高一下学期《复数》期末复习综合练习

高一下学期《复数》期末复习综合练习知识点回顾复数的基本概念1、虚数单位数叫倣虚数单位，它的平方等于，即．知䢔点诠释：（1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；（2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．2、复数的摡念形如的数叫复数，记作：；其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示．知识点诠释：复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据．3、复数的分类对于复数若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数．分类如下：（）用集合表示如下图：4、复数集与其它数集之间的关系（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．）复数的几何意义1、复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴知识点诠释：实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2、复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是复数的一种几何意义．3、复数集与复平面中的向量的对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数．设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定．复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即复数平面向量这是复数的另一种几何意义．4、复数的模设，则向量的长度叫做复数的模，记作．知识点诠释：①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小．②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等．考点探究复数的概念例1、若复数满足，则（

）A．B．是纯虚数C．复数在复平面内对应的点在第二象限D．若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则【答案】D【解析】由题设，且对应点在第一象限，A、C错误；不是纯虚数，B错误；由在复平面内对应的点为，所以，D正确.故选：D例2、已知下列三个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数；②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是z.则其中正确命题的个数为A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数和的模相等,例如,,则和是共轭复数是错误的;对于②和都是复数,若是虚数,则其实部互为相反数,则不是的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数是实数,令,则所以,反之当时,亦有复数是实数,故复数是实数的充要条件是是正确的.综上正确命题的个数是个.故选复数的四则运算例（1）化简；（2）已知复数的，求.【解析】（1）;（2）由已知得，∴.复数的几何意义例1、已知复数z在复平面内所对应的点的坐标为，则为．【答案】1【解析】由已知得该复数，则，故答案为：1.复数方程例1、若关于x的方程无实根，则实数p的取值范围是．【答案】【解析】若方程无实根，即：无实根，假定方程有实数根，而为实数，则，且，解得或，因此原方程无实数根时，且，故实数p的取值范围是.故答案为：例2、设关于x的实系数方程的两个虚根为、，则．【答案】【解析】由题可知，，设，a，b∈R，则，则．故答案为：复数最值问题例1．已知复数z满足，则的最小值为（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【解析】设复数在复平面内对应的点为，因为复数满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，所以在复平面内点的轨迹为，又表示点到点的距离，所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值，当为时，到定点的距离最小，最小值为1，所以的最小值为1，故选：A．例2、已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由可设：，，（其中），当时，即时，.故选：C.专题练习一、单选题1．在复数范围内方程的两个根分别为，，则（

）A．1 B． C． D．2．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（

）A． B．5 C． D．13．如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（

）A． B． C． D．4．已知为虚数单位，复数满足．则取最大值时，在复平面上以对应的点，为顶点的三角形的形状是（

）A．等边三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形5．已知都是复数，其共轭复数分别为，则下列说法错误的是（

）A． B．C．若，则 D．6．复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（

）A． B．C． D．7．已知设，则，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．68．已知复数，则（

）A．2022 B．2023 C． D．9．已知复数，和满足，若，则的最大值为（

）A． B．3 C． D．10．已知复数满足，且有，求（

）A． B． C． D．都不对二、多选题11．已知复数，下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则12．已知复数的共轭复数为，下列说法正确的是（

）A．可能为虚数B．为实数C．D．若为一元二次方程的一个复数根，则13．下列说法正确的是（

）A．复数（为虚数单位）的虚部为B．已知复数，若，则C．若，则的最小值为1D．已知复数，复数的虚部不为0，则14．下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．已知，是关于的方程的一个根，则D．若复数满足，则的最大值为15．设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若点的坐标为，且是关于的方程（，）的一个根，则C．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限D．若复数满足，则的最小值为三、填空题16．已知虚数，其实部为1，且，则实数为．17．已知复数（i是虚数单位），则的共轭复数是．18．已知，是方程的两根，则，.19．设为复数，若，则的最大值为.20．已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为.四、解答题21．已知复数，，．(1)若为实数，求的值；(2)设复数在复平面内对应的向量分别是，若，求的值．22．已知复数为虚数单位，其中是实数.(1)若是实数，求的值；(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围.23．设复数．(1)在复平面内，复数对应的点在第二象限，求a的取值范围；(2)若是纯虚数，求.24．已知复数，，其中．(1)求的值；(2)求的最大值并说明取得最大值时的取值集合．25．设复数，．(1)若是实数，求；(2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围；(3)若复数满足，求的最小值．26．已知复数，，（，是虚数单位）．(1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；(2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值；(3)若，且是实数，求实数的值．27．已知复数的实部与虚部的和为．(1)若，且，求复数的虚部；(2)当取得最小值时，且在第四象限，求的取值范围．28．欧拉公式：（为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”．(1)根据欧拉公式计算；(2)设函数，求函数在上的值域．29．任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题.(1)试将写成三角形式；(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；；(3)计算：的值.30．现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，.(1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值；(3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得.参考答案1．D【分析】先求出两复数根，再根据复数的加法运算及复数的模的公式即可得解.【详解】根据题意可得，，即，当，时，，，当，时，，，综上，.故选：D.2．C【分析】由关于直线对称求出，再根据复数模的定义计算即可．【详解】因为，所以其对应点为，关于直线对称的点为，则，所以，故选：C．3．D【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解.【详解】由题图可知，，则，解得（舍去），所以，，则向量在向量上的投影向量为，所以其坐标为．故选：D4．D【分析】假设，根据模长公式构造关于的函数，从而可确定当取最大值时，的取值，从而求得；利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长，从而可确定三角形形状.【详解】因为，所以可设，所以，所以，当时，取最大值，即当，即时，取最大值，此时，所以对应的点，所以，，，所以，根据各边关系易知各边对应角为锐角，所以该图形为等腰三角形.故选：D.5．C【分析】设，利用复数的运算及共轭复数的概念判断AD，根据复数乘积运算及模的运算判断B，举反例判断C.【详解】对于A，设，则，而，故，故A正确；对于B，，则，又，所以，故B正确；对于C，令，则，所以，但是，故C错误；对于D，，又，所以，故D正确.故选：C6．D【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得，即可得解.【详解】设，则，所以，，即，所以故时，，故可取，故选：D7．A【分析】先求得复数实部与虚部的关系，再去求的最小值即可解决.【详解】由，可得，可令，则（为锐角，且）由，可得则的最小值为3.故选：A8．B【分析】根据题意结合复数运算可得的方程的根为，进而整理可得，取即可得结果.【详解】设，则，由题意可得：可得关于的方程的根为，故，整理得，即，令，可得，且2022为偶数，所以.故选：B.9．B【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值.【详解】根据题意，得，当，，时，，此时，所以.故选：B.10．A【解析】根据题意可设（为虚数单位）；然后再利用棣莫佛公式，可得，再根据复数的概念，可得，利用三角函数同角关系，即可求出的值，进而求出结果.【详解】因为，设（为虚数单位）；由棣莫佛公式，可得，所以所以，即因为，所以；化简可得，即所以，所以；所以.故选：A.11．BC【分析】举例说明判断AD；利用复数运算及共轭复数、复数模的意义计算判断BC.【详解】对于A，取，，而，A错误；对于B，设，，由，得，，B正确；对于C，由及已知得，设，，解得，则，C正确；对于D，取，，而，D错误.故选：BC12．BD【分析】设，，利用复数的乘法、平方、模长可判断、、，运用韦达定理判断.【详解】设，则，，因为，所以，即，故A错误；，故B正确；，，当时，，故C错误；若为一元二次方程的一个复数根，则为一元二次方程的另一个复数根，所以，，，故D正确.故选：BD.13．ACD【分析】由已知结合复数的四则运算及复数得几何意义检验各选项即可判断.【详解】对于A，的虚部为，则A正确；对于B，令，，满足，故B错误，对于C，设，则，且，由，得，所以，故C正确；对于D，，则D正确故选：ACD14．ACD【分析】A.直接求模判断；B.直接利用复数乘法运算求解；C.代入，利用复数相等列式计算；D.设，求出的关系并利用基本不等式求的最大值，然后代入计算即可.【详解】对于A：若，则，A正确；对于B：若，则，B错误；对于C：由已知，所以，所以，即，C正确；对于D：设，则，所以，所以，且，即，当且仅当时等号成立，所以，D正确.故选：ACD.15．ABD【分析】对于A：设，根据复数的运算和模长可得，即可得结果；对于B：可知，结合复数的运算可得，即可得结果；对于C：根据复数的除法结合复数的几何意义分析判断；对于D：根据复数的几何意义分析可知数对应的点是以点为圆心，1为半径的圆，结合圆的性质分析求解.【详解】对于A，设（，），可得，则，化简得，所以，故A正确；对于B，若点的坐标为，可知，则，整理得，可得，解得，所以，故B正确；对于C中：因为，所以，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，故C不正确；对于D中：根据复数模的几何意义可知，表示复数与复数对应两点间的距离为1，所以复数对应的点是以点为圆心，1为半径的圆，又因为表示圆上的点到原点的距离，所以的最小值为，故D正确；故选：ABD.16．2【分析】设，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设，且.则，，，解得，故答案为：2.17．【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合共轭复数的概念，即可求解.【详解】因为，所以且，所以，则其共轭复数为．故答案为：.18．【分析】首先求出方程的两根，，再根据复数代数形式的乘方及复数的模计算可得.【详解】因为，是方程的两根，又，即或，不妨令，所以；又，所以.故答案为：；19．【分析】设，利用模的公式求出关系，利用关系消元求解的最大值.【详解】设，则，又，所以，所以，即所以，所以.故答案为：.20．【分析】依题意设，，，即可表示出，再由复数的模、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得.【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，因为且，所对应的向量，满足，即，不妨令，，则，，又，设，即则，所以，所以当时取得最大值，即.故答案为：21．(1)(2)【分析】（1）利用复数的乘法结合复数的有关概念求解；（2）利用复数的几何意义和平面向量的数量积运算求解.【详解】（1）解：因为，，所以，且为实数，所以，即，又因为，所以，所以，则.（2）由题意可得，，，因为，所以，即，化简可得，所以，又因为，则，所以.22．(1)(2)【分析】（1）由复数的除法和乘法运算结合复数的意义计算即可；（2）由共轭复数的定义和复数的运算结合复数的几何意义计算即可；【详解】（1），因为是实数，则.（2），因为复数在复平面内对应的点在第二象限，则，故a的取值范围为.23．(1)；(2).【分析】（1）求出复数及所对应的点，再列出不等式求解即得.（2）利用复数除法运算求出复数，再由纯虚数的意义求出，进而求出模.【详解】（1）由，得，由复数对应的点在第二象限，得，解得，所以a的取值范围是.（2）依题意，是纯虚数，因此，解得，则所以.24．(1)3(2)；【分析】（1）根据共轭复数概念以及复数乘法规则运算即可.（2）根据复数的模长和复数的乘法运算结合降幂公式即可求解.【详解】（1）由题；，所以.（2）由题得，又，所以当即时，取得最大值为，故最大值为，此时的取值构成的集合为.25．(1)；(2)；(3)4.【分析】（1）由复数加法及结果特征求出，再利用复数乘法计算得解.（2）由复数乘方求出，再由对应点的特征列出不等式组，求解即得.（3）利用给定等式的几何意义，结合圆上的点与定点距离最值问题求解即得.【详解】（1）复数，，则，由是实数，得，解得，，因此.（2），依题意，在第二象限，于是，解得，所以实数的取值范围是.（3）显然是复平面内表示复数的点与表示复数的点的距离为1，因此点在以点为圆心，1为半径的圆上，而是点到原点的距离，而，即原点在上述的圆外，则，所以的最小值是4.26．(1)(2)(3)【分析】（1）根据复数的减法运算和几何意义建立关于a的不等式组，解之即可求解；（2）将代入方程，根据相等复数的条件建立关于a的方程组，解之即可求解；（3）由共轭复数的概念与运算求出a，结合复数的有关概念即可求解.【详解】（1）∵，则在复平面对应的点坐标为，在复平面对应的点落在第一象限，∴，解得．（2）∵是方程的根，则，即，所以，解得．（3）因为，则．于是，代入，得，即是实数，，解得．27．(1)(2)【分析】（1）化简复数，得到，根据，求得，得到，求得，即可求解；（2）由（1）知，函数，得到，化简得到，结合在第四象限，列出不等式组，即可求解.【详解