2024年七年级数学寒假提升学与练（沪教版）专题03 实数的概念、平方根和开平方（2大考点+8种题型）（原卷版）

专题03实数的概念、平方根和开平方（2大考点+8种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：实数的概念考点二：开平方题型一：实数的概念题型二：求一个数的算数平方根题型三：利用算术平方根的非负性解题题型四：算术平方根的实际应用题型五：平方根概念理解题型六：求一个数的平方根题型七：已知一个数的平方根，求这个数题型八：利用平方根解方程考点一：实数的概念1、无限不循环的小数叫做无理数．注意：1)整数和分数统称为有理数；2)圆周率π是一个无理数．2、无理数也有正、负之分．如、、等这样的数叫做正无理数；、、这样的数叫做负无理数；只有符号不同的两个无理数，如与，与，称它们互为相反数．3、有理数和无理数统称为实数．（1）按定义分类（2）按性质符号分类 考点二：开平方定义：求一个数的平方根的运算叫做开平方．如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．这个数叫做被开方数．如，，的平方根是．说明：只有非负数才有平方根，负数没有平方根；平方和开平方互为逆运算．算术平方根：正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”．★注意：1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；2），2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0．题型一：实数的概念【例1】．（2023下·上海·七年级校考期中）在，，，，，，（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）这个数中，无理数的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个【变式1】．（2023下·七年级单元测试）在数字，3.33，，，0，，，2.121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次多1）中，无理数的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式2】．（2023下·七年级单元测试）下列实数中，是无理数的是（）A． B． C． D．【变式3】．（2021下·上海·七年级校考期中）在，0，，，，中，无理数有（具体填出）．【变式4】．（2023下·上海奉贤·七年级校考期中）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数．阅读材料：“无理数”的由来为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题．假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：，于是，则a是2的倍数．再设，其中m是整数，就有：，也就是：，所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数．解：假设是一个有理数．则（a、b是整数且a、b互素且），则，两边同时平方得：_____________，所以：，可得：，所以：______________，因为：______________，所以：是一个无理数．题型二：求一个数的算数平方根【例2】．（2023下·上海浦东新·七年级校考期中）的算术平方根是（

）A．2 B．±2 C．4 D．±4【变式1】．（2023下·上海·七年级专题练习）的算术平方根是（）A． B． C． D．【变式2】．（2023下·上海宝山·七年级校考期中）下列各式计算正确的是（

）A． B． C． D．【变式3】．（2023下·上海虹口·七年级校联考期末）已知是正整数，则实数的最大值为（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【变式4】．（2023下·上海奉贤·七年级校考期中）如图正方形的面积为，正方形面积为，求的面积（结果保留两个有效数字）．题型三：利用算术平方根的非负性解题【例3】．（2022上·上海·七年级专题练习）已知，则．【变式1】．（2023下·上海嘉定·七年级校考阶段练习）已知与互为相反数，则的值为．【变式2】．（2023下·上海徐汇·七年级上海市第四中学校考期中），则．【变式3】．（2022下·上海·七年级专题练习）已知，求的值．【变式4】．（2022下·上海·七年级专题练习）已知，求x的个位数字．题型四：算术平方根的实际应用【例4】．（2022上·上海·七年级专题练习）一个自然数的算术平方根是a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是．【变式】．（2022下·上海杨浦·七年级校考期中）已知（n为正整数），则原方程的解为．题型五：平方根概念理解【例5】．（2023下·上海·七年级统考期中）下列说法正确的是（

）A．只有0的平方根是它本身 B．无限小数都是无理数C．不带根号的数一定是有理数 D．任何数都有平方根【变式】．（2023下·上海普陀·七年级统考期中）如果和是一个非零数的两个平方根，那么．题型六：求一个数的平方根【例6】．（2022下·上海静安·七年级统考期中）的平方根为（

）A． B．3 C． D．【变式1】．（2023下·上海·七年级阶段练习）下列说法中，正确的个数是（）①只有正数才有平方根；②是25的平方根；③25的平方根是5；④的平方根是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2】．（2022下·上海嘉定·七年级校考期末）下列结论正确的是（

）A．1的平方根是1 B．0的平方根是0C．的平方根是 D．的平方根是【变式3】．（2021下·上海浦东新·七年级校联考期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a＋2(1)求a和x的值；(2)求3x＋2a的平方根．题型七：已知一个数的平方根，求这个数【例7】．（2021下·上海·七年级校考期中）如果与是同一个数的平方根，那么这个数等于（

）A．1 B．-3 C．4 D．4或100【变式1】．（2021下·上海·七年级上海市建平实验中学校考期中）已知某数的平方根是3a－1和a+5，那么这个数是．【变式2】．（2021下·上海松江·七年级校考期中）一个正数的两个平方根为和，则．【变式3】．（2021下·上海·七年级校考期中）对于实数a，我们规定用{}表示不小于的最小整数，称{}为a的根整数，如{}＝4．（1）计算：{}＝．（2）现对a进行连续求根整数，直到结果是2为止，例如对12进行连续求根整数，第一次{}＝4，再进行第二次求根整数{}＝2，表示对12连续求根整数2次可得结果为2，请问对100进行连续求根整数，次后结果为2．（3）若{}＝2，写出满足题意的m的整数值．题型八：利用平方根解方程【例8】．（2022上·上海·七年级专题练习）若，则【变式1】．（2022下·上海宝山·七年级校考阶段练习）如果，那么．【变式2】．（2021下·上海徐汇·七年级校考期中）已知三角形的三边长分别为a、b、c，满足，且，．则．【变式3】．（2022上·上海·七年级专题练习）求下列式子中x的值：【变式4】．（2022下·上海·七年级阶段练习）求x的值：（x﹣3）2＝1．【变式5】．（2023上·上海·七年级校考期中）如图1，已知并排放置的正方形和正方形的边长分别为、，A、B、E三点在一直线上，且正方形和正方形的面积之差为12．(1)用含有、的代数式，表示图中阴影部分的面积；(2)、，则四边形的面积是多少？(3)图中正方形绕点B顺时针旋转后的对应图形，连接、，若四边形的面积是，求、的值．一、单选题1．（2023下·上海普陀·七年级统考期中）下列运算中，正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023下·上海普陀·七年级统考期中）下列各数中，无理数是（

）A． B． C． D．3．（2023下·上海奉贤·七年级校考期中）下列计算中，正确的是（

）A． B． C． D．4．（2020下·上海浦东新·七年级校联考期末）下列各数：，0，，，0.3030030003，中，无理数个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（2021下·上海·七年级校考期中）有一个如下图的数值转换器，当输入64时，输出的是（）

A．8 B． C． D．二、填空题6．（2021下·上海宝山·七年级校考期中）下列各数：，0，，，0.3030030003，中，无理数的个数为个．7．（2023下·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）一个正数的两个平方根分别为与，则．8．（2023下·上海宝山·七年级统考期末）已知实数的一个平方根是，则它的另一个平方根是．9．（2021下·上海静安·七年级上海市市西初级中学校考期中）的算术平方根是．10．（2021下·上海静安·七年级上海市市北初级中学校考期中）若，则．11．（2021下·上海宝山·七年级校考期中）已知，那么．12．（2023下·上海闵行·七年级统考期中）的平方根是．13．（2021下·上海宝山·七年级校考期中）已知，那么．14．（2023下·上海·七年级专题练习）已知与互为相反数，．三、解答题15．（2021下·上海·七年级校考期中）已知，且为正数，求的算术平方根．16．（2022上·上海·七年级专题练习）已知的一个平方根是3，的一个平方根是，求的平方根．17．（2022下·上海·七年级期中）已知，求的平方根．18．（2021下·上海徐汇·七年级校考期中）已知，求的值．19．（2021下·上海宝山·七年级校考期中）若和是同一个数的平方根，求这个数．20．（2021下·上海·七年级上海市西南模范中学校考期中）已知实数满足等式，求的值21．（2022下·上海·七年级期中）证