3.1函数的概念及其表示（讲义精讲）（16大题型）（原卷版）

3.1函数的概念及其表示（16大题型）目录TOC\o"11"\h\u01函数的概念及表示 102区间的概念及表示 303函数求值及已知函数值求参数问题 404具体函数的定义域问题 505抽象函数及复合函数的定义域问题 606直接法求函数解析式 707待定系数法求函数解析式 708换元法求函数解析式 809解方程组法求函数解析式 910换元法求函数值域 911分离常数法求函数值域 1012判别式法求函数值域 1013基本不等式法求函数值域 1114函数相等 1115函数的表示法（图象法、列举法、解析法） 1216分段函数求值、求参数及分段函数单调性问题 1501函数的概念及表示函数的概念设、是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域;与值相对应的叫做值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。显然，值域是集合的子集。例11．（2324高一上·江苏徐州·期中）（多选）下列图形不可能是函数图象的是（

）A．B．C．D．例12．（2324高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（

）A．B．C．D．例13．（2324高一上·江苏·期中）下列图象中，能表示定义域和值域均为的函数图象的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个变式11．（2324高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A可能情况数为（

）A．9 B．10 C．31 D．32变式12．（2324高一上·河南开封·期中）（多选）集合A，B与对应关系f如图所示，则是从集合A到集合B的函数的是（

）A．

B．

C．

D．

变式13．（2223高一上·陕西西安·期末）设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（）A．

B．

C．

D．变式14．（2324高一上·安徽淮南·期中）设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（

）A．

B．

C．

D．

02区间的概念及表示定义符号数轴表示{x|a≤x≤b}[a，b]{x|a＜x＜b}(a，b){x|a≤x＜b}[a，b){x|a＜x≤b}(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x＞a}(a，＋∞){x|x≤a}(－∞，a]{x|x＜a}(－∞，a)R(－∞，＋∞)例21．（2324高一上·河北石家庄·期中）用区间表示为；用区间表示为．例22．（2324高一上·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为.变式21．（2324高一上·重庆·期中）不等式的解集为（）A． B．C． D．变式22．（2324高一上·重庆·期中）集合用区间表示为（）A． B．C． D．变式23．（2223高一·全国·课后作业）已知区间，则的取值范围为．03函数求值及已知函数值求参数问题函数的三要素（定义域、值域、对应关系）在中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，仍然叫做函数值，的取值范围叫做值域。其中表示的是自变量与函数值的对应关系，该对应关系常体现在解析式中。定义域、值域、对应关系统称函数的三要素。例31．（2324高一上·浙江温州·期末）已知函数，则．例32．（2223高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，且，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1例33．（2324高一上·贵州六盘水·期末）已知函数，则（

）A．0 B．1 C．2024 D．2025变式31．（2223高一上·全国·期中）已知，则.变式32．（2324高一上·海南海口·期中）已知函数，且，则．变式33．（2324高一上·广东广州·期中）已知，，则，．04具体函数的定义域问题具体函数的定义域①：分式函数：定义域是，分母不为0.②：0次幂类型：定义域是，底数不为0.③：根式类型：例4．（2324高一上·北京·期中）函数的定义域为.变式41．（2324高一上·山东·期中）函数的定义域为.变式42．（2324高一上·北京·期中）函数的定义域是．05抽象函数及复合函数的定义域问题例51．（2324高一上·湖南邵阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为．例52．（2324高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域是，则函数的定义域是．例53．（2324高一上·上海·期末）函数的定义域为区间，则函数的定义域为．例54．（2324高一上·广东惠州·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为．变式51．（2324高一上·安徽池州·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为.变式52．（2122高一上·全国·课后作业）函数的定义域为，则函数的定义域是.变式53．（2324高一上·广东韶关·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为．变式54．（2324高一上·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.变式55．（2324高一上·江西赣州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是.06直接法求函数解析式例6．（2021高一上·陕西渭南·期末）已知，则（

）A． B．C． D．变式61．（2324高一上·全国·课后作业）已知函数，则的解析式是（

）A． B．C． D．变式62．（2122高一上·浙江温州·期中）已知函数，则（

）A． B．C． D．07待定系数法求函数解析式例71．（2324高一上·四川内江·期中）已知一次函数是R上的减函数，且，则=.例72．（2324高一上·河南郑州·阶段练习）已知二次函数，满足，.则.变式71．（2324高一上·四川德阳·阶段练习）已知是一次函数，且在上单调递增，，则.变式72．（2324高一上·重庆云阳·阶段练习）已知二次函数满足，且．(1)求的解析式；(2)若，求的取值范围．08换元法求函数解析式例81．（2324高一上·江苏盐城·期中）若函数，则．例82．（2022高一·全国·专题练习）已知，则．变式81．（2324高一上·四川泸州·期中）已知，则函数的解析式为变式82．（2324高一上·浙江宁波·期中）已知，则的解析式为．09解方程组法求函数解析式例91．（2324高一上·四川自贡·期中）已知，则的解析式．例92．（2324高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足，则函数的解析式为.变式91．（2324高一上·江苏徐州·期中）已知函数对任意实数都有，则.变式92．（2324高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数满足，且，则.变式93．（2324高一上·湖北荆门·阶段练习）已知满足，则解析式为．10换元法求函数值域例101．（2023高一上·安徽·竞赛）已知函数，则的值域为.例102．（2324高一上·河北·阶段练习）时，的值域为.变式101．（2022高一上·全国·专题练习）求函数的值域．变式102．（2023高一上·全国·专题练习）求下列函数的值域．(1)；(2).11分离常数法求函数值域例111．（2324高一上·天津红桥·期中）已知函数，则函数的值域为.例112．（2324高一上·江苏南京·期中）函数的最大值为．变式111．（2324高一上·江西·期中）函数，的值域为.变式112．（2223高一上·天津和平·阶段练习）函数的值域为．12判别式法求函数值域例121．（2324高一上·浙江宁波·期中）函数，的值域为．由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解.例122．（2324高一上·浙江宁波·阶段练习）函数在上的值域是.变式121．（2223高一上·浙江宁波·期中）函数的值域是．当时，，解得，变式122．（2122高一上·浙江杭州·期中）函数的值域是.13基本不等式法求函数值域例131．（2223高三·全国·对口高考）函数的值域是（

）A． B． C． D．变式131．（2122高一·全国·单元测试）求函数的值域变式132．（2223高一上·上海徐汇·期末）（1）求函数的值域；（2）求函数的值域.14函数相等例141．（2324高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（

）A． B．C． D．例142．（2324高一上·陕西宝鸡·期中）（多选）下列函数与表示同一函数的是（

）A．， B．，C． D．变式141．（2324高一上·广东佛山·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与变式142．（2324高一上·北京东城·期中）下列各组函数中，两个函数相等的是（

）A．与 B．与C．与 D．与变式143．（2324高一上·浙江·期中）（多选）下列各组函数不是同一函数的是（

）A． B．C． D．15函数的表示法（图象法、列举法、解析法）例151．（2122高一上·山西太原·期中）已知某等腰三角形的周长是4，底边长是，腰长是，则关于的函数可表示为（

）A． B．C． D．例152．（2324高一上·宁夏固原·阶段练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（

）A． B．C． D．例153．（2324高一上·广西南宁·阶段练习）函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（

）12320230A．2023 B．0 C． D．变式151．（2324高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（

）

A． B．C． D．变式152．（2324高一上·吉林长春·期中）俗话说，“一分耕耘，一分收获”．那么，在实际生活中，如果把收获看成付出的函数，它们之间的关系可以怎样描述呢？情境甲：当以匀速的方式驾驶汽车时，行驶的里程与所用的时间之间的关系；情境乙：家长过分宠爱孩子，有时还有可能付出增加会导致收获减少；情境丙：在我们学习新的知识时，可能一开始效率会比较高，单位时间的付出得到的收获会比较大，但随着付出的时间越来越多，单位时间的付出得到的收获会变少．请问依次与下面三个图象所表示的收获与付出的关系相对应的情境正确的一项是（

）

A．甲、乙、丙 B．丙、甲、乙C．甲、丙、乙 D．乙、丙、甲变式153．（2324高一上·重庆九龙坡·阶段练习）德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格或是其它形式.已知函数由下表给出，则的值为（

）123A．0 B．1 C．2 D．316分段函数求值、求参数及分段函数单调性问题例161．（2324高一上·北京·期中）已知函数则（

）A． B． C． D．例162．（2324高一上·福建三明·期末）函数若，则实数的取值是（

）A．3 B． C．3或 D．5或例163．（2324高一上·安徽宿州·期中）已知函数若，则实数的取值范围是（

）A． B．C．