东城区理科二模

数学（理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若复数（）为纯虚数，则等于（A）0（B）1（C）-1（D）0或1（2）给出下列三个命题：①，；②，使得成立；③对于集合，若，则且.其中真命题的个数是（A）0（B）1（C）2（D）3（3）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（A）（B）（C）（D）（4）极坐标方程（）表示的图形是（A）两条直线（B）两条射线（C）圆（D）一条直线和一条射线（5）已知正项数列中，，，，则等于（A）16（B）8（C）（D）4（6）已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）（7）△外接圆的半径为，圆心为，且，，则等于（A）（B）（C）（D）（8）已知函数则函数的零点个数是（A）4（B）3（C）2（D）1第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）的展开式中，的系数为．（用数字作答）（10）某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为；若从调查小组中的公务员和教师中随机选人撰写调查报告，则其中恰好有人来自公务员的概率为．相关人员数抽取人数公务员32教师48自由职业者644（11）在△中，若，则．（12）如图，是半径为的圆的直径，点在的延长线上，是圆的切线，点在直径上的射影是的中点，则=；．（13）已知点在不等式组表示的平面区域内，则点到直线距离的最大值为____________．（14）对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则．三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的值域．（16）（本小题共14分）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，四边形是边长为的正方形．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．（17）（本小题共13分）甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．(18)（本小题共13分）已知函数()．（Ⅰ）若，求证：在上是增函数；（Ⅱ）求在[1，e]上的最小值．（19）（本小题共13分）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）证明：曲线在点处的切线与平行；（Ⅲ）若曲线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围．（20）（本小题共14分）在单调递增数列中，，不等式对任意都成立.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）判断数列能否为等比数列？说明理由；（Ⅲ）设，，求证：对任意的，.北京市东城区2010-2011学年第二学期高三综合练习（二）高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B（2）C（3）B（4）A（5）D（6）D（7）C（8）A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）（11）（12）（13）（14）注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为，且，所以，．因为．所以．……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．所以，．因为，所以，当时，取最大值；当时，取最小值．所以函数的值域为．……13分（16）（共14分）（Ⅰ）证明：连结，与交于点，连结．因为，分别为和的中点，所以∥．又平面，平面，所以∥平面．……4分（Ⅱ）证明：在直三棱柱中，平面，又平面，所以．因为，为中点，所以．又，所以平面．又平面，所以．因为四边形为正方形，，分别为，的中点，所以△≌△，．所以．所以．又，所以平面．……9分（Ⅲ）解：如图，以的中点为原点，建立空间直角坐标系．则．由（Ⅱ）知平面，所以为平面的一个法向量．设为平面的一个法向量，，．由可得令，则．所以．从而．因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．……14分（17）（共13分）解：（Ⅰ）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故，解得或．又，所以．…6分（Ⅱ）依题意知的所有可能取值为2，4，6．，，，所以随机变量的分布列为：所以的数学期望．………………13分（18）（共13分）（Ⅰ）证明：当时，，当时，，所以在上是增函数．………………5分（Ⅱ）解：，当，．若，则当时，，所以在上是增函数，又，故函数在上的最小值为．若，则当时，，所以在上是减函数，又，所以在上的最小值为．若，则当时，，此时是减函数；当时，，此时是增函数．又，所以在上的最小值为．综上可知，当时，在上的最小值为1；当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为．………………13分（19）（共13分）（Ⅰ）解：由已知，动点到定点的距离与动点到直线的距离相等．由抛物线定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线．所以曲线的方程为．………………3分（Ⅱ）证明：设，．由得．所以，．设，则．因为轴，所以点的横坐标为．由，可得所以当时，．所以曲线在点处的切线斜率为，与直线平行．………………8分（Ⅲ）解：由已知，．设直线的垂线为：．代入，可得（*）若存在两点关于直线对称，则，又在上，所以，．由方程（*）有两个不等实根所以，即所以，解得或．………………13分（20）（共14分）（Ⅰ）解：因为是单调递增数列，所以，.令，，，所以.………………4分（Ⅱ）证明：数列不能为等比数列.用反证法证明：假设数列是公比为的等比数列，，.因为单调递增，所以.因为，都成立.所以，①因为，所以，使得当时，.