专题05用配方法求解一元二次方程（3个知识点7种题型2个易错点4种中考考法）（解析版）-初中数学北师大版9年级上册

【关注公众号：林樾数学】免费获取更多初高中数学学习资料专题05用配方法求解一元二次方程（3个知识点7种题型2个易错点4种中考考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：用直接配平方法求解一元二次方程（重点）知识点2：用配方法求解一元二次方程（重点）知识点3：利用一元二次方程求解简单的实际问题（难点）【方法二】实例探索法题型1：用直接开平方法解一元二次方程题型2：用配方法解一元二次方程题型3：用配方法求字母的值题型4：用用配方法求代数式的最大（最小）值题型5：直接开平方法在实际生活中的应用题型6：用配方法判断三角形的形状题型7：利用配方法解决有关新定义问题【方法三】差异对比法易错点1混淆方程配方与代数式配方易错点2配方时，没有进行恒等式变形而导致错误【方法四】仿真实战法考法1：解一元二次方程-直接开平方法考法2：解一元二次方程-配方法考法3：换元法解一元二次方程考法4：配方法的应用【方法五】成果评定法【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：用直接配平方法求解一元二次方程（重点）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．【例1】（2022秋•江都区校级期末）方程x2＝4的解是（）A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4【解答】解：直接开平方得：x＝±2，∴方程的解为：x1＝2，x2＝﹣2，故选：C．知识点2：用配方法求解一元二次方程（重点）（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．【例2】用配方法解一元二次方程.解：移常数项两边配上一次项系数一半的平方转化为的形式转化为的形式解得求解所以原方程的根是．【例3】如何用配方法解方程解：移常数项方程两边同除以二次项系数两边配上一次项系数一半的平方转化为的形式开平方解得求解所以原方程的根是.知识点3：利用一元二次方程求解简单的实际问题（难点）一元二次方程是刻画现实问题的有效数学模型，有些通过列一元二次方程来解决的实际问题都可以利用配方法或直接开平方法来解决。注意：一定要检验所得的根是否符合实际意义【例4】（2023•定远县校级三模）阅读下面的材料：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2﹣2a+5的最小值．方法如下．∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝（a﹣1）2+4，由（a﹣1）2≥0，得（a﹣1）2+4≥4；∴代数式a2﹣2a+5的最小值是4．（1）①仿照上述方法求代数式m2﹣4m﹣3的最小值为．②代数式﹣x2﹣4x+7的最大值为．（2）延伸与应用：如图示，小红父亲想用长60m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边面积为Sm2．当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？【解答】解：（1）①∵m2﹣4m﹣3＝m2﹣4m+4﹣7＝（m﹣2）2﹣7，由（m﹣2）2≥0，得（m﹣2）2﹣7≥﹣7；∴代数式m2﹣4m﹣3的最小值是﹣7．故答案为：﹣7；②﹣x2﹣4x+7＝﹣x2﹣4x﹣4+11＝﹣（x+2）2+11，∵﹣（x+2）2≤0，∴﹣（x+2）2+11≤11，∴代数式﹣x2﹣4x+7有最大值，最大值为11．故答案为：11；（2）设AB＝xm，则BC＝（60﹣2x）m，根据题意得，S＝x（60﹣2x）＝60x﹣2x2＝﹣2（x2﹣30x）＝﹣2（x2﹣30x+225）+450＝﹣2（x﹣15）2+450，∵﹣2＜0，∴当x＝15时，S有最大值450，即当AB，BC分别为15m，30m时，羊圈的面积最大，最大值是450m2．【方法二】实例探索法题型1：用直接开平方法解一元二次方程1.解方程(x-3)2=49．

【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得x-3=7或x-3=-7．

由x-3=7，得x=10．

由x-3=-7，得x=-4．

所以原方程的根为x=10或x=-4．2.解关于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得： 即方程两根为，．3.解关于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得：， 即方程两根为，．4.解关于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得：， 得或，即方程两根为，．5.解关于的方程：．【答案】，．【解析】直接开平方法解方程，即得，得或， 即得方程两根为，．6.解关于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即为，直接开平方法解方程，即得 ，得或，解得方程两根 分为，．7.解关于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即为，直接开平方法解方程，即得， 得：或，解得方程两根分为，．题型2：用配方法解一元二次方程8.用配方法解方程：．【答案与解析】解：∵，∴∴，∴∴．9.用配方法解方程：．【答案】，．【解析】由，得，即， 所以原方程的解为：，．10.用配方法解方程：．【答案】，．【解析】由，得，即， 所以，所以或者， 所以原方程的解为：，．11.用配方法解方程：．【答案】，．【解析】由，得，即， 所以， 所以原方程的解为：，．12.用配方法解方程：．【答案】，．【解析】由，得，即， 配方，得：，即，解得：， 所以原方程的解为：，．13.用配方法解方程：．【答案】．【解析】由，得，即， 所以，所以原方程的解为：．14.用配方法解关于x的方程：．【答案】．【解析】由，得，即，解得：，所以原方程的解为：．题型3：用配方法求字母的值15.若把代数式化为的形式，其中m、k为常数，则 ．【答案】5．【解析】因为，所以，所以．16.已知，求的值．【答案与解析】解：由题意可得：∴，∴将代入得：题型4：用配方法求代数式的最大（最小）值17．（2023春•苏州月考）先阅读下面的内容，再解决问题．例题：若m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0∴m+n＝0且n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3问题：（1）若x2+3y2﹣2xy+4y+2＝0，求x和y的值．（2）求代数式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值．【解答】解：（1）x2+3y2﹣2xy+4y+2＝0，x2﹣2xy+y2+2y2+4y+2＝0，（x﹣y）2+2（y+1）2＝0，x﹣y＝0，y+1＝0，解得x＝﹣1，y＝﹣1；（2）x2+2x+y2﹣4y﹣1＝x2+2x+1+y2﹣4y+4﹣6＝（x+1）2+（y﹣2）2﹣6，则代数式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值为﹣6，故答案为：﹣6．18．（2022秋•淮安区校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．所以m+n＝0，n﹣3＝0．所以m＝﹣3，n＝3．问题：（1）若x2+2xy+5y2+4y+1＝0，求xy的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三边长，且a，b满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周长．【解答】解：（1）∵x2+2xy+5y2+4y+1＝0，，∴x2+2xy+y2+4y2+4y+1＝0，∴（x+y）2+（2y+1）2＝0，∴x+y＝0，2y+1＝0，∴x＝﹣，y＝，∴xy＝×（﹣）＝﹣，∴xy的值为﹣；（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，∴a＝5，b＝4，因为△ABC是等腰三角形，所以c＝5或4，分两种情况：当c＝5时，△ABC的周长为5+5+4＝14，当c＝4，△ABC的周长为5+4+4＝13，所以△ABC的周长为13或14．19．（2023•桐乡市一模）设x，y都是实数，请探究下列问题，（1）尝试：①当x＝﹣2，y＝1时，∵x2+y2＝5，2xy＝﹣4，∴x2+y2＞2xy．②当x＝1，y＝2时，∵x2+y2＝5，2xy＝4，∴x2+y2＞2xy．③当x＝2，y＝2.5时，∵x2+y2＝10.25，2xy＝10，∴x2+y2＞2xy．④当x＝3，y＝3时，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y22xy．（2）归纳：x2+y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由．（3）运用：求代数式的最小值．【解答】解：（1）当x＝3，y＝3时，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y2＝2xy，故答案为：＝；（2）x2+y2≥2xy，理由如下，∵x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2≥0，∴x2+y2≥2xy；（3）∵x2+y2≥2xy，x2+＝（x﹣）2+4，∵（x﹣）2≥0，∴代数式的最小值为4．题型5：直接开平方法在实际生活中的应用20．（2022秋•高州市期末）我们知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10x＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：（1）探究：当a取不同的实数时，求代数式a2﹣4a的最小值．（2）应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．【解答】解：（1）∵a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4≥﹣4，∴当a＝2时，代数式a2﹣4a存在最小值为﹣4；（2）设长方形MBCN的面积为S，根据题意得：S＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9≤9，则x＝3时，S存在最大值，最大值为9．21．（2022秋•洛阳期末）【阅读材料】若x2+y2+8x﹣6y+25＝0，求x，y的值．解：（x2+8x+16）+（y2﹣6y+9）＝0，（x+4）2+（y﹣3）2＝0，∴x+4＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣4，y＝3．【解决问题】（1）已知m2+n2﹣12n+10m+61＝0，求（m+n）2023的值；【拓展应用】（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2＝8b+4c﹣20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵m2+n2﹣12n+10m+61＝0，将61拆分为25和36，可得：（m2+10m+25）+（n2﹣12n+36）＝0，根据完全平方公式得（m+5）2+（n﹣6）2＝0，∴m+5＝0，n﹣6＝0，∴m＝﹣5，n＝6，∴（m+n）2023＝（﹣5+6）2023＝1．（2）∵b2+c2＝8b+4c﹣20，将61拆分为25和36，可得：b2+c2﹣8b﹣4c+20＝0，根据完全平方公式得（b2﹣8b+16）+（c2﹣4c+4）＝0，（b﹣4）2+（c﹣2）2＝0，∴b﹣4＝0，c﹣2＝0，∴b＝4，c＝2．∵a是△ABC中最长的边，∴4≤a＜6，即a的取值范围为4≤a＜6．22．（2022秋•广水市期末）【项目学习】“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1因为（a+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，因此，当a＝﹣3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．【问题解决】利用配方法解决下列问题：（1））当x＝时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值为．（2）当x取何值时，代数式2x2+8x+12有最小值？最小值是多少？【拓展提高】（3）当x，y何值时，代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值为多少？（4）如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1；如图所示的第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2．试比较S1与S2的大小，并说明理由．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2，因为（x﹣1）2≥0，所以x2﹣2x﹣1≥﹣2，因此，当x＝1时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值是﹣2．故答案为：1，﹣2；（2）2x2+8x+12＝2（x2+4x）+12＝2（x2+4x+4﹣4）+12＝2[（x+2）2﹣4]+12＝2（x+2）2﹣8+12＝2（x+2）2+4，因为（x+2）2≥0，所以2x2+8x+12≥4，因此，当x＝﹣2时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值是4；（3）5x2﹣4xy+y2+6x+25＝（4x2﹣4xy+y2）+（x2+6x+9）+16＝（2x﹣y）2+（x+3）2+16，因为（2x﹣y）2≥0，（x+3）2≥0，所以5x2﹣4xy+y2+6x+25≥16，因此，当x＝﹣3，y＝﹣6时，代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值是16；（4）S1＞S2．理由如下：∵S1＝（2a+5）（3a+2）＝6a2+19a+10，S2＝5a（a+5）＝5a2+25a，∴S1﹣S2＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1＞0，∴S1＞S2．题型6：用配方法判断三角形的形状23.已知△ABC的一边长为4，另外两边长是关于x的方程的两根，当k为何值时，△ABC是等腰三角形？【答案】．【解析】由，得，所以或者． 当时，和，满足三角形三边关系， 当时，和，不满足三角形三边关系． 所以时，△ABC是等腰三角形24．（2023春•庄浪县期中）若三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，判断此三角形的形状，并求此三角形面积．【解答】解：∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴32+42＝52，即a2+b2＝c2，∴此三角形为直角三角形，∴面积为．题型7：利用配方法解决有关新定义问题25．（2022秋•通川区期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．解决问题：（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式；（2）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），求mn的值；（3）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k值．【解答】解：（1）∵29是“完美数”，∴29＝52+22；（2）∵x2﹣4x+5＝（x2﹣4x+4）+1＝（x﹣2）2+1，又∵x2﹣4x+5＝（x﹣m）2+n，∴m＝2，n＝1，∴mn＝2×1＝2．（3）当k＝13时，S是完美数，理由如下：S＝x2+4y2+4x﹣12y+13＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9＝（x+2）2+（2y﹣3）2，∵x，y是整数，∴x+2，2y﹣3也是整数，∴S是一个“完美数”．26．（2023春•江都区月考）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．【解决问题】（1）数11“完美数”（填“是”或“不是”）；数53“完美数”（填“是”或“不是”）；【探究问题】（2）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，则x+y＝；【拓展提升】（3）已知S＝2x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由．【解答】解：（1）数11不是“完美数”；53＝22+72，数53是“完美数”．故答案为：不是，是；（2）已知等式变形得：（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，即（x﹣2）2+（y+1）2＝0，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，解得：x＝2，y＝﹣1，则x+y＝2﹣1＝1．故答案为：1；（3）当k＝36时，S为“完美数”，理由如下：S＝2x2+y2+2xy+12x+k＝（x2+12x+k）+（y2+2xy+x2）＝（x2+12x+k）+（y+x）2，∵S是完美数，∴x2+12x+k是完全平方式，∴k＝36．27．（2023春•东阳市期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12.所以5是“完美数”．解决问题：（1）已知10是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式；（2）若x2﹣4x+3可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝；探究问题：（3）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x+y＝；（4）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．拓展结论：（5）已知实数x、y满足﹣x2+x+y﹣2＝0，求5x﹣3y的最值．【解答】解：解决问题：（1）根据题意得：10＝12+32；故答案为：10＝12+32；（2）根据题意得：x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1m＝2，n＝﹣1；mn＝﹣2探究问题：（3）已知等式变形得：（x2﹣2x+1）+（y2+4y+4）＝0，即（x﹣1）2+（y+32＝0，∵（x﹣1）2≥0，（y+2）2≥0，∴x﹣1＝0，y+3＝0，得：x＝1，y＝﹣3则x+y＝1﹣3＝﹣2故答案为﹣2，（4）当k＝8，S为“完美数”，理由如下：S＝x2+9y2+4x﹣12y+9，＝（x2+4x+4）+（9y2﹣12y+4），＝（x+2）2+（3y﹣2）2，∵x，y是整数，∴x+2，3y﹣2也是整数，∴S是一个“完美数”；拓展结论：（5）∵﹣x2+x+y﹣2＝0，∴﹣y＝﹣x2+x﹣2，即﹣3y＝﹣3x2+7x﹣6，5x﹣3y＝5x﹣3x2+7x﹣6，＝﹣3（x﹣2）2+6，当x＝2时，5x﹣3y最大，最大值为：6．【方法三】差异对比法易错点1混淆方程配方与代数式配方28.若把代数式化为的形式，其中m、k为常数，则 ．【答案】5．【解析】因为，所以，所以．易错点2配方时，没有进行恒等式变形而导致错误29.如何用配方法解方程解：移常数项方程两边同除以二次项系数两边配上一次项系数一半的平方转化为的形式开平方解得求解所以原方程的根是.【方法四】仿真实战法考法1．解一元二次方程-直接开平方法30．（2020•扬州）方程（x+1）2＝9的根是．【解答】解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，x1＝2，x2＝﹣4．故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．考法2：解一元二次方程-配方法31．（2019•南通）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25【解答】解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，故选：C．考法3：换元法解一元二次方程32．（2002•南京）用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0，如果设x2﹣x＝y，那么原方程变为．【解答】解：根据题意x2﹣x＝y，把原方程中的x2﹣x换成y，所以原方程变化为：y2﹣5y+6＝0考法4：配方法的应用33．（2018•泰州）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为．【解答】解：依题意得：，解得∵x≤y，∴a2≤6a﹣9，整理，得（a﹣3）2≤0，故a﹣3＝0，解得a＝3．故答案是：3．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023·江苏·九年级假期作业）下列配方有错误的是（）A．，化为B．，化为C．，化为D．，化为【答案】D【分析】根据配方法的一般步骤对各选项进行判断．【详解】解：A、由可化为，所以A选项的计算正确，不合题意；B、由可化为，所以B选项的计算正确，不合题意；C、先化为，则可化为，所以C选项的计算正确，不合题意；D、先化为，则可化为，所以D选项的计算错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．2．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）用配方法解一元二次方程时，变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在方程两边加上16，然后把方程左边配成完全平方形式即可．【详解】解：，配方得，即．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，关键是掌握配方的方法：当二次项系数为1时，两边加上一次项系数一半的平方．3．（2023·全国·九年级假期作业）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以，接着把方程两边加上，然后把方程左边配成完全平方式，从而得到、的值，最后计算它们的和即可．【详解】解：，，，，，故选：．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．4．（2022秋·山西太原·九年级校考阶段练习）在解方程时，对方程进行配方，图1是小思做的，图2是小博做的，对于两人的做法，说法正确的是（

）A．两人都正确 B．小思正确，小博不正确C．小思不正确，小博正确 D．两人都不正确【答案】A【分析】根据配方法把含未知数的项写成完全平方式，形如的形式即可．【详解】解：根据配方法可知两人的做法都正确，故选：A．【点睛】本题考查解一元二次方程—配方法，掌握配方法的步骤，能正确的将一元二次方程配成的形式是解答的关键．5．（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）用配方法解方程时、配方正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把方程化为一般式，再把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半得平方进行配方即可．【详解】解：，整理得，移项得：，配方得：，即，故选B．【点睛】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程的步骤．6．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）一元二次方程的解为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】用直接开平方法求解即可．【详解】解：，故选：A．【点睛】本题主要是考查了用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是掌握平方根的定义和用直接开平方法解一元二次方程的方法和步骤．7．（2021秋·广东东莞·九年级东莞市东华初级中学校考期末）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（）A．2013 B．2014 C．2015 D．2016【答案】D【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．【详解】解：与为同族二次方程．，，∴，解得：．∴当时，取最小值为2016．故选：D．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．8．（2023·安徽·九年级专题练习）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】A【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．【详解】解：∵与就是“同族二次方程”，∴，即，∴解得∴＝＝，则代数式能取的最大值是2020．故选：A．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．二、填空题9．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）方程的根是．【答案】【分析】利用直接开平方法解二元一次方程即可．【详解】解：∵，∴或，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，根据方程的特点选择简便的方法是解题的关键．10．（2022秋·江西景德镇·九年级统考期中）将配方成形式，则．【答案】【分析】先将常数项移到方程的右边，然后两边同时加上一次项系数的一半，即可求解．【详解】解：，∴，∴，即，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了用配方法解方程，掌握配方法是解题的关键．11．（2023·全国·九年级假期作业）把方程用配方法化为的形式，则的值是．【答案】【分析】根据配方法即可求出答案．【详解】解：，，，．，．．故答案为：．【点睛】本题考查了配方法的应用，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．12．（2023·全国·九年级假期作业）已知一元二次方程的两根为、，且，则的值为．【答案】/【分析】先利用直接开平方法解方程得到，，然后把它们代入中计算即可．【详解】解：，，解得．，方程的两根为、，且，，，．故答案为：．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．13．（2022秋·广东清远·九年级统考期中）已知方程，则此方程的解为．【答案】，【分析】根据直接开平方法可进行求解．【详解】解：，∴，；故答案为，．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．14．（2020秋·广东广州·九年级广州六中校考阶段练习）若，则代数式的值为．【答案】【分析】移项整理后，直接开平方即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．15．（2022秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期中）一元二次方程的根是．【答案】【分析】用配方法求解即可．【详解】解：，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的方法和步骤．16．（2023·全国·九年级专题练习）若（为实数），则的最小值为．【答案】【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．【详解】解：===∵为实数，∴∴的最小值为,故答案为：．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．三、解答题17．（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）解方程：【答案】【分析】由于方程两边都是完全平方式，这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程，即可求解．【详解】解∶原方程左右开方变形为，即或，解得【点睛】此题主要考查了直接开平方法，解决本题的关键是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解．18．（2022秋·天津津南·九年级校考期中）选取最恰当的方法解方程：(1)(2)【答案】(1)，；(2)，【分析】（1）直接开平方把原方程化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可得解；（2）原方程先配方然后再开平方，最后化为一元一次方程求解即可．【详解】（1）解：开方得：或，解得：，；（2）解：原方程两边除以3得：，∴，即，∴，∴，．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法及直接开平方的解方程方法是解题关键．19．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．．解：二次项系数化为1，得，第一步

移项，得，第二步配方，得，第三步变形，得，第四步开方，得，第五步解得，，第六步(1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．【答案】(1)转化思想，完全平方公式(2)三，解答过程见详解【分析】（1）根据解答过程判断依据即可；（2）根据配方法判断即可．【详解】（1）解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式；（2）解题过程，从第三步开始出现错误，正确的解答过程如下：解：，，，，，解得，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种常见解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，结合方程的特点选择合适的解法是解题的关键．20．（2022秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程．解：原方程可变形，得：．，．直接开平方并整理，得．，．我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程．解：原方程可变形，得：．，∴．直接开平方并整理，得．，．上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为______，______，______，______．(2)请用“平均数法”解方程：．【答案】(1)7，2，，．(2)，．【分析】（1）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可；（2）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可；【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴或，解得：，．∴上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为7，2，，．（2）∵，∴，∴，∴，∴，，解得：，．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．21．（2023·全国·九年级假期作业）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求的最小值，解：∵，∴当时，有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______．(2)用配方法因式分解：．(3)若，求的最小值．(4)已知，则的值为______．【答案】(1)(2)(3)(4)4【分析】（1）根据题意，由完全平方公式，可以知道横线上是，（2）按照题干上的示例可以将分为，再利用完全平方公式即可求解，（3）根据题意的方法，先将因式分解为完全平方的形式即，即可求出最小值，（4）根据题意先将因式分解，变成完全平方的形式即，然后得出，，的值，代入即可求出结果．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：；（3）解：，∵，∴当时，有最小值为；（4）解：，，，∵，，，∴，∴，，，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查了利用配方法解决数学中的问题；把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法；配方法在数学中应用比较广泛，既可以利用配方法进行因式分解，也可以利用配方法求最小值，同时对于（4）中几个非负数的和为零时，可得这几个加数同时为零，求出未知数的值，这一知识在数学中经常运用，要熟练掌握．22．（2022秋·江苏·九年级专题练习）数学课上,老师展示了这样一段内容．问题求式子的最小值．解:原式:∵,∴,即原式的最小值是2．小丽和小明想,二次多项式都能用类似的方法求出最值（最小值或最大值）吗？（1）小丽写出了一些二次三项式:①;

②;

③;④;

⑤;

⑥．经探索可知,有最值的是__________（只填序号）,任选其中一个求出其最值;（2）小明写出了如下3个二次多项式:①;②;③．请选择其中一个,探索它是否有最值,并说明理由．说明:①②③的满分分值分别为3分､4分､5分;若选多个作答,则以较低分计分．【答案】（1）①②③⑥;（2）①无最值,见解析;②最小值为1,见解析;③最小值为,见解析【分析】（1）可以选择①,运用上面类似的方法——配方法,可得到:,再根据平方具有非负性可得到最小值,其它的也用类似的方法解答即可;（2）①进行探究,配方后得到,无法确定最值,②进行研究,配方后得到即可,③进行研究,配方后得到即可,选择一个作答即可．【详解】（1）①②③⑥①

最小值为0②,∵,∴,即原式最小值5;③,∵,∴,∴,即原式