数,比表示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为Oo
体育比赛中出现两队的分是2:0等,这只是一种记分的形式,
不表示两个数相除的关系。
(二)比的基本性质
1、商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0
除外),商不变。
分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数
(0除外),分数值不变。
比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0
除外),比值不变。
2、最简单的整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互
质数,这样的比就是最简单的整数比。
3、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。
4.化简比:
(1)依据比的基本性质
①两个整数的比:用比的前项和后项同时除以它们的最大
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公因数。
②两个分数的比:用前项后项同时乘分母的最小公倍数,
再按化简整数比的方法来化简。
③两个小数的比:先把比的前项和后项的小数点同时向右
移动相同的位数,转化成整数比再化简。
(2)用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。
如:目二3+士金
94949327
5.求比值
求比值的方法是用比的前项除以后项,结果是一个数(或分
数),相当于商,不是比。
6、按比例分配:把一个数量按照一定的比来进行分配。这
种方法通常叫做按比例分配。
按比例分配问题的解题步骤一般是:①先根据比求出总份
数;②再求出各部分量占总量的几分之几;③求出各部分的数
量。
7、路程一定,速度比和时间比成反比。(如:路程相同,
速度比是4:5,时间比则为5:4)
工作总量一定,工作效率和工作时间成反比。(如:工作
总量相同,工作时间比是3:2,工作效率比则是2:3)
第四单元圆
一、认识圆
1、圆的定义:圆是由曲线围成的一种平面图形。
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2、圆的特征:外形美观,易滚动。
3、圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的
一点,这一点叫做圆心。一般用字母0表示。它到圆上任意一
点的距离都相等.
4、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般
用字母r表示。把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半
径。
5、画圆步骤:定半径、定圆心、旋转一周。
6、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一
般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。
7、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
8、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。所有
的半径都相等,所有的直径都相等。
9.在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长
度是直径的2(1)。
用字母表示为:d=2r或r=2(d)
10、轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重
合,这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
11、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴。这些
图形都是轴对称图形。
12、只有1条对称轴的图形有:角、等腰三角形、等腰梯
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形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是:长方形
只有3条对称轴的图形是:等边三角形
只有4条对称轴的图形是:正方形
有无数条对称轴的图形是:圆、圆环。
二、圆的周长
L圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C
表不。
2、圆周率实验:在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度
对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。发现一般规律,就
是圆周长与它直径的比值是一个固定数(n)o
3.圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固
定的数,我们把它叫做圆周率。用字母n(pai)表示。
(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值
是一个固定的数。圆周率n是一个无限不循环小数。在计算时,
一般取n=3.14。
(2)、在判断时,圆周长与它直径的比值是71倍,而不是3.14
倍。
(3)、世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人是
我国的数学家祖冲之。
4、圆的周长公式:C=nd或C=2nr•由圆的周长公式可以得
到:
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计算方法:211r+2即nr
(2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。计算方法
nr+2r即5.14r
三、圆的面积
1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S
表不。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做
扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导:
(1)、用逐渐逼近的转化思想:体现化圆为方,化曲为直;
化新为旧,化未知为已知,化复杂为简单,化抽象为具体。
(2)、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成
的图形越接近长方形。
(3)、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。长方形的长
=圆的周长的一半长方形的宽=圆的半径因为:长方形面积=
长x宽,所以:圆的面积=圆周长的一半x圆的半径
用字母表示为:SH=|Xr=nrXr=打一由圆的面积公式可以知道:1=S+n
4、环形的面积=大圆的面积一小圆的面积
一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是ro(R=r+环
的宽度.)环形的面积用字母表示为:S环=TIR2—nr2或者S环
=n(R2—r2)
5、扇形的面积计算公式:S=nrJX-J-(n表示扇形圆心角的度数)
第31页共38页
6、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或
缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这个倍数的平方
倍。
例如:在同一个圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就
都扩大3倍,而面积扩大9倍。
7、两个圆:半径比=直径比=周长比;而面积比等于这
比的平方。例如:两个圆的半径比是2:3,那么这两个圆的
直径比和周长比都是2:3,而面积比是4:9
8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,
即:4:Ho
9、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正
方形居中,长方形面积最小。反之,当面积相同时,长方形的周
长最长,正方形居中,圆周长最短。
10、确定起跑线:
(1)、每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长
+两个直道的长度。
(2)、每条跑道直道的长度都相等,而各圆周长决定每条
跑道的总长度。(因此起跑线不同)
(3)、每相邻两个跑道相隔的距离是:2xnx跑道的宽度
(4)、当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2元
a厘米;当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加na
厘米。
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11,常用各二值结果:
n=3.142n=6.283n=9.42n=12.565n=15.7
6n=18.847n=21.988n=25.129n=28.26lOn=31.4
12、常用平方数结果112=121122=144132=169142=196
152=225
162=256172=289182=324192=361
第五单元百分数
一、百分数的意义和写法
1、百分数的意义:百分数表示一个数是另一个数的百分之
几。
百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比。
2、百分数和分数的主要联系与区别:
(1)联系:都可以表示两个量的倍比关系。
(2)区别:①、意义不同:百分数只表示两个数的倍比
关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位名称;分数既可以
表示两个数的关系,又可以表示具体的数,表示具体数时可以带
单位名称。
②、百分数的分子可以是整数,也可以是小数;分数的分
子不能是小数,只能是除0以外的自然数。
3、百分数的写法:通常不写成分数形式,而在原来分子后
面加上"%”来表示。
二、百分数和分数、小数的互化
第33页共38页
(一)百分数与小数的互化:
1、小数化成百分数:把小数点向右移动两位,同时在后面
添上百分号。
2.百分数化成小数:把百分号去掉,同时把小数点向左移
动两位,位数不够时,可以用0补足。
(二)百分数的和分数的互化
L百分数化成分数:先把百分数改写成分母是100的分数,
然后能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数:①用分数的基本性质,把分数化成
分母是100的分数,然后再写成百分数形式。②先把分数化
成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
(三)常见的分数与小数、百分数之间的互化
-=0.5=50«-=0.25=25%-=0.75=75%
244
19
-=0.2=20%-=0.4=40«-=0.6=60%
553
41q5
-=0.8=80%-=0.125=12.5%-=0.375:=37.5%-=0.625=62.5%
5888
7
-=0.875=87.5%
8
三、用百分数解决问题
(一)一般应用题
1、百分率就是求一个数是另一个数的百分之几。常见的百
分率的计算方法:
第34页共38页
发芽率100%成活率=
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