2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）第04讲 勾股定理（解析版）

第04讲勾股定理1．勾股定理勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：．【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．（2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．公式变形，，，，，.2．勾股定理的证明在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理．对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等．1.已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式．2.勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题．下面是勾股定理的几种常用证明方法：方法1等面积法：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以.方法2赵爽弦图法：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以.方法3总统证明法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以.3.利用勾股定理解应用题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可通过添加辅助线构造出直角三角形．经常用到的数学思想是分类讨论思想和方程思想.考点剖析【考点1】利用勾股定理求边长【例1】如图，在中，，，点在边上，，，垂足为，与交于点，(1)求的长；(2)求的长．【解析】（1）在中，，，，，；（2）如图，连接，，，，平分，，在和中，，，，．设，则，由勾股定理可得：，，解得，．【变式1】在中，，，，，为垂足．求的长．【解析】在中，，，，∴由勾股定理得，∵，∴，∴．【考点2】以直角三角形的三边长为边长的图形面积【例2】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，，则的值为．【答案】16【解析】如图，连接，在中，，．在中，，，解得．故答案为：16．【变式2】如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是．【答案】25【解析】如图，在中，，，则，∵四边形为正方形，∴，在中，，∴阴影部分的面积是25，故答案为：25．【考点3】勾股定理与网格问题【例3】如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设中边上的高为h，由勾股定理，得，∵，，∴，解得，∴中边上的高是．故选A．【变式3】如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，则点C到的距离为．【答案】【解析】由勾股定理得，．设点C到的距离为d，则有，解得，所以点C到的距离为．答案为：．【考点4】利用勾股定理解翻折问题【例4】如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，求的长.【解析】在直角三角形中，，，由勾股定理可知：，由折叠的性质可知：，，∴，，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得，∴．【变式4】如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边的中点E处，折痕为，则线段的长是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，，∵点E是的中点，∴，由折叠的性质可得，设，则，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴，故选A．【考点5】勾股定理与弦图问题【例5】清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理（如图），连接，若，，则正方形的面积为．【答案】【解析】如图所示，由四个全等的直角三角形可得，，由勾股定理得，，∴，∴，由勾股定理得，，即正方形的面积为．故答案为：．【变式5】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是．【答案】49【解析】由题意可得：小正方形的边长，小正方形的面积为，故答案为：49．【考点6】利用勾股定理求两坐标间的距离【例6】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，P为x轴上的一点，当为直角三角形时点P的坐标为．【答案】或【解析】设点P的坐标为，∵，∴，，，当时，则，∴，解得，此时点P的坐标为；当时，则轴，此时点P的坐标为．综上所述，点P的坐标为或，故答案为：或．【变式6】点到x轴的距离为，到y轴的距离为，到原点的距离为．【答案】84【解析】点到x轴的距离为8，到y轴的距离为4，到原点的距离为；故答案为：．【考点7】利用勾股定理求最值问题【例7】如图，在中，，，，是边上一动点，连接，以为直角边在左侧作等腰直角，且，连接，则的最小值为．【答案】18【解析】作于点，，，，，，，是等腰直角三角形，且，，，，，的最小值为3，当时，，的最小值为18．故答案为：18．【变式7】如图，在中，，，点D为上一点且，点F和点E分别是线段和上一动点，连接，，，则三角形周长的最小值为．【答案】【解析】如图，作D关于的对称点G，作D关于的对称点H，连接交于F、交于E，则此时的周长最小，且周长的最小值为的长度，∵垂直平分，∴，，∴．∵，∴，∴，即三角形周长的最小值为，故答案为：．【考点8】利用勾股定理证线段之间的平方关系【例8】如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接．(1)求证：；(2)若，，求的周长及的长．【解析】（1）∵是斜边的中点，，∴是线段的垂直平分线，∴.在中，由勾股定理得，∴，即.（2）∵是斜边的中点，，∴.在中，由勾股定理得，∴.又∵，∴，∴的周长为.∵，∴，即，解得．【变式8】如图，在等腰直角中，，点D是上一点，作等腰直角，且，连接(1)求证：；(2)请你判断线段之间的数量关系？并说明理由．【解析】（1）∵和都是等腰直角三角形，∴，∴，∴．在与中，，∴；（2），理由如下：∵是等腰直角三角形，∴，由（1）得，∴，，，∵，．【考点9】勾股定理的证明问题【例9】如图，四边形中，，，A是边DE上一点，过点C作交的延长线于点B．(1)求证：；(2)设的三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．【解析】（1）如图所示：，，，，，，，在和中，，，，又，．（2）由（1）可知：，，，四边形的面积正方形的面积，，即，，，，即，整理得．【变式9】如图，已知点C，B，D在同一条直线上，且，．(1)求证：；(2)若设，，，试利用这个图形验证勾股定理．【解析】（1），，，又，；（2），，，，梯形的面积，①梯形的面积，②由①，②可得，即．【考点10】构造直角三角形解三角形【例10】如图，在中，，，，求的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．(1)作于D，设，用含x的代数式表示，则___________；(2)请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；(3)利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积．【解析】（1）设，∵，∴；（2）∵是边上的高，∴和都是直角三角形．在中，根据勾股定理，得；在中，根据勾股定理，得；∴，解得，即．（3），得，则．【变式10】已知，如图，有一块直角的绿地，量得两直角边m，，现要将这块绿地扩充成等腰，且扩充部分（）是以8m为直角边长的直角三角形，(1)在图1中，当m时，的周长为______；(2)在图2中，当m时，的周长为_______；(3)在图3中，当时，求的周长．【解析】（1）如图1，∵m，m，∴（m），则的周长为：（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当m时，则（m），故，则的周长为；故答案为：m；（3）如图3，，∴设m，则m，∴，即，解得，∵m，m，∴m，故的周长为：(m)．过关检测一、单选题1．在中，斜边，则的值为（

）A．15 B．25 C．50 D．无法计算【答案】C【解析】∵在中，斜边，∴，∴，故选C．2．若一直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（

）A．13 B． C．13或15 D．15【答案】A【解析】∵一直角三角形两直角边长分别为5和12，∴由勾股定理得，斜边长，故选A．3．如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的数是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】点表示的数为，点到原点的距离为，由图可得，点到原点的距离为，点到原点的距离和点到原点的距离相等，点到原点的距离为，即点所表示的数是，故选C．4．如图长方形中，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则△的面积为（

）A．6 B． C． D．12【答案】B【解析】由折叠的性质可得，，∴，∴，∴，设，，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴，故选B．5．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两张等边三角形纸片按图的方式放置在最大等边三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）图1图2A．直角三角形的面积 B．较小两个等边三角形重叠部分的面积C．最大等边三角形的面积 D．最大等边三角形与直角三角形的面积和【答案】B【解析】设三个正三角形面积分别为，，，，两个小正三角形的重叠部分的面积为，，，故答案为：B．二、填空题6．在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，三个正方形A，B，C的面积分别用，，表示，则图中，，，.请写出、、之间的关系式:．【答案】16；9；25；【解析】依题意，16，，∵在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，∴根据勾股定理，得正方形C的边长为，∴，∵16，，，∴．故答案为：16；9；25；．7．已知一个三角形的三个内角之比为，它的面积是18，则它的周长是．【答案】【解析】∵三角形三个内角的比是，三个内角分别是：，∴这个三角形是等腰直角三角形，设腰为a，则，或（舍），斜边的长，这个三角形的周长．故答案为：．8．已知平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为10，则m的值为．【答案】或【解析】由勾股定理可得：，两边平方得：，移项：，解得：或，故答案为或．9．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连接，则的长为．【答案】【解析】∵是的垂直平分线，∴，设，∵，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，故答案为：．10．如图，直线与坐标轴交于A，两点，在轴上有一点，当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标是．【答案】或【解析】当时，，∴点A的坐标为，，当时，，解得：，∴点B的坐标为，，是以为腰的等腰三角形，当时，，，∴点P的坐标为，当时，在中，，即，解得：，∴点P的坐标为，综上所述，点P的坐标是或．故答案为：或．三、解答题11．在中，，求：

(1)边上的中线的长；(2)的面积．【解析】（1）解：∵在中，，是的中线，∴是的高线，∵，∴．（2）由面积计算公式得，∴．12．如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上．(1)若，求，的度数；(2)若，求．【解析】（1）∵，∴，∵把长方形纸片沿折叠，∴，∴；（2）∵把长方形纸片沿折叠，∴，∵，∴，∴．13．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中），求证：．【解析】利用图1进行证明：证明：依题意，∵，且，点C，A，E在一条直线上，∴，则，∵，又∵，∴，∴；利用图2进行证明：证明：如图，连接，过点D作边上的高，则，∵，又∵，∴，∴．14．如图，在△中，，，．若点P从点A出发，以每秒的速度沿边运动，设运动时间为．当时，求t的值．【解析】连接，如图，为直角三角形，，由勾股定理可得：，即，点从点出发，以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，又∵，∴，则，∵在中，，由勾股定理可得：，即，解得