2025版一轮高考总复习数学第二章　函数的概念与性质第三节第1课时　函数的奇偶性、周期性与对称性

第1课时函数的奇偶性、周期性与对称性函数的奇偶性考向1函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝x3－1x（2）f（x）＝x2－1（3）f（x）＝36－（4）f（x）＝x解：（1）函数的定义域为{x｜x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f（－x）＝（－x）3－1－x＝－x3－1x故函数f（x）为奇函数.（2）f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称.又f（－1）＝f（1）＝0，f（－1）＝－f（1）＝0，所以f（x）既是奇函数又是偶函数.（3）由f（x）＝36－x2｜x+3|-3，可得36－x2≥0，｜x+3|-3≠0⇒－6≤x≤6，x≠0（4）法一（图象法）画出函数f（x）＝x2＋x，x<0，x2－x，x>0的图象法二（定义法）易知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，当x＞0时，f（x）＝x2－x，则当x＜0时，－x＞0，故f（－x）＝x2＋x＝f（x）；当x＜0时，f（x）＝x2＋x，则当x＞0时，－x＜0，故f（－x）＝x2－x＝f（x），故原函数是偶函数.法三（性质法）f（x）还可以写成f（x）＝x2－｜x｜（x≠0），故f（x）为偶函数.解题技法函数奇偶性的判断方法（1）定义法（2）图象法（3）性质法：设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.提醒对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f（－x0）＝－f（x0），不能判定函数f（x）是奇函数.考向2利用函数的奇偶性求参数值【例2】（2023·全国乙卷4题）已知f（x）＝xexeax－1是偶函数，A.－2 B.－1C.1 D.2解析：D法一f（x）的定义域为{x｜x≠0}，因为f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（－x），即xexeax－1＝－xe－xe－ax－1，即e（1－a）x－ex＝－e（a－1）x＋e－x，即e（1－a）x＋e（a－1）x＝ex＋e－x，所以a法二因为f（x）是偶函数，所以f（1）－f（－1）＝eea－1－－e－1e－a－1＝e解题技法利用函数的奇偶性求参数值的解题策略（1）若定义域含参数，则利用奇（偶）函数f（x）的定义域[a，b]关于原点对称，即利用a＋b＝0求参数；（2）若解析式含参数，则根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数求解，或者根据等价变形求解，对于在x＝0处有定义的奇函数f（x），也可考虑列等式f（0）＝0求解.考向3利用奇偶性求解析式及函数值【例3】（1）已知偶函数f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝2sinx，当x∈[2，＋∞）时，f（x）＝log2x，则f（－π3）＋f（4）＝（CA.－3＋2 B.1C.3＋2 D.3（2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2－x＋1，则函数f（x）的解析式为f（x）＝x2－解析：（1）∵函数f（x）是偶函数，当x∈[0，2）时，f（x）＝2sinx，∴f（－π3）＝f（π3）＝2sinπ3＝3.又∵当x∈[2，＋∞）时，f（x）＝log2x，∴f（4）＝log24＝2，∴f（－π3）＋f（4（2）当x＞0时，－x＜0，所以f（－x）＝（－x）2＋x＋1＝x2＋x＋1，因为f（x）是定义在R上的奇函数，故f（0）＝0，且f（－x）＝－f（x），所以－f（x）＝x2＋x＋1，所以f（x）＝－x2－x－1，综上，函数f（x）的解析式为f（x）＝x解题技法利用函数奇偶性求解析式及函数值的解题策略（1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f（x）的解析式；（2）求函数值：利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解.1.已知函数f（x）＝x2－ax，x≤0，A.－1 B.1C.0 D.±1解析：A∵函数f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），则有f（－1）＝－f（1），即1＋a＝－a－1，即2a＝－2，得a＝－1（符合题意）.故选A.2.（多选）下列函数中为非奇非偶函数的是（）A.y＝x＋ex B.y＝xC.y＝2x＋12x D.y解析：AB记f（x）＝x＋ex，则f（－1）＝－1＋e－1，f（1）＝1＋e，显然f（－1）≠f（1），f（－1）≠－f（1），故y＝x＋ex为非奇非偶函数；y＝x2－xx－1的定义域为{x｜x≠1}，不关于原点对称，故y＝x2－xx－1为非奇非偶函数；由奇、偶函数的定义易知3.已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）＋g（x）＝2·3x，则函数f（x）＝3x＋3－x.解析：因为f（x）＋g（x）＝2·3x，所以f（－x）＋g（－x）＝2·3－x，又f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），所以f（－x）＋g（－x）＝f（x）－g（x）＝2·3－x，则f（x）＋g（x）=2·3x，f（x)-g（x）=2·函数的周期性【例4】（2024·金华调研）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋6）＝f（x），当－3≤x＜－1时，f（x）＝－（x＋2）2，当－1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2025）＝339.解析：因为f（x＋6）＝f（x），所以f（x）的周期T＝6，于是f（1）＝1，f（2）＝2，f（3）＝f（－3）＝－（－3＋2）2＝－1，f（4）＝f（－2）＝－（－2＋2）2＝0，f（5）＝f（－1）＝－1，f（6）＝f（0）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）＝1，而2025＝6×337＋3，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2025）＝337×1＋1＋2－1＝339.解题技法函数周期性的判定与应用（1）判定：判断函数为周期函数只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）即可，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题；（2）应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能.在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期.1.函数f（x）满足f（x－2）＝f（x＋2），当x∈（0，2）时，f（x）＝x2，则f（2025）＝1.解析：由f（x－2）＝f（x＋2）知f（x）的周期为4，故f（2025）＝f（506×4＋1）＝f（1）＝1.2.已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，4]上与x轴的交点有5个.解析：当0≤x＜2时，令f（x）＝x3－x＝x（x2－1）＝0，所以y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.当2≤x＜4时，0≤x－2＜2，又f（x）的最小正周期为2，所以f（x－2）＝f（x），所以f（x）＝（x－2）（x－1）（x－3），所以当2≤x＜4时，y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f（4）＝f（2）＝f（0）＝0，综上可知，共有5个交点.函数的对称性【例5】（多选）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x都有f（2＋x）＝f（2－x），且f（－x）＝f（x），则下列结论正确的是（）A.f（x）的图象关于直线x＝2对称B.f（x）的图象关于点（2，0）对称C.f（x）的周期为4D.y＝f（x＋4）为偶函数解析：ACD∵f（2＋x）＝f（2－x），则f（x）的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，则f（－x）＝f（x＋4），又f（－x）＝f（x），∴f（x＋4）＝f（x），∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f（x）为偶函数，故y＝f（x＋4）为偶函数，故D正确.解题技法求解与函数的对称性有关的问题时，先根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心，再结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题.1.已知函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）＝f（2－x）成立，且当x≥1时，f（x）＝2x－1，则（）A.f（13）＜f（32）＜f（B.f（23）＜f（32）＜f（C.f（23）＜f（13）＜f（D.f（32）＜f（23）＜f（解析：B由题意知，函数f（x）的图象的对称轴方程是x＝1，当x≥1时，f（x）＝2x－1，则函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，由f（x）的对称性知f（x）在（－∞，1）上单调递减.∵1－23＜32－1＜1－13，∴f（23）＜f（32）＜f（2.（多选）关于函数f（x）＝sinx＋1sinx有如下四个命题，其中正确的是（A.f（x）的图象关于y轴对称B.f（x）的图象关于原点对称C.f（x）的图象关于直线x＝π2D.f（x）的图象关于点（π，0）对称解析：BCD∵f（x）＝sinx＋1sinx的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}，f（－x）＝sin（－x）＋1sin(-x）＝－sinx－1sinx＝－f（x），∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B正确；∵f（π2－x）＝cosx＋1cosx，f（π2＋x）＝cosx＋1cosx，∴f（π2－x）＝f（π2＋x），∴f（x）的图象关于直线x＝π2对称，故C正确；又f（x＋2π）＝sin（x＋2π）＋1sin（x+2π）＝sinx＋1sinx，f（－x）＝－sinx－1sinx，∴f（x＋2π1.（2024·上海春考）下列函数是偶函数的是（）A.y＝sinx B.y＝cosxC.y＝x3 D.y＝3x解析：B对于B，因为cos（－x）＝cosx，所以函数y＝cosx为偶函数，故B正确；对于A，因为sin（－x）＝－sinx，所以函数y＝sinx为奇函数，故A不正确；对于C，因为（－x）3＝－x3，所以函数y＝x3为奇函数，故C不正确；对于D，因为3－x＝13x，所以函数y＝3x为非奇非偶函数，故D不正确.综上所述，2.已知函数f（x）满足对于任意的实数x，都有f（x＋3）＝1f（x），且f（3）＝13，则f（2025A.－13B.13C.－1 解析：B由f（x＋3）＝1f（x）得f（x）的周期T＝6，f（2025）＝f（337×6＋3）＝f（33.函数f（x）＝9x+13x的A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于坐标原点对称 D.关于直线y＝x对称解析：B由题意知f（x）的定义域为R，且f（x）＝32x+13x＝3x＋3－x，f（－x）＝3－x＋3x，∴f（－x）＝f（x），故f（x）为偶函数，其4.已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x－ax.若f（2）＋f（0）＝1，则f（－3）＝（A.－4 B.－3C.－2 D.1解析：A因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0.又因为f（2）＋f（0）＝1，所以f（2）＝4－a2＝1，解得a＝6，所以f（x）＝2x－6x（x＞0），所以f（－3）＝－f（3）＝－（6－635.设定义在R上的函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f（x）＝lnx－1，则f（13），f（23），f（32）的大小关系为A.f（13）＜f（23）＜f（B.f（13）＜f（32）＜f（C.f（23）＜f（32）＜f（D.f（32）＜f（13）＜f（解析：C由题意知，函数f（x）的图象如图所示，f（32）＝f（12），又因为f（x）在（－∞，1）上单调递减，所以f（13）＞f（12）＞f（23），即f（13）＞f（32）6.（多选）（2024·汕头一模）已知f（x）为奇函数，且f（x＋1）为偶函数，若f（1）＝0，则（）A.f（3）＝0B.f（3）＝f（5）C.f（x＋3）＝f（x－1）D.f（x＋2）＋f（x＋1）＝1解析：ABC因为函数f（x＋1）为偶函数，所以f（x＋1）＝f（1－x），又因为f（x）是R上的奇函数，所以f（x＋1）＝f（1－x）＝－f（x－1），所以f（x＋2）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）的周期为4，又因为f（1）＝0，f（3）＝f（－1）＝－f（1）＝0，f（5）＝f（1）＝0，故A、B正确；f（x＋3）＝f（x＋3－4）＝f（x－1），所以C正确；f（2）＝f（2－4）＝f（－2），同时根据奇函数的性质得f（2）＝－f（－2），所以f（2），f（－2）既相等又互为相反数，故f（2）＝0，所以f（2）＋f（1）＝0≠1，即f（x＋2）＋f（x＋1）＝1对于x＝0不成立，故D不正确.7.已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8（a，b是常数），且f（－3）＝5，则f（3）＝－21.解析：令g（x）＝x5＋ax3＋bx，则g（－x）＝（－x）5＋a（－x）3＋b（－x）＝－g（x），即g（x）是奇函数，依题意，g（x）＝f（x）＋8，而g（－3）＋g（3）＝0，则f（－3）＋8＋f（3）＋8＝0，又f（－3）＝5，所以f（3）＝－21.8.函数f（x）＝lg｜2x－1｜图象的对称轴方程为x＝12解析：内层函数t＝｜2x—1｜的对称轴是直线x＝12，所以函数f（x）＝lg｜2x－1｜图象的对称轴方程是x＝19.写出一个同时具有性质①②③的函数f（x）＝2sinπx2（答案不唯一）①f（x）是定义域为R的奇函数；②f（1＋x）＝f（1－x）；③f（1）＝2.解析：由题意可知，函数f（x）图象的对称轴为直线x＝1，又f（x）是定义域为R的奇函数，f（1）＝2，所以f（x）＝2sinπx210.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x）.当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2.（1）求证：f（x）是周期函数；（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式.解：（1）证明：因为f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）.所以f（x）是周期为4的周期函数.（2）因为x∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]，所以4－x∈[0，2]，所以f（4－x）＝2（4－x）－（4－x）2＝－x2＋6x－8.因为f（4－x）＝f（－x）＝－f（x），所以－f（x）＝－x2＋6x－8，即f（x）＝x2－6x＋8，x∈[2，4].11.函数y＝f（x）的图象关于原点对称的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数.给定函数f（x）＝x3＋3x2，则函数f（x）的图象的对称中心是（）A.点（1，－2） B.点（－2，1）C.点（1，2） D.点（－1，2）解析：Df（x）＝x3＋3x2＝（x＋1）3－3x－1＝（x＋1）3－3（x＋1）＋2，易知y＝f（x－1）－2＝x3－3x为奇函数，故y＝f（x－1）－2的图象关于点（0，0）对称，所以f（x）的图象的对称中心是点（－1，2）.故选D.12.（多选）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x＋4）－f（x）＝2f（2），若y＝f（x－1）的图象关于直线x＝1对称，且对任意的x1，x2∈（0，2），且x1≠x2，都有f（x1)-f（A.f（x）是偶函数B.f（x＋4）＝f（x）C.f（22）＝0D.f（x）在（－4，－2）上单调递减解析：ABC由y＝f（x－1）的图象关于直线x＝1对称，则f（1＋x－1）＝f（1－x－1），即f（－x）＝f（x），故f（x）是偶函数，故选项A正确；由f（x＋4）－f（x）＝2f（2），令x＝－2，可得f（2）＝0，则f（x＋4）＝f（x），则f（x）的周期T＝4，故选项B正确；f（22）＝f（4×5＋2）＝f（2）＝0，故选项C正确；又f（x）在（0，2）上单调递增，在（－2，0）上单调递减，因为周期T＝4，则f（x）在（－4，－2）上单调递增，故选项D错误.故选A、B、C.13.设f（x）是R上的奇函数，f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x.（1）求f（π）的值；（2）当－4≤x≤4时，求f（x）的图象与x轴所围成图形的面积.解：（1）由f（x＋2）＝－f（x）得，f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数，所以f（π）＝f（－1×4＋π）＝f（π－4）＝－f（4－π）＝－（4－π）＝π－4.（2）由f（x）是奇函数且f（x＋2）＝－f（x），得f[（x－1）＋2]＝－f（x－1）＝f[－（x－1）]，即f（1＋x）＝f（1－x）.故函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称.又当0≤x≤1时，f（x）