2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）专题11 解直角三角形之新定义模型（解析版）

专题11解直角三角形之新定义模型解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。【知识储备】模型1、新定义模型此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。图1图22）余弦定理：如图2，．3）正弦面积公式：如图2，.4）同角三角函数的基本关系式:，。5）和（差）、二倍角角公式：;.;..例1．（2023·福建厦门·统考模拟预测）阅读理解：如图，Rt中，，，分别是，，的对边，，其外接圆半径为根据锐角三角函数的定义：，，可得，即：，（规定）．探究活动：如图，在锐角中，，，分别是，，的对边，其外接圆半径为，试证明：．学以致用：如图，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔的高度，在处用测角仪测得塔顶的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了到达处，此时，，三点在一条直线上，在处测得塔顶的仰角为45°，求古塔的高度（结果保留小数点后一位）．（，）【答案】（1）见详解；（2）36.6m【分析】探究活动：过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，由锐角三角函数的定义以及圆周角定理可得sinA＝sinD，sinD＝，进而即可得到结论；学以致用：由三角形的外角性质可求∠ACB＝30°，利用（1）的结论可得，进而即可求解．【详解】探究活动：证明：如图，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，∴sinA＝sinD，sinD＝，∴=2R，同理可证：＝2R，＝2R，∴＝＝＝2R；学以致用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100m，∴∠ACB＝30°．设古塔高DC＝xm，则BC＝xm，∵，∴，即：∴x＝25()＝50(−1)≈50×0.732＝36.6（m），∴古塔高度约为36.6m．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，锐角三角函数，解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．例2．（2023秋·广东九年级课时练习）我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知）如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作，在中，，∴，在中，由勾股定理得，即，整理可得：，同理可得：．利用上述结论解答下列问题：（1）在中，，求a和的大小；（2）在中，，其中，求边长c的长度．【答案】（1），；（2）【分析】（1）根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的值，根据勾股定理的逆定理证明直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；（2）把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程得到答案．【详解】解：（1）在中，，∴，∵，即，∴为直角三角形，，又∵，∴；（2）∵，∴，化简得，解得，，∵，∴．【点睛】本题考查的是新定义和解直角三角形的知识，理解新定义并正确运用新定义的公式是解题的关键，注意应熟记特殊角的三角函数值．例3．（2023秋·重庆九龙坡·九年级统考期末）问题：阅读下面材料，解决后面的问题：我们知道，三角形的面积等于二分之一底乘高，在学习了三角函数后，还可以这样求三角形的面积：对，a，b，c分别为，，的对边，则其面积(1)在中，，，，求b边对应的高的长度．(2)如图，在中，已知，，D为上一点，证明：.(3)正数a，b，c，d，e，f满足，证明：．【答案】(1)(2)见解析(3)见解析【分析】(1)利用解直角三角形即可求解；(2)根据即可证得；(3)根据题意可得边长为1的等边三角形，利用三角形的面积即可证得．【详解】（1）解：在中，，，边对应的高的长度为：；（2）证明：，，，，，；（3）证明：如图：是边长为1的等边三角形，，；，，，．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形面积公式的应用，熟练掌握和运用三角形面积公式是解决本题的关键．例4．（2022春·辽宁沈阳·九年级校考开学考试）设一个三角形的三边长分别为，，，，则有下面的面积公式（海伦公式）（秦九韶公式）若一个三角形的三边长依次为5，6，7，则这个三角形的面积为（可以直接利用上面的面积公式）【答案】【分析】利用两个公式分别代入即可．【详解】解：，由海伦公式可得；由秦九昭公式可得．故答案为：．【点睛】本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的性质是解题的关键．例5．（2022秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）关于三角函数有如下公式：，，（其中：）例如：．利用上述公式计算下列三角函数：①，②，③，④其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由，，，再结合给出的新定义公式进行计算即可．【详解】解：①，故①正确；②，故②正确；③，故③正确；④，∴，故④错误；所以正确的个数为：3个，故选：C．【点睛】本题考查的是新定义运算，特殊角的三角函数值的混合运算，理解题意，按照运算公式准确的进行计算是解本题的关键．例6．（2022春·浙江·九年级专题练习）1.某数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=，tanD=tan15°==．思路二

利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）==．请解决下列问题（上述思路仅供参考）．(1)类比：求出tan75°的值；(2)应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题目思路，将构造15°的过程转化为75°，并可求解；（2）计算出∠DAB=75°，利用tan75°求解．【详解】（1）解：方法一：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=，tan∠DAC=tan75°=．方法二：根据tan（α±β）=．假设α=30°，β=45°代入差角正切公式：tan75°=tan（30°+45°）=．（2）解：在Rt△ABC中，BC=30，AC=60，∴；∴∠CAB=30°∵∠CAD=45°∴∠DAB=75°在Rt△ABD中，∴∴∴CD的高度为．【点睛】本题考查三角函数的计算，通过阅读，类比计算是解题关键．例7．（2022·山东济南·统考模拟预测）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为___________．【答案】【分析】过点作于，利用的正弦函数值，设出的长，根据勾股定理求出，最后根据的规定求值即可．【详解】解：过点作于，如图所示，，设，，，，，；故答案为：．【点睛】此题是新定义运算题，主要考查了等腰三角形的定义、勾股定理和三角函数等知识，熟练掌握勾股定理、三角函数的定义以及新定义运算的规定是解答此题的关键．例8．（2023·湖南·统考一模）已知，（其中和都表示角度），比如求，可利用公式得，又如求，可利用公式得，请你结合材料，若（为锐角），则的度数是．【答案】【分析】设，先根据公式可得到一个关于x的分式方程，解方程可求出x的值，再根据特殊角的正切函数值即可得出答案．【详解】设由题意得：解得经检验，是分式方程的根即为锐角故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的解法、特殊角的正切函数值，熟记特殊角的正切函数值是解题关键．例9．（2023秋·山东·九年级专题练习）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：

如图1：，如图2：，如图3：①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有；②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；③已知：，且，求．【答案】1，1，1①1②见解析③【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果；①由上计算可想到在中，，都有；②在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明；③利用关系式，结合已知条件，进行求解．【详解】由图可知：故答案为：1，1，1．①观察上述等式，可猜想：故答案为：1．②在中，∵，∴∵∴∴③∵，∴【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键．例10．（2023春·湖北·九年级专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么的对边÷斜边，的邻边÷斜边，的对边÷的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，．我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题：(1)若，则角α的三角函数值、、，其中取正值的是；(2)若角α的终边与直线重合，则的值；(3)若角α是钝角，其终边上一点，且，求的值；(4)若，则的取值范围是．【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】（1）由题意可得，，，然后依据定义进行判断即可；（2）设点，则，然后分为和两种情况求解即可；（3）由题意可得，然后依据定理列出关于x的方程，从而求出x的值，然后依据正切的定义求解即可；（4）依据三角形的三边关系可得，然后再得到，再求得的取值范围，即可求得结果．【详解】（1）解：当时，，，，，，，故答案为：．（2）解：∵若角α的终边与直线重合，，，当时，，当时，，的值为或．（3）解：，点，且，，（正值舍去），．（4）解：，，，，，又，，故答案为：．【点睛】本题考查了正比例函数的性质、三角函数的定义及完全平方公式，理解三角函数的定义是解题的关键．课后专项训练1．（2023春·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（

）A．5 B． C． D．2【答案】C【分析】根据题目中给出的信息列式解答即可．【详解】解：根据题意得：，∴或（舍去），故C正确．故选：C．【点睛】本题考查新定义计算，特殊角的三角函数值，余弦定理，解题的关键是理解题意，熟练进行计算．2．（2022·广东东莞·校考一模）关于三角函数有如下的公式：，由该公式可求得的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，代入特殊三角函数值计算即可．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，灵活运用公式把一般角转化为特殊角的和或者差是解题的关键．3．（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）已知三角形的三边长分别为，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）给出求其面积的海伦公式，其中；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式．若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把分别代入题目所给两个公式，即可进行解答．【详解】解：法一：∵，∴，∴；法二：∵，∴；故选：B．【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是掌握已知字母的值求代数式值的方法．4．（2023秋·山东济南·九年级统考期末）定义一种运算：，．例如：当，时，，则的值为．【答案】【分析】根据和新定义，代入计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算，涉及新定义，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，能准确进行二次根式的计算．5．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即，若等腰，，且，则．【答案】/0.28【分析】过点A作于D，过点B作于E，设，，根据勾股定理得，，进而判断是锐角三角形，点E在AC边上，从而得，由三角函数的定义即可求解．【详解】如图，过点A作于D，过点B作于E，∵，∴设，，∵，∴，根据勾股定理得，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴是锐角三角形，∴点E在AC边上，∵，，∴即，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角函数，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．6．（2023·河北石家庄·九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．sin230°＋cos230°＝；sin245°＋cos245°＝；sin260°＋cos260°＝；……观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝．【答案】1111【详解】sin230°＋cos230°＝=1，sin245°＋cos245°＝=1，sin260°＋cos260°＝=1，即可猜想出：对任意锐角，都有故答案为：1；1；1；17．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则．【答案】【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可．【详解】解：如图，在中，

∵，∴．∵，∴．∵为锐角，∴．∵∴．故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键．8．（2023秋·河南南阳·九年级统考阶段练习）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，即p为的周长的一半，则（表示的面积），把这个公式称为海伦公式．【思考应用】某中学准备开辟一块面积为5平方米的空地作为劳动实践用地，现有一块三角形空地，它的三边长分别为米，米，米，那么这块三角形空地能否满足学校的需求，请通过计算说明理由．【答案】这块三角形空地不能满足学校的需求．理由见解析【详解】分析题意，首先利用给出的条件和公式，求得p的值，然后利用及求得的的值，将它们代入到海伦公式进行计算即可不能，理由如下：∵，，，∴，∴（平方米）．∵，∴这块三角形空地不能满足学校的需求．【点睛】本题属于二次根式应用类型的题，解题关键是掌握二次根式的性质和正确的代入公式并进行计算．9．（2023秋·湖北·九年级专题练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：

(1)________．(2)对于，的正对值的取值范围是________．(3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如图，,，所以.（2）如图，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近，相应的；当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的；于是．（3）如图，在上截取，过H作于D，设，则,．解，，．【详解】（1）解：如图，,,∵,∴.

（2）解：如图，点A在的中垂线上，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近，相应的；当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的逐渐接近0，；∴

（3）解：如图，在上截取，过H作于D，，设，则，,∴．中，，∴．

【点睛】本题考查新定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质；添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键．10．（2023·山东·一模）小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠A=30°，BC=a=1，AC=b=，AB=c=2，那么．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着的关系”．这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“”的关系是否成立？答：______________．（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，过点C作CD⊥AB于D，设CD=h，∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，∴sinA=______________，sinB=______________．∴=_____________，=____________．∴同理，过点A作AH⊥BC于H，可证∴请将上面的过程补充完整．（3）运用上面结论解答下列问题：①如图4，在△ABC中，如果∠A=75°，∠B=60°，AB=6，求AC的长．②在△ABC中，如果∠B=30°，AB=，AC=2，那么△ABC内切圆的半径为______．【答案】（1）成立；（2）；；；；（3）①；②【分析】（1）根据三角函数的定义得到于是得到结论；（2）过点C作CD⊥AB于D．根据三角函数的定义得到，，推出，．同理，过点A作AH⊥BC于H，可证，即可得到结论；（3）①把∠C=45°，∠B=60°，AB=c=6，代入，解方程得到b=，即可得到结论；②过△ABC内切圆的圆心O作OE⊥AB，OG⊥AC，OF⊥BC，则OG=OE=OF=r，证明和，根据勾股定理求出BC的长即可得出结论．【详解】解；（1）成立，理由如下：∵∴∴（2）在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．过点C作CD⊥AB于D．设CD=h，∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，∴，．∴，．∴．同理，过点A作AH⊥BC于H，可证．∴．故答案为：；；；；（3）①∵∠A=75°，∠B=60°，∴∠C=45°∴把∠C=45°，∠B=60°，AB=c=6，代入得：，∴，解得：b=，即AC=；②∵AB=，AC=2，∴∴过△ABC内切圆的圆心O作OE⊥AB，OG⊥AC，OF⊥BC，则OG=OE=OF=r，∵∴AG=AE=OE=OG=r∴四边形AEOC是正方形∵AC=2，∴CG=2-r∵AB=∴BE=-r连接OC，OB，∵OC为的平分线，∴又，OC=OC∴同理可得∴CF=CG=2-r，BF=BE=-r而∴BC=4∴BC=CF+BF=2-r+-r=4解得，r=故答案为：【点睛】本题锐角三角函数的定义、勾股定理以及三角形的内切圆，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用．11．（2022春·山东东营·九年级自主招生）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）=（1﹣tanαtanβ≠0）tan（α﹣β）=（1+tanαtanβ≠0）利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．如：tan105°=tan（45°+60°）=根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面问题：如图，两座建筑物AB和DC的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角α=15°，测得点C的俯角β=75°，求建筑物CD的高度．【答案】48m【分析】首先根据题目中给出的公式求出tan75°和tan15°的值，过A作AE⊥CD交CD延长线于E，根据Rt△AEC的三角形函数值得出CE的值，然后根据Rt△AED的三角形函数值得出DE的长度，最后根据CD=CE－DE得出答案．【详解】解：∵tan75°=tan（30°+45°）==2+，tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣，如图，过A作AE⊥CD交CD延长线于E，在Rt△AEC中，AE=BC=24m，∠CAE=75°，∴tan75°=，

∴CE=AE•tan75°=（48+24）m，在Rt△AED中，tan∠DAE=tan15°=，∴DE=AE•tan15°=48﹣24m，∴CD=CE﹣DE=48m．答：建筑物CD的高度是48m．点睛：本题主要考查的就是三角函数的实际应用以及新的运算法则运用，属于中等难度的题型．在解答三角函数的问题时，我们需要将所求的线段放入直角三角形中，然后根据三角函数得出线段的长度．三角函数中的问题，做辅助线也是非常重要的一个环节．12．（2023·浙江杭州·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，并解决问题．如图（1），在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D，则，，即AD＝csinB，AD＝bsinC．于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．（1）如图（2），一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货船距灯塔A的距离AC．（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）【答案】（1）海里；（2）【分析】（1）先根据题意得到，，海里，即可求出，过点B作BM⊥AC于M，求出AM和MC即可得到AC的长；（2）先根据求出AB的长，再由进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：，，海里，∴，过点B作BM⊥AC于M，∵，∴海里在Rt△ABM中，∠A=45°，，∵，即海里，在Rt△BMC中，∠BCM=60°，BC=40海里，∴∠MBC=30°，∴海里，∴海里（2）∵，∴海里∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了方位角，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够准确读懂题意．13．（2023·浙江杭州·九年级期中）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D(如图1)，则sinB＝，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以=，即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．(1)如图2，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝_____；AC＝_____；(2)如图3，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上(如图3)，求此时货轮距灯塔A的距离AB．【答案】(1)60°，；(2)货轮距灯塔的距离AB＝15海里．【分析】（1）利用题目总结的正弦定理，将有关数据代入求解即可；（2）在△ABC中，分别求得BC的长和三个内角的度数，利用题目中总结的正弦定理求AC的长即可．【详解】(1)∠A＝60°，AC＝；(2)如图，依题意：BC＝60×0.5＝30(海里)∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE＝180°∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°∵∠ABE＝75°．∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°，在△ABC中，，即解之得：AB＝15．答：货轮距灯塔的距离AB＝15海里．【点睛】本题考查了方向角的知识，更重要的是考查了同学们的阅读理解能力，通过材料总结出学生们没有接触的知识，并根据此知识点解决相关的问题，是近几年中考的高频考点．14．（2023·浙江·九年级专题练习）亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：，．例：．（1）试仿照例题，求出的准确值；（2）我们知道：，试求出的准确值；【答案】（1）；（2）【分析】（1）把75°化为30°+45°直接代入三角函数公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ计算即可；（2）把tan75°代入，再把（1）及例题中的数值代入即可．【详解】解：（1）∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，∴cos75°=cos（30°+45°）=cos30°c