专题15利用相似三角形测高（3个知识点2种题型1种中考考法）（解析版）-初中数学北师大版9年级上册

专题15利用相似三角形测高（3个知识点2种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.利用阳光下的影子测量旗杆的高度（重点）知识点2.利用标杆测量旗杆的高度（难点）知识点3.利用镜子的反射测量旗杆的高度（重点）【方法二】实例探索法题型1.求影子在坡（或墙）面上时物体的高度题型2.利用相似测量河宽【方法三】仿真实战法考法.利用相似三角形测物高【方法四】成果评定法【学习目标】掌握几种测量物体高度的方法与原理，能综合运用相似三角形的判定定理和相似三角形的定义解决问题。通过设计测量旗杆高度的方案，学会将实物图形抽象成几何图形的方法，体会将实际问题转化成数学模型的转化思想。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.利用阳光下的影子测量旗杆的高度（重点）【例1】（2022秋·陕西延安·九年级校考期末）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度．【答案】这棵树的高度为【分析】利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴．答：这棵树的高度为．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键．【变式】（2022秋·九年级课时练习）贺哲同学的身高1.86米，影子长3米，同一时刻金老师的影子长2.7米，则金老师的身高为米（结果保留两位小数）。【答案】1.67【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【详解】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设金老师的高度为xm，则，解得x=1.67．故答案为：1.67．【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力．知识点2.利用标杆测量旗杆的高度（难点）【例2】（2023·广东佛山·校考三模）如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝m．【答案】7.5【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小颖同学的身高即可求得树高AB．【详解】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴，∵DE＝8cm＝0.08m，DF＝10cm＝0.1m，AC＝1.5m，CD＝8m，∴由勾股定理求得EF＝0.06m，∴，∴BC＝6米，∴AB＝AC+BC＝1.5+6＝7.5（米）．故答案为：7.5．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．【变式】如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面，竹杆顶端离地面，小明到竹杆的距离，竹杆到塔底的距离，求这座古塔的高度．【答案】古塔的高度是米．【分析】先根据小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB可知，BH=DG=EF=1.6m，再小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m求出CG的长，由于CD∥AB可得出△EGC∽△EHA，再根据相似三角形的对应边成比例可求出AH的长，进而得出AB的长．【详解】∵小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB，∴BH=DG=EF=1.6m，EG=DF，GH=DB，∵小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m，∴CG=CD-EF=2.4-1.6=0.8m，∵CD∥AB，∴△EGC∽△EHA，DF=2m，DB=33m，∴，即，解得AH=14m，∴AB=AH+BH=14+1.6=15.6m，答：古塔的高度是15.6米．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，先根据题意得出相似三角形，再根据相似三角形的对应边成比例得出结论是解答此题的关键．知识点3.利用镜子的反射测量旗杆的高度（重点）【例3】（2022秋·九年级单元测试）李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在点（如图所示），人在点正好在镜中看到树尖；第二次他把镜子放在处，人在处正好看到树尖．已知李师傅眼睛距地面的高度为，量得为，为，为，求树高．【答案】这棵古树的高为10m【分析】根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，所以可得△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，再根据相似三角形的性质解答．【详解】解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，∴△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，设AB＝x，BC＝y∴解得．∴这棵古树的高为10m．【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．【变式1】（2022秋·九年级课时练习）每年的秋冬季节，青竹湖湘一外国语学校的银杏大道是学校最为靓丽的一条风景线，数学彭老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树m的点处，然后观测者沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得m，观测者目高m，则树高约是多少米？【答案】树高约是7m．【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．【详解】根据题意，易得，，则，则，即，解得：AB=7m，答：树高AB约是7m．【点睛】此题考查相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解．【变式2】（2022秋·九年级课时练习）小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角）【答案】教学楼AB的高度为16米【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质得，即可求出AB．【详解】解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°，∴Rt△AEB∽Rt△CED，∴，即解得：AB＝16（米）．答：教学楼AB的高度为16米．【点睛】此题考查了相似三角形的实际应用，利用入射角与反射角相等得到相似三角形是解题关键．【变式3】（2023·江苏盐城·统考一模）如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离为1.2米；然后，苏海沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，求雕像的高度．

【答案】【分析】根据已知条件推出，求得与的关系，再根据题意易得四边形、四边形、四边形均为矩形，得到，根据，得，构造一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：设米，如图，

根据题意可得，，，∴，∴,∴，∵点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，，∴四边形、四边形、四边形均为矩形，∴，∵，∴，∴解得∴答：雕像的高度为16.8米．【点睛】本题考查相似三角形的判定、性质与实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．【方法二】实例探索法题型1.求影子在坡（或墙）面上时物体的高度1．（2022秋·九年级课时练习）如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？【答案】这棵树高．【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，利用竹竿这个参照物就可以求出图中的，是的影子，然后加上CD就是树高．【详解】过点作交于点则，，即答：这棵树高．【点睛】解决此类问题的关键是利用在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论，列出方程求解．2．（2022秋·九年级课时练习）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.若铁塔底座宽CD=12m，塔影长m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB．【答案】塔高AB为24m.【分析】过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可．【详解】如图，过点D作，交AE于点F，过点F作，垂足为点G.由题意得，，∴，∵，，∴，∴，答：塔高AB为24m.【点睛】本题考查了相似三角形的应用；解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上两部分；关键是利用平地和斜坡上的物高与影长的比得到相应的部分塔高的长度．题型2.利用相似测量河宽3．（2022秋·九年级课时练习）为测量一河两岸相对电线杆、之间的距离，有四位同学分别测量出了一下四组数据：①，；②，，；③，，；④，，；能根据所测数据，求出、间距离的共有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【答案】C【分析】根据锐角三角函数关系可以借助边角关系求出AB的长，也可以利用相似三角形的性质，根据求出AB的长.【详解】①因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长，故①正确；②可利用∠ACB和∠ADB的正切由CD的长，得出关于AB，AC的比例式，利用方程求出AB即可，故②正确；③因为△ABD∽△EFD可利用，求出AB即可，故③正确；④无法求出A，B间距离，故④错误，故共有3组可以求出A，B间距离，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．4．（2023秋·山东济南·九年级期末）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得，，点E在上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得，，，则河的宽度为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【详解】∵，，∴又∵，∴，∴即解得故选D．【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．5．（2023春·湖南岳阳·九年级校考期中）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度等于．【答案】【分析】易证△ABE∽△DCE，即可求得．【详解】∵∠ABE=∠DCE=90°，∠BEA=∠DEC∴△ABE∽△DCE∴即故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．6．（2021春·全国·九年级专题练习）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．【答案】22.5【详解】根据题意画出图形，构造出△PCD∽△PAB，利用相似三角形的性质解题．解：过P作PF⊥AB，交CD于E，交AB于F，如图所示设河宽为x米．∵AB∥CD，∴∠PDC=∠PBF，∠PCD=∠PAB，∴△PDC∽△PBA，∴，∴，依题意CD=20米，AB=50米，∴，解得：x=22.5（米）．答：河的宽度为22.5米．【方法三】仿真实战法考法.利用相似三角形测物高1．（2022•德州）如图，把一根长为4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为0.6m，则石坝的高度为（）A．2.7m B．3.6m C．2.8m D．2.1m【分析】根据DC∥BF，可得＝，进而得出BF即可．【解答】解：过点B作BF⊥AD于点F，∵DC⊥AD，BF⊥AD，∴DC∥BF，∴△ACD∽△ABF，∴＝，∴＝，解得：BF＝2.7．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．2．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，∴DE＝8（m），故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．3．（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是米．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：据相同时刻的物高与影长成比例，设金字塔的高度BO为x米，则可列比例为，，解得：x＝134，经检验，x＝134是原方程的解，∴BO＝134．故答案为：134．【点评】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查利用所学知识解决实际问题的能力．4．（2021•吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为m．【分析】根据DE∥CF，可得，进而得出CF即可．【解答】解：如图，CF⊥AB，则DE∥CF，∴，即，解得CF＝2.7，故答案为：2.7．【点评】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．5．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为米．【分析】过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，根据题意可得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，从而可得∠DGF＝∠BHF＝90°，DG＝5.6米，然后证明A字模型相似三角形△FDG∽△FBH，从而利用相似三角形的性质求出BH的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，由题意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，∴∠DGF＝∠BHF＝90°，∵CD＝7米，∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），∵∠DFG＝∠BFH，∴△FDG∽△FBH，∴＝，∴＝，∴BH＝16.8，∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），∴塔的高度为18.2米，故答案为：18.2．【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6．（2021•南通）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？【分析】根据平行线的判定得到DE∥BC，然后，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝9（m），答：楼高BC是9m．【点评】本题考查了相似三角形的应用，证得△ADE∽△ABC是解题的关键．7．（2022•陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．【分析】解法一：先证明△AOD∽△EFG，列比例式可得AO的长，再证明△BOC∽△AOD，可得OB的长，最后由线段的差可得结论．解法二：过点C作CM⊥OD于C，证明△EGF∽△MDC可得结论．【解答】解：解法一：∵AD∥EG，∴∠ADO＝∠EGF，∵∠AOD＝∠EFG＝90°，∴△AOD∽△EFG，∴＝，即＝，∴AO＝15，∵AD∥BC，∴△BOC∽△AOD，∴＝，即＝，∴BO＝12，∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米）；解法二：如图，过点C作CM⊥OD于C，交AD于M，∵△EGF∽△MDC，∴＝，即＝，∴CM＝3，即AB＝CM＝3（米），答：旗杆的高AB是3米．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．【方法四】成果评定法一．选择题（共10小题）1．（2022秋•德城区期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，则水面以上深度CD为（）A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．【解答】解：由题意知：AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴解得CD＝3，∴水面以上深度CD为3米．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键．2．（2023春•尤溪县期末）如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，淇淇的身高为1.7m，则树高为（）A．3.4m B．4.7m C．5.1m D．6.8m【分析】由题意可知，图中出现相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：由相似三角形的性质，设树高x米，则＝，∴x＝5.1m．故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，正确记忆相似三角形的对应边成比例是解题关键．3．（2023•城关区一模）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据正方形的性质可得∠ABC＝90°，再根据矩形的性质可得BG＝EF，∠BEF＝90°，从而可得∠ABH＝∠FEH＝90°，然后证明8字模型相似三角形△ABH∽△FEH，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵BE＝2.5，BH＝0.5，∴HE＝BE﹣BH＝2.5﹣0.5＝2，∵四边形BEFG是矩形，∴BG＝EF，∠BEF＝90°，∴∠ABH＝∠FEH＝90°，∵∠AHB＝∠EHF，∴△ABH∽△FEH，∴＝，∴＝，∴EF＝4，∴BG＝EF＝4，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．4．（2023春•临淄区期末）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6cm，长CD＝16cm的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是（）A．9.6cm B．9.3cm C．8.6cm D．7.2cm【分析】直接利用勾股定理得出BF的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：如图所示：作BF⊥AE于点F，由题意可得，BC＝6cm，CF＝DC＝8cm，故BF＝＝＝10（cm），可得：∠CFB＝∠BAE，∠C＝∠AEB，故△BFC∽△BAE，∴，∴，解得：BE＝9.6cm．故选：A．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键．5．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，∴DE＝8（m），故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．6．（2022秋•泗阳县期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高2m，测得AB＝3m，BC＝6m．则建筑物CD的高是（）A．4m B．9m C．8m D．6m【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△AEB∽△ADC，∴＝，∴＝，∴CD＝6（m），故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．7．（2023春•招远市期末）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“E”字高度为62.7mm，当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为（）A．37.62mm B．43mm C．43.62mm D．104.5mm【分析】根据条件可得△ADF∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：由题意可得：△ADF∽△ABC，当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为xmm，5m＝5000mm，3m＝3000mm，解得：x＝37.62，∴当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为37.62mm；故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．8．（2023春•福山区期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.6m，则楼高CD是（）A．9.45m B．10.65m C．14.2mm D．16.8m【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质求出CD即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝10.65（米）．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．9．（2023春•新泰市期末）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（）A．20m B．30m C．40m D．60m【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，∴，解得：AB＝40，故选：C．【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．10．（2023春•芝罘区期末）操场上有一根竖直的旗杆AB，它的一部分影子（BC）落在水平地面上，另一部分影子（CD）落在操场的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为1.2m，地面的影长为2.6m，同时测得一根高为2m的竹竿OM的影长是ON＝1.6m，请根据以上信息，则旗杆的高度是（）A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m【分析】首先需先求出这棵树全落在地面上时的影子的长，即这棵树在底面上的影子长与墙壁上的影子落在地面上的投影长度之和；一根长为2m的竹竿的影长是1.6m；根据竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，即可列方程求出这棵树的高度．【解答】解：由题意可知，留在墙壁上的树影高为1.2m，设这段影子在地面上的长为a，可得：＝，∴a＝0.96m．∴这棵树全落在地面上时的影子的长为：2.6+0.96＝3.56（m）．设树高为xm，再根据竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同可列比例式为：＝，∴x＝4.45．∴树高是4.45m．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应边成比例列方程是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•邗江区期末）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm．EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB是9m．【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D∴△DEF∽△DCB∴＝，∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝10m，∴＝，∴BC＝7.5米，∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9米．故答案为：9．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．12．（2023•海州区一模）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为0.5cm．【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝3，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝3cm，∴AB＝9cm，∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：（10﹣9）÷2＝1÷2＝0.5（cm），故答案为：0.5cm．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．13．（2023•长岭县模拟）为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河岸垂直，然后在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．已测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，则河宽PQ＝90m．【分析】根据相似三角形的性质得出，进而代入求出即可．【解答】解：根据题意得出：QR∥ST，则△PQR∽△PST，∴，∵QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，∴，解得：PQ＝90（m），∴河的宽度为90米．故答案为：90．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△PQR∽△PST是解题关键．14．（2023春•乳山市期末）小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为米．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．【解答】解：设楼高为x米，根据题意得，，解得：，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．（2023•吉林二模）如图是某风力发电机示意图，其相同的三个叶片均匀分布，每个叶片长30m，即OA＝30m．水平地面上的点M在旋转中心O的正下方70m，即OM＝70m．当风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大时，若垂直于地面的木棒EF与影长FG的比为1：2，则此刻风力发电机的影长为200m．【分析】当OA在MO的延长线时，风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大，最大高度＝OA+OM＝100米，然后设此刻风力发电机的影长为x米，根据题意可：＝，最后进行计算即可解答．【解答】解：当OA在MO的延长线时，风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大，最大高度＝OA+OM＝30+70＝100（米），设此刻风力发电机的影长为x米，由题意得：＝，即：＝，解得：x＝200，经检验：x＝200是原方程的根，∴此刻风力发电机的影长为200米，故答案为：200．【点评】本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．16．（2023•松原一模）如图①，西周数学家商高用“矩”测量物高的方法：把矩的两边放置成如图②的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG的长，即可算得物高EG．经测量，得CD＝60cm，AD＝120cm，AB＝1.5m．设BG＝x（m），EG＝y（m），则y与x之间的函数关系式为y＝x+1.5．【分析】根据题意可得：FG＝AB＝1.5m，AF＝BG，EF∥CD，然后证明A字模型相似三角形△ACD∽△AEF，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：FG＝AB＝1.5m，AF＝BG，EF∥CD，∴∠EFA＝∠CDA，∠ACD＝∠AEF，∴△ACD∽△AEF，∴＝，∴＝，解得：y＝x+1.5，故答案为：y＝x+1.5．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．17．（2023春•任城区期末）如图，小华站在楼AB的底端A处，眺望楼CD的顶端D，发现视线MD与水平线ME的夹角为α；然后，小华保持身体姿势不变转身后退，当退到点F处时，发现视线BE与水平线EM的夹角也为α．已知点F恰好为AC的中点，点M在AB上，AB⊥AC，CD⊥AC，EF⊥AC，EM⊥AB，楼AB的高度为7米，小华眼睛距离地面的高度EF＝MA＝1.5米，根据以上数据计算出大楼CD的高度为12.5米．【分析】延长ME交CD于点N，根据题意可得：AM＝EF＝CN＝1.5米，AM∥EF∥CN，从而可得点E是MN的中点，进而可得ME＝EN＝MN，再根据已知可求出BM的长，然后证明△BME∽△DNM，从而利用相似三角形的性质可求出DN的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：延长ME交CD于点N，由题意得：AM＝EF＝CN＝1.5米，AM∥EF∥CN，∵点F为AC的中点，∴点E是MN的中点，∴ME＝EN＝MN，∵AB＝7米，∴BM＝AB﹣AM＝5.5（米），∵∠BME＝∠DNM＝90°，∠BEM＝∠DMN，∴△BME∽△DNM，∴＝，∴＝，∴DN＝11，∴CD＝DN+CN＝11+1.5＝12.5（米），∴大楼CD的高度为12.5米，故答案为：12.5．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．18．（2023春•莱州市期末）如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到大楼顶部．如果王青眼睛与地面的距离KL＝1.6m，同时量得LM＝0.4m，MS＝5m，则楼高TS＝20m．【分析】根据镜面反射的性质，△KLM∽△TSM，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：根据题意，∵∠KLM＝∠TSM＝90°，∠KML＝∠TMS，∴△KLM∽△TSM，∴＝，即＝．∴TS＝20．故答案为：20．【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．三．解答题（共8小题）19．（2022秋•大荔县期末）下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度．题目测量小河宽度AB目标示意图测量数据BC＝1米，BD＝10米，DE＝1.2米【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出＝，进而得出答案．【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，则＝，即＝，解得：AB＝50，答：小河的宽度为50米．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．20．（2023•西安校级模拟）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．【分析】过E作EG⊥BC于G，依据△ABC∽△ADE，即可得出＝，依据△ACF∽△ECG，即可得到＝，进而得出AF的长．【解答】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴＝＝，∴＝，∵AF⊥BC，EG⊥BC，∴AF∥EG，∴△ACF∽△ECG，∴＝，即＝，解得AF＝80，∴桥AF的长度为80米．【点评】本题主要考查了利用相似测量河的宽度（测量距离）．测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．方法是通过测量易于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．21．（2023•碑林区校级一模）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边EF：DE＝2：3，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得AM＝21m，边DF离地面的距离为1.6m，求树高AB．【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似，求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴，∴．∵AM＝CD＝21m，∴BC＝14m，∴AB＝AC+BC＝1.6+14＝15.6（m）．答：树高15.6m．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．22．（2023•宝鸡二模）某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝57米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B、D、E、G在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度AB．（平面镜的大小厚度忽略不计）【分析】先证明△CDE∽△FGE，求出DE的长，再证明△ABE∽△CDE即可求出答案．【解答】解：∵CD⊥BG，FG⊥BG，∴∠CDE＝∠FGE＝90°，∵∠CED＝∠FEG，∴△CDE∽△FGE，∴，∵CD＝4，FG＝1.6，EG＝2.4，∴，解得：DE＝6，∵BD＝57，∴BE＝BD+DE＝57+6＝63，∵AB⊥BG，CD⊥BG，∴∠ABE＝∠CDE＝90°，∵∠AEB＝∠CED，∴△ABE∽△CDE，∴，即，解得：AB＝42，∴凌霄塔的高度AB为42米．【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键．23．（2022秋•昌图县期末）小明同学自制了一个直角三角形纸板，将三个顶点分别标记为D、E、F，测得纸板两条直角边DE＝8cm，EF＝6cm．如图，小明使用它测量树AB的高度时，先调整自己的位置，使斜边DF保持水平，并且直角边DE与点B在同一条直线上，同时测得AC＝1.5m，CD＝8m，求树AB的高度．​​【分析】根据题意可得：CD⊥AB，从而可得∠DEF＝∠DCB＝90°，然后证明△DEF∽△DCB，从而利用相似三角形的性质可求出BC的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：CD⊥AB，∴∠DCB＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠DCB＝90°，∵∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴＝，∴＝，解得：CB＝6，∵AC＝1.5m，∴AB+AC+BC＝7.5（m），∴树AB的高度为7.5m．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．24．（2023春•荣成市期末）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．求灯泡到地面的高度AG．【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长，根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长．【解答】解：由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，故，即，解得：BC＝3；∵AC＝5.4m，∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴，解得