专题14相似三角形判定定理的证明（2个知识点6种题型1种中考考法）（解析版）-初中数学北师大版9年级上册

专题14相似三角形判定定理的证明（2个知识点6种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.相似三角形判定定理的证明（重点）知识点2.证明相似三角形的一般思路（重点）【方法二】实例探索法题型1.利用相似三角形证明角（或线段）相等题型2.相似三角形中的探究性问题题型3.相似三角形中等积式的证明题型4.相似三角形与函数的综合运用题型5.三角形全等与相似的综合题型6.与相似三角形有关的拓展探究【方法三】仿真实战法考法.相似三角形的判定定理【方法四】成果评定法【学习目标】了解相似三角形判定定理的证明过程，会选择恰当的方法证明两个三角形相似。会作辅助线来证明两个三角形相似，掌握证明过程。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理知识点1.相似三角形判定定理的证明（重点）1．判定方法（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

2．判定方法（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.3．判定方法（三）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.【例1】（2022秋·九年级课时练习）已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：△ABC∽△A′B′C′．【分析】在△ABC的边AB上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，可证△ADE∽△ABC；再证△ADE≌△A′B′C′即可．【详解】证明：在△ABC的边AB上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE=∠B，△ADE∽△ABC．∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′，∴△ADE≌△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的证明，解题关键是通过作辅助线，构建全等三角形进行证明．【例2】（2022秋·九年级课时练习）已知：在△ABC和中，，，求证：．【分析】在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取，过点D作BC的平行线，交AC于点E，根据两角分别相等的两个三角形相似，得出△ABC∽△ADE，得出，再根据，，得出，即可得出AE=A′C′，根据“SAS”证明△ADE≌△A′B′C′，即可证明△ABC∽△A′B′C′．【详解】在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠B=∠ADE，∠C=∠AED，∴△ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似），∴，∵，，∴，∴，∴AE=A′C′，而∠A=∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′．【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明，作出辅助线，证明△ADE≌△A′B′C′，是解题的关键．【例3】（2022秋·九年级课时练习）已知：在△ABC和△A′B′C′中，．求证：△ABC∽△A′B′C′．【分析】先在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，然后证明△ABC∽△ADE，再△ADE≌△A′B′C′即可．【详解】在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE．∵，AD=A′B′，AE=A′C′，∴而∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．∴又，AD=A′B′，∴∴∴DE=B′C′，∴△ADE≌△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形相似，灵活运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，全等三角形的判定是解决本题的关键．知识点2.证明相似三角形的一般思路（重点）有平行截线——用平行线的性质，找“等角”

有一对等角——找“另一对等角”或“夹边对应成比例”

有两边对应成比例——找“夹角相等”或“第三边也对应成比例”或“有一对直角”

直角三角形——找“一对锐角相等”或“两直角边对应成比例”

等腰三角形——找“顶角相等”或“一对底角相等”或“底和腰对应成比例”【例4】（2022秋·九年级课时练习）如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明．【答案】△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，证明见解析.【分析】根据相似三角形的判定定理可以直接写出图中有3对相似三角形；可以利用相似三角形的判定定理两组角对应相等的两个三角形相似来证明△AMF∽△BGM．【详解】图中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM．以下证明△AMF∽△BGM．∵∠AFM＝∠DME+∠E（外角定理），∠DME＝∠A＝∠B（已知），∴∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解答此题，要找出对应角相等来证明三角形相似．【变式】（2022秋·九年级课时练习）如图，在

△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE.（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请证明你写出的两对相似三角形.【分析】（1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；（2）∠BAD=∠CAE，在此等式两边各加∠DAC，可证∠BAC=∠DAE，再结合已知中的∠ABC=∠ADE，可证△ABC∽△ADE；利用△ABC∽△ADE，可得AB：AD=AC：AE，再结合∠BAD=∠CAE，也可证△BAD∽△CAE．【详解】（1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；（2）①证△ABC∽△ADE，∵∠BAD=∠CAE，∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．又∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE．②证△ABD∽△ACE，∵△ABC∽△ADE，∴．又∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．【点睛】本题利用了等量加等量和相等、相似三角形的判定和性质．【方法二】实例探索法题型1.利用相似三角形证明角（或线段）相等1．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，BE，CD是的高，连接DE.（1）求证：；（2）若，M为BC的中点，连接DM.求证：.【分析】（1）由BE、CD是△ABC的高得∠AEB=∠ADC=90°，加上∠EAB=∠DAC，根据相似三角形的判定方法得到△AEB∽△ADC，则AB：AC=AE：AD，利用比例性质即可得到结论；（2）由∠BAC=120゜得到∠BAE=60°，则∠EBA=30°，从而，然后证明，可得，根据中，M为BC的中点，可得，所以DE=DM．【详解】解：（1）∵BE，CD是的高，∴.又∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，∴∠ABE=30°，∴.由（1）得，即，又∵，∴，∴.在中，M为BC的中点，∴，∴.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及含30°角的直角三角形的性质．题型2.相似三角形中的探究性问题2．（2023春·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．（1）请你探究：，是否都成立？（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．【答案】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC，∠CAD＝∠BAD＝30°，AB＝AC，则DB＝CD，易得；由于∠C1AB1＝60°，得∠B1＝30°，则AB1＝2AC1，同理可得到DB1＝2DC1，易得；（2）过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E＝∠CAD＝∠BAD，则BE＝AB，并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到，而BE＝AB，于是有，这实际是三角形的角平分线定理；（3）AD为△ABC的内角角平分线，由（2）的结论，根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，利用相似三角形的性质解答即可．【详解】解：（1）等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，因为B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1，∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，AD＝B1D，综上：这两个等式都成立；（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：如图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，线段AD为其内角角平分线∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD∴BE＝AB，又∵BE＝AB．∴，即对任意三角形结论仍然成立；（3）如图（2）所示，因为Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，∵AD为△ABC的内角角平分线，∴∵DE∥AC，∵DE∥AC，∴△DEF∽△ACF，∴【点睛】本题考查的是三角形相似的判定与性质的应用，直角三角形，等边三角形的性质，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．题型3.相似三角形中等积式的证明3．（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD=2OA，OC=2OB．（1）求证：△AOB∽△DOC；（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2=OE•OC．【分析】（1）根据对应边成比例，夹角相等，可证△AOB∽△DOC；（2）根据相似三角形的性质结合已知条件可得△DOC∽△EOD，再根据相似三角形对应边成比例求解．【详解】证明：（1）∵OD=2OA，OC=2OB，,又∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．（2）由（1）得：△AOB∽△DOC．∴∠ABO=∠DCO．∵AB∥DE，∴∠ABO=∠EDO．∴∠DCO=∠EDO．∵∠DOC=∠EOD，∴△DOC∽△EOD,∴,【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题时要注意找准对应角和对应边．题型4.相似三角形与函数的综合运用4．（2021秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于点E，（1）不添加其它字母，写出图中所有的相似三角形，并选择一对进行证明；（2）设BD＝x，CE＝y，求出y与x的函数关系式，并利用关系式求出线段AE长度的取值范围；（3）当△DCE为直角三角形时，BD的长为．【答案】（1）△BAD∽△CDE，△ADE∽△ACD，证明见解析；（2）；（3）4或【分析】（1）由AB=AC，可得∠B=∠C，再由∠ADE=∠B，∠B+∠BAD=∠ADC，∠ADC=∠ADE+∠CDE，可得∠BAD=∠CDE，即可证明△BAD∽△CDE；由∠B=∠ADE=∠C，可推出∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠AED=∠C+∠CDE，即可证明△ADE∽△ACD；（2）由△BAD∽△CDE，可得，再由BD＝x，CE＝y，BC=8，得到，即，则，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）分当∠DEC=90°，当∠CDE=90°时，两种情况讨论求解即可．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠ADE=∠B，∠B+∠BAD=∠ADC，∠ADC=∠ADE+∠CDE，∴∠BAD=∠CDE，∴△BAD∽△CDE；∵∠B=∠ADE=∠C，∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠AED=∠C+∠CDE，∴△ADE∽△ACD；（2）∵△BAD∽△CDE，∴，∴，∵BD＝x，CE＝y，BC=8，∴，∴，∴，∵，∴当时，AE有最小值，最小值为，∴；（3）如图所示，当∠DEC=90°，∵△BAD∽△CDE，∴∠BDA=∠CED=90°，即AD⊥BC，又∵AB=AC，∴；如图示，当∠CDE=90°时，过点A作AH⊥BC于H，∴∠AHC=∠EDC=90°，，∴，∵∠ADE=∠C=∠B，∠C+∠CAH=90°，∠ADE+∠ADH=90°，∴∠ADH=∠CAH，∴△AHC∽△DHA，∴，∴，∴，∴综上所述，当△DCE为直角三角形时，BD的长为4或，故答案为：4或．题型5.三角形全等与相似的综合5．（2022秋·九年级课时练习）如图所示，在正方形ABCD中，E是BC上的点连接作垂足为H，交CD于F作，交BF于求证：；．【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=BC，再利用同角的余角相等求出∠BAH=∠CBG，再利用“角角边”证明△ABH和△BCG全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=BH；（2）利用两组角对应相等，两三角形相似求出△BCF和△CGF相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证．【详解】证明：在正方形ABCD中，，，，，，，在和中，，≌，；，，，，，∽，，．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，（1）熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键，（2）确定出CG⊥BF并求出三角形相似是解题的关键．6．（2023春·上海·九年级专题练习）如图1，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EBF=45°．（1）当BE=BF时，求证：AE=CF；（2）求证：△ABF∽△CEB；（3）如图2延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EB=EG，BE⊥EG．理由见解析．【分析】（1）根据BE=BF，得出∠BEF=∠BFE，进而得出∠AEB=∠BFC，再根据正方形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠BCA，用AAS证明两个三角形全等；（2）根据正方形的性质和三角形的外角和，得出∠BEC=∠BFA，∠ACB=∠BAC，用AA证明两个三角形相似；（3）根据已知和正方形的性质，对顶角的性质得出△BEF∽△CGF，得出边的比例关系，根据边的比例关系转换和对顶角的性质得出△EFG∽△BFC，进而得出∠BGE=45°，得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=．∵BE=BF，∴∠BEF=∠BFE．∴∠AEB=∠CFB．∴△ABE

≌△CBF．∴AE=CF．（2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE=+∠ABE，∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE，∴∠BEC=∠ABF．∵∠BAF=∠BCE=，∴△ABF∽△CEB．（3）答：EB=EG，BE⊥EG

理由如下：如图.∵∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC，∴△BEF∽△CGF∴.即.∵∠EFG=∠BFC，∴△EFG∽△BFC.∴∠EGF=∠BCF=45°.∴∠EBF=∠EGF=45°.∴EB=EG，∠BEG=90°∴EB=EG，BE⊥EG．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，根据三角形相似得出的比例关系的转换关系和题中的图中的条件，判定另一组三角形相似，灵活运用相关知识进行解答．7．（2023秋·湖北襄阳·九年级统考期末）如图①，在正方形中，，为对角线上任意一点（不与重合），连接，过点作，交线段于点.（1）求证：；（2）若，求证：；（3）如图②，连接交于点．若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.【分析】(1)如图，过分别作交于点，交于点，则四边形是平行四边形，先证明四边形是正方形，继而证明，即可得结论；(2)由(1)得，，根据比例线段可得，，再根据可得，从而求得AN、BN长即可得结论；(3)把绕点逆时针旋转得到，连接，，进而可推导得出，，证明是等腰直角三角形，继而证明，可得MG=HG，根据题意设，则，根据勾股定理可求得，再结合正方形的性质可求得a的值，继而证明，根据相似三角形的性质即可求得答案.【详解】(1)如图，过分别作交于点，交于点，则四边形是平行四边形，四边形是正方形，，，，平行四边形是正方形，，，，，，，；(2)由(1)得：，，，，，，，，，；(3)把绕点逆时针旋转得到，连接，，，，，，.，，，，是等腰直角三角形，，，，，，设，则，在中，，则，正方形的边长为，，，，，，，，，，.【点睛】本题考查的是四边形的综合题，涉及了正方形判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，正确把握相关的判定定理与性质定理是解题的关键.题型6.与相似三角形有关的拓展探究8．（2023春·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．（1）请你探究：，是否都成立？（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．【答案】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC，∠CAD＝∠BAD＝30°，AB＝AC，则DB＝CD，易得；由于∠C1AB1＝60°，得∠B1＝30°，则AB1＝2AC1，同理可得到DB1＝2DC1，易得；（2）过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E＝∠CAD＝∠BAD，则BE＝AB，并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到，而BE＝AB，于是有，这实际是三角形的角平分线定理；（3）AD为△ABC的内角角平分线，由（2）的结论，根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，利用相似三角形的性质解答即可．【详解】解：（1）等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，因为B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1，∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，AD＝B1D，综上：这两个等式都成立；（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：如图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，线段AD为其内角角平分线∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD∴BE＝AB，又∵BE＝AB．∴，即对任意三角形结论仍然成立；（3）如图（2）所示，因为Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，∵AD为△ABC的内角角平分线，∴∵DE∥AC，∵DE∥AC，∴△DEF∽△ACF，∴【点睛】本题考查的是三角形相似的判定与性质的应用，直角三角形，等边三角形的性质，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．9．（2022·江西南昌·九年级南昌市第十九中学校考阶段练习）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=AB，连接DE．将△ADE绕点A逆时针方向旋转，记旋转角为θ．（1）问题发现①当θ=0°时，=；②当θ=180°时，=．（2）拓展探究试判断：当0°≤θ＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）问题解决①在旋转过程中，BE的最大值为；②当△ADE旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为．【答案】（1）①；（2）无变化，证明见解析；（3）①2+2+1或﹣1.【分析】（1）①先判断出DE∥CB，进而得出比例式，代值即可得出结论；②先得出DE∥BC，即可得出，，再用比例的性质即可得出结论；（2）先∠CAD=∠BAE，进而判断出△ADC∽△AEB即可得出结论；（3）分点D在BE的延长线上和点D在BE上，先利用勾股定理求出BD，再借助（2）结论即可得出CD．【详解】解：（1）①当θ=0°时，在Rt△ABC中，AC=BC=2，∴∠A=∠B=45°，AB=2，∵AD=DE=AB=，∴∠AED=∠A=45°，∴∠ADE=90°，∴DE∥CB，∴，∴，∴，故答案为，②当θ=180°时，如图1，∵DE∥BC，∴，∴，即：，∴，故答案为；（2）当0°≤θ＜360°时，的大小没有变化，理由：∵∠CAB=∠DAE，∴∠CAD=∠BAE，∵，∴△ADC∽△AEB，∴；（3）①当点E在BA的延长线时，BE最大，在Rt△ADE中，AE=AD=2，∴BE最大=AB+AE=2+2；②如图2，当点E在BD上时，∵∠ADE=90°，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，AB=2，AD=，根据勾股定理得，BD==，∴BE=BD+DE=+，由（2）知，，∴CD=+1，如图3，当点D在BE的延长线上时，在Rt△ADB中，AD=，AB=2，根据勾股定理得，BD==，∴BE=BD﹣DE=﹣，由（2）知，，∴CD=﹣1．故答案为+1或﹣1．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，比例的基本性质及分类讨论的数学思想，解（1）的关键是得出DE∥BC，解（2）的关键是判断出△ADC∽△AEB，解（3）关键是作出图形求出BD，是一道中等难度的题目．【方法三】仿真实战法考法.相似三角形的判定定理1．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．（1）证明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．【分析】（1）根据已知条件得出∠BDA＝∠BAC，又∠B为公共角，于是得出△ABD∽△CBA；（2）根据相似三角形的性质即可求出BD的长．【解答】（1）证明：∵AD是斜边BC上的高，∴∠BDA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC，又∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA；（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，∴，∴，∴BD＝3.6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．2．（2023•邵阳）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．（1）证明：△ABC∽△DEB．（2）求线段BD的长．【分析】（1）利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE，可证明结论；（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．【解答】（1）证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°，∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB；（2）解：∵△ABC∽△DEB，∴＝，∴＝，∴BD＝3．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE是解决问题的关键．3．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求证：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．【分析】（1）证明△ACF≌△DAE（ASA），即可解决问题；（2）证明△ABF∽△CDE，得AF•DE＝BF•CE，结合（1）AF＝DE，即可解决问题．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ACF＝∠DAC∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，∴△ACF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE；（2）∵△ACF≌△DAE，∴∠AFC＝∠DEA，∴∠AFB＝∠DEC，∵∠ABC＝∠CDE，∴△ABF∽△CDE，∴＝，∴AF•DE＝BF•CE，∵AF＝DE，∴AF2＝BF•CE．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形，勾股定理，熟练运用相似三角形的性质和判定是本题的关键．4．（2023•黑龙江）如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH．易证：FH＝FG．若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如图②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如图③；其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．【分析】如图②；连接AH，CE，AF，根据等腰直角三角形的性质得到AH⊥BC，AF⊥DE，，求得∠CAH＝∠EAF＝45°，根据相似三角形的性质得到CE＝FH，根据三角形中位线定理得到CE＝2FG，于是得到FH＝FG；如图③；连接AH，CE，AF，根据等腰三角形的性质得到∠AFD＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°，AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF＝，根据相似三角形的性质得到CE＝2FH，根据三角形中位线定理得到CE＝2FG，于是得到FH＝FG．【解答】解：如图②；FH＝FG，证明：连接AH，CE，AF，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，F，H分别是DE，BC的中点，∴AH⊥BC，AF⊥DE，，∴∠CAH＝∠EAF＝45°，∴∠HAF＝∠EAC，，∴△AHF∽△ACE，∴，∴CE＝FH，∵点F，G分别是DE，DC的中点，∴CE＝2FG，∴FH＝FG；如图③；FH＝FG，证明：连接AH，CE，AF，∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠AED＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°，∵点F，H分别是DE，BC的中点，∴AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF＝，∴∠HAF＝∠EAC，，∴△AHF∽△ACE，∴＝，∴CE＝2FH，∵点F，G分别是DE，DC的中点，∴CE＝2FG，∴FH＝FG；【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023秋·湖南怀化·九年级统考期末）如图，中，、分别在、上，下列条件中不能判断的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A.∠ADE=AC，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故此选项错误；B.，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故此选项错误；C.，且夹角∠A=∠A，能确定△ADE∽△ACB，故此选项错误；D.，不能判定△ADE∽△ACB，故此选项正确.故选：D.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．2．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）如图，在下列各式中，不能证明的条件是（）A．AD:DB=DE:BC B．AD:AC=AE:ABC．∠1=∠B D．∠2=∠C【答案】A【分析】根据三角形相似判定定理对选项逐项判断即可．【详解】A.两边不是对应边，故错误；由两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，故B正确，两角对应相等，两三角形相似，故C、D正确；故选A．【点睛】本题考查相似三角形的判定，（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键3．（2022秋·湖南衡阳·九年级校考期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：其中正确的是（

）①；②；③；④A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】C【分析】①正确．利用直角三角形度角的性质即可解决问题．②正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断．③错误．通过计算证明，即可判断．④正确．利用的性质即可证明．【详解】∵四边形是正方形，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴，故①正确，∵，∴，∵，又∵，∴，∴，∴，∴，故②正确，∵，∴与不相似，故③错误，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故④正确，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．（2023秋·湖南娄底·九年级校联考期末）如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连接，交于点，交于点，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（）A．6对 B．5对 C．4对 D．3对【答案】B【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠EBF=∠EAD，∠EFB=∠EDA，∴△EFB∽△EAD；同理可得，△FGC∽△DGA，△EBF∽△DCF，△GAE∽△GCD，△ADE∽△CDF．故选B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质等知识点，能运用相似三角形的判定定理进行证明是解此题的关键．5．（2023·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC＝∠AED＝90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD＝BE；③MP·MD＝MA·ME；④2CB2＝CP·CM．其中正确的是(

)A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①③④【答案】C【分析】①根据两个三角形的两角相等证明相似三角形；②根据两个三角形的两边比值相等证明△BAE∽△CAD即可的CD与BE的比值；③根据△BAE∽△CAD，得∠BEA=∠CDA，再根据△PME∽△AMD，得MPMD=MAME；④根据△PME∽△AMD，得∠MPE=∠MAD=45°，再根据MPMD=MAME得△PMA∽△EMD，又因为∠APC=∠MAC=90°，∠ACP=∠MCA，所以△APC∽△MAC，则AC2=MCPC，再根据AC=BC，得2CB2=CPCM.【详解】①在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠CAB=∠EAD=45°，所以∠CAM=90°，又因为∠CMA=∠DME（对顶角），∠AED=∠CAM=90°，所以△CAM∽△DEM，故①正确.②在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠CAB=∠EAD=45°，AC=AB，AD=AE，所以∠CAB+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，又因为=，所以△BAE∽△CAD.则CD=BE，故②正确.③由②中△BAE∽△CAD，得∠BEA=∠CDA，又因为∠BEA=∠AMD，所以△PME∽△AMD，所以=，即MPMD=MAME，故③正确.④，由③中△PME∽△AMD，得∠MPE=∠MAD=45°，因为MPMD=MAME，所以=，所以△PMA∽△EMD，所以∠APM=∠DEM=90°，因为∠APC=∠MAC=90°，∠ACP=∠MCA，所以△APC∽△MAC，所以=，即AC2=MCPC，又因为AC=BC，所以2CB2=CPCM，故④正确.故答案选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与运用.6．（2023·云南昭通·统考二模）如图，中，交于点，，，，，则的长等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，∠BDE=∠ADC可证明△BDE∽△ACD，根据相似三角形对应找到成比例找出对应边即可求出DC的长.【详解】∵，∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ACD，∴DC：BD=AD：DE，∵，，AB=AD+BD，∴AD=4，BD=6，∴DC===，故选A.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形找出对应边是解题关键.7．（2023秋·河北邢台·九年级邢台五中校考阶段练习）如图，将边长为1的小正方形拼成一行一字排开，A1、A2、A3…依次是第2、3、4…个小正方形右下角的顶点，P是第一个小正方形左上角的顶点．记△PA1A2、△PA1A3，△PA1A4…依次为①号三角形、②号三角形、③号三角形…．已知这些三角形中有一个三角形与①号三角形相似，则这个三角形的号数为（）A．③ B．④ C．⑤ D．⑥【答案】C【分析】首先利用勾股定理求得①③④⑤⑥号三角形的三边长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定与①号三角形相似是⑤号三角形.【详解】∵①号三角形中，;③号三角形中;④号三角形中;⑤号三角形中;⑥号三角形中;又∵，即,∴△PA1A6∽△PA1A2,∴与①号三角形相似的是⑤号三角形，故本题C为正确选项.【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，注意掌握数形结合思想的应用是解决本题的关键.8．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（）A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BECC．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE【答案】C【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．【详解】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA．故A正确．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴△BFA∽△BEC．故B正确．∴∠BFA=∠BEC，∴∠BFD=∠BEA，∴△BDF∽△BAE．故D正确．而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误．故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．9．（2023春·福建厦门·九年级厦门市湖滨中学校考期中）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，根据相似三角形的判定得出△BEF∽△DCF，根据相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB的中点，∴AB=DC=2BE，AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴==，∴DF=2BF，=()2=，∴=，∴S△BEF=S△DCF，S△DCB=S△DCF，∴==，故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键．10．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点E为▱ABCD的AD边上一点，且AE∶ED＝1∶3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC等于()A．1∶2 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶3【答案】B【分析】如图，延长FE，CD交于点H，易证△AFE∽△DHE，根据已知条件和相似三角形的性质可得HD＝3AF.再证得△AFG∽△CHG，根据相似三角形的性质即可解答【详解】延长FE，CD交于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DHE，∴=，即，∴HD＝3AF.∵AB∥CD，∴△AFG∽△CHG，∴.故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，正确作出辅助线证明△AFE∽△DHE及△AFG∽△CHG是解题的关键.二、填空题11．（2023·河北沧州·校考二模）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为；当时，为．（用含的式子表示）【答案】,【详解】如图，过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由条件可以表示出HO、GO的值，通过证明△PHO∽△QGO由相似三角形的性质就可以求出结论．解答：解：过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，∴∠OHP=∠OGQ=90°．∵∠ACB=90°，∴四边形HCGO为矩形，∴∠HOG=90°，∴∠HOP=∠GOQ，∴△PHO∽△QGO，∴．∵，设OA=x，则OB=2x，且∠ABC=30°，∴AH=x，OG=x．在Rt△AHO中，由勾股定理，得OH=x，∴，∴=．故答案为．12．（2023秋·九年级课前预习）如图，添上条件，则．【答案】∠ABC=∠ADE（答案不唯一）【分析】根据相似三角形的判定定理添加即可.【详解】添上∠ABC=∠ADE条件，则△ABC∽△ACD．理由：∵∠ABC=∠ADE，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．故答案为∠ACD=∠B（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：有两个角对应相等的三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题键．13．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE,MN=1,线段MN的端点M,N分别在CD,AD上滑动，当DM=时，△ABE与以D,M,N为顶点的三角形相似．【答案】或【分析】根据题目已知条件发现这两个三角形都是直角三角形，如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．但此题中M、N的点未定，也就是边的对应关系未定，所以需分情况讨论．【详解】∵正方形ABCD边长是2，∴BE=CE=1，∠B=∠D=90°，∴在Rt△ABE中，AE==．第一种情况：当△ABE∽△MDN时，AE：MN=AB：DM，即：1=2：DM，∴DM=；第二种情况：当△ABE∽△NDM时，AE：MN=BE：DM，即：1=1：DM，∴DM=．所以DM=或．故答案为或．【点睛】本题考查了直角三角形相似的判定定理，需注意边的对应关系．分情况讨论是解题的关键.14．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图所示，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=5cm，E是DC上一点（点E不与D、C重合）连接AE，以AE所在的直线为折痕，折叠纸片，点D的对应点为D′，点F为线段BC上一点，连接EF，以EF所在的直线为折痕折叠纸片，使点C的对应点C′落在直线ED′上，若CF=4时，DE=．【答案】2或10【分析】设DE=x，则EC=12-x，然后证明△FEC∽△EAD，则，然后依据比例关系列出关于x的方程求解即可．【详解】设DE=x，则EC=12-x．由翻折的性质可知∠DEA=∠D′EA，∠CEF=∠C′EF，∴∠AEF=90°．∴∠DEA+∠CEF=90°．又∵∠DAE+∠DEA=90°，∴∠DAE=∠CEF．又∵∠D=∠C=90°，∴△FEC∽△EAD，，即解得x=2或x=10．故答案是：2或10．【点睛】考查了翻折变换的性质，主要利用了相似三角形的判定与性质，依据相似三角形的性质，列出关于x的方程是解题的关键．15．（2023秋·九年级单元测试）如图，是的斜边上异于、的一定点，过点作直线截交于点，使截得的与相似．已知，，，则．【答案】或【分析】首先利用勾股定理求出BC的长，过点M作直线与另一边相交，因为所得的三角形与原三角形有一个公共角，所以只要再作一个直角就可以使得△CMN与△ABC相似，分别讨论∠CMN=90°和∠CNM=90°两种情况，求出CN的长即可.【详解】如图所示：∵AB=6，AC=8，∠A=90°，∴BC==10，过点M作MN1∥AB，则△CMN1∽△CBA，∴CN1：CA=CM：BC，即CN1：8：=4：10，解得：CN1=3.2；以M为顶点作∠CMN2=∠A=90°，则△CMN2∽△CBA，所以CN2：BC=CM：AC，即CN2：10：=4：8，解得：CN2=5；综上可知当CN=3.2或8时△CMN与△ABC相似，故答案为3.2或5【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．有两组角对应相等的两个三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.三、解答题16．（2022秋·九年级课时练习）如图，在等边三角形中，D，E，F分别是三边上的点，，那么与相似吗？请证明你的结论．【答案】见解析【分析】利用等边三角形性质及已知条件，可得，根据三角形全等的判定定理得出，同理可得出，所以，可得为等边三角形，根据三角形相似的判定定理即可证明两个等边三角形相似．【详解】解：与相似，理由如下：∵为等边三角形，∴，∵，∴，在与中，，∴，同理可得：，∴，∴为等边三角形，∴，∴．【点睛】题目主要考查了相似三角形的判定、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定及性质是解题关键．17．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？【答案】经过0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似．【分析】设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，由题意表示出AP，PB，BQ，分两种情况考虑：当∠BPQ=∠C，∠B=∠B时，△PBQ∽△CBA；当∠BPQ=∠A，∠B=∠B时，△BPQ∽△BAC，分别由相似得比例，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果．【详解】解：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，由题意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x，分两种情况考虑：当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA，∴，即解得：x＝0.8，当x＝0.8秒时，△BPQ与△BAC相似；当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，∴，即，解得：x＝2，当x＝2秒时，△BPQ与△BAC相似．综上，当x＝0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．18．（2023·江西·九年级专题练习）如图，在中，=8，=4,=6,,是的平分线，交于