2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）专题02 全等三角形（解析版）

专题02全等三角形思维导图核心考点聚焦全等图形全等三角形的性质全等三角形的判定方法添加条件使三角形全等全等三角形的应用全等三角形与动点问题角平分线的性质与判定倍长中线模型证明线段和差问题10、常见的辅助线全等三角形的定义和基本性质1.基本定义（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.（4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.（5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2．寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：（1）图形特征法：最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角．（2）位置关系法：①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边．②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角．（3）字母顺序法：根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角．3．全等三角形的性质及应用①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形对应边上的高、中线、角平分线分别相等；④全等三角形的周长相等，面积相等．二、三角形全等的判定方法及思路1．全等三角形的判定方法：“边边边”定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．“边角边”定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．“角边角”定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．“角角边”定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．“斜边、直角边”定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．2．全等三角形的证明思路：三、角平分线的性质1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等．注意：三角形的三条角平分线交于一点，到三边的距离相等．2.角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，通常连接角的顶点和该点就能得到角平分线．一、全等的几种模型（1）平移型（2）对称型（3）旋转型二、常见的几种添加辅助线构造全等三角形的方法1．倍长中线法倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，遇到一般三角形边上的中线或中点，考虑中线倍长.如图：已知：在三角形ABC中，O为BC边中点，辅助线：延长AO到点D使AO＝DO，结论：△AOB≌△DOC.证明：如图，延长AO到点D使AO＝DO，由中点可知，OB＝OC，在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC.总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角决定的．2．截长或补短（含有线段－关系或求证两线间关系时常用）．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段．基本图形，如下：在中，平分（1）在上截取；（2）把延长到点，使.考点剖析考点一、全等图形例1．如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．

【解析】∵要求分成全等的两块，∴每块图形要包含有8个小正方形．

考点二、全等三角形的性质例2．如图，A，E，C三点在同一直线上，且．

(1)求证：；(2)猜想：当满足什么条件时？并证明你的猜想．【解析】（1）解：∵，∴，，∴；（2）解：猜想，时，，∵，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴当是直角三角形，且时，．考点三、全等三角形的判定方法例3．如图，点，，，在同一直线上，点A，在异侧，，，．(1)请判断和的数量关系，并说明理由；(2)若，，求的度数．【解析】（1）证明：∵，∴．在和中，∵，∴，∴．（2）解：∵，∴，，，∵，∴．∵，∴，∴．考点四、添加条件使三角形全等例4．如图，已知.(1)现要从如下条件中再添加一个①；②；③；④得到．你添加的条件是：________．（填序号）(2)选择（1）中的一种情况进行证明．【解析】（1）解：②或③（任选一个填即可）（2）选择②证明：，，，，，在和中，，；选择③证明：，，，，，在和中，，.考点五、全等三角形的应用例5．如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．(1)当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．(2)如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．【解析】（1）解：相等．理由如下：∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，∴．在和中，∵，∴．∴．（2）解：∵，∴．又∵，∴．∵，∴．考点六、全等三角形与动点问题例6．如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向A点运动，设运动时间为秒．

(1)用含的代数式表示的长度；(2)若点、的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由；(3)若点、的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？【解析】（1）解：由题意得：，则；（2）解：，理由如下：当时，由题意得：，，∴，∵，∴，∵是的中点，∴，∴，在和中，∵，∴；（3）解：∵点的运动速度不相等，∴，当与全等，且，∴，∵，∴，∴，∴当时，能够使与全等．考点七、角平分线的性质与判定例7．如图，画，并画的平分线．(1)将三角尺的直角顶点落在的任意一点处，使三角尺的两条直角边与的两边分别垂直，垂足分别为、如图①，则；(填“”“”或“”)(2)把三角尺绕着点旋转如图②，两直角边分别与、交于点、，那么与相等吗？试猜想与的大小关系，并说明理由．【解析】（1）解：∵平分，，，，故答案为：；（2），理由如下：过作于，于，如图②所示：则，，平分，，，，，，由（1）得，，在和中，，，．考点八、倍长中线模型例8．（1）在中，，是边上的中线，则中线长范围为___________；（2）如图，在中，是边上的中线，点分别在上，且，求证：．

【解析】（1）如图，延长至，使，连接，

，则，是边上的中线，，在和中，，，，，，即，，，故答案为：；（2）证明：如图，延长至使，连接，，

，在和中，，，，，，，，．考点九、证明线段和差问题例9．如图所示，在，，平分交于点，延长至点，使，连接．求证：．

【解析】证明：如图所示，在上取一点F使得，连接，

∵，，∴，∵是的角平分线，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴.考点十、常见的辅助线例10．如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使CF=BE,连接EF，交BC于点D．求证：DE=DF．【解析】证明：作FHAB交BC延长线于H，∵FHAB，∴∠FHC=∠B，∠BED=∠HFD．又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．又∠ACB=∠FCH，∴∠FHC=∠FCH．∴CF=HF．又∵BE=CF，∴HF=BE．在△DBE和△DHF中，∴△DBE≌△DHF（ASA）．∴DE=DF．过关检测一、选择题1．如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（

）

A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短【答案】B【解析】点O为、的中点，，，由对顶角相等得，在和中，，，，即只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度，故选B．2．如图，，，，当时，则度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，，∴，设，∵，∴，，∴，∵，∴，解得：，∴，∵，∴．故选A．3．如图，点，，，在同一条直线上，已知：，，下列条件中不能判定的是A． B． C． D．【答案】C【解析】A、符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；B、符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；C、不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；D、因为，所以，所以符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意．故选C．4．如图，在△中，，，平分，交的延长线于，为垂足，则结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数是(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】，，平分，，在与中，，，，∴，，故①正确．②①中，，故②正确．③①中，在中，，，，，，即，故③正确．④由③可知，，易知，若，则有，则有，则可得为等边三角形，这与①中的矛盾，故④错误．⑤由③可知，，，故⑤正确．四项正确，故选D．5．如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，过点O作于点D．下列四个结论：①；②；③点O到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】①和的平分线相交于点O，，，∵，，，，，，，，故①正确；②和的平分线相交于点O，，，故②正确；③和的平分线相交于点O，点O是的内心，点O到各边的距离相等，故③正确；④连接，点O是的内心，，，，故④正确；综上分析可知，正确的有4个．故选D．二、填空题6．如图，在的正方形网格中标出了和，则度．【答案】135【解析】如图，连接、，，，，由图可知，在和中，，，，，，故答案为：．7．如图，已知平分，若添加一个条件使，则这个条件可以是（写三个条件）．【答案】或或【解析】平分，，又，添加，利用即可得到；添加，利用即可得到；添加，利用即可得到．故答案为：或或．8．如图，在中，，，于点，点在边上，且，过点作交延长线于点，若，则．【答案】7【解析】∵，∴，∵，∴，∴，，∴，在和中，，∴．∴．∵，∴．故答案为：7．9．如图，已知在中，，点，分别在边，上，于，，．（1）若，则；（2）已知，，则的长是．【答案】6【解析】（1），，，在和中，，，，平分，，，，，，故答案为：；（2），，，在和中，，，，，故答案为：6．10．如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以4厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向A点运动，当点的运动速度为厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等．

【解析】设经过秒后，使与全等，厘米，点为的中点，厘米，，要使与全等，必须或，即或，解得：或，时，，；时，，；即点的运动速度是4厘米/秒或6厘米/秒，故答案为：4或6.三、解答题11．如图，在中，，为上一点，，，垂足分别为、，且．请选择一对你认为全等的三角形并加以证明．

(1)你选择的是：____________________；(2)根据你的选择，请写出证明过程．【解析】（1）解：根据图形和已知条件，选择证明的全等三角形为，故答案为：，（答案不唯一）；（2）证明：，，和是直角三角形，在和中，，．12．如图，点分别在线段上，，不添加新的线段和字母，从下列条件①，②，③，④中选择一个使得．(1)你选择的一个条件是_____________（填写序号）(2)根据你的选择，请写出证明过程．【解析】（1）解：∵，，可以利用三种方法证明；故可以选择的条件可以是：①或③或④（2）选择①：在和中，，∴；选择③在和中，，∴；选择④在和中，，∴．13．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，．(1)求证：．(2)若，，求的长．【解析】（1）证明：在和中，，．．．在和中，．（2）由（1）知，，，，故的长为4．14．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E，连接，．(1)求证：；(2)若，，直接写出的长为______．【解析】（1）证明：点在的垂直平分线上，，是的平分线，，在和中，，，；（2）解：在和中，，，，，，且，，即，解得．故答案为：．15．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．(1)【探究