【《幂级数和函数的应用》6900字（论文）】

1幂级数和函数的应用 1 1 31.3研究现状 32相关理论 42.1幂级数 4 53幂级数和函数的应用研究 63.1函数展开成幂级数 63.2幂级数和函数的方法探究 93.3幂级数和函数的几点应用介绍 4结论与展望 幂级数理论起源于18世纪，是数学的几个领域之一.欧拉以及拉朗贝尔是先驱者，为建立幂级数论做了很多方面的工作.1774年，欧拉对幂级数的积分2在他所著的与流体力学相关的文章中提及了上述性质，比欧拉还要更早一些.所以，人们将这两个方程称为了“达朗贝尔一欧拉方程”.19世纪，黎曼以及柯19世纪，幂级数论实现了全面发展，就好比微积分在18世纪的数学中占据了统治地位，幂级数同样在19世纪的数学中占据了统计地位.黎曼、柯西以及说，正式特征他们也已经提出了.20世纪初期，历经较长时间的发展，幂级数论的理论越发完善，技巧也更程的范畴.许多数学家也进行了非常多的研究工作，如法国的阿达玛、瑞典的米塔-列夫勒等，幂级数论也涉及到了越来越多的研究领极为深远的.幂级数在研究函数方面是一个很有力的工具.作为函数级数中的一种，幂级级.当前对幂级数和函数研究在不断发展，幂级数的性质日益完善.看，也被当作了一种重要工具.运用幂级数和函数的性质进行分析，可以解决很多数学难题.3善，所以要通过这个研究对幂级数和函数应用建立完整体系.线工作人员提供理论的参考.开探讨起到了极大地帮助，为以后的研究提供参考依据.工程实际应用也罢，都起到了非常重要的作用.作为与无穷级数相关的最为常用体思路，并且对详细解题过程进行了列示.在对函数进行表示时，幂级数通过的应用也极为广泛.在范围一定的情况下，对基本初等函级数的.幂级数是符合四则运算法则的，提供了加减乘除这四种运算，无论是积知识的理解.对任何概率分布参数的估计都是至关重要的，因为不精确和有偏的两参数幂函数分布的极大似然估计、矩估计和百分位估计的修正.用蒙特卡罗模拟方法表明了估计量的抽样行为.对于某些参数值组合，在偏差、均方误差和总4偏差方面，一些修正的估计量比传统的极大似然估计量、矩估计量和百分位数估计量更好.同时，将函数和幂级数应用到科研结果的验证，同时它们的应用已经发展到了各行各业，不在局限于理论的研究.密码学是近年来发展最为迅速的非交换密码学，其主要原因是对量子密码分析的抵制.SakalauskasE等人[5提出了一种基于矩阵幂函数的非对称密码算法.Akimenko等人[6]研究了两种具有非线性死亡率和多循环繁殖条件的年龄结构种群动力学模型的行波解的显式递归算法和数值性质.递归公式使在研究中能够建立精确的数值算法，并通过一组参数化代数函数对种群动态的不同场景进行大量模拟.从复变函数来看，主要通过下述方法来对解析函数展开了探究：1、Cauchy的幂级数方法。在分析解析函数时，幂级数方法是重要的方法之一，并且在复杂的功能理论中起着重要的作用。金帅等[71针对单个复变量的分析功能，将幂级数展开扩展到多个复变量的乘积域，并成为进行多复变量全纯分析的重要工具之一。功能。.Zhou等人[8对土壤异养呼吸的动态变化及其与气候因子的经验关系进行研究，用三种模型，即对数线性模型、指数模型和幂模型，进行拟合和评价.结果表明，幂函数模型比指数衰减模型更准确地描述了亚热带森林矿质土壤有机碳的分解动态.Rajat等人I⁹在研究含水层物质颗粒粒度分布对其渗透性的影响时建立了幂函数模型，所建立的幂函数模型为估算井的产量、土工结构下的渗流和合理精度的过滤器设计提供了一个有效的工具.Goans[101利用伤口保留度的幂函数描述，不同伤口类别在对数尺度上呈直线，不同坡度对应不同保留度类别.2相关理论2.1幂级数具有下列形式的函数项级数5称为在点x=0处的幂级数.为幂级数的和函数.简单来说，对于幂级数，求和函数是通过将几个幂函数相加而获得的。所以让幂函数存在和函数为前提，自变量x的取值范围就可以叫做幂级数的收敛区间或者是收敛域.其中，收敛域的二分之一就可以叫做收敛半径R[111.2.2幂级数和函数由幂级数可知，可以把幂级数的部分和记为：且部分和S,(x)的极限就是和函数.即涉幂函的和函数为S(x),收连半径为R,则：(1)连续性对于一个幂级数而言，若其和函数为S(x),那么属于收敛区间(-R,R)的情况下，该函数是具有连续性的；也就是收敛区间中的所有点都是存在极限值的，和函数值是相等的.即对于一个幂级数而言，若其和函数为S(x),那么属于收敛区间(-R,R)的情况下，该函数是存在连续的导数的，能够逐项求导，也就是对于任取的一个通过逐项求导可以得到一个幂级数，与原级数一样，它们的收敛半径是一致的；6对于一个幂级数而言，若其和函数为S(x),那么属于收敛区间(-R,R)的情况下，该函数是可积的，还可逐项积分，也就是对于任取的一个x∈(-R,R),那么有3幂级数和函数的应用研究3.1函数展开成幂级数泰勒中值定理如下：存在一个函数f(x),如果有这么一个将x₀包括在内的开区间(a,b),一直到(n+1)都存在阶导数，那么在x属于区间(a,b)的情况下，f(x)就能够表示成两个部分的和，其一是(x-x₀)的n次多项式，其二是余项R,(x):其中这里ξ是x₀与x之间的某个值.7是R,(x)=f(x)-sn+(x)→0(n→0)由此，可证明条件的必要性.8f"(x)=2!a₂+3×2a₃x+..+.93.1.3幂级数和函数的应用的步骤第一步求f'(x),f"(x),.,f(n(x),..第二步求f'(0),f"(0),.,f(n(0),...第三步写出幂级数,并求出收敛半径R.第四步考察当x在区间(-R,R)内时余项的极限是否为零.若为零，则在区间(-R,R)内有3.2幂级数和函数的方法探究极限，也就是存在，那么这个幂级数就是具有收敛性的，且和函数例3.2-1:求幂级数该法简单、方便而且容易操作，仅需对求解得到前n项和进行求极限操作即可，所以不论幂级数求和是以何种形式出现，该法均可适用.但是应当从实际问题出发来分析，如果幂级数的通项公式较为复杂，如等，对定义法进行适用并不具有可操作性.3.2.2逐项求导法在幂级数通项中，如果系数为下述两种情况，一种是1除以自然数，另一种是1除以两相邻自然数，也就是分母中包括了n,那么先进行求导、后进行积分这种方法会较为可行.解：根据题意不难发现，对这一幂级数而言，收敛区间是[-1,1]当x≠0时，不妨设只需2次求导操作就能够得到一个特殊幂级数，系数是与n无关的，相当于一个无穷递缩等比数列，根据求和公式可以得到：上式两边积分得：综上所述3.2.3逐项积分法在幂级数通项中，如果系数为下述两种情况，一种是自然数，另一种是两相邻自然数的乘积，即n在分子上时，那么先进行积分、后进行求导这种方法会较为可行[14]解：根据题意不难发现，对这一幂级数而言，收敛区间是(一1,+1).两边除以x令则将上式两边积分得：只需3次求积分操作就能够得到一个特殊幂级数，通项公式是与n无关的，相当于一个无穷递缩等比数列，根据求和公式可以得到：在上式的基础上第1次求导，可知：第2次求导得：第3次求导得：而可得所求和函数3.2.4其他方法例3.2-4:存在一个幂级数试求其和函数以及收敛域.可知在x=-1的情况下级数是收敛的，x=1的情况下级数是发散的，因而收敛区间为(-1,1).故有3.3.1求无穷级数的和例1求无穷级数点并且总和很容易得，怎样利用计算消除系数中的3n+1是解决这一问题的关键.因此，构造适当的和函数非常重要。要清除分母中3n+1,该函数包含一个x³n+1项，然后求导。恢复方程式的两边以获得包含x的变量上限整数，由此可以建立一个幂级数,应该注意，积分总是从级数的收敛中心到x的积分，然后，根据无穷级数和的特征，得到收敛区域的x值。常规步骤如下：找出幂级数的收敛区解易知该幂级数收敛域为(-1,1),且从而故3.3.2计算圆周率π的近似值过去，数学家为此付出了生命和精力，以实现π精度。直到17世纪，借助于数学分析中反级数两边对x积分得到于是，令x=1得3.3.3在积分中的应用如果积分是超越函数，则无法获得直接积分的结果。此时，可以将积分扩展为幂级数例2计算不定积分分析：如果积分符合现有的积分方法，则不会得到结果，但是您熟悉e数的幂级数和表达0然后，使用幂级数的属性在收敛区间上逐项对项进行积分以获例3计算二重积分分析：通常，求二重积分的常用方法是将其转换为X型或Y型形式以获得结果.但是，此问题使用X类型来计算在末尾包含x积分变量的定积分.根据常规的N-L公式，由于不能获得原始函数并且不能获得最终结果，因此认为可以通过变换以幂级数的形式表示被积函数，从而得到结果，简洁明了.当0≤x<1时级数的和函数连续，它的每一项都连续且大于0,逐项积分得到级数收敛，因此这里等重要结论可由Fourier级数求得.反过来，和函数表示为幂级数，并且幂级数是表达函数的重要工具，因此幂级数也可以用来证明不等式.例4证明不等式分析：在证明不等式的常用方法中，综合，比较，分析和导数方要原因是变量x无法完全统一在一起，并且无法判断结果.但是，我们知道函数e“很容易表示为幂级数，然后通过幂级数比较大小，得到不等式加以证明，拓宽了思路并培养了能力.3.3.5求数列的极限使用一系列函数项级数的和函数来找到极限是数学思维的一种重要方法.对于一般公式中包含n的公式之和的极限问题，可以将级数的极限转化为级数的总和，根据级数的特性，构造相应的幂级数，求得幂级数的和函数，并通过和函数在收敛点的函数值得到数列的极限的值.例5求极限分析：这个题是找到无限多项式之和的极限.因此，不能使用“和的极限等于极限的和”的算法.前面的示例启发我们构造了幂级数求和是在求和函数中对所得的结果.另外，处理此问题时有一个技巧，即，为了消除n+1,可以将幂级数的两边构造幂级数易知其收敛域为(-1,1),设且两边进行求导，得对上式两边从0到x积分，得因此，当x≠0时，有即显然故4结论与展望幂级数在赋值过程中存在截断误差，且很多无穷级数收敛速度慢，需要较大的展开项数才能获得可靠的逼近效果.此外，这些逼近方法在自变量区间内效果不稳定，例如幂级数展开在零点附近时有较好的逼近效果，而渐近级数展开通常在自变量取值较大时才能很好地逼近原函数.在计算机技术持续发展的同时，计算能力的提高，出现了许多数学软件，例如Matlab、Maple等，这些数学软件由算法标准程序发展而来，可以对函数进行赋值和操作.但是这些数学软件中对特殊函数的赋值算法还是不够丰富、高效.因此，探索更精确高效的赋值算法，具有重要意义.[3]MuhammadS,UIH,IjazH,etal.CompEstimationMethodsforthePowerFunctionDistribution[J].Plo[4]ZakaA,AkhterAS.ModififortheParametersofthePowerFunctionDistribution[J].PakistanJournalofStatistics&OperationResearch,2014,10(4):369.[5]SakalauskasE,MihalkovichA.NewAsymmetricCiphClassBasedonMatrixPowerFunction[J].Informatica,2[6]AkimenkoVV.Nonlinearage-structuredmodelsofpolycyclicpopudeathratesaspowerfunctionswithexponentn2017,133:175-205.decompositionus