专题21反比例函数的图象与性质（3个知识点5种题型2种中考考法）（原卷版）-初中数学北师大版9年级上册

【关注公众号：林樾数学】免费获取更多初高中数学学习资料专题21反比例函数的图象与性质（3个知识点5种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数图象的画法（重点）知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）知识点3.反比例函数表达式中比例系数k的几何意义（难点）【方法二】实例探索法题型1.反比例函数的图象与性质的应用题型2.反比例函数与图形面积问题题型3.利用反比例函数图象的对称性解题题型4.创新题题型5.反比例函数与几何图形的综合【方法三】仿真实战法考法1.反比例函数的比例系数k的几何意义考法2.利用反比例函数的性质比较函数值大小【方法四】成果评定法【学习目标】能画出反比例函数的图象，知道反比例函数的图象是双曲线。理解反比例函数的性质，并能运用其性质解决相关的问题。理解反比例函数中的比例系数k的几何意义，并能运用其意义求与反比例函数图象有关的图形面积问题。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数图象的画法（重点）（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．【例1】（2022春·全国·九年级专题练习）在同一平面直角坐标系中，画出反比例函数与的图象.知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.注意：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．2.反比例函数的性质（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；注意：（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.（2）反比例的图像关于原点的对称【例2】（2022秋•南华县期末）反比例函数与一次函数y＝kx+1在同一坐标系的图象可能是（）A． B． C． D．【变式】（2022秋•大渡口区校级期末）在同一坐标系中，函数和y＝kx﹣2的图象大致是（）A． B． C． D．【例3】（2023•瑞安市开学）对于反比例函数，当﹣1＜y≤2，且y≠0时，自变量x的取值范围是（）A．x≥1或x＜﹣2 B．x≥1或x≤﹣2 C．0＜x≤1或x＜﹣2 D．﹣2＜x＜0或x≥1【变式】（2023•西湖区校级开学）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，其中y2＜0＜y1＜y3，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3知识点3.反比例函数表达式中比例系数k的几何意义（难点）通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为，与两条坐标轴围成矩形面积为，注意加绝对值时，有正负两个答案．【例4】（2023•和平区校级三模）如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB＝2，则k的值为（）A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4【变式】如图，矩形ABCD的边CD在x轴上，顶点A在双曲线上，顶点B在双曲线上，求矩形ABCD的面积．AABCDEOxy【方法二】实例探索法题型1.反比例函数的图象与性质的应用1．（2023•株洲）下列哪个点在反比例函数的图象上？（）A．P1（1，﹣4） B．P2（4，﹣1） C．P3（2，4）D．2.（2023•西湖区校级开学）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，其中y2＜0＜y1＜y3，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x33.（2023春•东阳市期末）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．​（1）求此反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．（2）求当y≤4，且y≠0时自变量x的取值范围．4.（1）平面直角坐标系中，点A在第二象限，且m为整数，求过点A的反比例函数解析式；（2）若反比例函数的图像位于第二、四象限内，正比例函数过一、三象限，求整数k的值．5.已知反比例函数，当自变量x的取值范围为时，相应的函数取值范围是，求这个反比例函数解析式．题型2.反比例函数与图形面积问题6.（1）若P是反比例函数图像上的一点，PQ⊥y轴，垂足为点Q，若，求k的值；（2）已知反比例函数的图像上有一点A，过A点向轴，y轴分别做垂线，垂足分别为点，且四边形的面积为15，求这个反比例函数解析式．7.（2022秋•朝阳期末）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数的解析式和n的值；（2）根据图象直接写出不等式k1x+b的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．题型3.利用反比例函数图象的对称性解题8．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（）A．﹣3 B．﹣ C． D．39．（2023•广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（）A．4 B．3 C．2 D．110．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考二模）已知：(1)化简A；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．条件①：若点是反比例函数图象上的点；条件②：若a是方程的一个根．11．（2022秋·九年级单元测试）点A是反比例函数的图像上一点，直线轴，交反比例函数（）的图像于点B，直线轴，交于点C，直线轴，交于点D．(1)若点A（1，1），分别求线段AB和CD的长度；(2)对于任意的点A（a，b），试探究线段AB和CD的数量关系，并说明理由．12．（2022·江苏常州·校考二模）如图，直线与双曲线相交于、B两点．(1)求m及k的值；(2)不解关于x、y的方程组直接写出点B的坐标；(3)直接写出的取值范围．13．（2023·全国·九年级专题练习）函数的图象可以由函数的图象左右平移得到．(1)将函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，则____；(2)下列关于函数的性质：①图象关于点对称；②随的增大而减小；③图象关于直线对称；④的取值范围为．其中说法正确的是________（填写序号）；(3)根据（1）中的值，写出不等式的解集：_________．题型4.创新题14．（2022秋·安徽滁州·九年级统考期中）如图，已知，，，…，…是轴上的点，且，分别过点，，，…，，…作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，…，，过点作于点，过点作于点，…，记的面积为，的面积为，的面积为．则．15．（2021秋·河北石家庄·九年级校考期中）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是2和3，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数）．函数（）的图象为曲线L．（1）若L过点，则；（2）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有个．16．（2022秋·全国·九年级期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为．“①，②，③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，……，则．题型5.反比例函数与几何图形的综合17.过原点作直线交双曲线于点A、C，过A、C两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD，如图所示．已知矩形ABCD的面积等于8，求双曲线的解析式；若已知矩形ABCD的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能，请予求出；如果不能，说明理由．yyABCDOx18.正方形OAPB、ADFE的顶点A、D、B在坐标轴上，点E在AP上，点P、F在函数的图像上，已知正方形OAPB的面积是16．求k的值和直线OP的函数解析式；求正方形ADEF的边长．yyABPFOxED19.如图，已知正方形OABC的面积是9，点O为坐原点，A在x轴上，C在y轴上，B在函数的图像上，点P（m，n）在的图像上异于B的任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是E、F．设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积是S．求点B的坐标；当时，求点P的坐标；写出S关于m的函数解析式．AABCPEFyOx【方法三】仿真实战法考法1.反比例函数的比例系数k的几何意义1．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（）A．﹣3 B．﹣ C． D．32．（2023•湘西州）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4考法2.利用反比例函数的性质比较函数值大小3．（2023•镇江）点A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）．4．（2022•广东）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（）A．y1 B．y2 C．y3 D．y45．（2021•广安）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1【方法四】成果评定法一、单选题1．（2021秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）下列函数图像分布在第一、三象限的是（

）A． B． C． D．2．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，已知矩形的对角线中点E与点都在反比例函数的图象上，则的值为（

）

A． B． C． D．3．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，在的图象上有两点、，过这两点分别向轴引垂线，交轴于、两点，连结、，记、的面积，，则与的大小关系是（

）

A． B． C． D．不确定4．（2022秋·广西贺州·九年级校考期末）如图，，是反比例函数图象上的两个点，分别过，作轴、轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形，，，已知，则的值是（

）

A．4 B．6 C．8 D．105．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，过双曲线上任意一点分别作轴，轴的垂线，，交轴、轴于点、，所得矩形的面积为8，则的值是（

）

A．4 B． C．8 D．6．（2021秋·河北石家庄·九年级校联考期中）关于反比例函数，下列说法不正确的是（

）A．函数图像分别位于第一、三象限 B．函数图像经过点C．函数图像过，则 D．函数图像关于原点成中心对称7．（2023秋·江苏南京·九年级南京市伯乐中学校考开学考试）已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．8．（2022秋·河北邯郸·九年级校考期中）点，，都在反比例函数的图象上，则（

）A． B． C． D．9．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，连接，则四边形的面积为（）A．4 B．8 C．12 D．2410．（2023·江苏宿迁·统考三模）如图，是的中线，，若点A在反比例函数图像上，点E在图像上，则的值是（

）

A．1 B．3 C． D．2二、填空题11．（2022秋·湖南永州·九年级校考期中）如图，M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为A，的面积为3，则k的值为．12．（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，点A，B是双曲线上的点，分别经过A，B两点向轴，轴作垂线段，若，则．

13．（2022秋·黑龙江大庆·九年级校考期中）若点在双曲线上，则的大小关系是．14．（2023·安徽滁州·校考二模）如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，已知点A，，在坐标轴上，，的面积为16，则．

15．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点、为反比例函数上两点，且点横坐标为点横坐标的两倍，分别过点作轴平行线，过点作轴平行线，两直线交于点，若，则．

16．（2023秋·福建泉州·九年级校考专题练习）如图，已知直线交轴于点，分别与函数和的图象相交于点，，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，连接，，若，，则．

17．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期中）如图，点在x轴上，且，分别过点作y轴的平行线与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点，分别过点作x轴的平行线，分别于y轴交于点，连接，那么图中从左到右第2022个阴影部分的面积为．18．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，点A，B，C在函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过点A，C作x轴与y轴的垂线，过点B作y轴与的垂线．若，图中所构成的阴影部分面积为2，则矩形的面积为．三、解答题19．（2023秋·陕西榆林·九年级校考期末）已知反比例函数，当为何值时：(1)函数的图象在第二、四象限？(2)在每个象限内，随的增大而减小？20．（2023·全国·九年级专题练习）已知函数．(1)若点是函数图像上一点，则点关于原点的对称点是否在该函数图像上？请说明理由．(2)设、是该函数图像上任意两点，且，求证：．21．（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴于点B，的面积为4．

(1)求k的值；(2)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）(3)设（2）中的角平分线与轴相交于点，延长到，使，连接并延长交轴于点．求证：．22．（2023·湖南郴州·统考二模）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表：x…0123…y…121012…描点：