专题04 一元二次方程的应用（二）（解析版）

专题四一元二次方程的应用（二）【专题导航】目录【考点一工程问题】【考点二行程问题】【考点三图表信息问题】【考点四动态几何问题】【考点五其他问题】【聚焦考点1】工作总量=工作效率x工作时间【典例剖析1】工程问题【典例1-1】全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少1625个/天，工厂的产线共x条（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）．（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？【答案】（1）；（2）12或36【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天故答案为：；（2）根据题意，得：或∴即该工厂引进了12或36条生产线．【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．【典例1-2】某书城新购进一批图书，先清点整理，再对外销售．（1）工人甲花了3个小时清点整理完这批图书的一半，工人乙再加入清点整理另一半图书的工作，两名工人合作1.2小时清点整理完另一半图书，若由工人乙单独清点整理这批图书需要几个小时？（2）在销售过程中，书城发现，该批图书每套在成本的基础上提高40元销售时，平均每周可以售出20套．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，发现每套售价每降低1元，平均每周可以多售出2套．并且为了积极响应习总书记提出的“要提倡多读书，建设书香社会，不断提升人民思想境界、增强人民精神力量”的号召，书城决定，每售出该批图书一套，就向当地的读书会捐赠5元用于推广全民阅读，当该批图书每套降价多少元时，书城每周销售该批图书的利润为900元？【分析】（1）先设工人乙单独清点整理这批图书需要x小时，根据工人甲花了3个小时清点整理完这批图书的一半，两名工人合作1.2小时清点整理完另一半图书，列方程，求出x的值．再进行检验，即可得出答案；（2）设每套应降价m元，则根据题意列出方程（40﹣m）（20+2m）﹣5（20+2m）＝900，解方程即可得出答案．【解答】解：（1）设工人乙单独清点整理这批图书需要x小时，根据题意得：，解得：x＝4，经检验：x＝4是原方程的根，∴工人乙单独清点整理这批图书需要4小时．（2）设每套应降价m元，则（40﹣m）（20+2m）﹣5（20+2m）＝900，解得：m1＝5，m2＝20（舍），∴该批图书每套降价5元时，书城每周销售该批图书的利润为900元．【点评】本题主要考查分式方程和一元二次方程的实际应用，理清题意，找到题目中的等量关系式是解题的关键．针对训练1【变式1-1】“淡淡梅花香欲染，丝丝柳带露初干”，腊梅盛开在百花凋零的隆冬，花黄似腊，浓香扑鼻，斗寒傲霜，不惧严寒．2022年10月，为促使腊梅在冬季多开花，某腊梅种植基地结合传统人力和无人植保机对该基地的400亩腊梅进行液肥喷洒，该基地现有工人10名，无人植保机3台．每台无人植保机每小时喷洒液肥的亩数是每名工人每小时喷洒液肥的亩数的70倍，因当时无人植保机技术有限，有20亩腊梅只能由人工喷洒液肥，其余腊梅均由无人植保机喷洒液肥．10名工人和3台无人植保机同时开始工作，结果3台无人植保机比10名工人提前了小时完成喷洒工作．（1）求每台无人植保机每小时喷洒液肥多少亩？（2）2023年1月，无人植保机公司派人对现有的3台无人植保机进行了系统升级，升级后的无人植保机每小时喷洒液肥的速度提升了10a亩，且适用于该基地所有地形的液肥喷洒．同时，预计2023年10月份该基地腊梅的种植面积将扩充到450亩．经过计算该基地发现，如果他们再增购a台新型无人植保机（增购的每台新型无人植保机每小时喷洒液肥的速度与升级后的每台无人植保机每小时喷洒液肥的速度一致，适用于该基地所有地形），那么450亩腊梅全部用升级后的无人植保机和增购的新型无人植保机共同喷洒液肥只需要1小时即可完成，求a的值．【分析】（1）设每台无人植保机每小时喷洒液肥x亩，则每台无人植保机每小时喷洒液肥70x亩，根据10名工人喷洒20亩腊梅液肥所用时间﹣3台无人植保机喷洒380亩腊梅液肥所用的时间＝小时列方程即可求解；（2）根据450亩腊梅全部用升级后的无人植保机和增购的新型无人植保机共同喷洒液肥只需要1小时即可完成，列方程即可求解．【解答】解：（1）设每名工人每小时喷洒液肥x亩，则每台无人植保机每小时喷洒液肥70x亩，依题意，得﹣＝，解，得x＝1，经检验，x＝1是原方程的解，且符合实际，70x＝70，答：每台无人植保机每小时喷洒液肥70亩；（2）解：依题意，得（3+a）（70+10a）×1＝450，解得，a＝2（负值舍去）答：a的值为2．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，从实际问题中找到等量关系列方程是解本题的关键．【变式1-2】今年10月初至今郑州疫情卷土重来，每一个同学都是积极抗疫的小勇士，可你我并不孤单，国家和社区是我们坚实的后盾．（1）安居社区心系民众，在社区里发放“医用外科”和“N95”两种口罩共2100个，为防止聚集，两种口罩每天分别按定量发放，计划“医用外科”口罩可供发放3天，“N95”口罩可供发放2天，“医用外科”口罩每天比“N95”口罩多发100个，则安居社区每天发“医用外科”和“N95”口罩各多少个？（2）随着“防疫二十条”颁布，口罩需求量的急剧增加，经调查，新乡口罩厂现有2条生产线，每条生产线最大产能是40万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少3万个/天，现该厂要保证每天生产口罩160万个，应该增加几条生产线？【分析】（1）设安居社区每天发“医用外科”口罩x个，“N95”口罩y个，根据每天发放两种口罩数量间的关系及共发放两种口罩2100个，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能是（40﹣3m）万个/天，根据该厂每天生产口罩160万个，可得出关于m的一元二次方程，解之取其整数值，即可得出结论．【解答】解：（1）设安居社区每天发“医用外科”口罩x个，“N95”口罩y个，根据题意得：，解得：．答：安居社区每天发“医用外科”口罩460个，“N95”口罩360个；（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能是（40﹣3m）万个/天，根据题意得：（m+2）（40﹣3m）＝160，整理得：3m2﹣34m+80＝0，解得：x1＝（不符合题意，舍去），x2＝8．答：应该增加8条生产线．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．【能力提升1】工程问题【提升1-1】某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．（1）求A型设备每小时铺设的路面长度；（2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了（m+25）小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．【分析】（1）设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面（2x+30）米，根据题意列出方程求解即可；（2）根据“A型设备铺设的路面长度+B型设备铺设的路面长度＝5800”列出方程，求解即可．【解答】解：（1）设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面（2x+30）米，根据题意得，32x+32（2x+30）＝4800，解得：x＝40，则2x+30＝110，∴A型设备每小时铺设的路面长度为110米；（2）根据题意得，40（32+m+25）+（110﹣3m）（32+m）＝4800+1000，整理得，m2﹣18m＝0，解得：m1＝18，m2＝0（舍去），∴m的值为18．【点评】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．【提升1-2】甲，乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工，计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样；甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．（1）若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．（2）实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖a米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多（7a+12）万元，求a的值．【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000﹣x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）根据总成本＝每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（7a﹣12）万元，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000﹣x）米，依题意，得：12（5000﹣x）≥×10x，解得：x≤2500．答：甲最多施工2500米．（2）依题意，得：（10+a）（10+a）+12（10﹣a）＝10×（10+12）+7a﹣12，整理，得：a2﹣18a+72＝0，解得：a1＝12，a2＝6．实际成本：a2+4a+110．当a＝12时，×122+4×12+110＝182＞150，故舍去．当a＝6时，×62+4×6+110＝140＜150，符合题意．答：a的值为6．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【聚焦考点2】路程=速度x时间【典例剖析2】行程问题【典例2-1】《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是__．【答案】【分析】设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则依题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去），，即甲走的步数是，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【典例2-2】为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地．根据以上信息，解答下列问题：(1)小明每分钟跑多少米？(2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟．【答案】(1)480米(2)70分钟【分析】（1）设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，根据题意建立分式方程，解方程即可得；（2）设小明从地到地锻炼共用分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得．【详解】（1）解：设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，由题意得：，解得：，经检验，既是所列分式方程的解也符合题意，则，答：小明每分钟跑480米．（2）解：设小明从地到地锻炼共用分钟，由题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：小明从地到地锻炼共用70分钟．【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．针对训练2【变式2-1】小球以的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，后小球停下来．小球滚动到时约用了多少时间（精确到）？（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求得小球的平均速度，然后利用等量关系：速度×时间=路程，时间为x，则速度为5﹣1.25x．【详解】小球滚动到5m时约用了xs，依题意，得：x•=5整理得：x2﹣8x+8=0，解得：x=4±2．∵x＜4，∴x=4﹣2≈1.2．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度=（初始速度﹣末速度）÷时间．【变式2-2】周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．(1)求小明、小红的跑步速度；(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．【答案】(1)；(2)【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解．（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解．【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为，依据题意列方程得，，，，经检验，是原式方程的解．．小红的速度为，小明的速度为．故答案为：；．（2）解：小明的速度为，小明从A地道B地需要的时间为：．小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，．设B地到C地的距离为，依据题意列方程得，，，，，或（舍去）．A地到C地所需要时间为：．故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间．【能力提升2】行程问题【提升2-1】甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？【答案】(1)7分钟(2)15分钟【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇；（2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟．【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70，整理得n2+13n﹣140＝0，解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去）第1次相遇是在开始后7分钟．答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置；（2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有5n＝3×70，整理得n2+13n﹣420＝0，解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去）故第2次相遇是在开始后15分钟．答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键．【提升2-2】从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站匀速开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？【答案】 快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米【分析】首先设慢车每小时走x千米，则快车每小时走（x+12）千米，再根据题意可得等量关系：慢车行驶150千米的时间-快车行驶150千米的时间=25分钟，根据等量关系列出方程即可．【详解】设慢车每小时行驶x千米，则快车每小时行驶(x＋12)千米，依题意得－＝.解得x1＝－72，x2＝60.经检验，x1＝－72，x2＝60都是原方程的解．但x1＝－72不合题意，应舍去．故x＝60.所以x＋12＝72.答：快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，根据时间差列出方程是解题关键.【聚焦考点3】从图形图表上挖掘信息，寻找等量关系.【典例剖析3】【典例3-1】农业，工业和服务业统称为“三产”，2022年某市“三产”总值增长率在全省排名第一，观察下列两幅统计图，回答问题．​（1）2018﹣2022年农业产值增长率的中位数是2.8%；（2）若2020年“三产“总值为5200亿元，则2021年服务业产值比2020年构增加多少亿元（结果保留整数）；（3）小亮观察折线统计图后认为：这5年中每年服务业产值都比工业产值高，你同意他的说法吗？请结合扇形统计图说明你的理由．【分析】（1）根据中位数的定义即可得到结论；（2）用2020“三产”总值为5200亿元，分别乘服务产业的占比和2021至2020增长率即可；（3）根据扇形统计图的作用可直接得出结论，意思对即可．【解答】解：（1）2018﹣2022农业产值增长率从小到大排列为2.3%、2.7%、2.8%、2.8%、3%，中间的数为2.8%，故2018～2022年农业产值增长率的中位数是2.8%，故答案为：2.8；（2）5200×45%×4.1%≈96（亿元）；（3）不同意小亮的说法．理由如下：2020年某市的服务业产值占比是45%，而工业产值；比49%，说明2020年的服务业产值低于工业产值．【点评】本题考查了折线统计图、扇形统计图，掌握中位数的概念、增长率的应用是解题的关键．【典例3-2】某花店母亲节期间对康乃馨进行促销活动，买一支一束的康乃馨价格是5元一束，如果买三支一束的康乃馨将给予优惠，优惠的百分率为x，如果买六枝一束的康乃馨在原来优惠的基础上再优惠相同的百分率，此时每支康乃馨是3.2元．（1）填写下面表格，并求x．每束康乃馨的支数每支康乃馨的价格每束康乃馨的价格151×5343×463.26×3.2（2）每支康乃馨的成本是2元，花店共购进150支康乃馨，全部卖出，共获利260.4元，其中一支一束的康乃馨卖了18束；请问：3支一束的康乃馨和六支一束的康乃馨各卖了多少束？【分析】（1）设优惠的百分率为x，根据题意得5（1﹣x）2＝3.2，解得x即可求出答案；（2）设3支一束的康乃馨卖了m束，六支一束的康乃馨卖了n束，根据题意得关于m和n的方程组，解方程组即可得出答案．【解答】解：（1）设优惠的百分率为x，根据题意得5（1﹣x）2＝3.2，解得x＝0.2（1.8舍去），∴x＝20%，填写下面表格，每束康乃馨的支数每支康乃馨的价格每束康乃馨的价格151×5343×463.26×3.2（2）设3支一束的康乃馨卖了m束，六支一束的康乃馨卖了n束，根据题意得，解得，答：3支一束的康乃馨卖了20束，六支一束的康乃馨卖了12束．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用和二元一次方程组的应用，关键是利用题意列方程．针对训练3【变式3-1】根据以下销售情况，解决销售任务．销售情况分析总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：店面甲店乙店日销售情况每天可售出20件，每件盈利40元．每天可售出32件，每件盈利30元．市场调查经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．情况设置设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元．任务解决任务1甲店每天的销售量（20+2a）件（用含a的代数式表示）．乙店每天的销售量（32+2b）件（用含b的代数式表示）．任务2当a＝5，b＝4时，分别求出甲、乙店每天的盈利．任务3总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元．【分析】任务1，由题意即可得出结论；任务2：，由盈利＝每件盈利×销售量，分别列式计算即可；任务3，设每件衬衫下降m元时，两家分店一天的盈利和为2244元，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：任务1，甲店每天的销售量为（20+2a）件，乙店每天的销售量为（32+2b）件，故答案为：（20+2a）件，（32+2b）件；任务2，当a＝5时，甲店每天的盈利为（40﹣5）×（20+2×5）＝1050（元）；当b＝4时，乙店每天的盈利为（30﹣4）×（32+2×4）＝1040（元）；任务3，设每件衬衫下降m元时，两家分店一天的盈利和为2244元，由题意得：（40﹣m）（20+2m）+（30﹣m）（32+2m）＝2244，整理得：m2﹣22m+121＝0，解得：m1＝m2＝11，即每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式3-2】某商店以20元/千克的价格新进一批商品，经调查发现，销量y（千克）与销售价格x（千克）之间存在如图所示的函数关系．（1）求y与x的函数表达式；（2）要使销售利润达到800元，销售价格应定为每千克多少元？【分析】（1）当10≤x＜20，销售量为60得出函数解析式；当20≤x≤80时，利用待定系数法即可得到y与x的函数表达式；（2）根据销售利润达到800元，可得方程，解方程即可得到销售单价．【解答】解：（1）当10≤x＜20时，y＝60；当20≤x≤80时，设y与x的函数表达式为y＝kx+b，把（20，60），（80，0）代入，可得，解得，∴y＝﹣x+80，∴y与x的函数表达式为y＝；（2）若销售利润达到800元，若20≤x≤80，则（x﹣20）（﹣x+80）＝800，解得x1＝40，x2＝60，若0＜x＜20，则（x﹣20）×60＝800，解得x＝（不合题意），∴要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解方程即可．【能力提升3】图形图表问题【提升3-1】如图，阅读探索：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？假设存在，那么这个矩形叫作给定矩形的“减半”矩形．如图矩形A1B1C1D1就是矩形ABCD的“减半”矩形．（1）当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得2x2﹣7x+6＝0，∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝2；∴满足要求的矩形B存在；（完成填空）请你继续解决下列问题：（2）当矩形的长和宽分别为7和1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由；（3）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由．【分析】（1）根据小亮的解法，解方程即可；（2）不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．（3）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形．【解答】（1）设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得2x2﹣7x+6＝0，∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝2，∴满足要求的矩形B存在．故答案为：，2；（2）设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y得2x2﹣8x+7＝0，∵b2﹣4ac＝64﹣56＝8，∴x1＝2+，x2＝2﹣，∴满足要求的矩形B存在；（3）不存在，理由如下：因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，所以正方形不存在“减半”正方形．【点评】本题考查一元二次方程的应用，反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系．【提升3-2】启正中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为20cm的等腰直角三角形硬卡片（如图1，图2中，AB＝AC＝20cm，∠A＝90°），要求学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为75cm2．（1）方方同学很快完成了自己的设计（如图1），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽．（2）圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图2大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出BC，根据矩形的性质可得△DGB和△EFC是等腰直角三角形，设长方形的宽为xcm，则长为（20﹣2x）cm，根据面积为75cm2，列出方程求解即可；（2）设长方形的长AF＝acm，则宽为（20﹣a）cm，根据面积为75cm2，列出方程求解即可．【解答】解：∵AB＝AC＝20cm，∠A＝90°，∴BC＝AB＝20m，∠B＝∠C＝45°，∵四边形DEFG是矩形，∴∠DGF＝∠EFG＝90°，∴∠DGB＝∠EFC＝90°，∴△DGB和△EFC是等腰直角三角形，∴DG＝BG＝EF＝FC，设长方形的宽为x（cm），则长为（20﹣2x）cm，由题意，得x（20﹣2x）＝75，化简，得2x2﹣20x+75＝0，解得x1＝，x2＝，∴长方形卡片的长和宽分别为得cm和cm；（2）根据题意画图如下：设长方形的长AF＝a（cm），则宽为（20﹣a）cm，由题意，得a（20﹣a）＝75，化简，得a2﹣20a+75＝0，解得a1＝15，a2＝5．经检验，a1＝15，a2＝5都符合题意．∴长方形卡片的长和宽分别为15cm和5cm．【点评】考查一元二次方程的应用，矩形的性质，得到矩形的长与宽是解决本题的突破点．【聚焦考点4】从动点运动的路径表示数量关系，从而寻找等量关系，注意运动状态改变时分类讨论.【典例剖析4】动态几何问题【典例4-1】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？【分析】（1）设点P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，此时△PCQ的面积为：×2x（6﹣x），令该式＝8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2）△ABC的面积的一半等于××AC×BC＝12cm2，令×2x（6﹣x）＝12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．【解答】解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，则．整理，得x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4．所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．（2）由题意得：S△ABC＝×AC•BC＝×6×8＝24，即：×2x×（6﹣x）＝，x2﹣6x+12＝0，△＝62﹣4×12＝﹣12＜0，该方程无实数解，所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系列出方程求解．【典例4-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止．问：是否存在这样的时刻，使S△DPQ＝28cm2？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】可先设出未知数，△PDQ的面积可由矩形与几个小三角形的面积之差表示，所以求出几个小三角形的面积，进而即可求解结论．【解答】解：存在，t＝2s或4s．理由如下：可设t秒后其面积为28cm2，即SABCD﹣S△ADP﹣S△PBQ﹣S△DCQ＝12×6﹣×12t﹣（6﹣t）•2t﹣×6×（12﹣2t）＝28，解得t1＝2，t2＝4，当其运动2秒或4秒时均符合题意，所以2秒或4秒时面积为28cm2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题时，利用了“分割法”来求△PDQ的面积的．针对训练4【变式4-1】如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动．（1）经过ts后（t＞0），△PBQ的面积等于4cm2，求t的值；（2）经过ts后，（t＞0），PQ的长度为5cm，求t的值；（3）△PBQ的面积能否等于8cm2？【分析】利用时间＝路程÷速度，可求出点P到达点B及点Q到达点C所需时间，比较后可得出0＜t≤，当运动时间为ts时，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．（1）根据△PBQ的面积等于4cm2，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）利用勾股定理，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（3）△PBQ的面积不能等于8cm2，假设△PBQ的面积能等于8cm2，根据△PBQ的面积等于8cm2，可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣7＜0，可得出该方程没有实数根，假设不成立，即△PBQ的面积不能等于8cm2．【解答】解：∵5÷1＝5（s），7÷2＝（s），5＞，∴0＜t≤．当运动时间为ts时，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．（1）根据题意得：BP•BQ＝4，即（5﹣t）×2t＝4，整理得：t2﹣5t+4＝0，解得：t1＝1，t2＝4（不符合题意，舍去）．答：t的值为1；（2）根据题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝52，整理得：t2﹣2t＝0，解得：t1＝0（不符合题意，舍去），t2＝2．答：t的值为2；（3）△PBQ的面积不能等于8cm2，理由如下：假设△PBQ的面积能等于8cm2，根据题意得：BP•BQ＝8，即（5﹣t）×2t＝8，整理得：t2﹣5t+8＝0，∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×8＝﹣7＜0，∴该方程没有实数根，∴假设不成立，即△PBQ的面积不能等于8cm2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式4-2】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．【分析】（1）根据△PQB的面积等于9cm2，即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣11＜0，可得所列方程没有实数根，进而得出△PQB的面积不等等于9cm2；（2）根据四边形APQC的面积等于16cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．【解答】解：（1）△PQB的面积不能等于9cm2，理由如下：∵5÷1＝5s，8÷2＝4s，∴运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，根据题意可得：AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，假设△PQB的面积等于9cm2，则，整理得：t2﹣5t+9＝0，∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×9＝﹣11＜0，∴所列方程没有实数根，∴△PQB的面积不能等于9cm2；（2）由（1）得：AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，∵四边形APQC的面积等于16cm2，∴，整理得：t2﹣5t+4＝0，解得t1＝1，t2＝4，∴t＝1或4时，四边形APQC的面积等于16cm2．答：1s或4秒后，四边形APQC的面积等于16cm2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记当Δ＜0时，方程无实数根．【能力提升4】动态几何问题【提升4-1】如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．（1）当x为何值时，点P、N重合；（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．【分析】（1）由于若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm，而点P、N重合，那么2x+x2＝20，解这个方程即可求出x的值；（2）由于当N点到达A点时，x＝2，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧．以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时分两种情况：①当点P在点N的左侧时，由此即可得到关于x的方程，解方程即可；②当点P在点N的右侧时，由此也可以列出关于x的方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵P，N重合，∴2x+x2＝20，∴，（舍去），∴当时，P，N重合；（2）因为当N点到达A点时，x＝2，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，依题意得20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2），解得x1＝0（舍去），x2＝2，当x＝2时四边形PQMN是平行四边形；②当点P在点N的右侧时，依题意得20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20，解得x1＝﹣10（舍去），x2＝4，当x＝4时四边形NQMP是平行四边形，所以当x＝2或x＝4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．【点评】此题是一个运动型问题，把运动和平行四边形的性质结合起来，利用题目的数量关系列出一元二次方程解决问题．解题时首先要认真阅读题目，正确理解题意，然后才能正确设未知数列出方程解题．【提升4-2】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b（a＜b），AB＝5，a，b是方程x2﹣（m﹣1）x+（m+4）＝0的两根（1）求a，b；（2）P，Q两点分别从A，C出发，分别以每秒2个单位，1个单位的速度沿边AC，BC向终点C，B运动，（有一个点达到终点则停止运动），求经过多长时间后PQ＝2？【分析】（1）利用根与系数的关系，结合勾股定理可先求出m的值，再求得a、b即可；（2）设经过x秒后PQ＝2，求得CP、CQ，利用勾股定理建立方程求得答案即可．【解答】解：（1）∵a、b是方程的x2﹣（m﹣1）x+（m+4）＝0两个根，∴a+b＝m﹣1，ab＝m+4．又∵a2+b2＝c2，∴（m﹣1）2﹣2（m+4）＝52∴m＝8，m＝﹣4（舍去），∴原方程为x2﹣7x+12＝0，解得：a＝3，b＝4．（2）设经过x秒后PQ＝2，则CP＝4﹣2x，CQ＝x，由题意得（4﹣2x）2+x2＝22解得：x1＝，x2＝2，答：设经过秒或2秒后PQ＝2．【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的运用，利用根与系数的关系求得直角三角形的边是解决问题的前提。【聚焦考点5】其他问题【典例剖析5】其他问题【典例4-1】在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．（1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．（2）你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．【分析】（1）利用等量关系花园的长×花园的宽＝荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可；（2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地面积的一半即可．【解答】解：不符合．设小路宽度均为xm，根据题意得：（16﹣2x）（12﹣2x）＝×12×16，解这个方程得：x1＝2，x2＝12．但x2＝12不符合题意，应舍去，∴x＝2．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2m．（2）答案不唯一．（6分）例如：左边的图形，取上边长得中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半；右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关键．【典例5-2】根据以下素材，探索完成任务．素材1某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器．素材2该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元．问题解决任务1若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？任务2设镇流器补进x件，若80≤x≤110，刚补进镇流器的单价为（160﹣x）元，补进灯管的总价为（12000﹣30x）（用含x的代数式表示）；任务3若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？【分析】任务1：根据题意“当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元”列出算式即可求解．任务2：设镇流器补进x件，根据题意列出代数式即可求解；任务3：根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【解答】解：任务1：依题意，镇流器补进90件，学校补进镇流器和灯管共[80﹣（90﹣80）×1]×90+（400﹣90）×30＝15600元，答：若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共15600元，任务2：设镇流器补进x件，若80≤x≤110，刚补进镇流器的单价为80﹣（x﹣80）＝160﹣x（元），补进灯管的总价为：（400﹣x）×30＝12000﹣30x（元），故答案为：（160﹣x）；（12000﹣30x）．任务3：依题意，（160﹣x）×x+（12000﹣30x）＝15000，解得：x1＝30，x2＝100，∵80≤x≤110．∴x＝100．答：补进镇流器100件．【点评】本题考查了列代数式和一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，分情况列出方程．针对训练5【变式5-1】某商店购入A，B两款商品，进货价和销售价如表（利润＝销售价﹣进货价）：A款B款进货价（元/件）4028销售价（元/件）5540（1）商店购进A，B两款共80件，其中A款购进x件，则商店A，B两款全部售出后可获得的总利润为（3x+960）元（用含x的代数式表示）；（2）商店打算把B款进行调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4件，经调查发现，销售价每降价1元，平均每天可多售出2件，问：将销售价格定为每件多少元时，才能使B款平均每天的销售利润为96元？【分析】（1）把A，B两款商品的利润相加，即可得到答案；（