专题12相似多边形（2个知识点2种题型1种中考考法）（解析版）-初中数学北师大版9年级上册

专题12相似多边形（2个知识点2种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.相似多边形的定义（重点）知识点2.相似多边形的性质及判定（重点）【方法二】实例探索法题型1.相似多边形性质的应用题型2.相似多边形的判定【方法四】仿真实战法考法.相似多边形的判定【方法五】成果评定法【学习目标】了解相似多边形和相似比的定义。会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形，会求两个相似多边形的相似比。掌握相似多边形的性质，能据此进行简单的计算。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.相似多边形的定义（重点）1.相似多边形的定义：各角分别对应相等；各边对应成比例的两个多边形是相似多边形。如果五边形ABCDEG与五边形相似，记住五边形ABCDEG五边形数学表达式：如图：“”读作“相似于”2相似比：相似多边形对应边之比叫做相似比特别提醒：（1）两个全等多边形一定是相似多边形，但相似多边形不一定是全等多边形；（2）相似多边形相似比为1时，是全等多边形，即全等多边形是相似比为1的相似多边形；（3）求两个相似多边形的相似比时，只求其对应边之比即可。【例1】下列各组四边形中是相似多边形的是（ ）（A）一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形（B）有一个内角为的两个菱形（C）边长分别为厘米和厘米的两个菱形（D）两个高相等的等腰梯形【答案】B【解析】菱形一个内角确定，则每个内角都可以确定下来，同时，菱形四边相等，对应成比例，可知B选项正确；A选项边不对应成比例，C选项菱形有不稳定性，形状不固定，D选项等腰梯形形状不固定．【总结】考查相似图形的特征．【变式】如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（

）

A．甲与丙 B．乙与丙 C．甲与乙 D．三个矩形都不相似【答案】A【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答．解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为，，，∴甲与丙相似，故选：A．【点拨】本题考查相似多边形的概念，解题的关键是要考虑对应角相等，对应边成比例．知识点2.相似多边形的性质及判定（重点）相似多边形的定义既是它的判定方法，又是它的性质：1.判定方法：如果两个多边形各角分别对应相等；各边对应成比例，则这两个多边形是相似多边形；2.性质：相似多边形各角分别对应相等；各边对应成比例。如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．注意！！！判断两个多边形是否相似时，既要考虑对应角是否相等，又要考虑对应边长度的比是否相等，二者缺一不可。学法指导：在判断两个多边形是否为相似多边形时，边数相同、角分别相等容易判断，而边是否成比例则需要通过计算来确定，即分别计算长边与长边的比，短边与短边的比，在判断时应注意对应关系。【例2】在菱形与菱形中，，这两个菱形相似吗？为什么？【答案】菱形与菱形相似．理由见分析．【分析】根据如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形解答．解：在菱形与菱形中，设，，，，即菱形与菱形的对应角相等；又菱形的四条边都相等，两菱形的对应边成比例，即菱形与菱形的对应边的比相等，菱形与菱形相似．【点拨】本题考查了相似多边形的判定，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和相似多边形的判定定理．【例3】已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与 点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，， ，，，，，求，的长和的 度数．【答案】．【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例． 有，将代入，求得：，根据四边形内角和，可求得：，相似图形对应角相等可知．【变式】如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝．【答案】1+【分析】根据相似图形的性质先设未知数再解方程即可得到结果.解：∵矩形ABCD中，AF由AB折叠而得，∴ABEF是正方形．又∵AB=2，∴AF=AB=EF=2．设AD=x，则FD=x－2．∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，即解得，（负值舍去）．经检验是原方程的解．∴AD.故答案为【点拨】此题重点考查学生对相似图形性质的理解，掌握相似图形的性质是解题的关键.【方法二】实例探索法题型1.相似多边形性质的应用1.如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则a的值等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，则可利用相似多边形的性质构建比例式，求解后即可得出结论．解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，∴，解得：或（不合题意，舍去），∴，故选：B．【点拨】此题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解答此题的关键．2.如图，四边形∽四边形，若，，，则．【答案】【分析】根据相似多边形的性质，当四边形∽四边形时，，，，再结合四边形内角和为可知．解：四边形∽四边形，，，，，，，由四边形内角和为可知，故答案为：．【点拨】本题考查利用相似多边形性质求角度问题，涉及四边形内角和为等知识，熟练掌握相似多边形对应角相等是解决问题的关键．3.如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点．（1）求证：是菱形：（2）若，则的值为______．【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定解答即可；（2）根据菱形的性质和平行四边形的性质可以得到设，根据相似多边形的性质可得，列方程求出和的关系，从而可解答本题解：（1）∵的平分线交于点，∴．∵四边形是平行四边形，∴．∴．∴．∴．同理，．∴．∵∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是菱形．（2）由（1）知，四边形是菱形，又四边形是平行四边形，，设，，则有：，即，整理得，解得，，，故答案为：【点拨】本题主要考查了靺的判定与性质、平行四边形的性质以及相似多边形的性质，求出与的数量关系是解答本题的关键4.如图，矩形中，，线段，在上取一点，分别以、为一边作矩形、矩形，使矩形与矩形相似，且点与点、点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，令．求出矩形的面积与的函数关系式．【答案】．【解析】根据矩形与矩形相似，可对应得，因此，进而可求得：．题型2.相似多边形的判定5.某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.

【答案与解析】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为(20+2x)米，宽为(10+2x)米，将两个矩形的长与宽分别相比，得长的比为，而宽的比为，

很明显，所以做不到.

【总结升华】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与原来矩形一定不相似.因为.6．（2023秋·全国·九年级随堂练习）如图，一个矩形广场的长为60m，宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？【答案】当x为1m时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似．【分析】根据相似多边形的性质：对应边的比相等列出比例式，解出x的值即可．【详解】试题分析：根据相似多边形的性质：对应边的比相等列出比例式，解出x的值即可．解：∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，∴解得，x=1m，答：当x为1m时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：对应边的比相等是解题的关键．7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．(1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．(2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．【答案】(1)不相似；证明过程见详解(2)【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论；（2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式．【详解】（1）解：不相似．理由如下：∵原矩形的长，宽，∴划分后小矩形的长为，宽为，又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，∴每个小矩形与原矩形不相似．（2）∵原矩形的长，宽，∴划分后小矩形的长为，宽为，又∵每个小矩形与原矩形相似，∴∴，即．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式．8．（2023·江苏·九年级专题练习）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．（1）A4纸较长边与较短边的比为；（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．【答案】（1）；（2）相似，理由见解析【分析】（1）根据边的关系得出比例等式解答即可；（2）根据相似图形的判定解答即可．【详解】解：（1）如图1，设AB＝x，由上面两个图，由翻折的性质我们知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，∴∠BCF＝∠BDF=90°，又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，∴∠ACB=∠ECF=45°，∴BC=x，∴BD＝BC＝x，AD＝AB+BD＝（+1）x，∴EF＝CE＝AD＝（+1）x，∵DE＝AC＝AB＝x，∴DF＝DE+EF＝（+2）x，∴，故答案为：．（2）由（1）知：A5纸长边为A4纸短边，长为（+1）x，A5纸短边长为（）x，∴对A5纸，长边：短边，∴A4纸与A5纸相似．【点睛】此题考查了相似图形，关键是根据相似图形判断和性质解答．【方法三】仿真实战法考法.相似多边形的判定1．（2023•威海）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（）A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1【分析】设HG＝x，根据矩形的性质可得∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，再根据折叠的性质可得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，从而可得四边形ADHE是正方形，然后利用正方形的性质可得AD＝HE＝1，最后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：设HG＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，由折叠得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，∴四边形ADHE是矩形，∵AD＝DH，∴四边形ADHE是正方形，∴AD＝HE＝1，∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似，∴＝，∴＝，解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1，经检验：x＝﹣1或x＝﹣﹣1都是原方程的根，∵GH＞0，∴GH＝﹣1，∴DC＝2+x＝+1，故选：C．【点评】本题考查了相似多边形的性质，解一元二次方程﹣公式法，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），正方形的判定与性质熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023秋·安徽蚌埠·九年级统考期末）下列说法正确的有个（

）（1）任意两个矩形都相似

（2）任意两个正方形都相似（3）任意两个等边三角形都相似

（4）任意两个菱形都相似．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用相似多边形的定义：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，即可进行判断．【详解】解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误；（2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确；（3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确；（4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误．故选C．【点睛】本题考查了相似多边形的定义．注意从对应边与对应角两个方面考虑．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．【详解】解：A、两个正方形形状相同，是相似图形，不符合题意；B、两个长方形形状不同，不是相似图形，符合题意；C、两个等边三角形形状相同，是相似图形，不符合题意；D、两圆形形状相同，是相似图形，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．3．（2023秋·九年级课时练习）把一根铁丝首尾相接围成一个长为，宽为的矩形，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形，使矩形矩形，则这根铁丝需增加（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由图形知，扩张后的长方形宽为，设长为，根据相似长方形的性质列式计算求得，再计算即可求解．【详解】解：原长方形的长和宽分别为和，由图形知，扩张后的长方形宽为，设长为，∵矩形矩形，∴，∴，经检验，是分式方程的解，∴扩张后的长方形长为，原长方形的周长为，扩张后长方形的周长为，，∴这根铁丝需增加，故选：D．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质求解是解题的关键．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，把一个矩形剪去一个正方形，剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设原来矩形的长为，宽为，则减去的正方形的边长为，剩下的矩形的长为，宽为，剩下的矩形与原矩形相似，利用对应边成比例得，然后计算求得原矩形的长与宽的比即可．【详解】解：设：原来矩形的长为，宽为，则减去的正方形的边长为，剩下的矩形的长为，宽为，∵剩下的矩形与原矩形相似，∴，整理得：，各项同时除以得：，令，则，解得：，（舍），∴原矩形的长与宽的比，故选：A．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质列出方程，并舍去不合题意的解是解答本题的关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形四边形，若，，则（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用相似多边形的性质得到，然后根据四边形的内角和计算的度数即可．【详解】解：四边形四边形，，，故选：B．【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例，也考查了四边形的内角和．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）将不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形各边向外平移1个单位并适当延长，得到下列图形，变化前后的两个图形不相似的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据相似多边形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．【详解】解：A、两个不等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故A选项不符合题意；B、两个等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合题意；C、两个正方形形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合题意；D、两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查相似多边形的定义，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键，相似多边形的对应角相等，对应边成比例．7．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列多边形一定相似的是（

）A．两个菱形 B．两个平行四边形 C．两个矩形 D．两个正方形【答案】D【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．【详解】解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．矩形、菱形、平行四边形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似，A、B、D错误；而两个正方形，对应角都是，对应边的比也都相等，故一定相似，C正确．故选：D．【点睛】本题考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备．8．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知矩形的长与宽分别为4和3，下列矩形与它相似的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据相似图形的定义：所有的对应边对应成比例，所有的对应角相等，进行判断即可．【详解】解：因为矩形的所有内角均为90°，∴所有矩形的对应角均相等，∴当两个矩形相似时，长比长等于宽比宽，∴满足题意的只有C选项，故选C．【点睛】本题考查相似图形．熟练掌握相似图形的定义，是解题的关键．9．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1是古希腊时期的巴台农神庙（ParthenomTemple），把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据相似图形的性质，列出比例式，进行求解即可．【详解】解：∵矩形与矩形相似，∴，∵四边形为正方形，∴，∵，∴，∴，∴，即：，设，则：，解得：（负值已舍去）；∴；故选D．【点睛】本题考查相似多边形的性质，正方形的性质，解一元二次方程．熟练掌握相似多边形的对应边对应成比例，是解题的关键．10．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则a的值等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，则可利用相似多边形的性质构建比例式，求解后即可得出结论．【详解】解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，∴，解得：或（不合题意，舍去），∴，故选：B．【点睛】此题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解答此题的关键．二、填空题11．（2023秋·九年级课前预习）如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为．【答案】15cm【分析】根据相似多边形的性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD与另一个四边形相似，∴设另一个四边形的最短边的长度为x，∴，解得：．∴这个四边形的最短边的长度为15cm．故答案为：15cm．【点睛】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．相似多边形的对应边成比例，对应角相等．12．（2023·陕西西安·校考模拟预测）书籍和纸张的长与宽的比值都有固定的尺寸，即同一系列的纸张长与宽的比均相同．将如图所示的纸张沿长边对折裁剪，得到两张A1型号纸张．若A1与原纸张属同一系列纸张，则该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为．

【答案】【分析】先根据条件找出已知长和宽，再根据已知找出等量关系的两种纸张长宽比例相等列出比例式子即可求解．【详解】解：设A1纸的长和宽分别为m，n，则原纸张的长和宽分别为2n，m，根据题意可得，，即该系列纸张的长与宽之比为．故答案为：．【点睛】本题考查的是矩形的折叠问题．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式．13．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，，则．

【答案】【分析】利用相似五边形的对应边之比等于相似比建立方程求解即可．【详解】解：∵五边形与五边形相似且相似比为，∴，∵，∴，∴，经检验符合题意；故答案为：【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键．14．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知四边形四边形，，，，则．【答案】【分析】根据相似多边形的性质，两个四边形相似，对应边成比例即可得到答案．【详解】解：四边形四边形，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查相似多边形的性质，熟记两个多边形相似，对应边成比例是解决问题的关键．15．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为．【答案】1【分析】根据相似多边形的性质得，即，然后利用比例性质求出即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵四边形是矩形，∴，∵余下的矩形矩形，∴，即，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．16．（2023秋·九年级课时练习）已知五边形五边形，，，，，则．【答案】【分析】首先根据相似多边形的性质得到，，然后根据五边形的内角和为即可解答．【详解】解：∵五边形五边形，∴，，又∵五边形的内角和为，∴，故答案为：．【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题关键是掌握相似多边形的对应角相等．17．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，把一个大长方形划分成三个全等的小长方形，若每一个小长方形均与大长方形相似，则的值为．【答案】【分析】根据题意可得，矩形矩形，然后利用相似多边形的性质可得，从而可得，进行计算即可解答．【详解】解：如图：由题意得：，矩形矩形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．18．（2023秋·九年级课时练习）如图，矩形的对称轴交于点E，交于点F．若矩形与矩形相似，则的值为．【答案】【分析】根据相似多边形的对应边成比例进行计算即可解答．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵矩形的对称轴分别交于点E，交于点F，∴，∵矩形与矩形相似，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，轴对称的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．三、解答题19．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形是矩形的“加倍”矩形．解决问题：（1）当矩形的长和宽分别为3，2时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由．（2）边长为的正方形存在“加倍”正方形吗？请做出判断，并说明理由．【答案】（1）存在；见解析；（2）不存在；见解析．【分析】（1）设“加倍”矩形的一边为，则另一边为，根据面积是已知矩形面积的2倍列出方程，求解即可；（2）根据题意：若两个正方形是相似图形，根据相似图形的性质，面积比是相似比即周长比的平方；故不存在“加倍”正方形；【详解】（1）解：存在设“加倍”矩形的一边为，则另一边为，则：，解之得：，，∴；∴，答：“加倍”矩形的长为，宽为；（2）不存在，因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在．【点睛】本题考查了矩形的性质；正方形的性质；相似多边形的性质，解答本题要充分利用所有正方形相似的特殊性质．20．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形．请你解决下列问题：（1）当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．（2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）存在；理由见解析；（2）不存在，理由见解析．【分析】（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．（2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是4，所以不存在“减半”正方形．【详解】解：（1）存在假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则，由①，得：，③把③代入②，得，解得，．所以“减半”矩形长和宽分别为与．（2）不存在因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，所以正方形不存在“减半”正方形．【点睛】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系．21．（2023秋·全国·九年级课堂例题）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？【答案】【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．【详解】解：根据题意可知，．由，得，即．∴．开平方，得（舍去）．【点睛】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例．22．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且菱形菱形，连接，求证：．【答案】证明见解析．【分析】由相似多边形的性质可得∠DAB=∠EAG，根据角的和差关系可得∠EAB=∠GAD，根据菱形的性质可得AE=AG，AB=AD，利用SAS可证明△EAB≌△GAD，即可证明GD=EB．【详解】∵菱形菱形，∴∠DAB=∠EAG，∴∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB，即∠EAB=∠GAD，∵四边形ABCD、AEFG都是菱形，∴AE=AG，AB=AD，在△EAB和△GAD中，∴△EAB≌△GAD，∴GD=EB．【点睛】本题考查相似多边形的性质及全等三角形的判定与性质，根据多边形的性质得出∠DAB=∠EAG是解题关键．23．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，阅读探索：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？假设存在，那么这个矩形叫作给定矩形的“减半”矩形．如图矩形就是矩形ABCD的“减半”矩形．(1)当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得，∵，∴___________，___________；∴满足要求的矩形B存在；（完成填空）请你继续解决下列问题：(2)当矩形的长和宽分别为7和1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由；(3)边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由．【答案】(1)，；(2)存在，理由见解析；(3)不存在，理由见解析．【分析】（1）根据题意所列方程，解一元二次方程可得从而可得答案；（2）设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得，再判断方程是否有解即可得到结论；（3）利用两个正方形是相似图形，则周长之比与面积之比不相等，从而可得答案．【详解】（1）解：由题意，得，消去y得：，则，∴∴，；当时，当时，，所以方程组的解为：或∴满足要求的矩形B存在，边长分别为：．（2）设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得，∵，∴，∴∴存在“减半”矩形；（3）不存在．理由如下：因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，所以正方形不存在“减半”正方形．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，方程组的解法，相似图形的判定与性质，理解题意，建立合适的数学模型解题是解本题的关键．24．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积